CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal EJERCICIOS DE CARÁCTER ECONÓMICO DE DERIVADAS 1. Sea la función de demanda general de un bien A, qa = y − 9 pa + 5pb + 3pc , siendo y renta, pa el 5pa precio del bien A, pb y pc los precios de otros bienes. 2. Sabiendo que inicialmente y = 186, pa =9, pb =6 y pc =15. a) Determinar la cantidad de ese bien que inicialmente se demanda. b) Obtener la expresión de su demanda directa y calcular su elasticidad. c) Calcular la elasticidad-renta del bien A e interpretar el resultado. Solución a) Sustituyendo los valores iniciales en la función demanda queda qa = 186 − 9.9 + 5.6 + 3.15 186 − 81 + 30 + 45 = =4 5.9 45 b) Hay que encontrar la función que nos da el valor de la demanda de A en función de su precio, qa = f( pa ). Sustituyendo en qa las condiciones iniciales de y, pb y pc , se tiene: qa = 186 − 9 pa + 30 + 45 261 − 9 pa = 5pa 5pa dqa dpa p dqa =− a La elasticidad viene dada por la expresión e = − . qa qa dpa pa Derivando la función qa = obtiene e = − 261 − 9 pa dqa −261 queda == y sustituyendo en la definición de e se 5pa dpa 5pa2 pa −261 261 = . 2 261 − 9 pa 5p 261 − 9 pa a 5pa c) Hay que encontrar la función que nos da el valor de la demanda de A en función de la renta y, qa = f(y). Sustituyendo en qa las condiciones iniciales de pa , pb y pc , se tiene: qa = y − 81 + 30 + 45 y − 6 = 45 45 dqa y dqa dy =− La elasticidad-renta viene dada por la expresión E = − . qa qa dy y © Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 1 CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Como la derivada de qa = dqa y −6 1 y dqa y y 1 es se tiene que E = − . = . = = 6 y − dy 45 y − 6 45 45 qa dy 45 2. En una empresa el coste total de producir q unidades viene dado por la función: C (q) = 1 3 q − 12q2 + 150q + 2304 . 3 a) Obtener la función de coste marginal y la de coste total medio. b) Determinar el coste marginal y el coste medio cuando la producción es de 3 y de 6 unidades. Solución a) Derivando C (q) nos da la función de coste marginal CMa (q) = C ′(q) = q2 − 24q + 150 . Dividiendo C (q) por q se obtiene la función de coste total medio: CMe (q) = 1 2 2304 q − 12q + 150 + 3 q b) Sustituyendo en las funciones del apartado anterior q = 3 se tiene: CMa (3) = 87 y CMe (3) = 885 , y sustituyendo por q = 6 queda: CMa (6) = 42 y CMe (3) = 474 . 3. La función de ingresos de una empresa es, I(q) = − función de coste total es C (q) = 2 102 6 6 10 q3 + 18 3 10 q2 − 2q + 100 , con q > 100, y la 2 q − 24q + 11000 , siendo q el número de unidades vendidas. Hallar el ingreso marginal y el coste marginal. Solución El ingreso marginal IMa (q) se obtiene derivando la función ingreso total quedando: IMa (q) = I ′(q) = − 18 6 10 q2 + 36 103 q−2 El coste marginal CMa (q) se obtiene derivando la función coste total quedando: CMa (q) = C ′(q) = 4 2 10 q − 24 = 1 q − 24 25 4. Las funciones de oferta y demanda de un bien en un mercado competitivo son: q s ( p) = 10 p − 20 4 y qd ( p) = 450 − p 6 a) Obtener la expresión de la elasticidad de la demanda. b) Hallar el precio de equilibrio del mercado. Solución © Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 2 CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal a) Teniendo en cuenta que −1 dqd = , la elasticidad de la demanda es: dp 6 e=− p dqd p p −1 . =− = d dp 450 p − 6 450 − p q 6 b) Para calcular el precio de equilibrio se igualan la oferta y la demanda, q s ( p) = qd ( p) , y se resuelve la ecuación obtenida: 450 − p 10 p − 20 = ⇔ 60 p − 120 = 1800 − 4 p 6 4 ⇔ 64 p = 1920 ⇔ p= 1920 = 30 64 Por tanto, el precio de equilibrio del mercado es 30. © Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 3