Carta de Smith

Práctica 8: Carta de Smith
Objetivo
•
Familiarización con el manejo de la Carta de Smith.
Contenidos
•
Representación de impedancias y admitancias.
•
Obtención de parámetros de las líneas empleando la Carta de Smith.
•
Adaptación de impedancias mediante cortocircuito variable.
•
Líneas con perdidas.
Preparación Previa:
Estudio de los conceptos básicos de la Carta de Smith:
− Construcción.
− Representación de impedancias y admitancias.
− Obtención de parámetros de la línea: coeficiente de reflexión, relación
de onda estacionaria, impedancia vista desde un punto.
− Adaptación de impedancias.
Para la realización de la práctica es necesario el siguiente material: lápiz,
regla, compás y 3 cartas de Smith como mínimo (cada bloque de cuestiones se
puede realizar en la misma carta de Smith).
Bibliografía
[1] S. Y. Liao. Microwave devices and circuits, pp. 82-95, Prentice-Hall. 1990.
[2] S. V. Marshall, G.G. Skitek. Electromagnetic concepts and applications, pp.
398-413, Prentice Hall Int. Ed. 1990.
[3] D. K. Cheng. Field and Wave Electromagnetics, pp. 485-509, AddisonWesley Pub. Co. 2ª ed. 1989.
[4] N. N. Rao. Elements of Engineering Electromagnetics, pp. 469-490,
Prentice Hall Int. Ed. 1994.
[5] J. D. Krauss. Electromagnetics, pp. 509-521, Mc.Graw-Hill Inc. 4ª Ed. 1992.
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Introducción
La carta de Smith consiste en la representación gráfica, en el plano del
coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta
herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas
de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias,
evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos
cálculos.
Construcción de la carta de Smith
Recordemos la expresión del coeficiente de reflexión en la carga, Γ, en
función de ésta, ZL, y de la impedancia característica de la línea, Z0:
Γ=
Z L − Z0
= Γ e jθL = Γr + jΓi
Z L + Z0
(1)
que se puede expresar en forma de módulo y fase Γ e jθL , o como parte real e
imaginaria Γr + jΓi .
La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedancia
característica de la línea Z0, también puede escribirse en sus partes real e
imaginaria como:
ZL 1 + Γ
=
= r + jx
Z0 1 − Γ
(2)
donde:
r es la resistencia normalizada
x es la reactancia normalizada
A partir de (1) y (2) se pueden obtener las partes real e imaginaria de Γ:
Γ = Γr + jΓi =
( r + jx ) − 1
r2 − 1 + x2
2x
=
+j
2
2
( r + jx ) + 1 ( r + 1) + x
( r + 1) 2 + x 2
(3)
Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) para las partes real e imaginaria
y por eliminación de r o x, respectivamente, pueden obtenerse las siguientes
ecuaciones:
2
r ⎞
⎛
⎛ 1 ⎞
2
⎜ Γr −
⎟ + Γi = ⎜
⎟
1+ r ⎠
⎝
⎝1 + r ⎠
44
2
(4)
2
(Γr − 1) + ⎛⎜ Γi − 1 ⎞⎟ = 12
x⎠
x
⎝
2
(5)
Si representamos la ecuación (4) sobre el plano ( Γr , Γi ) para valores de r
constante, las gráficas obtenidas son círculos de radio 1/(1 + r ) centrados en el
eje real en los puntos: Γr = r /(1 + r ) , Γi = 0 . Los distintos valores de r dan lugar a
círculos de radio diferente con centro en distintas posiciones del eje real. La
figura 1 muestra, en línea continua, los casos r=0, 0.5, 1 y 2. Todos los círculos
pasan por el punto (1, 0).
La ecuación (5), para valores de x constante, también describe círculos de
radio 1 / x , centrados en Γr = 1 , Γi = 1 / x . En la figura 1 se muestra, en línea
discontinua, los casos para x=0, ±0.5, ±1 y ±2. Nuevamente, todos los círculos
pasan por el punto (1, 0).
1
x=1
P
x=0.5
0.5
|Γ|
r=0
Γi
0
x=2
r=0.5
θΓ
r=2
r=1
x=0
c.c.
c.a.
-0.5
x=-0.5
x=-1
-1
-1
-0.5
0
x=-2
0.5
1
Γr
Figura 1. Carta de Smith
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Representación de impedancias normalizadas
La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representa
una impedancia normalizada: r+jx.
Por ejemplo:
el punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada 0.5+j
un cortocircuito, Γ = −1 , se representa en el punto (-1, 0)
un circuito abierto, Γ = 1 , en el punto (1, 0).
Obtención del coeficiente de reflexión
Si pensamos en la carta de Smith como una representación en polares, la
distancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el módulo
del coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real positivo se
corresponde con su fase.
Γr + Γi = Γ
2
2
⎛Γ ⎞
arc tan ⎜⎜ i ⎟⎟ = θ Γ
⎝ Γr ⎠
(6)
(7)
La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del
módulo (en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el círculo
r=1).
Todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente de
reflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen. Por ejemplo, el
punto P(0.5, 1) se corresponde con un coeficiente de reflexión 0.62∠83º y en la
figura se observa el círculo que representa Γ = 0.62 .
Obtención de la ROE
Si recordamos la expresión que relaciona la razón de onda estacionaria
(ROE) con el coeficiente de reflexión:
S=
1+ Γ
1− Γ
(8)
y la comparamos con la expresión (2) vemos que la ROE coincide con el valor
de la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexión es
cero, es decir, la intersección del círculo Γ = cte. con el eje real positivo.
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Situación de los puntos Vmax y Vmin
Partiendo de la expresión de la onda de tensión en la línea en función del
coeficiente de reflexión:
V ( z ) = V + ⋅ 1 + ρ( z ' )
(9)
es fácil comprobar que la posición de máximos y mínimos será:
ƒ
los máximos: cuando la fase del coeficiente de reflexión sea
cero (semieje X positivo).
ƒ
los mínimos: cuando la fase del coeficiente de reflexión sea π
(semieje X negativo).
Transformación de impedancias
Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente de
reflexión en cualquier punto z de la línea viene dado, en función del coeficiente
de reflexión en la carga, por la expresión:
ρ( z ' ) = Γe −2 γ z '
(10)
Un caso particular es el de las líneas sin pérdidas, donde la ecuación
(118) se reduce a:
ρ( z ' ) = Γe − j2βz '
(11)
Por lo tanto, en una línea sin pérdidas, un desplazamiento z’ se traduce
en un cambio de fase del coeficiente de reflexión, pero el módulo se mantiene
constante. Por ejemplo, un desplazamiento de z’=λ/8 supone un incremento de
fase de +π/2 sobre el círculo de módulo constante. Esto nos lleva a la obtención
de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde con la impedancia
vista desde ese punto.
De esta forma, la transformación de impedancias producida a lo largo de
la línea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al
desplazarse sobre círculos centrados en la carta (espirales si hay pérdidas). La
carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su perímetro en ∆z/λ
(en longitudes de onda), una para los movimientos hacia el generador y otra
para los movimientos hacia la carga.
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Obtención de admitancias
Partiendo de la ecuación de la impedancia vista desde un punto z’ hacia
la carga ZL, en una línea sin pérdidas:
Zin = Z(z' ) = R 0
Z L + jR 0 tg(βz' )
R 0 + jZ L tg(βz' )
(12)
Si normalizamos y vemos el caso particular de z’=λ/4:
1
λ
Z L + jR 0 tg(β )
Z in
4 = R 0 = Y0 = YL
=
1
R 0 R + jZ tg(β λ ) Z L
Y0
0
L
4
YL
(13)
obtenemos la admitancia de carga normalizada. Vemos como el transformador
λ/4 actúa como un inversor de impedancias. Un desplazamiento de un cuarto
de longitud de onda equivale a un cambio de fase de π radianes en el coeficiente
de reflexión, por lo tanto el punto de la admitancia está diametralmente opuesto
al de la impedancia correspondiente.
También es posible emplear la carta de Smith como diagrama de
admitancias, muy útil para resolver problemas de conexiones de líneas en
paralelo (donde las admitancias se suman). Si se trabaja con admitancias
normalizadas las posiciones de cortocircuitos y circuitos abiertos están
invertidas respecto de la carta de impedancias y también se invierte la posición
de los lados capacitivo e inductivo.
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Desarrollo
1. Cálculo de parámetros
1. Localizar en la Carta de Smith las siguientes impedancias (tomar Z0=50 Ω):
Z1=0 Ω, Z2=-j100 Ω y Z3=50+j75 Ω
Las tareas que se proponen a continuación deben resolverse empleando la Carta
de Smith y mediante las ecuaciones de las líneas de transmisión:
2. Calcular sus admitancias correspondientes.
3. Obtener el coeficiente de reflexión en la carga, la relación de onda
estacionaria en la línea y la distancia del primer mínimo de la onda
estacionaria de tensión a la carga, para los tres casos.
4. Calcular la impedancia de entrada de una línea de transmisión de
impedancia característica 50Ω y 0.3λ de longitud, cargada con las
impedancias del ejercicio anterior.
5. La impedancia de entrada de un tramo de longitud l de la línea anterior
terminada en circuito abierto es una reactancia capacitiva de 90Ω. ¿Cuál es la
longitud eléctrica l/λ de la línea?
2. Adaptación de impedancias
l1
ZL
Z0
Z0
Z0
Z2
Z1
l2
6. La línea de transmisión de la figura presenta una impedancia característica
de 50Ω y está cargada con una impedancia de ZL=100+j75Ω. Determinar la
longitud (l2) y la posición (l1) del cortocircuito necesarias para adaptar la
línea.
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3. Líneas con pérdidas
7. Para determinar las pérdidas en una línea de transmisión de
aproximadamente 75Ω de impedancia característica se mide, a 30 MHz, la
impedancia de entrada en un tramo cortocircuitado de 0.196λ, obteniéndose
un valor de 45+j200Ω. Determinar la constante de atenuación de la línea.
8. Dada la línea del problema anterior, representar la variación del coeficiente
de reflexión desde su valor en la carga hasta la entrada y compararlo con el
que se obtendría en una línea sin pérdidas.
Cuestiones de revisión
1. ¿Qué es el diagrama de Smith y por qué es útil para efectuar cálculos con
líneas de transmisión?
2. ¿Qué representan las coordenadas rectangulares del diagrama de Smith? ¿Y
las polares?
3. ¿Qué punto de la carta de Smith representa una carga adaptada?
4. En los problemas de adaptación de impedancias ¿cómo utilizarías la carta de
Smith, como diagrama de impedancias o de admitancias? ¿por qué?
5. Demostrar que el punto que representa una impedancia en la carta de Smith
está diametralmente opuesto, es decir desplazado λ/4, al que representa la
admitancia correspondiente.
6. Obtener, utilizando la carta de Smith, la impedancia correspondiente a una
-1
admitancia de 600+j300 Ω , enumerando los pasos seguidos.
7. Explicar por qué el valor de la relación de onda estacionaria se mira en el
semieje horizontal derecho.
8. Para una línea de transmisión conectada a una carga ZL≠Z0 ¿Cuántas
posiciones (menores de media longitud de onda) de un cortocircuito
variable permiten adaptar la carga a la línea? ¿Y cuántas longitudes?
9. ¿Qué diferencia habría si se empleara un circuito abierto para adaptar?
10. ¿Permanece constante la relación de onda estacionaria en una línea con
pérdidas?
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Problemas
1. Una línea de transmisión de impedancia característica 50Ω y dieléctrico el
vacío se utiliza para alimentar una antena. A 400MHz se mide una relación
de onda estacionaria igual a 2. El primer máximo de tensión se detecta a
7.8cm de la antena. Puede considerarse que se trata de una línea sin
pérdidas.
Utilizando la carta de Smith, determine la posición y la longitud del brazo
cortocircuitado necesario para conseguir la adaptación.
Posteriormente, determine la relación de onda estacionaria en la línea si se
baja a frecuencia a 375MHz.
2. Para alimentar una antena a 400MHz se utiliza un cable coaxial sin pérdidas
de impedancia característica 75Ω. El dieléctrico tiene una constante
dieléctrica relativa igual a 4. El primer mínimo de tensión se detecta a 12cm
de la carga. La relación de onda estacionaria que se mide es 3. Utilizando la
carta de Smith determine:
a) La posición y longitud del brazo cortocircuitado necesario para tener
adaptación.
b) La relación de onda estacionaria en la línea si se baja la frecuencia a 350
MHz.
3. En una línea de transmisión (que puede considerarse sin pérdidas) de
impedancia característica 50Ω y dieléctrico el vacío se mide una relación de
onda estacionaria igual a 1 a 400MHz ya que se ha realizado adaptación
mediante una brazo cortocircuitado de longitud 11.475cm conectado a una
distancia d de la carga, en la que se detecta un máximo de tensión.
Utilizando la carta de Smith determine:
a) la impedancia de carga
b) la distancia d entre la carga y el brazo cortocircuitado
c) la relación de onda estacionaria en la línea si se baja la frecuencia a
480MHz.
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