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TEMA 2
Revisión de mecánica del sólido rígido
ETSAM
Física y Mecánica de las Construcciones
2.1. Introducción
SÓLIDO RÍGIDO
SÓLIDO: considerar orientación y rotación
RÍGIDO:
CONDICIÓN DE RIGÍDEZ:
- movimiento: no se alteran distancias entre puntos
- se ignoran las deformaciones
2.1. Introducción
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FORMAS DE ESTUDIO DEL SÓLIDO RÍGIDO...
MOVIMIENTO:
CINEMÁTICA: estudio del movimiento desentendiéndose de
las causas que lo producen
DINÁMICA: estudio del movimiento en relación con
las fuerzas aplicadas
REPOSO:
ESTÁTICA: estudia “el equilibrio”
2.1. Introducción
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2. 2. Tensor de inercia
EXPRESIONES TIPO: masa • distancia planos, ejes...
Respuesta de los sólidos sometidos a fuerzas externas dependiente de:
- masa y volumen
- forma: distribución espacial de masa
FLEXIÓN DE UNA VIGA:
Sección rectangular
2. 2. Tensor de Inercia
Sección circular
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Definición de parámetros:
- dependientes de distribución espacial de masa
- descripción sencilla de comportamiento mecánico de sólidos
MOMENTO DE INERCIA :
I=
∑
- Respecto a punto, eje o plano
ri2 mi
- Valor positivo
i
I = ∫ r 2 dm
V
2. 2. Tensor de Inercia
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MOMENTOS DE INERCIA :
TEOREMA DE STEINER:
I eje = I ejeCM + mh 2
2. 2. Tensor de Inercia
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MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES DE UN SISTEMA OXYZ :
I X = ∫ ( y 2 + z 2 )dm
V
I Y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm
V
I Z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm
V
VOLUMEN:
ρ = cte =
SUPERFICIE:
LÍNEA:
σ = cte =
λ = cte =
2. 2. Tensor de Inercia
M dm
=
⇒ dm = ρ ⋅ dV
V dV
M dm
=
⇒ dm = σ ⋅ dS
S
dS
M dm
=
⇒ dm = λ ⋅ dL
L dL
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MOMENTOS DE INERCIA DE ALGUNAS FIGURAS:
2. 2. Tensor de Inercia
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PRODUCTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES DE UN SISTEMA OXYZ :
I XY = ∫ yxdm
I YZ = ∫ yzdm
I ZX = ∫ xzdm
Productos de inercia: positivos, negativos o nulos.
MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA:
intervienen en casi todas las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido
2. 2. Tensor de Inercia
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MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UNA RECTA CUALQUIERA:
r
u = (cos α , cos β , cos γ )
Iδ
I0
∑ m [(cos
n
I0 =
i
2
)(
)
α + cos 2 β + cos 2 γ x i2 + y i2 + z i2 − (cos αx i + cos βy i + cos γz i ) 2
]
i =1
Desarrollando y agrupando términos:
I 0 = cos 2 αI X + cos 2 βI Y + cos 2 γI Z − 2(cosα cos βI XY + cos α cos γI XZ + cos β cos γI YZ )
2. 2. Tensor de Inercia
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MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UNA RECTA CUALQUIERA:
I 0 = [cos β
I 0 Iδ
IX
cos α
⎡ IX
cos γ ]⎢⎢− I XY
⎢⎣− I XZ
− I XY
IY
− I YZ
− I XZ ⎤ ⎡cos β ⎤
− I YZ ⎥⎥ ⎢⎢cos α ⎥⎥
I Z ⎥⎦ ⎢⎣ cos γ ⎥⎦
r
u = (cos α , cos β , cos γ )
: TEOREMA DE STEINER
IY
IZ
I XY I XZ I YZ
2. 2. Tensor de Inercia
Cálculo del MOMENTO DE INERCIA respecto
a cualquier recta del espacio
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TENSOR DE INERCIA:
Las componentes de la matriz cambian por una rotación del
sistema de referencia:
T ´= R ⋅ T ⋅ R T
⎡ IX
I = ⎢⎢− I XY
⎢⎣− I XZ
− I XY
IY
− I YZ
− I XZ ⎤
− I YZ ⎥⎥
I Z ⎥⎦
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DEL TENSOR DE INERCIA
2. 2. Tensor de Inercia
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PROPIEDADES DEL TENSOR DE INERCIA:
- Distribución de masa: en cada punto O un tensor de inercia
- Tensor simétrico: ejes principales y valores propios
IX −λ
− I XY
− I XY
IY − λ
− I XZ
− I YZ
− I XZ
⎡ I1
− I YZ = 0 ⇒ I = ⎢ 0
⎢
IZ − λ
⎢⎣ 0
− I XY
− I XZ ⎤ ⎡a i ⎤ ⎡0⎤
⎡( I X − λi )
⎥ ⎢ b ⎥ = ⎢0 ⎥
⎢ −I
(
)
I
I
−
−
λ
XY
Y
i
YZ ⎥ ⎢ i ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎢⎣ − I XZ
( I Z − λi )⎥⎦ ⎢⎣ c i ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
− I YZ
2. 2. Tensor de Inercia
0
I2
0
0⎤
0 ⎥⎥
I 3 ⎥⎦
r
vi = (ai , bi , ci )
(i = 1,2,3)
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ALGUNOS EJEMPLOS:
CASO 1:
Distribución simétrica respecto a plano:
DIRECCIÓN PRINCIPAL: dirección perpendicular al plano
CASO 2:
Simetría de revolución en torno a eje:
DIRECCIONES PRINCIPALES: eje y direcciones perpendiculares
2. 2. Tensor de Inercia
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2.3. Fuerzas y clasificación
Definición de FUERZA: acción de un cuerpo sobre otro
FUERZA
RESISTENCIA
TERCERA LEY DE LA MECÁNICA:
- las fuerzas siempre se producen por parejas
- reacción igual y opuesta a la acción
2.3. Fuerzas y clasificación
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Formas de clasificación de las fuerzas:
a)
- F. DE CONTACTO: cuerpos en contacto
- F. DE ACCIÓN A DISTANCIA: campo gravitatorio, campo eléctrico
b)
FUERZAS CONCENTRADAS
2.3. Fuerzas y clasificación
FUERZAS DISTRIBUIDAS
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Formas de clasificación de las fuerzas:
DOS EFECTOS:
- EXTERIOR: cambio de movimiento
- INTERIOR: deformación
- FUERZAS EXTERNAS: ejercida por otro sólido
- FUERZAS INTERNAS: ejercida por otra parte del sólido
2.3. Fuerzas y clasificación
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Formas de clasificación de las fuerzas:
SÓLIDO RÍGIDO
SÓLIDO DEFORMABLE
FUERZAS EXTERNAS
FUERZAS EXTERNAS
FUERZAS INTERNAS: m. secciones
( Fe ) Ai + ( Fi ) Ad = 0
2.3. Fuerzas y clasificación
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2.4. Condiciones de equilibrio
Un sistema se halla en EQUILIBRIO cuando SU ESTADO NO SE
MODIFICA CON EL TIEMPO, es decir, cuando no se deforma y
permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante.
r
∑ Fi = 0
EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN
n
i =1
n
∑F
i =1
r
∑ Mi = 0
ix
n
i =1
=0
n
∑F
i =1
iy
=0
n
∑F
i =1
iz
=0
EQUILIBRIO DE ROTACIÓN
n
∑M
i =1
ix
2.4. Condiciones de equilibrio
=0
n
n
∑M
i =1
iy
=0
∑M
i =1
iz
=0
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EQUILIBRIO SÓLIDO DEFORMABLE: SÓLIDO ELÁSTICO
r
∑ Fi = 0
n
i =1
r
∑ Mi = 0
n
i =1
CONDICIONES NECESARIAS
PERO NO SUFICIENTES
EQUILIBRIO ELÁSTICO: equilibrio entre las
fuerzas exteriores y las internas en las
infinitas secciones
Se estudian secciones que
deben soportar mayor esfuerzo
2.4. Condiciones de equilibrio
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2.5. Enlaces y reacciones
- SÓLIDOS RÍGIDOS: unidos al suelo o a otros sólidos
(ligaduras, enlaces o vínculos)
- LIGADURAS, ENLACES O VÍNCULOS: fuerzas de reacción
GRADOS DE LIBERTAD:
- número de magnitudes independientes que determinan posición
- número de movimientos independientes
CLASIFICACIÓN DE LIGADURAS, ENLACES O VÍNCULOS:
SIMPLES, DOBLES, TRIPLES.....: número de grados de libertad
que hacen desaparecer
2.5. Enlaces y reacciones
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SISTEMA PLANO:
3 GRADOS DE LIBERTAD:
- dos traslaciones: eje X e Y
- rotación eje Z
1) APOYO MÓVIL:
- enlace simple
2) APOYO FIJO O ARTICULACIÓN:
- enlace doble
- impide traslación según eje Y
- impide traslación según eje X e Y
- RA = Y A
- RA= (XA, YA)
2.5. Enlaces y reacciones
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SISTEMA PLANO:
3 GRADOS DE LIBERTAD:
- dos traslaciones: eje X e Y
- rotación eje Z
3) EMPOTRAMIENTO O NUDO RÍGIDO:
- enlace triple
- impide traslación según ejes X e Y y giro
- R (T, N), M
2.5. Enlaces y reacciones
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