Una función es una relación entre dos conjuntos de tal manera que

Una función es una relación entre
dos conjuntos de tal manera que
para cada elemento del primer
conjunto corresponde un solo
elemento del segundo conjunto.

Ejemplos reales de relaciones que envuelven
funciones:



Un individuo y su seguro social
Un vehículo de motor y su tablilla.
Por lo contrario, no es una función la
relación de madre e hijos. Explica por qué.
Al primer conjunto, de donde tomamos los
elementos para la regla, se le llama Dominio y
al segundo conjunto se le llama Recorrido o
Campo de Valores.
a
b
c
DOMINIO
avión
carro
barco
RECORRIDO
Ejemplo 1
a
b
c

avión
casa
barco
¿Cómo describes esta relación? ¿Cómo se
relacionan los dos conjuntos?
Observa que la relación anterior produce un
conjunto cuyos elementos son pares ordenados,
éstos son:
{ ( a, avión) , (b, barco) , ( c , carro )
¿Cuál es el Dominio en esta relación?
¿Cuál es el Recorrido ?
}
RESPUESTAS Ejemplo 1

DOMINO

Recorrido
{ a, b, c }
{avión, barco, carro}
Ejemplo 2
6
1
2
3
4
a.
2
8
4
¿Cuál es el Dominio en esta relación?
b. ¿Cuál es el Recorrido ?
RESPUESTAS
Ejemplo 2
a. { 1, 2, 3, 4 }
Dominio
b. { 2, 4, 6, 8 }
Recorrido
Continuamos - Ejemplo 2
6
1
2
2
8
3
4

4
Indica cuáles son los elementos de esta relación.
RESPUESTAS- Ejemplo 2
c.
{ ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }

Observa que los elementos de este conjunto
son pares ordenados donde el primer elemento
corresponde a un elemento del DOMINIO y el
segundo elemento corresponde a uno del
RECORRIDO.
Continuamos -
Ejemplo 2
6
1
2
2
8
3
4

4
¿Cómo describirías esta relación? ¿Qué
regla la describe?
RESPUESTAS- Ejemplo 2

Observamos que en esta relación
multiplicamos cada elemento del
Dominio por dos.
2x1=2
2x2 =4
2x3 =6
2x4 =8
Si representamos a los elementos
del DOMINIO con una x , y a los
elementos del RECORRIDO con una
y , entonces podemos representar la
relación dada de la siguiente forma:
y = 2x

Decimos que y = 2x es la regla que
describe la relación dada en el
Ejemplo 2 .

Observa, que esta ecuación nos indica
que de acuerdo al valor que se le asigne a
la variable x , será el valor que se obtiene
para y.
Práctica
Según la definición de función, cuáles de los
siguientes dibujos representan a una función.
a
b
c
a
b
c
1
2
3
I
II
1
2
3
I
II
RESPUESTAS
SI
a
b
c
SI
1
2
3
a
b
c
1
2
3
I
II
NO
I
II
RESPUESTA

Observa que para el elemento I en el
DOMINIO corresponden dos elementos
distintos en el RECORRIDO, por lo tanto
no responde a la definición de funciones.
1
2
3
I
II
NO
Práctica
¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su
Dominio y su Recorrido.
a. { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } ___________________
b. { (1,1), (2,2), (3,3) } ___________________
c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} ____________________
d. { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) }_______________
Respuestas a la Práctica
¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su
Dominio y su Recorrido.
a) { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } SI
Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 }
b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI
Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3}
c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO
Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDO
d) { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) SI
Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}
Identificar funciones mediante la observación
de tabla de valores

Identifica cuáles de las siguientes tablas de valores
representa a una función. En las siguientes tablas la
primera columna representa a la variable independiente
y la segunda columna a la variable dependiente.
a
b
c
d
e
f
-5
10
-1
1
4
8
0
0
0
0
2
1
5
-10
1
1
1
2
4
0
2
4
2
4
Notación de Funciones
f
X ------> Y
Dominio
Recorrido
y = f(x)
f es el nombre que se le asignó a la función, se
lee "y es función f de x” , las variables son
x y y.
Ejemplos
y 3x 8
2
y
x
3x 1
y
x 1
2x
f ( x) 3x 8
h( x) x
g ( x)
2
3x 1
x 1
2x
Importante

Observa: El valor de y , depende del valor que
se le asigne a

x,
en la regla correspondiente.
Llamamos a y ,la variable dependiente y a
la variable independiente.
x
Aplicación
Identifica para cada situación la variable
dependiente y la variable independiente.
Se
investiga la relación entre el diametro del
tronco de un árbol y la edad de éste en
términos de años de vida.
CONTINUACION -Aplicación

Se desea conocer cómo se reproducen los
mosquitos durante los doce meses del año.

La relación entre la estatura de las mujeres y
el tamaño de sus pies.

La cantidad de horas que dedican los
estudiantes a estudiar para un examen y la
puntuación que obtienen en éste.
EVALUAR UNA FUNCIÓN
Evaluar una función consiste en seleccionar
un valor del Dominio de esa función y
sustituírlo en la regla de la función.
Ejemplo 1
Sea
f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.
Hallar f(3) consiste en evaluar la función f en
este valor en la regla de la siguiente forma
f(3) = 2 ( 3 ) + 1 = 7.
x = 3, sustituimos
Luego de evaluar la función decimos que f(3)=7.
Cada vez que evaluamos una función obtenemos
dos valores, uno para la variable independiente y el
valor correspondiente para la variable dependiente.
Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma
( x, y) .
Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7 , por tanto el
par ordenado es ( 3, 7).
Continuamos con el Ejemplo 1

Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.

Evalúa la función f , en los valores indicados’

f(5) = 2 ( 5 ) + 1 = 11
Práctica

f(1) = ______

f(7) = ______

f(4) = ______
par ordenado
( 5 , 11)
Respuesta

f(1) = 3
( 1, 3 )

f(7) = 15
( 7, 15 )

f(4) = No existe
 El 4 no pertenece al Dominio de esta función.

¿Cuáles son los elementos de esta relación ?

¿Cuál es el RECORRIDO ?
Sea f(x)
= 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1 , 3 , 5 , 7 }.

¿Cuáles son los elementos que describen a la
función f ?
 { ( 1,3) , (3,7) , (5,11) , (7,15) }

¿Cuál es el RECORRIDO ?
 { 3, 7, 11, 15 }
Ejemplo 2
Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}
a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta
relación?
b) Indica cuáles son los elementos de esta relación.
c) Indica el Recorrido
Respuesta - Ejemplo 2
Sea h(x)
= x2 + 2 y su Dominio dado por { 1, 2, 3 }
a. Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta
relación. NO h(2) = 6
b. Halla los elementos de esta relación.
{ (1,3), (2,6) , (3,11) }
c. Indica el Recorrido
{ 3, 6, 11 }
Práctica
Sean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ;
funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo
número real que produzca numeros reales en el Recorrido.
Evalúa en los valores indicados:
a)
b)
c)
d)
f(-3) =
g(15) =
h( 3) =
q(4) =
f(0) =
g(-5)=
h( -2) =
q(-7) =
Respuestas - Práctica
f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x
a. f(-3) = -15
f(0) = 0
b. g(15) = 12
g(-5)=-8
c. h( 3) = 15
h( -2) = 0
d.. q(4) = -4
q(-7) = 7

Cuando no nos indican cuál es el
Dominio de la función entonces es
implícito que consiste en el conjunto de
todo número real para el cual esté
definida la función en los números reales.

Al evaluar una función el resultado
obtenido en y , debe ser un número real.

Ejemplo en el que se debe tener
cuidado: g ( x )
x
g(1) = 1
g(16) = 4
g(-4) = 2i
El resultado NO es un número real por lo
tanto -4 no puede ser parte del DOMINIO.
Dada una gráfica identificar si la relación
corresponde a una función.
PRUEBA
DE LA LINEA VERTICAL
Dada una gráfica, si para toda línea vertical
que pase por cada uno de los valores del
Dominio de la relación ésta toca (cruza)
sólo un punto de la gráfica, entonces
corresponde a una función.
Para cada gráfica indica si ésta es una función
FUNCIONES BASICAS
FUNCION
IDENTIDAD
DOMINIO
RECORRIDO
x
y
x
y =x
y
FUNCION CON VALOR ABSOLUTO
DOMINIO
x
RECORRIDO
x
y
y
x
y
0
FUNCION CUADRATICA
DOMINIO
x
RECORRIDO
x
y
y
x2
y
0
FUNCION
CUBICA
DOMINIO
x
RECORRIDO
y
x
y
y
x3
FUNCIONES QUE ENVUELVEN
RADICALES
DOMINIO
RECORRIDO
y
x
x
0
y
0
FUNCION RACIONAL
f ( x)
1
x
Do min io
Re corrido
{x
{y
R yx
R y y
0}
0}
FUNCION EXPONENCIAL
DOMINIO
RECORRIDO
x
y
0
CASO
b>1
CASO
x
1
0<b<1
1
x
y
y
bx
donde b
0 yb
1
y
FUNCION LOGARITMICA
DOMINIO
x
RECORRIDO
0
y
1
y
log b x , donde b
0 yb
1
Ecuaciones lineales en dos variables: lineas
rectas

Forma general
ax+by +c = 0
¿Cuales de las siguientes graficas corresponden a una función?