Lineas de transmisión cargadas

Laboratorio de Ondas Electromagnéticas
Práctica 3
Curso 2008-2009
PRACTICA 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN CARGADAS.
Objetivos:
estudiar la onda estacionaria que se genera en una línea de transmisión
coaxial cuando en su extremo se conecta una carga cuya impedancia es
diferente a la impedancia característica de la línea. Realizar un
experimento de adaptación de impedancias mediante un “stub” conectado
en paralelo
Instrumentos: osciloscopio digital, generador de señal y polímetro.
Material:
Cable coaxial RG-58, conectores tipo T, conectores y adaptadores tipo
BNC.
Resumen
Medida de la onda estacionaria cuando la carga es un cortocircuito (c.c.) y un
circuito abierto (c.a.). A partir de ellas, se obtendrá la atenuación de la línea en función
de la frecuencia. Obtener el coeficiente de reflexión y la SWR cuando la línea está
cargada con una impedancia resistiva. Por último, mediante un “stub” cortocircuitado se
realizará la adaptación de impedancia para una frecuencia determinada. Se analizará la
adaptación para frecuencias alrededor de la de diseño.
1. INTRODUCCIÓN
Habitualmente una línea de transmisión se emplea para transmitir una cierta señal
desde un sistema generador (por ejemplo, un amplificador, un teléfono, un ordenador...)
hasta una carga (una antena, una centralita de teléfonos...). En general, la impedancia de
la carga, ZL, será diferente a la impedancia característica de la línea de transmisión, Z0.
Figura 1
Como consecuencia de ello, se origina una onda reflejada que interfiere con la
onda incidente, formándose una onda estacionaria a lo largo de la línea de transmisión,
V(z) = Vi (z) + Vr (z) = V0+ e − γz + V0− e + γz
I(z) = I i (z) − I r (z) = I 0+ e − γz − I 0− e + γz
(1)
Las amplitudes de la onda incidente y reflejada están relacionadas mediante el
coeficiente de reflexión en la carga Γ = V0− / V0+ = −I 0− / I 0+ . El coeficiente de reflexión
es en general un número complejo ( Γ = Γ e jφΓ ) que, en términos de las impedancias Z0
y ZL, viene dado por la siguiente expresión:
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Γ=
ZL − Z0
ZL + Z0
(2)
El módulo de la onda estacionaria de tensión se puede escribir en función del
coeficiente de reflexión como:
V(z) = V0+ e 2αz 1 + Γ (e −2αL ) 2 + 2 Γ e −2αL cos(2βz + φ Γ )
2
(3)
donde α es el factor de pérdidas de la línea y φL la fase del coeficiente de reflexión en la
carga. La figura 2 muestra el patrón típico de la onda tensión a lo largo de la línea
(patrón de ondas estacionaria) para el caso particular de una línea de transmisión sin
pérdidas.
Figura 2
La relación de ondas estacionaria SWR se define como el cociente entre el valor
de tensión en un máximo y el valor de la tensión en un mínimo, y se relaciona con el
coeficiente de reflexión en la carga del siguiente modo:
-2αz
1+ Γ e
V
SWR = max =
Vmin 1 − Γ e -2αz
(4)
En el caso de una línea de transmisión sin pérdidas (α=0) la SWR es uniforme a
lo largo de la línea, mientras que si la línea presenta pérdidas no despreciables, la SWR
varía a lo largo de la misma.
Cortocircuito (c.c.)
Circuito abierto (c.a.)
Línea adaptada
Vmax
2 V0+
2 V0+
V0+
Vmin
0
0
V0+
Γ
-1
1
0
SWR(línea sin pérdidas)
∞
∞
1
Tabla 1. Casos particulares de interés
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La impedancia Zin(z) vista en dirección a la carga desde cualquier punto z de la
línea (impedancia de entrada) viene dada por:
V(z) V0+ e − γz + V0− e + γz
Z in (z) =
= + − γz
I( z )
I 0 e − I 0− e + γz
(5)
La impedancia de entrada suele escribirse en términos de las impedancias Z0 y ZL.
Manipulando adecuadamente las expresiones anteriores, se llega a:
Z in = Z 0
Z L + Z 0 tanh( γL)
Z 0 + Z L tanh( γL)
(6)
que en el caso particular de una línea sin pérdidas se reduce a:
Z in = Z 0
Z L + j ⋅ Z 0 tan(β L)
Z 0 + j ⋅ Z L tan(β L)
(7)
Además de las pérdidas que pueda presentar la línea de transmisión, el factor que
influye sobre la transmisión de potencia desde el generador a la carga es la
desadaptación (diferencia de valor) que pueda existir entre la impedancia de la línea y
de la carga. La transferencia de potencia a la carga es máxima cuando no existe onda
reflejada hacia el generador. Una técnica habitual para conseguir esto consiste en añadir
algún elemento elegido adecuadamente, situado en la cercanía de la carga para que la
impedancia resultante coincida con la impedancia característica de la línea (adaptación
de impedancias). Para ello existen varias técnicas, en particular en esta práctica
realizaremos un ejemplo de adaptación de impedancias utilizando un ”stub” (sección de
línea) cortocircuitado que conectaremos en paralelo a la línea de transmisión.
Figura 3
2. MEDIDAS
2.1. Línea cargada con un c.c/c.a.
En este apartado realizaremos medidas de la onda estacionaria en dos casos:
cuando la carga es un cortocircuito (c.c.) y cuando la carga es un circuito abierto (c.a.).
Como resultado de estas medidas, se obtendrá el factor de atenuación de la línea. Para
ello realizaremos el montaje mostrado en la figura 4.
Tomar la salida de 50 Ω del generador de funciones. En el canal 1 del
osciloscopio conectar la salida del generador y, con ayuda de una T, el extremo de
entrada del cable coaxial (rollo de 50 m). Asegurarse que en el osciloscopio esté
seleccionada la opción de 1 MΩ para la impedancia de entrada del Ch1. Conectar el otro
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extremo del cable coaxial con la carga correspondiente (c.c. o c.a.). Con este montaje,
en el canal 1 se observa la superposición de la onda incidente y la reflejada.
Figura 4
Variar la frecuencia del generador desde unos cientos de kHz hasta unos 20 MHz
y observar en el osciloscopio los máximos y mínimos en la amplitud de la señal de
tensión. Observar que, aunque tanto para el c.c. como para el c.a. el módulo del
coeficiente de reflexión sea 1, la amplitud de la señal en los mínimos no es cero. Esto es
debido a la atenuación de la línea coaxial. Construir una tabla que recoja la frecuencia
de los máximos y de los mínimos, y la amplitud de la tensión en ambos, tanto para el
caso en que la carga sea un c.a. como para el caso del c.c. Observar que las frecuencias
de los máximos en el caso de que la carga sea un c.a. coinciden con las frecuencias de
los mínimos con el c.c (y viceversa).
Nota 1. Este osciloscopio nos da directamente la amplitud pico a pico de una señal
seleccionado en el menú MEASURE.
Nota 2. Podéis comprobar que cuando conectamos una carga de 50 Ω, no existe patrón
de onda estacionaria, como corresponde a una línea adaptada.
2.2 Línea cargada con una impedancia resistiva.
Realizar el montaje indicado en la figura 4 y repetir las medidas del apartado
anterior, pero en este caso cargando la línea con una carga de 100 Ω. Obtener la SWR y
el coeficiente de reflexión y compararlo con el valor teórico.
Nota. Una buena aproximación para obtener el módulo del coeficiente de reflexión
consiste en considerar el primer máximo y mínimo ya que a frecuencias bajas se pueden
despreciar las pérdidas.
2.3. Adaptación de impedancias
En este apartado se estudiará en el laboratorio un método de adaptación de una
línea coaxial RG-58 cargada con una impedancia de 100 Ω. Para ello, fijar en el
generador de señal una cierta amplitud (Vin). Medir Vin con el osciloscopio entre 5 y 21
MHz (por ejemplo cada MHz) Se puede medir directamente en el osciloscopio siempre
que seleccionemos la opción de 50 Ω como impedancia de entrada del canal del
osciloscopio con que estamos haciendo la medida. Esta amplitud, que corresponde a la
amplitud de la onda incidente, NO podrá ser modificada a lo largo de este conjunto de
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medidas. A continuación realizar el montaje descrito en la figura 5. Es IMPORTANTE
volver a seleccionar la impedancia de entrada de 1MΩ en el osciloscopio.
El método de adaptación que se empleará es el descrito en la última parte de la
introducción, basado en un stub cortocircuitado de longitud l2 conectado a una cierta
distancia l1 de la carga. Fijaremos la longitud l1 y estudiaremos la adaptación en función
de l2. Seleccionar un cable coaxial de l2=2 m de longitud y conectarlo entre la T y la
carga de 100 Ω. En el extremo libre de la T conectar un stub cortocircuitado de 1 m (un
stub cortocircuitado es una sección de cable al que conectaremos un cortocircuito), y
medir la amplitud de la señal de tensión (Vc) en un intervalo de frecuencias de 5 a 21
MHz (por ejemplo cada MHz). Repetir estas medidas para varias longitudes del stub
cortocircuitado (1.5, 2, 2.5 y 3 m).
Figura 5
3. CUESTIONES
a) A partir de las medidas realizadas en la sección 2.1, obtener el factor de atenuación
de la línea coaxial para cada frecuencia, utilizando la expresión (4). En esta
expresión, deberemos sustituir z = 50 m. Representar el factor de atenuación en
función de la frecuencia, y comparar estos resultados con los proporcionados por la
expresión (1) del guión de la práctica 2.
b) Calcular teóricamente el valor de la SWR y del coeficiente de reflexión cuando la
línea está cargada con la impedancia resistiva de 100 Ω. Comparar este valor con el
obtenido experimentalmente en el apartado 2.2. Cuantificar el error cometido al
obtener el módulo del coeficiente de reflexión a partir de la SWR, por el hecho de
considerar despreciables las pérdidas.
c) A partir de los valores obtenidos en el apartado 2.3, construir una gráfica en la que se
represente Vc/Vin (eje y) en función de la frecuencia (eje x), para cada longitud del
stub. Determinar la longitud l2 óptima para tener adaptación de impedancias a la
frecuencia de 10 MHz.
d) Estudiar cómo afecta la longitud l2 a las frecuencias en las que la línea cargada se
encuentra adaptada.
4. REFERENCIAS
[1] D. M. Pozar, Microwave Engineering, Addison Wesley, 1994.
[2] C. A. Balanis, Antenna Theory, Analysis and Design, Harper & Row Pubs, 1982.
[3] M. Zahn, Electromagnetic field theory (a problem solving approach), John Wiley, 1979.
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