problemas Sears - Zemansky

CAPITULO 1 COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES
Problema 1.2 SEARS – ZEMANSKY
Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 kg. que forma un ángulo de 300 con
la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical.
F
FX
300
300
FY
FX = F cos 30
FX = 20 cos 30
F
FX = 17,32 Kg.
FY = F sen 30
FY = 20 * (0,5)
FY = 10 Kg.
CAPITULO 1 COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES
Problema 1.3 SEARS – ZEMANSKY
Un bloque es elevado por un plano inclinado 200 mediante una fuerza F que forma un ángulo
de 300 con el plano.
a) Que fuerza F es necesaria para que la componente FX paralela al plano sea de 8 Kg.
b) Cuanto valdrá entonces la componente FY
FX
300
200
0
30
FY
FX = 8 Kg
FX = F cos 30
8 = F cos 30
8 = F 0,866
F = 9,23 Kg.
FY = F sen 30
FY = 9,23 * (0,5)
FY = 4,61 Kg.
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
Problema 2.3 SEARS – ZEMANSKY
Dos pesos de 10 kg están suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea
ligera sin rozamiento. La polea esta sujeta a una cadena que cuelga del techo.
a) Cual es la tensión de la cuerda?
b) Cual es la tensión de la cadena?
1
T3
T1
T2
10 Kg
10 Kg
T3 = tensión de la cuerda
T1 = 10 Kg.
T2 = 10 kg.
Σ FY = 0
T 1 + T2 - T3 = 0
T 1 + T 2 = T3
T3 = 10 kg. + 10 kg.
T3 = 20 kg.
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
2.4 SEARS – ZEMANSKY
El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3
Si θ2 = θ3 = 60
A
C
60 0
60 0
T1
T1Y
T2
60 0
T2
T1
T1X
T 2Y
60 0
T2X
W
B
W = 50 kg
T1Y = T1 . sen 60
T2Y = T2. sen 60
T2X = T2 . cos 60
T1X = T1 . cos 60
Σ FX = 0
T2X - T1X = 0 (Ecuación 1)
T2X = T1X
T2 . cos 60
T2 = T1
= T1 . cos 60
Σ FY = 0
T1Y + T2Y – W = 0 (Ecuación 2)
2
T1Y + T2Y = W pero: W = 50 kg.
T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
T1 . sen 60
+ T2. sen 60 = 50
T1 . sen 60 + (T1). sen 60 = 50
2T1 . sen 60 = 50
T1 =
50
50
=
2 sen 60 1,732
T1 = 28,86 Kg.
T2
T2
= T1
= 28,86 Kg.
C) El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3
θ2 = 60 0
T 2Y
T3
T2
θ3 = 00
T2
600
T 2X
T3
W = 50 kg
W = 50 kg
T2Y = T2. sen 60 T2X = T2 . cos 60
Σ FX = 0
T2X - T3 = 0
T2X = T3
T2 . cos 60 = T3 (Ecuación 1)
Σ FY = 0
T2Y – W = 0 (Ecuación 2)
T2Y = W pero: W = 50 kg.
T2 . sen 60 = 50 (Ecuación 2)
T2 =
50
= 57,73 kg.
sen 60
T2 = 57,73 Kg.
Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1
T2 . cos 60 = T3
(57,73) . cos 60 = T3
T3 = (57,73) * 0,5
T3 = 28,86 Kg.
3
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
SEARS – ZEMANSKY
Problema 2-5 Calcular la tensión en cada cuerda de la figura 2-14 si el peso del cuerpo
suspendido es 200 Kg.
A
C
300
450
TB
TA
Caso a
TA TAY
0
30
T BY
450
TAX
W = 200 kg
TB
TBX
W = 200 kg
Caso a)
Llamando a las tensiones de las cuerdas A, B, C como Ta , Tb , Tc respectivamente tenemos
Figura 2.14
∑ FX = 0
TBX – TAX = 0
∑ FY = 0
TAY + TBY – W = 0
Pero: TBX = TB cos45
TAX = TA cos 30
Pero: TBY = TB sen 45
TAX = TA sen 30
B
B
∑ FX = - TA cos 30 + TB cos 45 = 0
∑ FY = Ta sen 30 + Tb sen 45 – W = 0
- 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1)
0,5 TA + 0,707 TB = 200
B
B
B
(Ecuac 2)
- 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1)
0,707 TB = 0,866 TA
B
B
TB = 0,866 TA / 0,707
B
TB = 1,25 TA
B
Reemplazando en la ecuac 2
0,5 TA + 0,707 TB = 200
B
(Ecuac 2)
0,5 TA + 0,707 (1,25 TA ) = 200
0,5 TA + 0,8837 TA = 200
1,366 TA = 200
TA = 200 / 1,366
TA = 146,41 Kg.
TB = 1,25 TA
B
4
TB = 1,25 * (146,41)
TB = 183,01 Kg.
B
B
450
Caso b
TB
T BY
TA
TB
TA
TC
450
TBX
TC
W = 200 kg
W = 200 kg
Caso b)
∑ FX = 0
TBX – TA = 0
Pero: TBX = TB cos 45
∑ FY = 0
TBY - W = 0
Pero: TBY = TB sen 45
∑ FX = TB cos 45 - TA = 0
∑ FY = TB sen 45 – W = 0
B
B
B
0,707 TB = TA
B
B
(Ecuac 1)
0,707 TB = 200
B
(Ecuac 2)
0,707 TB = 200 (Ecuac 2)
TB = 200 / 0,707
TB = 283 Kg.
B
B
B
Reemplazando en la ecuac 1
0,707 TB = TA
B
Ecuac 1
0,707 * (283 Kg.) = TB
200 Kg. = TB
Caso c)
450
Caso c
TB
300
TA
TB
T BY
300
TAY
W = 200 kg
450
TAX
300
TA
TBX
W = 200 kg
5
∑ FY = 0
TAY + TBY – W = 0
∑ FX = 0
TBX – TA = 0
Pero: TBX = TB cos 45
TAX = TA cos 30
Pero: TBY = TB sen 45
TAY = TA sen 30
∑ FX = TB cos 45 - TA = 0
∑ FY = TB sen 45 –TA sen 30 – W = 0
∑ FX = TB cos 45 - TA cos 30 = 0
0,707 TB - 0,5 TA = 200
B
B
B
B
B
B
0,707 TB = TA 0,866
(Ecuac 2)
(Ecuac 1)
B
Nótese que tomamos 300 ya que este es el ángulo que TA forma con el eje de las x.
Reemplazando ecuac 1 en ecuac 2
0,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2)
B
(TA 0,866) - 0,5 TA = 200
0,366 TA = 200
TA = 200 / 0,366
TA = 546,45 Kg.
Pero:
0,707 TB = TA 0,866
B
TB = TA 0,866 / 0,707
B
TB = (546,45 ) * 0,866 / 0,707
B
TB = 669,34 Kg.
B
Caso d)
370
370
TB
A
530
Caso d
TA
530
TC
C
TC
TB
0
53
TC
TAY TA
0
37
0
53
TAX
TCY
M
TCY
0
53
TCX
TC
TCY
0
53
TCX
W
TCX
W
FIGURA 2.8
FIGURA 2.9
6
Como el sistema se halla en equilibrio. Aplicando las condiciones de equilibrio a cualquier
punto, ene este caso el nudo o entre C y A tenemos:
De la figura 2.8
∑ FX = 0
TAX – TB – TCX = 0
∑ FY = 0
TAY – TCY = 0
Pero: TAX = TA cos 37
TCX = TA cos 53
Pero: TAY = TA sen 37
TCY = Tc sen 53
B
∑ FX = TAX cos 37 – TB – TCX cos 53 = 0
B
Ecuac 1
∑ FY = TA sen 37 – TC sen 53 = 0
TA sen 37 = TC sen 53
(Ecuac 2)
De la figura 2.9 tenemos:
∑ FX = 0
TCX - TCX = 0
∑ FX = Tc cos 53 – Tc cos 53 = 0
∑ FY = 0
TCY + TCY – W = 0
Pero: TCY = TC sen 53
∑ FY = TC sen 53 + TC sen 53 – W = 0
∑ FY = 2 TC sen 53 – W = 0
(Ecuac 3)
De la ecuac 3 tenemos:
2 TC sen 53 – W = 0
2 TC sen 53
= 200
2 TC (0,799)
= 200
TC 1,598
Ecuac 3
= 200
TC = 200 / 1,598
TC = 125 Kg.
Reemplazando en la ecuac 2
TA sen 37 – TC sen 53 = 0
Pero:
TC = 125 Kg.
TA sen 37 = TC sen 53
TA sen 37 = (125) * sen 53
TA sen 37 = (125) * 0,799
TA sen 37 = 99,875
TA = 99,875 / sen 37
TA = 99,875
/ 0,602
7
TA = 165,88 Kg.
Reemplazando en la ecuac 1
TA cos 37 – TB – TC cos 53 = 0
B
TA cos 37– TC cos 53 = TB
B
Pero:
TC = 125 Kg.
TA = 165,88 Kg.
TB = 165,88 * cos 37 – 125 cos 53
B
TB = 165,88 * 0,8 – 125 * 0,602
B
TB = 57,29 Kg.
B
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
SEARS - ZEMANSKY
Problema 2.6 Calcular la tensión del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el
puntal por el pivote, en los dispositivos esquematizados en la figura 2-15, siendo en todos los
casos 1000 Kg. el peso del objeto suspendido. Despréciese el peso del puntal ?
Caso a
T
T
TCY
0
30
TCX
C
C
W
W
Caso a
Sea W = 1000 kg el peso suspendido. T la tensión del cable y C la fuerza del pivote. Las
condiciones del equilibrio de los sistemas exige para cada punto.
Condición que la tomaremos en la unión del puntal con la cuerda.
∑ FX = 0
pero: TCX = T cos 30
∑ FY = 0
pero: TCY = T sen 30
∑ FX = C - TCX = 0
∑ FX = C - T cos 30 = 0
∑ FY = TCY – W = 0
∑ FY = T sen 30 – W = 0
C = T cos 30
(Ecuac 1)
T sen 30 = W
T = 1000 / 0,5
Ecuac 2
T sen 30 = W
(Ecuac 2)
8
T = 2000 KG.
Reemplazando
C = T cos 30
(Ecuac 1)
C = (2000) * cos 30 = 2000 * 0’866
C = 1,732 KG.
T300
CY
T
Caso b
C
300
Cx
C
W
300
W
Caso b )
∑ FX = 0
pero: CX = C cos 30
∑ FY = 0
pero: CY = C sen 30
∑ FX = CX - T = 0
∑ FX = C cos 30 - T = 0
∑ FY = CY – W = 0
∑ FY = C sen 30 – W = 0
T = C cos 30
(Ecuac 1)
C sen 30 = W
(Ecuac 2)
C sen 30 = W
(Ecuac 2)
C = W / sen 30 = 1000 / 0,5
C = 2000 KG.
Reemplazando
T = C cos 30
T = 2000 * 0,866
T = 1732 kg.
Caso C)
∑ FX = 0
∑ FY = 0
∑ FX = C cos 30 - T cos 45 = 0
∑ FY = C sen 30 + T sen 45 - W = 0
T cos 45 = C cos 30
Ecuac 1
T 0,707 = C 0,866
Ecuac 1
C sen 30 + T sen 45 - W = 0
Ecuac 2
T 0,707 = W - C 0,5
Ecuac 2
9
T
TY
450
CY
0
45
C
300
TX
T
CX
W
Caso C
C
W
300
Igualando las ecuaciones
T 0,707 = C 0,866
Ecuac 1
T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2
C 0,866
C 0,866
C 0,866
1,366 C
= W - C 0,5
= 1000 - C 0,5
+ C 0,5
= 1000
= 1000
C = 1000 / 1,366
C = 732,7 Kg
Reemplazando
T 0,707 = C 0,866
Ecuac 1
T 0,707 = (732,7) * 0,866
Ecuac 1
T = (732,7) * 0,866 / 0,707
T = 896,7 Kg.
Caso d)
T
C
CY
0
W
C
300
0
45
45
TX
300
T
CX
TY
30
0
W
10
∑ FX = 0
Pero: CX = C cos 45
TX = T cos 30
∑ FY = 0
Pero: CY = C sen 45
TY = T sen 30
∑ FX = CX - TX = 0
∑ FX = C cos 45 - T cos 30 = 0
∑ FY = CY
∑ FY = C sen 45 – T sen 30 - W = 0
T cos 30 = C cos 45
T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1)
Igualando las ecuaciones
T 0,866 = C 0,707
C 0,707 = W + T 0,5
– TY - W = 0
C 0,707 = W + T 0,5
(Ecuac 2)
(Ecuac 1)
(Ecuac 2)
T 0,866 = W + T 0,5
T 0,866 - T 0,5
=W
T 0,366 = 1000
T = 1000 / 0,366
T = 2720 kg.
Reemplazando en la ecuac 1
C 0,707 = T 0,866
C 0,707 = 2720 * 0,866
C = 2720 * 0,866 / 0,707
C = 3340 KG
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
Problema 2.8 SEARS – ZEMANSKY
Una viga horizontal de 8 dm de larga se encuentra empotrada en una pared vertical por uno de
sus extremos.
En el otro extremo hay suspendido un peso de 500 kg.
La viga esta sostenida en su extremo libre por un cable tenso, sujeto a un punto de la pared
situado en la misma vertical que el extremo empotrado de la barra.
a) Si la tensión en este cable no puede exceder de 1000 kg. ¿Cuál sera la altura minima
por encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared.
b) En cuantos Kg aumentaría la tensión del cable si se sujetase 1 dm por debajo de dicho
punto, permaneciendo la viga horizontal? (Despreciar el peso de la viga).
T
TY
h
θ
T = 1000 kg
TX
P = 500 kg
X = 80 cm
P = 500 kg
11
Σ FY = 0
TY – W = 0 (Ecuación 1)
TY = W pero: W = 500 kg.
TY = 500
TY = T sen θ
Pero T = 1000 Kg.
Reemplazando en la ecuacion1
TY = T sen θ
500 = (1000) * sen θ
sen θ =
500
= 0,5
1000
sen θ = 0,5
θ = arc sen 0,5
θ = 300
h
h
=
X 80
h
tg 30 =
80
tg θ =
h = 80 * tg 30
h = 46,18 cm
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
Problema 2.9 SEARS – ZEMANSKY
Uno de los extremos de una cuerda de 15 m de longitud esta sujeto a un automóvil. El otro
extremo esta atado a un árbol. Un hombre ejerce una fuerza de 50 kg en el punto medio de la
cuerda, desplazándola lateralmente 60cm.
Cual es la fuerza ejercida sobre el automóvil?
D = 15 metros
X = 7.5 metros
X = 7.5 metros
T1X
T1
sen θ =
θ
Y 0,6
=
= 0,08
X 7,5
T1Y
T2Y
θ
T2X
Y = 60 cm
F = 50 Kg
sen θ = 0,08
Σ FX = 0
T2X -T1X = 0
T2X = T1X
Pero T1X = T1 cos θ T2X = T2 cos θ
T1 cos θ = T2 cos θ (Ecuación 1)
12
T 1 = T2
Σ FY = 0
T 2y + T1y - F = 0 (Ecuación 1)
T 2Y + T1Y = F pero: F = 50 kg.
T 2Y + T1Y = 50
T 2Y = T2 sen θ
T 1Y = T1 sen θ
T 2Y + T1Y = 50
T2 sen θ + T1 sen θ = 50 (Reemplazando Ecuación 1)
T 1 = T2
T2 sen θ + (T2 ) sen θ = 50
2T2 sen θ = 50
T2 =
50
50
50
=
=
= 312,5 Kg.
2 sen θ 2 * 0,08 0,16
T2 = 312,5 Kg
T1 = T2 = 312,5 Kg
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
SEARS – ZEMANSKY
Problema 2.10 Calcular el máximo peso W que puede soportar la estructura de la figura, si la
máxima tensión que la cuerda superior puede resistir es de 1000 Kg. y la máxima compresión que
puede soportar el puntal es de 2000 kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir
cualquier carga.
T = 1000 kg
0
30
T = 1000 kg
450
TY
0
TX
W
CY
450
30
C
C
CX
W
CX = C . cos 45
CY = C . sen 45
TX = T . cos 30
TY = T . sen 30
Σ FX = 0
CX – TX = 0 (Ecuación 1)
CX = TX
C . cos 45 = T . cos 30
13
C. 0,707 = (1000) . 0,866
C. 0,707 = 866
C=
866
= 1224,89 Kg.
0,707
Σ FY = 0
CY + TY – W = 0 (Ecuación 2)
CY + TY = W
C . sen 45 + T . sen 30 = W
(1224,89) * 0,707 + (1000) * 0,5 = W
865,99 + 500 = W
W = 1365,99 Kg.
CONCLUSION: Notese que aisladamente la cuerda no puede resistir un peso superior a 1000 kg.
Pero al formar la estructura podemos superar la tensión máxima. Esto se debe a que en la estructura
es el conjunto el que se distribuye el peso a resistir y no la cuerda aisladamente.
CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY
Problema 2.11 El bloque A pesa 100 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la
superficie sobre la cual reposa es 0,3. El peso W es de 20 kg. y el sistema esta en equilibrio.
Calcular la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A.
WA
N
T2
FR
T1
T2
450
W2
N
FR
T2
T1Y
T2
WA
WA
T1
450
T1X
W2
W2
BLOQUE WA = 100 Kg.
Σ FX = 0
T2 – FR = 0 (Ecuación 1)
T 2 = FR
Σ FY = 0
N – WA = 0 (Ecuación 2)
N = WA Pero: WA = 100 Kg.
N = 100 Kg.
Pero: μ = 0,3
FR = μ * N (Ecuación 3)
FR = (0,3) * 100
FR = 30 Kg.
Pero: T2 = FR
T2 = 30 Kg.
14
BLOQUE W2
Σ FX = 0
T1X – T2 = 0
T1X = T2 (Ecuación 4)
Pero: T2 = 30 Kg.
T1X = 30 Kg.
T1X = T1 cos 45
T1 =
T1X
30
=
= 42,426 Kg
cos 45 0,707
T1 = 42,426 Kg.
Σ FY = 0
T1Y – W2 = 0
T1Y = W2 (Ecuación 5)
Pero T1Y = T1 sen 45
T1Y = W2 = T1 sen 45
W2 = T1 sen 45
W2 = (42,426) sen 45
W2 = 30 kg.
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
SEARS – ZEMANSKY
Problema 2.12 Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10
kg. que actúa formando un ángulo de 300 por encima de la horizontal. El coeficiente cinético de
rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,5.
Cual es el peso del bloque. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque.
N
N
F
0
30
FR
W
F = 10 Kg
F
300
FY
FX
W
BLOQUE W = 100 Kg.
Σ FX = 0
FR - FX = 0 (Ecuación 1)
F R = FX
Pero: FX = F cos 30
FX = 10 . 0,866
FX = 8,66 kg.
Pero FR = FX 8,66 Kg.
FR = μ N (Ecuación 2)
FR = 0,5 N = 8,66 Kg
F
8,66
N= R =
= 17,32 Kg.
0,5 0,5
N = 17,32 KG.
15
Σ FY = 0
N + FY – W = 0 (Ecuación 3)
Pero: FY = F sen 30
FY = (10) 0,5
FY = 5 Kg.
Reemplazando en la ecuación 3
N + FY – W = 0
Pero: FY = 5 Kg. N = 17,32 KG.
W = N + FY
W = 17,32 + 5 = 22,32 Kg.
W = 22,32 Kg.
CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY
Problema 2.13 Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro
bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente
cinético de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de θ se moverá el
sistema a velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque.
P1 = m1 * g
P1 = 14 kg
Bloque m1
T
N1
T
T
T
FR
Bloque m2
FR
P1X
P1Y
θ
0
P2 = m2 * g
P2 = 10 kg
θ
0
Bloque P1 = 14 Kg.
Σ FX = 0
T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
P2 = m2 * g
P2 = 10 kg
P1 = m1 * g
P1 = 14 kg
Pero: P1X = P1 sen θ
P1X = 14 sen θ
Pero: P1Y = P1 cos θ
P1Y = 14 cos θ
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 14 cos θ
FR = μ * N1 (Ecuación 3)
FR = 1/7 * (14 cos θ)
FR = 2 cos θ
16
Bloque m2
Σ FY = 0
P2 – T = 0 (Ecuación 4)
P2 = T Pero: P2 = 10 kg
T = P2 = 10 kg
Reemplazando en la ecuación 1
T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0
pero : sen2 θ + cos2 θ = 1
1/ 2
cosθ = 1 - sen 2θ = ⎛⎜1 - sen 2 θ ⎞⎟
⎠
⎝
Reemplazando
10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0
10 – 14 senθ - 2 (1-sen2 θ)1/2 = 0
5–
5–
7 senθ - (1-sen2 θ)1/2 = 0
7 senθ = (1-sen2 θ)1/2
Elevando al cuadrado en ambos lados
1/ 2 ⎤
⎡
[5 − 7 senθ ]2 = ⎢⎛⎜1 - sen 2 θ ⎞⎟ ⎥
⎠
⎝
⎦⎥
⎣⎢
2
25 – 70 senθ + 49 sen2 θ = 1 – sen2 θ
49 sen2 θ + sen2 θ – 70 senθ + 25 – 1 = 0
50 sen2 θ – 70 sen θ + 24 = 0
Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado.
sen θ =
- (- 70) ±
( - 70) 2 - 4 (50) 24
2 (50)
=
70 ± 4900 - 4800
100
sen θ =
70 ± 100
70 ± 10
=
100
100
sen θ1 =
70 + 10 80
=
= 0,8
100
100
θ1 = arc sen 0,8
θ1 = 53,130
sen θ 2 =
70 − 10 60
=
= 0,6
100
100
θ2 = arc sen 0,6
θ2 = 36,860
θ1 = 53,130 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha.
θ2 = 36,860 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda.
17
CAPITULO 2 EQUILIBRIO
SEARS – ZEMANSKY
Problema 2.14 Un bloque que pesa 100 kg esta colocado sobre un plano inclinado de 300 y
conectado a un segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña
polea sin rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3.
a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad
constante.
b) Hallese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante.
c) Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo?
Bloque P1
P1 = 100 kg
Bloque W
T
N1
T
T
T
FR
FR
P1X
300
W= ?
P1Y
0
30
W = m2 * g
W= ?
P1 = m1 * g
P1 = 100 kg
Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad
constante.
Bloque P1 = 100 Kg.
Σ FX = 0
T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = P1 sen 30
P1X = 100 * (0,5)
P1X = 50 kg.
Pero: P1Y = P1 cos 30
P1Y = 100 * 0,866
P1Y = 86,6 Kg.
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 86,6 Kg.
FR = μC * N1 (Ecuación 3)
μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento)
FR = 0,3 * (86,6)
FR = 25,98 Kg.
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg.
T = P1X + FR = 0
18
T = 50 + 25,98
T = 75,98 Kg.
BLOQUE W
Σ FY = 0 (por que se desplaza a velocidad constante)
T–W=0
T = W (Ecuación 4)
Pero T = 75,98 Kg.
W = 75,98 Kg.
Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante.
P1 = 100 kg
Bloque P1
T
FR
N1
T
T
FR
P1X
W= ?
Bloque W
P1Y
0
30
W = m2 * g
W= ?
300
Bloque P1 = 100 Kg.
Σ FX = 0
T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1)
T
P1 = m1 * g
P1 = 100 kg
Pero: P1X = P1 sen 30
P1X = 100 * (0,5)
P1X = 50 kg.
Pero: P1Y = P1 cos 30
P1Y = 100 * 0,866
P1Y = 86,6 Kg.
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 86,6 Kg.
FR = μC * N1 (Ecuación 3)
μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento)
FR = 0,3 * (86,6)
FR = 25,98 Kg.
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = 50 kg.
FR = 25,98 Kg.
T = P1X - FR = 0
19
T = 50 - 25,98
T = 24 Kg.
BLOQUE W(por que se desplaza a velocidad constante)
Σ FY = 0
T–W=0
T = W (Ecuación 4)
Pero T = 24 Kg.
W = 24 Kg.
Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo?
SI NO SE MUEVE EL CUERPO HACIA ARRIBA, la fuerza de rozamiento actúa hacia la
izquierda
Bloque P1 = 100 Kg.
Σ FX = 0
T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1)
Pero:
P1X = P1 sen 30
P1X = 100 * (0,5)
P1X = 50 kg.
Pero: P1Y = P1 cos 30
P1Y = 100 * 0,866
P1Y = 86,6 Kg.
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 86,6 Kg.
FR = μC * N1 (Ecuación 3)
μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento)
FR = 0,4 * (86,6)
FR = 34,64 Kg.
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg.
T = P1X + FR = 0
T = 50 + 34,64
T = 84,64 Kg.
BLOQUE W
Σ FY = 0
T–W=0
T = W (Ecuación 4)
Pero T = 84,64 Kg.
W = 84,64 Kg.
SI NO SE MUEVE EL CUERPO HACIA ABAJO, la fuerza de rozamiento actúa hacia la
derecha.
20
Bloque P1 = 100 Kg.
Σ FX = 0
T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = P1 sen 30
P1X = 100 * (0,5)
P1X = 50 kg.
Pero: P1Y = P1 cos 30
P1Y = 100 * 0,866
P1Y = 86,6 Kg.
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0
(Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 86,6 Kg.
FR = μC * N1 (Ecuación 3)
μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento)
FR = 0,4 * (86,6)
FR = 34,64 Kg.
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = 50 kg.
T = P1X - FR = 0
FR = 25,98 Kg.
T = 50 - 34,64
T = 15,36 Kg.
BLOQUE W
Σ FY = 0
T–W=0
T = W (Ecuación 4)
Pero T = 15,36 Kg.
W = 15,36 Kg.
Capitulo 2 Equilibrio Sears - Zemansky
Problema 2 – 17 Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura 2-21 y unidos por
una cuerda al bloque C. El bloque A = B = 20 Newton. y el coeficiente cinético de rozamiento
entre cada bloque y la superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante.
a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A
y B.
b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B
c) Cual es el peso del bloque C?
21
T2
Bloque B
T2
Bloque A
T1
Bloque C
FR2
T1
370
FR1
Bloque B
Bloque A
Bloque C
N2
N1
T2
FR2
T1
FR1
WA
T2
T1
WBX
370
WBY
WC
WB
Bloque A
∑ FX = 0 Por que se desplaza a velocidad constante, luego la aceleración es cero.
T1 – FR1 = 0 (Ecuación 1)
T1 = FR1
∑ FY = 0
WA – N1 = 0
WA = N1
WA = N1 = 20 Newton
Pero: FR1 = μ N1
FR1 = μ 20 = 0,5 * 20
FR1 = 10 Newton
T1 = FR1
T1 = 10 Newton
Bloque B
Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero.
∑ FX = 0
T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2)
Pero:
WBX = WB sen 37
B
22
WBX = 20 sen 37 = 12,036 Newton
WBX = 12,036 Newton
T1 = 10 Newton
∑ FY = 0
WBY – N2 = 0
WBY = N2 = WB cos 37 = 20 cos 37
WBY = N2 = 15,972 Newton
B
Pero: FR2 = μ N2
FR2 = μ 20 = 0,5 * 15,972
FR2 = 7,986 Newton
Reemplazando en la ecuación 2, hallamos la tensión T2
T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2)
T2 = WBX + T1 + FR2
T2 = 12,036 + 10 + 7,986
T2 = 30 Newton
Bloque C
Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero.
∑ FY = 0
W C – T2 = 0
WC = T2 = 30 Newton
WC = 30 Newton
Capitulo 2 Equilibrio Sears - Zemansky
Problema 2 – 18 una cadena flexible de peso W cuelga entre dos ganchos situados a la misma
altura, como indica la figura 2-22. En cada extremo la cadena forma un ángulo θ con la
horizontal
a) Cual es el valor y dirección de la fuerza ejercida por la cadena sobre el gancho de la
izquierda?
b) Cual es la tensión de la cadena en el punto mas bajo?
θ
θ
F
FY
F
θ
W
∑ FX = 0
FX – FX = 0
∑ FY = 0
W – FY – F Y = 0
W – 2FY = 0
W = 2FY
FY
θ
FX
FX
W
Pero:
FY = F sen θ
W = 2FY = 2(F sen θ)
W = 2 F sen θ
23
F =
W
2 sen θ
F
FY
θ
T
θ
FX
T
w/2
w/2
∑ FX = 0
T - FX = 0
T = FX
Pero:
FX = F cos θ
T = FX = F cos θ
T = F cos θ
Pero:
F =
W
2 sen θ
Reemplazando
T = F cos θ
⎛ W ⎞
T =⎜
⎟ cos θ
⎝ 2 sen θ ⎠
⎛ W ⎞ cos θ
T=⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ sen θ
⎛W⎞
T = ⎜ ⎟ ctg θ
⎝2 ⎠
Problema de Sears – Zemansky
Un bloque de 8 kg y otro de 16 kg están suspendidos en los extremos opuestos de una
cuerda que pasa por una polea. Calcular:
a) La aceleración del sistema?
b) La tensión de la cuerda
c) La tensión de la cuerda que sostiene la polea. Desprecie el peso de esta.
T1
T
T
T
m1
T
W1 = m1 g
W2 = m2 g
m2
24
∑ FY = m1 a
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
∑ FY = m2 a
m2 g - T = m2 a (Ecuación 2)
Sumando las ecuaciones
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
m2 g - T = m2 a (Ecuación 2)
m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a
m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a
16 * 9,8 – 8 * 9,8 = (8 + 16) a
156,8 – 78,4 = 24 a
78,4 = 24 a
a = 3,266 m/seg2
Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
T = m1 a + m1 g
T = 8 * 3,266 + 8 * 9,8
T = 26,128 + 78,4
T = 104,528 Newton
T1 = 2 T = 2 * 104,528
T1 = 209,056 Newton.
25