UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario en Tecnologías y Sistemas de Comunicación AÑO 2011/2012 SIMULADOR ELECTROMAGNETICO BASADO EN FDTD AUTOR: José Manuel Inclán Alonso TUTOR: Manuel Sierra Pérez TRABAJO FIN DE MÁSTER TÍTULO: “Simulador electromagnético basado en FDTD” AUTOR: José Manuel Inclán Alonso TUTOR: Manuel Sierra Pérez UNIVERSIDAD: Universidad Politécnica de Madrid DEPARTAMENTO: Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones GRUPO: Grupo de Radiación MIEMBROS DEL TRIBUNAL: PRESIDENTE: Pr. Dr. Manuel Sierra Pérez VOCAL: Pr. Dr. Juan Enrique Page de la Vega SECRETARIO: Pr. Dr. Belén Galocha Iragüen SUPLENTE: Pr. Dr. Mariano Barba Gea FECHA DE LECTURA: CALIFICACIÓN: 2 1 Indice 1. Introducción .................................................................................................................. 6 2. Conceptos del FDTD ...................................................................................................... 7 2.1. Algoritmo de Yee ................................................................................................... 7 2.2. Dispersión y estabilidad ........................................................................................ 8 2.3. Forma de mallar .................................................................................................... 9 2.4. Condiciones open space ...................................................................................... 12 2.4.1. Condiciones ABC.......................................................................................... 13 2.4.2. PML (Perfect Matching Layer) ..................................................................... 14 2.5. 2.5.1. Fuentes ........................................................................................................ 19 2.5.2. Puertos discretos ......................................................................................... 20 2.6. 4. Puertos en guía.................................................................................................... 22 2.6.1. Onda plana .................................................................................................. 22 2.6.2. Bootstraping ................................................................................................ 23 2.6.3. Scattered Field – Total Field ........................................................................ 24 2.7. 3. Inserción señal..................................................................................................... 18 Diagrama de radiación ........................................................................................ 25 Ejemplo de simulación de un dipolo λ/2 ..................................................................... 28 3.1. Modelo del dipolo ............................................................................................... 28 3.2. Campo eléctrico total en el tiempo ..................................................................... 28 3.3. Campo magnético ............................................................................................... 30 3.4. Campo eléctrico .................................................................................................. 32 3.5. Señal incidente e impedancia vista ..................................................................... 34 3.6. Resistencia en función del mallado ..................................................................... 36 3.7. Comparación con software comercial................................................................. 38 3.8. Resonancia en función de la señal de entrada.................................................... 40 3.9. Campo lejano....................................................................................................... 40 Ejemplo antena de ranuras ......................................................................................... 42 4.1. Alimentación de la guía ....................................................................................... 42 4.1.1. Bootstraping ................................................................................................ 42 4.1.2. Scattered Field – Total Field ........................................................................ 44 4.1.3. Método simplificado de alimentación empleado ....................................... 45 4.2. Señales temporales obtenidas ............................................................................ 46 4.3. Parámetros S ....................................................................................................... 49 3 5 6 4.4. Señales cortes 2D ................................................................................................ 52 4.5. Campo radiado por la ranura .............................................................................. 55 4.6. Guía con 4 ranuras .............................................................................................. 58 4.7. Señales en los puertos......................................................................................... 58 4.8. Parámetros S guía ranurada ................................................................................ 59 4.9. Campos en 2D en la guía ranurada ..................................................................... 60 4.10. Diagramas radiación guía ranurada .................................................................... 61 4.11. Array con cuatro guías......................................................................................... 63 4.12. Cortes campos de cuatro guías ranuradas .......................................................... 64 4.13. Señales en los puertos para array de cuatro guías ............................................. 64 4.14. Parámetros S array de cuatro guías .................................................................... 65 4.15. Diagramas de radiación array 4x4 ....................................................................... 67 Acoplador en guía ....................................................................................................... 70 5.1 Simulación ........................................................................................................... 70 5.2 Señales temporales ............................................................................................. 71 5.3 Parámetros S ....................................................................................................... 72 5.4 Cortes 2D de señales ........................................................................................... 73 Esquema de simulación ............................................................................................... 75 6.1 Explicación de cada clase .................................................................................... 77 6.1.1 FDTD.java..................................................................................................... 77 6.1.2 PML.java ...................................................................................................... 77 6.1.3 Complex.java ............................................................................................... 77 6.1.4 Constants.java ............................................................................................. 77 6.1.5 FFT.java........................................................................................................ 77 6.1.6 NFTFF.java ................................................................................................... 78 6.1.7 NFTFF3.java ................................................................................................. 78 6.1.8 2DPlot.java .................................................................................................. 78 6.1.9 Record1D.java ............................................................................................. 78 6.1.10 Mesh.java .................................................................................................... 78 6.1.11 SParameters.java ......................................................................................... 79 6.1.12 Source.java .................................................................................................. 79 6.1.13 Launcer.java ................................................................................................ 79 6.1.14 LauncerIni.java ............................................................................................ 79 6.1.15 Optimizer.java ............................................................................................. 79 4 6.2 Líneas de código por clases ................................................................................. 79 7 Bibliografía .................................................................................................................. 81 5. Indice de figuras .......................................................................................................... 82 6. Indice de tablas ........................................................................................................... 85 5 1. Introducción El presenta trabajo fin de master tiene como objetivo el desarrollo de un simulador FDTD. El método FDTD fue propuesto por Yee y se basa en resolver las ecuaciones de Maxwell aproximando sus derivadas. El primer problema que presento el método es como establecer unas condiciones de contorno abiertas. En el TFM se han estudiado tanto condiciones de absorción analíticas (más sencillas) así como el PML de Berenguer. También es un método bastante problemático en la inserción de fuente y en la extracción de señales reflejadas, habiendo múltiples técnicas y maneras de resolver estos problemas relacionados con la inserción de fuente. En el trabajo TFM se comentan varias técnicas usadas en software comercial mostrando ejemplos propios y finalmente se establece una forma de inserción propia. Por último otro punto importante es el relacionado con la obtención del diagrama de radiación. En el caso del FDTD estaremos trabajando en el dominio temporal por lo que las asunciones que se hacen en el caso de estar en un régimen monocromático en frecuencia no son aplicables. Por ello hay que estudiar algoritmos eficientes que permitan obtener el campo lejano a partir del campo cercano en el dominio temporal. En un primer apartado se hará una introducción teórica explicando los conceptos sin entrar en mucho detalle en las ecuaciones, ya que para eso ya están las referencias, y poniendo siempre ejemplos de simulaciones sencillas donde se comprueben los fundamentos. A continuación se utilizará el método para hacer dos simulaciones de antenas, un dipolo y un slotted waveguide array. Las simulaciones van mejorando conforme se avanza en el TFM ya que se van corrigiendo errores y se van añadiendo nuevos elementos que mejoran el método. Finalmente se describirá el diagrama de clases utilizados y se expondrá la necesidad de utilizar lenguajes de programación compilados debido a la carga computacional. 6 2. Conceptos del FDTD 2.1. Algoritmo de Yee El algoritmo inicial de Yee se puede encontrar en (1). El algoritmo calcula el campo electromagnético en una serie de puntos y tiempos aproximando las derivadas espaciales y temporales en las leyes de Faraday y Ampère generalizas que se muestran a continuación. ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗⃗ ⃗ { ( ⃗) ⃗) Estas dos ecuaciones dan a su vez lugar a seis ecuaciones, una por cada componente. El quid del algoritmo se basa en la elección de la distribución espacial donde se calculan los campos como se muestra en la Figura 1 así como el entrelazado temporal entre el campo magnético y eléctrico. Figura 1 Algoritmo de Yee A partir de la distribución de campo de la Figura 1 se pueden calcular las derivadas como: ( ) ( ( ) ( ) ) Desarrollando las ecuaciones de Maxwell al final se comprueba como para calcular el campo eléctrico en cada punto solo es necesario el campo en ese punto en instantes anteriores así como las derivadas del campo magnético de las otras dos componentes. Otra cosa interesante que se muestra en las ecuaciones anteriores y que es fácilmente demostrable 7 mediante el desarrollo en serie de Taylor, es que el error cometido es del orden del cuadrado de la distancia entre campos. 2.2. Dispersión y estabilidad Uno de los primeros problemas que se detectó en el algoritmo es la estabilidad numérica. El algoritmo es estable o no en función de la discretización temporal que escojamos, todo ello está probado en (2). La clave fundamental es que el periodo de muestreo debe ser igual o inferior en teoría a la relación que se expresa abajo, en la práctica es conveniente que sea inferior debido al error numérico. √ Otro punto importante tratado en (2) es el tema de la dispersión. Uno de los problemas del FDTD es el hecho de que hay una diferencia entre la velocidad de fase real y la calculada. Esta diferencia está ligada a la relación entre la distancia espacial entre campos muestreados con la longitud de onda de la señal que hacemos incidir y al utilizado. Además esta velocidad de fase cambia ligeramente según la dirección de propagación de la onda. Es lo que se ha denominado anisotropía numérica, ya que dependiendo de la dirección de la onda incidente la malla se comportará de distinta forma. Un ejemplo sacado de (2) se muestra a continuación donde se ve la variación de la velocidad de fase en función de la incidencia y del mallado utilizado. Figura 2 Dispersión en función de incidencia y mallado Existe un valor exacto de denominado magic step para el cual la velocidad de fase real y la calculada son iguales. Sin embargo este valor solo dispersión nula cuando trabajamos en una 8 sola dimensión, ya que en 2D y 3D, el magic step solo hace que no tengamos dispersión numérica para propagación en diagonal (pero aun así es el valor que da la mínima dispersión). Taflove y otros autores recomiendan como solución de compromiso utilizar λ0/20 como mallado para evitar problemas de precisión asociados a la dispersión numérica. En la Figura 3 se muestra un pequeño ejemplo de simulación en 1D donde se hace incidir una señal sobre un conductor perfecto, por lo que vemos la señal incidente original y la reflejada un tiempo después. La línea azul utilizada el magic step y no tenemos nada de dispersión. Si cambiamos el periodo de muestreo temporal a la mitad pero manteniendo un mallado alto, vemos como se aprecia ligeramente que la señal está un poco más retardada (señal roja) pero manteniendo un error bajo. Si ahora reducimos el mallado (línea negra) vemos que los errores de dispersión aumentan más, estos errores no solo hacen que la señal se retarde si no que al propagarse cada componente de frecuencia a distinta velocidad también modifica la forma de onda, como se aprecia en la segunda réplica de la señal en negro (dura más en tiempo). 1 z=0/20 t= z/c 0.8 z=0/20 t=0.5· z/c z=0/5 t=0.5· z/c 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 5 10 15 20 25 ns Figura 3 Dispersión causada por mallado y discretización temporal Debido a los problemas de anisotropía causados por las diferentes velocidades de fase según la dirección de propagación se propusieron celdas hexagonales y dodecaedros en (3). Sin embargo, a pesar de sus mejores características en cuanto a dispersión se refiere, tienen el inconveniente de que es más difícil establecer un mallado real con ellas y de que la carga computacional resultante es mayor. 2.3. Forma de mallar La forma de mallar o mejor dicho la forma de definir cuerpos en el FDTD no es tan sencilla como pueda parecer en un principio. Dados que fundamentalmente trabajaremos con materiales con permeabilidad igual a uno, la información del material residirá en las 9 constantes de actualización del campo eléctrico así como la conductividad en caso de tratarse de materiales metálicos. Muchos autores proponen celdas como las de la Figura 4, estas celdas representan correctamente superficies metálicas, sin embargo tienen el problema de que no se comportan igual según por donde incida la onda. En la figura cada color representa una componente del campo eléctrico con el mismo material. Figura 4 Forma de mallar I Otra forma de mallar es la de la Figura 5, en este caso al ser la estructura completamente simétrica, la celda se comportará igual, independientemente de por dónde incida la onda. Figura 5 Forma de mallar II Otro dato interesante consiste en como mallar un metal. En la superficie de un PEC el campo eléctrico tangencial debe ser nulo. Por ello a la hora de mallar una superficie metálica hay que hacerlo de tal forma que el último campo no nulo sea normal a la superficie, dicho de otra forma los primeros campos que deben estar asignados a PEC deben ser los tangenciales como se muestra en la Figura 6. 10 Figura 6 Mallado de superficie PEC En la Figura 7 se muestran los campos para un modo TE10 en el caso de que las paredes PEC de la guía se han mallado mal, los primeros campos asignados al PEC son normales en vez de tangenciales. El modo TE10 solo debería tener componente en Z, se comprueba como existe componente en X e en Y debido al error en el mallado. Además también se comprueba como la distribución del modo principal (Ez) no es la ideal ya que el valor de campo es más alto en los extremos que en el centro. E Field At Time Step = 1000 E Field At Time Step = 1000 0.06 2 2 0.02 0.04 4 4 0.01 0 X 0.02 6 8 8 10 12 5 10 15 Y 20 0 X 6 -0.02 -0.01 10 -0.02 12 -0.04 -0.06 5 25 10 15 Y Ex 20 25 Ey E Field At Time Step = 1000 2 0.2 4 0.15 X 6 0.1 8 10 0.05 12 5 10 15 Y 20 25 0 Ez Figura 7 Campos TE10 mallando mal superficie PEC En la Figura 8 se muestra un modo TE10 de una guía rectangular en las que sus paredes han sido malladas correctamente. En este caso los valores de Ex y Ey son tres ordenes de magnitud inferiores al valor el capo principal. En este caso el modo TE10 (Ez) es mucho más uniforme y no existen las diferencias antes citadas. 11 -3 E Field At Time Step = 1000 2 6 0 6 8 -1 X 4 2 1 8 10 10 0 -2 5 10 15 Y 20 25 5 30 10 Ex 15 Y 20 25 30 Ey E Field At Time Step = 1000 0 2 -0.5 4 X X x 10 2 1 4 -3 E Field At Time Step = 1000 x 10 2 -1 6 8 -1.5 10 -2 5 10 15 Y 20 25 30 Ez Figura 8 Campos TE10 mallando bien superficie PEC 2.4. Condiciones open space Uno de los máximos retos que se planteó después de que Yee diera a conocer su algoritmo fue como establecer condiciones de contorno abiertas. Dado que para actualizar el valor de una celda necesitamos campo antes y después, el último punto de la simulación no tendrá campo después, por lo que no se puede actualizar y permanece con un valor fijo, lo que representa un plano eléctrico haciendo que cualquier onda que incida salga rebotada. Lo deseable sería disponer de mecanismos para que una onda se atenúe o se extinga dando la impresión de que se propaga hacia el espacio libre o que es absorbida por una supuesta carga que representa al puerto en guía. Para ello en primer lugar surgieron las condiciones analíticas ABC. Estas condiciones son muy sencillas de implementar ya que se basan en una corrección del campo en las fronteras. El problema que tienen es que son capaces de absorber solo un determinado tipo de ondas (polarización e incidencia determinadas), degradándose mucho el comportamiento fuera de lo prestablecido. Más tarde surgió el PML de Berenger que a diferencia de las condiciones analíticas es independiente de la polarización de la onda y es capaz de absorber ondas con cualquier incidencia (a excepción de ondas con incidencia paralelas). El PML consiste en añadir a la simulación unas celdas más en el extremo de tal forma que la señal se atenúe al incidir en ellas sin que se refleje nada de la señal en la interfase. La pega es que es mucho más complejo de implementar y tiene una carga computacional enorme, dándose el caso de que se tarda más en actualizar las regiones PML que en hacer la propia simulación dentro de la región del FDTD. 12 2.4.1. Condiciones ABC El operador analítico o ABC (Absorbing Boundary Conditions) más utilizado es el que desarrollo Mur en (4). Básicamente se fuerza la ecuación escalar de onda en los extremos de la simulación. Las derivadas se aproximan de una forma similar a lo que se haría con el FDTD, solo que en este caso las expresiones son más largas ya que tenemos derivadas dobles y derivadas en espacio y tiempo. El problema viene cuando discretizamos esa ecuación, la ecuación de onda como tal está en coordenadas esféricas, y nosotros para aproximar las derivadas en una superficie la transformamos a coordenadas cartesianas y suponemos intrínsecamente una incidencia quasinormal. Por ello estos operadores analíticos funcionan relativamente bien cuando la onda incide perpendicularmente y con una polarización determinada, mientras que su comportamiento se degrada bastante cuando estos supuestos no se cumplen. En la Figura 9 se muestra una pequeña simulación en 1D de una onda que incide en una frontera ABC de Mur. Vemos como a pesar de que tenemos una incidencia perfectamente ortogonal y con la polarización perfecta, tenemos algo de señal rebotada, aunque de un nivel mucho menor. 1 -4 4 x 10 0.8 3 0.6 0.4 2 0.2 1 0 0 -0.2 -1 -0.4 -0.6 -2 -0.8 -3 -1 0 20 40 60 80 100 z (a) 120 140 160 180 200 -4 0 20 40 60 80 100 z 120 140 160 180 200 (b) Figura 9 Señal incidente (a) y reflejada de una frontera ABC de Mur Por lo expuesto anteriormente estos operadores no se usan mucho para absorber ondas, aun cuando son mucho más simples y con mucha menos carga computacional que el PML ya que solo hay que hacer una corrección en la frontera. Sí que son utilizados en puertos en guía ya que en ese caso sí que podemos saber las características de la onda incidente y nos permite situar un puerto en mitad del espacio de simulación sin necesidad de utilizar PML en medio. 13 Para mejorar estos operadores existen multitud de publicaciones que proponen cosas nuevas, en la mayoría de los casos se basan en las elecciones de funciones W que resuelvan la ecuación de onda con una serie de suposiciones determinadas. Entre otras cabe destacar las basadas en aproximaciones de Taylor, Trefethen- Halpern, extrapolación de Liao y el operador de Ramahi. 2.4.2. PML (Perfect Matching Layer) El PML fue originalmente propuesto por Berenguer en (5). A partir del artículo original se han propuesto múltiples alternativas que en muchos casos no son más que revisiones del artículo original pero expresando el splitted-field de Berenguer con otra formulación y demostrando que al final se llegan a las mismas soluciones en el campo en el dominio temporal a las que llegó Berenguer. También se ha ido resolviendo una serie de problemas del PML original como la frecuencia de corte inferior, o el efecto de la discretización del espacio continuo que produce reflexiones. A la hora de implementar el PML resulta bastante conveniente ir siguiendo los desarrollos que se han ido haciendo sobre el PML a lo largo del tiempo para saber cómo se han ido resolviendo los problemas. De esta forma se podrá optimizar lo máximo posible las fronteras PML y será más fácil detectar problemas que aún persisten en el PML. La idea original de Berenguer es situar un material entre el lattice y la caja PEC que absorba o atenúe las señales incidentes. El problema es que para que las ondas incidentes se atenúen hay que dotar al material de una conductividad, pero si suponemos espacio libre en el interior del lattice una onda que se propagara por él e incidiera sobre un conductor real se reflejaría en su mayoría. Por ello además de una conductividad eléctrica hay que añadir una magnética. La idea innovadora que tuvo Berenguer fue dividir una componente del campo en dos en el caso de un modo TM en 2D, por lo que tendríamos Ex, Ey, Hzx y Hzy . Para poder hacer esto hay que tener en cuenta que el material dentro del PML tiene una conductividad σx que valdrá para Ey y una conductividad magnética σx* que multiplicará a Hzx, y viceversa con σy y σy*. Las ecuaciones 3ª y 4ª de Maxwell (Faraday y Ampere) es su forma dual para el caso de un modo TM en 2D dan lugar a las siguientes ecuaciones (igualando componentes): ( ) ( ) 14 En (5) se desarrollan estas ecuaciones para una interfase entre vacío y un región PML. Finalmente se llegan a unas expresiones para el campo transmitido e incidente a la región PML en función del coeficiente de reflexión, se despeja este coeficiente forzando la continuidad de campo en la interfase, se iguala a cero y con ello se sacan las siguientes conclusiones: La conductividad eléctrica y magnética en la dirección paralela a la interfase deben ser iguales a cero en el caso del vacío o un medio dieléctrico en el interior del lattice (debido a la continuidad del campo eléctrico). La relación entre conductividad eléctrica y magnética debe ser igual a la impedancia del medio del interior del lattice para una reflexión nula. El PML absorberá ondas independientemente de su polarización, atenuando por igual todas las componentes. La atenuación que sufre la onda depende del ángulo de incidencia, siendo máxima para incidencia normal y nula para incidencia paralela. El PML de Berenguer recibe el nombre de splitted-field en la bibliografía debido a la división de campo ficticia que hace en sus formulaciones. En el caso de 2D TM tenemos 4 componentes (1 más), pero en el caso general 3D (6) tenemos 12 componentes en lugar de 6 con sus consiguientes actualizaciones temporales por lo que no resulta muy eficiente computacionalmente. En Figura 10 se puede ver el modelo de las fronteras PML con las conductividades en cada región, dos componentes no nulas en las aristas y las tres componentes no nulas en los vértices. Figura 10: PML Bérenger en 3D (6) 15 Uno de los primeros problemas que se detectaron ya en (5) y (6), y que se trata más detenidamente en (7) es el efecto de la discretización. El PML funciona correctamente con las ecuaciones de Maxwell cuando tenemos un espacio continuo, pero en el lattice del FDTD tenemos el campo eléctrico muestreado en puntos distintos según la componente y en instantes distintos del campo magnético, por lo que se producirán reflexiones parciales en la frontera. Para mitigar este efecto Bérenger y otros autores proponen incrementar la conductividad gradualmente en el PML, empezando con un valor bajo y terminando en un valor máximo. Hay que buscar un compromiso entre una conductividad máxima elevada que haría que las ondas se atenuaran más en el PML pero hubiera más reflexión en la interfase inicial y una conductividad máxima baja que haría que no hubiera mucha reflexión en la interfase pero que causaría que la onda no se atenuase mucho y volviera rebotada de la frontera PEC final. Un ejemplo de función de degradado se muestra a continuación: ( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ) Otro de los efectos comentados en (2) y (7), es el efecto de la frecuencia de corte inferior. En las formulaciones que se utilizan en los artículos se ve que las expresiones tienen un polo a la frecuencia cero, por lo que si incide una onda a frecuencias bajas se reflejará casi en su totalidad. Este problema se resolverá con el Coarse-PML que se explicará más tarde. El PML propuesto por Bérenguer es un medio irreal y un tanto extraño, ya que dividir las componentes del campo en dos no resulta muy útil. Por ello varios autores intentaron establecer una formulación más parecida a las ecuaciones de Maxwell originales, entre ellos destaca el Stretched-coordinate formulation (8). Con este método se propone un mapping como se muestra a continuación. ̃ ( ) ∫ Con ello se define el operador nabla equivalente ̃ ̂ ̂ ̂ Y podemos reescribir las ecuaciones de Maxwell para el medio propuesto por Berenger en su forma habitual, como por ejemplo: ̆ ̃ ̆ De esta forma en el nuevo espacio transformado tenemos las mismas ecuaciones de Maxwell sin necesidad de dividir cada componente del campo. El problema está en que cuando trasladamos estas ecuaciones al dominio temporal aparecen convoluciones de los sx con campos. 16 El stretched coordinates y el splitted-field son ambos medios basados en modelos matemáticos que no se corresponden con algo real. Si existiera un material parecido sería un material anisótropo, y más concretamente un material uniaxial, es decir, un material que funcionara de igual manera cuando se gira sobre su normal (9). Por ello se definen tensores ̿ [ ][ ][ ] Sw tendrá un valor distinto de la unidad según las conductividades descritas en las fronteras PML, es decir en las esquinas tendremos las tres sw distintas de uno, mientras que en las aristas tendremos solo dos y en el resto de las regiones PML solo una distinta de uno. A partir de los tensores basta con aplicar las ecuaciones de Maxwell (Faraday y Ámpere) con el mapping propuesto anteriormente. ̿̆ ̿̆ ̆ ̆ Las variables sw deben ser constantes en la dirección transversal y además deben cumplir otra relación entre σ y ε debido a que con el maping que se ha establecido la ley de Gauss no es equivalente a la original lo que lleva a que aparezcan cargas en las fronteras PML si ε no es igual en la frontera. Por ello finalmente la expresión usada para las sw es: Donde la kappa y la sigma varían en la dirección longitudinal del PML. Si calculamos la expresión de la reflexión en la interfase en función de coeficientes sw y de la frecuencia vemos que existe una frecuencia de corte inferior a partir de la cual el PML no absorbe las ondas, este problema se agrava cuando hay superficies metálicas cercanas o cuando la incidencia de la onda no es normal. Por ello surge el CPML, la idea es modificar los coeficientes sw añadiendo un término real al denominador. Con ello lo que se consigue es quitar el polo de baja frecuencia de tal forma que a baja frecuencia la reflexión estará controlada por ax y a frecuencias superiores tendrá el funcionamiento normal. En (10) se propone una forma eficiente de calcular las convoluciones necesarias en el CPML para un medio arbitrario en general. 17 A modo de resumen se presentan los parámetros fundamentales del PML en la Tabla 1. ε m σmax Κmax amax ma Permitividad de las regiones PML, en caso de que una línea de transmisión penetre en la frontera debe ser igual a la épsilon efectiva del modo que se propague por la línea de transmisión. Orden del degradado para σ y κ (Normalmente 3). Conductividad máxima al final de la frontera PML Parte real de los sx, >=1 para absorber los modos evanescentes y los de baja frecuencia Parte real del denominados de los sx >=0, igual para kappa Parámetro de degradado de a Tabla 1 Parámetros del PML En la Figura 11 se presenta una comparación de dos simulaciones hechas para hallar la señal que vuelve al incidir una onda plana sobre un objeto. Aparte de que en (b) se aplica una técnica conocida como Scattered Field – Total Field que se explicará más adelante, se ve claramente, sobre todo en la componente Ex, como si no se usa PML la señal empieza a rebotar como si fuera una cámara reverberante y lo que tenemos en un conjunto de reflexiones que impiden ver el comportamiento que tendría de verdad el objeto. Ex en t =318 Ex en t =300 Ey en t =318 Ey en t =300 Hz en t =318 Hz en t =300 (a) (b) Figura 11 Scattering sin PML(a) y con PML(b) 2.5. Inserción señal Alimentar la estructura con FDTD puede parecer sencillo en un principio, sin embargo, surgen múltiples problemas. El primero de ellos es que tipo de variación o señal temporal utilizar y cómo afectará a los resultados una u otra señal. El segundo problema es cómo alimentar de tal forma que se sea capaz de distinguir entre señal original y señal reflejada. 18 Así mismo existen básicamente dos maneras de alimentar la simulación, la primera consiste en un puerto discreto, es decir, alimentaremos la simulación en un punto o a lo largo de una línea y la segunda es los llamados puertos en guía donde alimentaremos la simulación en una superficie. 2.5.1. Fuentes Normalmente la señal utilizada en las simulaciones FDTD es una campana de Gauss pulsada o sin pulsar, si no la pulsamos tendrá entonces componente continua. Normalmente los parámetros más importantes a la hora de elegir una u otra señal es la frecuencia del pulso, es decir la frecuencia del seno que multiplica a la campana de Gauss y la σ del pulso gaussiano. Cuanto más grande sea la σ más tiempo durará la señal y más suave será la variación de envolvente, en otras palabras, menos contenido espectral o más estrecha en frecuencia. Por el contrario si la σ es muy pequeña la campana de Gauss será más estrecha, menos tiempo ocupará la señal y más componentes espectrales habrá. Podemos pensar entonces que lo mejor es usar señales con una σ pequeña, pero en muchas ocasiones, sobre todo en líneas de transmisión que soporten varios modos las variaciones muy rápidas de la señal de entrada pueden conllevar transitorios muy grandes hasta que la señal decae a cero. Estos problemas se los encuentra muchas veces el usuario de software comercial, cuando simula algo con vías o demasiado pequeño verá que llegado a un punto la simulación se pará y vuelve a empezar, en muchos casos será porque ha detectado que la señal de entrada no es la más adecuada y la intentará refinar. En la Figura 12 se muestra el ejemplo de meter una señal con una σ grande (a) y otra con una σ pequeña (b). Vemos como en la primera la señal incidente no sufre ningún tipo de dispersión ni transitorio, mientras que en la segunda sí que tenemos un transitorio bastante largo en la puerta de entrada debido a reflexiones fuera de banda. Debido a esto, a pesar de que la estructura analizada en ambos casos es la misma las señales reflejadas son distintas en forma debido al distinto contenido espectral de las fuentes. Z component 3000 3000 signal 1 signal 3 Incident signal Reflected signal 2000 2000 1000 1000 0 0 -1000 -1000 -2000 -2000 -3000 0 500 1000 1500 Samples ( t) (a) 2000 -3000 0 2500 500 1000 1500 Samples ( t) 2000 2500 (b) Figura 12 Ejemplo de campana de Gauss pulsada 19 Muchas veces es deseable ver qué pasa cuando la antena o dispositivo está transmitiendo un flujo de potencia constante, para lo cual tenemos que inyectar un seno. Sin embargo no podemos inyectar un seno sin más ya que si la transición es muy brusca se pueden generar componentes en frecuencias superiores y por tanto generar otros modos. Por ello hay que hacer una transición suave del seno como se muestra en la Figura 13 (a). Si este seno se para de golpe sin volver a realizar la misma transición suave se generan componentes en frecuencias superiores como se muestra en la Figura 13 (b). (a) (b) Figura 13 Seno en tiempo (a) y en frecuencia (b) 2.5.2. Puertos discretos La idea de un puertos discreto es asignar en un punto un valor de campo con una determinada dirección. El símil con el mundo de los circuitos sería una fuente de tensión en principio sin una Resistencia o parte reactiva asociada. La resistencia se puede incluir simplemente añadiendo un material de una cierta conductividad en una celda pegada a la que se pincha el campo. Para simular el efecto de una fuente de tensión entre un vivo y una masa bastaría con forzar el campo a un determinado valor en cada instante de tiempo en el gap entre vivo y masa. Obviamente la dirección de este campo debe ser perpendicular a ambas superficies, por lo que lo mejor es que la superficie del vivo y la de la masa sean paralelas. Figura 14 Esquema de puertos discretos Para una distancia d entre la masa y el vivo del dipolo tenemos un voltaje aplicado en función de la distancia de: 20 ∫⃗ Dado que la dirección de integración y la del campo eléctrico son iguales, y además el campo eléctrico es constante tenemos: Traducido a celdas tenemos: Para hallar la corriente que circula por el puerto aplicamos la ley de Ámpere alrededor de un contorno del puerto o del dipolo como e muestra en la Figura 15. Lógicamente dado que las celdas son hexaedros el contorno de integración será un cuadrado. Figura 15 Aplicación Ley de Ámpere ∮⃗ Aplicándolo al esquema de mallado seguido e integrando según Figura 16 la tenemos: ∑ ( ∑ ) ( ∑ ( ) ∑ ( ) ) Figura 16 Esquema de integración para la ley de Ámpere 21 Con esto obtenemos el voltaje y la corriente en el tiempo, pero para hallar los parámetros S o la impedancia nos interesa más tenerlo en el dominio de la frecuencia. Por ello a cada una de las señales hay que aplicarle una FFT. Unos de los problemas al hacer la FFT es que la señal está muy muestreada ya que el periodo de muestreo viene impuesto por la estabilidad del propio método por lo que los puntos en la banda de interés serán pocos (para un número de puntos de la FFT similar al número de muestras). Por ello se suele interpolar la señal en frecuencia mediante la técnica zero padding. Esto también puede llevar a error sobre todo cuando hay resonancias muy pronunciadas ya que dependiendo donde se encuentre esa resonancia nos aparecerá con un nivel u otro, es decir, nos dará un resultado de simulación muy bueno si justo la frecuencia de resonancia coincide con uno de los puntos de la FFT, mientras que si la frecuencia coincide con unos de los puntos interpolados, lógicamente el resultado es menos preciso. Esta, entre otras, es una de las razones por las que el método FDTD no es muy apropiado para estudiar elementos muy resonantes o de banda muy estrecha. En algunos casos puede resultar de utilidad dotar al puerto con una resistencia o reactancia. Las ecuaciones para una reactancia, ya sea condensador o simple bobina, son difíciles de conseguir, pero en el caso de resistor simplemente basta con forzar una celda en el gap a una determinada conductividad, como muestran las ecuaciones de abajo. 2.6. Puertos en guía Muchas veces no nos bastará con un puerto discreto ya sea porque queremos simular el comportamiento de una estructura cuando un modo se propaga o cuando incide una onda en él, o simplemente porque el medio a simular no tiene onda de corriente o voltaje. 2.6.1. Onda plana Los puertos en guía consisten en pichar el campo a lo largo de una determinada superficie. En un primer momento si pinchamos el campo con el mismo valor en todos los puntos estaremos creando una onda plana, en función de si estemos en espacio libre o no, esta onda plana se “reconfigurará” en un modo determinado en el caso de una línea de transmisión o continuará como onda plana. En la Figura 17 se presenta el resultado de una pequeña simulación en la cual se quiere ver lo que pasa al incidir una onda plana sobre una pieza metálica de sección cuadrada. Como fuente pinchamos Ey a lo largo de una superficie un valor constante espacialmente y que temporalmente tiene la forma de una campana de Gauss multiplicada por un seno. Vemos como automáticamente se genera la componente en Hz (la dirección longitudinal es x) creando una onda plana. No aparece componente Ex hasta que la onda “impacta” con la superficie metálica, momento en el cual las aristas se comportan como generadores de difracción. 22 Finalmente se ve el resultado pasado un cierto periodo. Al no haber PML ni nada que absorba las ondas lo que tenemos es el resultado de múltiples reflexiones entre sí, como si fuera una cámara reverberante. Ex en t =80 Ex en t =167 Ex en t =318 Ey en t =80 Ey en t =167 Ey en t =318 Hz en t =80 Hz en t =167 Hz en t =318 Figura 17 Simulación onda plana 2.6.2. Bootstraping El simular una onda plana tiene múltiples aplicaciones como hallar secciones radar, ver la interacción de ondas electromagnéticas con cuerpos vivos… sin embargo en la mayoría de problemas en microondas lo que realmente nos interesa simular son líneas de transmisión que soportan una serie de modos que no se corresponden con una onda plana. El problema es que a priori no conocemos la distribución espacial de esos modos y aun cuando la conociéramos (como es el caso de una guía) habría que tener cuidado a la hora de pincharlos ya que hay que tener en cuenta que los campos no están muestreados en el mismo punto del espacio y hay una diferencia temporal entre el muestreo del campo eléctrico y magnético. Por todo ello Taflove y otros autores proponen el uso de bootstraping. Esto consiste en inyectar una onda plana sin más al inicio de una línea de transmisión que se vaya a usar como línea de entrada, propagar esa onda plana y ver la distribución espacial que tendremos a una distancia de la inserción. A continuación podemos reinyectar esos modos al inicio de la línea de transmisión y repetir el proceso en busca de una mayor convergencia, aunque en la mayoría de los casos con un par de pasadas suele ser suficiente. Una vez obtenida la configuración espacial del modo, cada vez que hagamos una simulación con ese tipo de línea podemos reinyectar directamente la configuración obtenida. 23 En el ejemplo de la simulación de una ranura se mostrará más en detalle el uso de esta técnica. Figura 18 Esquema bootstrapping En la Figura 18 se presenta un esquema de uso de bootstraping. En la inserción vemos un campo constante, a λ/10 vemos como la distribución de campos ha cambiado un poco y a λ/4 ya tenemos la distribución espacial del modo (TE10 de una guía rectangular). 2.6.3. Scattered Field – Total Field Con los puertos en guía surge un problema añadido. Normalmente queremos dotar a la señal del puerto con un sentido. Si pinchamos el campo sin más lo que provocaremos es que la onda se propague en los dos sentidos, cuando únicamente queremos que lo haga en uno. Para solucionar este problema surge la técnica total-field/scattered-field. Esta técnica se describe en detalle en (11). Se basa en dividir el campo en dos, campo incidente y campo reflejado. El espacio de simulación también se divide en dos zonas como se muestra en la Figura 19. Figura 19 Scattered Field / Total Field En las fronteras se hacen correcciones para eliminar la parte de campo correspondiente al incidente. El quid de la cuestión es saber el valor del campo incidente en cada una de las fronteras. En el caso de una onda plana y para cualquier tipo de incidencia se consigue de una 24 forma fácil y sin mucho coste computacional generando una “lookup table”, que no es más que un vector en una dimensión con la variación temporal a partir del cual se extrapolan los valores de campo en otros puntos del espacio. En la Figura 20 se muestra un ejemplo de uso de la técnica. La primera imagen se corresponde a una simulación en la cual se inyecta la onda a una distancia del origen y por tanto la onda se propaga en ambas direcciones. En el segundo caso haciendo las correcciones necesarias en la frontera se consigue dotar a la onda de un único sentido. De esta forma podemos saber exactamente cual es la onda reflejada por el sólido que hay en el centro ya que basta con muestrearla a la izquierda de la frontera. Figura 20 Ejemplo Scattered Fields – Total Field Esto funciona bien cuando hablamos sobre ondas planas y medios abiertos, pero no cuando queremos analizar líneas de transmisión y en especial aquellas que son dispersivas, ya que a priori no conocemos la variación temporal de la señal (dependerá de la constante de fase, de las componentes frecuenciales de la señal de entrada…). Para solucionar este problema existen métodos como el Matched Numerical Dispersion Technique (12) o Analytical Field Propagation (2). El problema de estos métodos es que incrementan notablemente la complejidad y la carga computacional ya que requieren hacer cambios del dominio temporal al de la frecuencia y viceversa continuamente. 2.7. Diagrama de radiación Se aplican los principios de equivalencia, que nos dicen básicamente que la radiación de la estructura bajo estudio será la misma que la de una supuesta caja que rodeara a la estructura recorrida por corrientes magnéticas y eléctricas tales que estas corrientes produjeran el mismo campo en el exterior que el que produciría la antena bajo estudio. Estás corrientes se calculan a partir de su propia definición y suponiendo que los campos en el interior de la caja son nulos (en la equivalencia). En la Figura 21 se puede ver una descripción gráfica de la aplicación de este principio. Las corrientes que recorren la caja serán por tanto la multiplicación vectorial de la normal por el campo (con un signo – en el caso de corriente magnética). El campo perpendicular a la caja no contará por tanto para el campo lejano (el producto vectorial da cero). 25 Figura 21 Aplicación principio de equivalencia Los campos en campo lejano se pueden definir a partir de los potenciales vectores, normalmente se usan los potenciales vectores A y F, en este caso, se sustituyen estos por los W y U, que son más propicios para integrar en el tiempo. A partir de estos potenciales vectores se calcularía el campo según las siguientes expresiones: ̌ ( ) ( ) ̌ ( ) ( ) Los potenciales en el dominio del tiempo se definen como: ( ( ) ) [∬ [∬ ( ( ̂ ) ̂ ) ] ] Para calcular las integrales habrá que sumir contribuciones espaciales, las corrientes se calculan a partir de los campos en la caja de radiación (rotacional por la normal) y su derivada temporal de la misma forma en la que se haría con el FDTD. De esta forma en cada paso de tiempo de la simulación tendremos que integrar los campos en la caja, restarles los campos en el instante anterior y calcular para cada celda su posición temporal en campo lejano en relación a Theta y Phi. Al calcular la posición temporal lo más normal es que no salga un número entero, es decir, puede ser que el campo lejano debido a una celda en una dirección dada haya que sumarlo en 124,3·Δt. Para ello se hace una ponderación, se sumaría esa contribución multiplicada por 0.7 en 124·Δt y multiplicada por 0.3 en 125·Δt. Otro punto a tratar es que para sumar las contribuciones de los campos en cada dirección resulta mucho más fácil hacerlo en coordenadas cartesianas, por ellos se calculan los W x,y,z y luego una vez que termina la simulación se pasa a coordenadas esféricas. Finalmente una vez terminada la simulación hay que calcular la TF de los campos y quedarse con las frecuencias que interesen. 26 El método usado requiere un par de arrays (W y U) por cada dirección (θ,φ) que se quiera por lo que puede requerir una memoria dinámica alta (lo cual hoy en día no es mucho problema). Un punto a favor del método es que mediante una única simulación/transformación somos capaces de hallar el campo en todas las frecuencias que queramos (siempre que nuestra señal de entrada tenga componente espectral en esas frecuencias). A la hora de calcular la TF discreta en un primer momento puede parecer la mejor idea utilizar la FFT, sin embargo no es la mejor de las formas. Dado que en la mayoría de los casos a la hora de calcular el diagrama de radiación, nos interesa el campo en un número reducido de frecuencias, a lo sumo tres, es ilógico utilizar un algoritmo que es muy rápido calculando TODO el espectro. En vez de eso resulta mucho más eficiente aplicar la definición de la DFT en sí misma y hacer un único cálculo por frecuencia, la complejidad de calcular la DFT a una frecuencia es O(N) mientras que la de la FFT es O(N·log2(N)). Es decir la FFt sería beneficiosa si quisiéramos calcular todo el espectro pero resta eficiencia si solo nos interesa una única de las frecuencias. 27 3. Ejemplo de simulación de un dipolo λ/2 A continuación se presentará la simulación de un dipolo λ/2. Este tipo de antenas tienen un diagrama de radiación uniforme en φ y con nulos en las direcciones longitudinales del dipolo. Dado que el dipolo fue la primera antena que se simulo no incluye el mallado no uniforme que se incluyó más tarde. 3.1. Modelo del dipolo Por simplicidad y dado que en FDTD la celda estándar es cúbica se analizará un dipolo de sección cuadrada con un grosor de 3 celdas. FDTD no es un método muy recomendable para analizar este tipo de antenas debido a que para mallar con precisión hilos delgados necesitamos reducir mucho el tamaño de la celda. Como condiciones de contorno se ha empleado el CPML, en este caso dado que la inserción de fuente se hace mediante un puerto discreto en el centro del dipolo, todas las fronteras CPML son iguales. Los parámetros generales utilizados en la simulación son los especificados en la Tabla 2. CPML Parámetros generales Fuente Celdas ε m ma R (coef. Réflex) α κ Celda cúbica εmedio µmedio Tipo Modo f0 τc σ 5 1.0 3 1 0.0001 0.24 15 0.25/0.5 mm 1.0 1.0 Gaussiana pulsada Puerto discreto 5-7 GHz 3/ f0 2e-10 (Hz) Tabla 2 Parámetros comunes de simulación del dipolo 3.2. Campo eléctrico total en el tiempo En la Figura 22 se recogen una serie de capturas del campo eléctrico total en el plano longitudinal del dipolo en distintos instantes de tiempo. Todas las gráficas tienen la misma escala de color y en ellas se ve cómo va fluctuando el campo conforme se va inyectando la gaussiana. En la Figura 23 se muestra la señal gaussiana de entrada aplicada mediante soft source en el espacio que hay que hay entre las dos mitades del dipolo. En la Figura 23 también se muestra los instantes de tiempo en los que se han hecho las capturas de la Figura 22. 28 Figura 22 Campo eléctrico de un dipolo λ/2 en el tiempo 29 Una cosa que puede llamar la atención en las figuras es que existe campo en la dirección longitudinal del dipolo cuando sabemos de antemano que un dipolo λ/2 no radia en esa dirección. Como se verá luego ese campo no va a contribuir nada al campo lejano ya que es perpendicular a la superficie en la que se integra el campo (es de componente radial). Figura 23 Instantes de tiempo de las capturas de la Figura 22 3.3. Campo magnético En la Figura 25 se muestran las componentes del campo magnético en un instante de tiempo según el corte de la Figura 24. Figura 24 Corte para representación campo magnético 30 Figura 25 Campo magnético corte longitudinal Las corrientes en el dipolo van longitudinalmente y para que esto sea así el campo magnético tiene que ser transversal (ley de Ampère), por ello solo hay componente en x y en z. Al estar tomada la captura en una de la caras, se ve como en esa cara tenemos un campo más o menos uniforme de componente x y también podemos observar el campo de componente z correspondiente a las otras dos caras, el campo en estas dos caras tiene sentido contrario, por lo que el valor del campo en una es positivo y en la otra negativo. En Figura 26 se representa un esquema del campo magnético en la sección transversal. Por otro lado el campo magnético de componente y es nulo salvo en el centro ya que en el centro sí que hay corrientes en la sección transversal (corrientes que nacen el centro de la sección transversal y fluyen hacia los bordes). Figura 26 Esquema del campo magnético alrededor del dipolo Finalmente se presentan en la Figura 27 los resultados del campo magnético en la sección transversal para comprobar cómo la distribución es la descrita anteriormente. 31 Figura 27 Campo magnético en el plano transversal 3.4. Campo eléctrico En la Figura 29 se muestran las componentes del campo eléctrico correspondientes al corte de la Figura 28. Se presentan las componentes en dos instantes de tiempo correspondientes a un desfase aproximado de π para poder ver como fluctúa cada componente en el tiempo. Figura 28 Corte longitudinal del dipolo para representación del campo eléctrico 32 Figura 29 Componentes campo eléctrico corte longitudinal Vemos como en el extremo del dipolo solo hay componente de campo Y (en el eje Y), es decir tiene componente radial, por lo que su contribución al campo lejano es nula, como cabría esperar ya que el dipolo no radia en su dirección longitudinal (en este caso en Y). Esto se comprobará cuando se presenten los diagramas de radiación obtenidos mediante la transformación descrita en secciones anteriores. Por otro lado la componente de campo Z es casi nula, solo hay un poco en los extremos. Finalmente en la Figura 30 se presentan los cortes transversales de cada componente del campo eléctrico a una distancia de cinco celdas del centro del dipolo. La distribución de las componentes aunque parezca extraña es la necesaria para que el dipolo tenga un campo con polarización lineal en la dirección de theta. 33 Figura 30 Componentes del campo eléctrico en corte transversal 3.5. Señal incidente e impedancia vista En la Figura 31 se muestra la señal introducida como fuente. Se comprueba como la señal tiene componentes espectrales entre 4 y 7 GHz, por lo que el margen de validez de los resultados será ese. Figura 31 Señal incidente en el tiempo y en la frecuencia 34 La señal se introduce fijando el campo en el gap en el centro del dipolo al valor de la fuente, es decir con un lumped port con excitación hard source. Para hallar la corriente que circula por el puerto discreto basta con aplicar la ley de Ampère alrededor de ese puerto integrando el valor del campo magnético alrededor de una curva. Esta curva obviamente será un cuadrado, por lo que bastará sumar las contribuciones del campo magnético multiplicadas por el ancho de la celda en cada dirección, dado que el diferencial de longitud de la curva coincide con una de las componentes del campo en coordenadas cartesianas y es perpendicular a las demás solo se necesita sumar una de las componentes en cada lado del cuadrado. Para obtener la resistencia que se ve, basta con dividir la DFT del voltaje aplicado entre la DFT de la corriente generada. El voltaje se obtiene a partir de su función integrando el valor del campo aplicado a lo largo de la longitud en la que se aplica, que en este caso es multiplicar directamente ya que la dirección del campo es la misma que la del diferencial de longitud. Figura 32 Corriente generada en el puerto Normalmente los lumped ports tienen asociada un resistencia, bobina o condensador al puerto. De esta forma la celda donde se aplica el campo se correspondería con una fuente de tensión y en una celda contigua se cambiaría el material por uno de conductividad tal que su conductividad multiplicada por el tamaño de la celda sea igual a la resistencia deseada. Al añadir esta resistencia modificamos el valor de la corriente que circula por el puerto, lo cual tampoco es demasiado problemático porque conociendo el valor de esa R y de la corriente podemos hallar el valor de la impedancia del dipolo. Si no añadimos esa R lo que va a pasar es que aparecerá algo de carga estática que se quedará entre el gap del dipolo, debido a que estamos empleando una hard source. Cuando introducimos esta R esa carga no existe porque se consume en la R al generarse una corriente asociada a esa carga. En la Figura 33 se presenta el campo en el gap en el caso de añadir una resistencia de 60 Ω y sin añadirlo. Vemos como el campo total varía algo debido a la presencia de esa resistencia y como al final cuando ya se ha apagado la fuente en el caso con resistencia el campo es cero 35 mientras que en el caso sin resistencia aparece un valor de campo estático generado por la carga antes mencionada. Figura 33 Campo total en el gap Los paquetes de software comerciales siempre incluyen la resistencia por defecto pero en este caso no es necesario del todo ya que sabiendo el funcionamiento del sistema en el caso de no incluir la resistencia obtendremos directamente el valor de la impedancia vista por el puerto y lo único que habrá que hacer será eliminar el valor de señal en instantes posteriores a cuando se apaga la fuente, o simplemente despreciar el termino de componente continua a la hora de transformar a frecuencia la señal. 3.6. Resistencia en función del mallado A continuación se estudiará cómo cambia la impedancia calculada en función del tamaño de celda. En la Tabla 4 se resumen los parámetros de simulación así como el tiempo que ha tardado. Los parámetros base del dipolo se detallan en Longitud Ancho Gap central Datos físicos del dipolo 15.5 mm + celda 1.5 mm 0.5 mm Tabla 3 parámetros geométricos del dipolo Cabe destacar que el mallado es uniforme, por lo que no es lo más óptimo posible ya que mallamos el PML y las zonas próximas igual que el propio dipolo. Cabe destacar que excepto en el último paso el número de celdas se multiplica por 2, mientras que el tiempo se incrementa de forma exponencial. Esto es así porque la carga computacional del PML aumenta de esa forma, lo cual corrobora que en el FDTD la mitad del tiempo o más de la simulación se gasta en actualizar los códigos convolucionales del PML. En la última simulación aparece un problema añadido. Estamos casi en 2 millones de celdas de las cuales casi un cuarto de millón corresponde al PML, por lo que no es de extrañar 36 que tarde 3 horas y pico. Además dado que hemos ido reduciendo el tamaño de las celdas aumentando solo el número de celdas en la dirección longitudinal del dipolo y no es las transversales, llega un momento en que la distancia entre el dipolo y las fronteras PML se reduce, por lo que sería necesario incrementar esta distancia ya que como se aprecia en las simulaciones la proximidad de las fronteras PML está influyendo en la simulación. Δx= Δy= Δz (mm) 0.5 0.25 0.125 0.0625 Cells 126K 252K 504K 1.792M PML cells 32,760 62,160 120,960 238,560 Steps 2000 4500 8000 10000 Time (sg) 46 3:45 20:30 3:40:00 Tabla 4 Resumen simulaciones cambiando mallado Otro dato a tener en cuenta es que debido a la forma en la que se malla el dipolo tiene una longitud fija de 15.5 mm más media celda extra por cada lado, es decir cada vez que reducimos el tamaño de celda reducimos un poco el tamaño del dipolo, por lo que cabe esperar que según aumentamos el mallado, la frecuencia de resonancia se desplace hacia arriba un poco. En la Figura 34 y la Figura 35 se muestran la impedancia simulada. Se comprueba como para los tres primeros mallados la similitud es bastante grande mientras que para el mallado máximo se observan los problemas descritos anteriormente debido a la proximidad de las fronteras PML. También se comprueba como la frecuencia de resonancia va variando según reducimos el tamaño de malla en parte porque el dipolo es más pequeño como se comentó en el párrafo anterior y en parte porque el mallado es más denso por lo que los resultados son más exactos. Figura 34 Resistencia del dipolo para distintos tamaños de celda 37 Figura 35 Reactancia del dipolo para distintos tamaños de celda 3.7. Comparación con software comercial Para corroborar los resultados se comprueban con los obtenidos por el software comercial CST. Este software no usa exactamente FDTD sino que usa FIT, el método es muy parecido, ya que trabaja en el tiempo, usa PML, los mismos métodos de inserción de campo… solo que en el caso de FIT se aproximan integrales en vez de derivadas como en el FDTD. Lo primero que hay que decir es que el software comercial evidentemente tiene métodos para refinar el mallado lo máximo posible. En la Figura 36 se representa la forma que tiene de mallar el dipolo el CST, como podemos comprobar el mallado en el dipolo es mucho más denso que en las zonas de aire. El tiempo utilizado para la simulación fue de 2 minutos y 35 segundos para 1400K celdas. El ratio entre el tiempo de simulación de CST y del propio simulador es de 370%. Obviamente para el mismo número de celdas el software comercial va a ser más preciso porque hará un mallado mejor, pero si se tuviera que hacer una optimización más larga se podría perfeccionar el mallado con un mallado no uniforme en el simulador, haciendo que el tiempo de simulación fuera la tercera parte del CST en este caso. 38 Figura 36 Detalles del mallado con CST Figura 37 Comparación de impedancia con CST 39 En las gráficas que comparan las impedancias obtenidas con CST y el simulador se comprueba como la coherencia entre ambas es bastante grande sobre todo en la zona de interés (zona de resonancia). 3.8. Resonancia en función de la señal de entrada Una comprobación necesaria del simulador es ver cómo cambian los resultados según cambia la señal de entrada. Los resultados no deberían variar según cambie la señal de entrada siempre y cuando la señal de entrada tenga contenido espectral suficiente en la banda de interés (superior al ruido numérico). Figura 38 Resonancia frene a señal de entrada En la Figura 38 se muestra la reactancia simulada en función de diversas señales de entrada de frecuencias diferentes. Se comprueba como efectivamente variando la frecuencia de entrada la resonancia no se mueve. 3.9. Campo lejano En la Figura 39 se muestra el diagrama de radiación en 3D sin normalizar para la frecuencia de resonancia (4.1 GHz), se comprueba como el diagrama de radiación se corresponde al clásico de un dipolo con un nulo en la dirección longitudinal del dipolo. 40 20 15 10 Z axis 5 0 -5 -10 -15 -20 20 10 0 -10 X axis -20 20 0 10 -10 -20 Y axis Figura 39 Diagrama de radiación del dipolo en 3D En la Figura 40 se muestra el diagrama de radiación en el corte longitudinal comparado con CST. Comprobamos como el parecido es bastante grande. Figura 40 Corte longitudinal vs CST 41 4. Ejemplo antena de ranuras A continuación se presentaran las simulaciones hechas para antenas de ranuras en guía onda rectangular. En un primer momento se explicara la forma de alimentar y de hallar parámetros S para después mostrar los resultados de simulación para una única ranura y un array de 8x8 ranuras. 4.1. Alimentación de la guía Lo primero antes de nada es hacer el setup del puerto en guía. En este caso surgen varios problemas. El primero es que tenemos que hallar la distribución espacial del modo que se propaga (suponiendo que únicamente tengamos un modo), para ello se aplica la técnica bootstraping descrita anteriormente. El segundo problema viene a la hora de poder extraer el campo reflejado para el cálculo de los parámetros S. Aplicando un hard source es imposible obtenerlo porque estaremos creando una pared eléctrica, por ello hay que aplicar técnicas del tipo Scattered-Total Field (SFTF). El problema de las técnicas SFTF es que no son de fácil implementación cuando no estamos en el vacío ya que es mucho más difícil determinar la constante de propagación. Aun cuando exista una expresión analítica para esta constante de propagación (como es en el caso del TE01), estás expresiones son en función de la frecuencia y trasladarlas al tiempo no es fácil, además de conllevar una carga computacional excesiva. Existen técnicas como la Matched Numerical Dispersion Technique o Analytical Field Propagation que resuelven este problema pero a costa de transformar varias veces de un dominio a otro. La precisión es muy buena pero obviamente la complejidad y tiempo de cálculo hacen que no sean tan atractivas. Por ello en esta primera parte, se detallará como se ha hecho el bootstraping, a continuación se detallará la solución adoptada para el SFTF y se simulara una ranura para comparar resultados con software comercial. 4.1.1. Bootstraping La primera idea es inyectar una onda plana en una sección transversal de la guía. Obviamente es un poco extraño inyectar una onda plana en una guía ya que estaremos excitando campo en superficies metálicas con componente no normal. Lo que va a pasar es que el campo cambiará en unas cuantas líneas de la distribución que nosotros le hayamos metido a la distribución que realmente soportaría la guía (ya sea la de un único modo o la de la combinación de muchos). En la Figura 41 se muestra el corte transversal a una longitud de onda de la excitación de una guía en función de la frecuencia y modo en el que se excita la onda plana. 42 (a) (b) (d) (c) (e) (f) Figura 41 Modos en guía En el primer caso (a) se excita una onda plana con campo eléctrico en sentido horizontal y a una frecuencia a la que la guía es monomodo por lo que el modo resultante es un TE10, en el segundo caso (b) se hace lo mismo pero subiendo en frecuencia y vemos como en este caso lo primero que veríamos sería la distribución de un modo TE20. En la figura (c) se excita el campo eléctrico vertical y en este caso vemos un modo TE03. En el caso de (d) excitamos ambas componentes del campo eléctrico (horizontal y vertical) y lo que vemos es un modo TE11. En el siguiente caso (e) vemos lo que realmente pasa al excitar la guía a una frecuencia donde la guía soporta varios modos, tenemos una mezcal el modo TE01, TE10 y TE11 que va variando con el tiempo, esta variación también se observa en el perfil longitudinal ya que cada modo tendrá una constante de propagación diferente y por lo tanto no es fácil distinguir cada longitud de onda como en el caso monomodo. Finalmente en (f) vemos lo que pasa al excitar una frecuencia en la que los modos está al corte, vemos como la mallaría de la potencia se extingue debido a que se excitan modos evanescentes y únicamente se excita algo de potencia, que será la correspondiente a las componentes espectrales de más alta frecuencia y que si que soporta la guía. 43 4.1.2. Scattered Field – Total Field Una vez hecho el bootstraping surge otro problema ya comentado en capítulos anteriores. Si alimentamos la guía sin hacer ninguna corrección lógicamente estaremos excitando señal en ambos sentidos como se aprecia en la primera parte de la Figura 42. Para solucionar este problema se puede emplear la técnica Scattered Field – Total field, con la que si dotamos de un sentido a la señal y es posible detectar la señal reflejada (ya que iría en sentido contrario). El problema de esta técnica es que la formulación que se suele emplear tiene en cuenta que se trata de una onda plana, en el momento en que esto no es así la cosa se complica ya que la constante de propagación puede variar con la frecuencia y es imposible saber de antemano la variación que va a haber en la señal dentro de la guía. Para solucionar este problema hay técnicas ya comentadas anteriormente que se basan en cambios de dominio espectrales, pero ello conlleva una carga computacional bastante grande. En lugar de eso lo que se hace en esta simulación es correr una primera simulación en donde se guardan los cortes del campo en el puerto y luego en posteriores simulaciones se emplean esos cortes para hacer la corrección. Esta presimulación del puerto puede ser solo de unas pocas celdas en la dirección longitudinal ya que solo nos interesan los campos una celda antes y después del puerto. El problema añadido es que puede que tenga menos carga computacional hacerlo de esta manera pero sigue teniendo una carga computacional alta debido a que en cada iteración hay que leer de un fichero como era la distribución del campo en el puerto en la presimulación. Como mejora se podría estudiar hallar la variación temporal del puerto y establecer un array lineal que permitiera establecer la forma de los campos antes y después del puerto. EFieldzXY At Time Step = 244 40 0.25 35 0.2 30 0.15 25 0.1 20 0.05 15 0 10 -0.05 5 10 20 30 40 50 44 EFieldzXY At Time Step = 244 40 0.25 35 0.2 30 0.15 25 0.1 20 0.05 15 0 10 5 4.1.3. -0.05 Figura 42 Excitación de guía normal y con SF/TF Technique 10 20 30 40 50 Método simplificado de alimentación empleado En la Figura 43 se presenta el esquema del método seguido para hallar los parámetros S. Es un método que busca el compromiso entre exactitud, tiempo de cálculo y memoria dinámica usada en el proceso. Figura 43 Vista guía con ranura para hallar reflexión La idea principal es mantener la inserción de onda tan simple como se pueda. Para hallar la reflexión lo que se hace es hacer una primera simulación de la línea de transmisión utilizada y luego comparar con la simulación real. Puede parecer costoso en tiempo el tener que hacer dos simulaciones, pero en realidad la primera simulación basta con hacerla para un trozo corto de línea y solo hay que hacerla una vez ya que se reutilizan los resultados para el resto de optimizaciones siempre y cuando no cambiemos el puerto de entrada. El primer paso es hacer una simulación de una línea de transmisión igual a la utilizada en el puerto de entrada, en este caso una guía, y con PML en los dos extremos para que absorba la onda. La inyección de campo se hace mediante una onda plana, es decir, pinchando el campo en una determinada componente y con el mismo valor en la sección transversal. Esta 45 componente obviamente será la componente transversal del modo TE10. La inyección será mediante soft source, es decir añadiendo al campo presente en el área de alimentación el valor fuente. La soft source a diferencia de la hard source no actúa como pared eléctrica y permite que la atraviesen ondas. Debido a que estamos inyectando una onda plana y no hacemos bootstraping no conocemos realmente la señal de entrada que estamos introduciendo, por ello hay que muestrear la señal a unas cuantas celdas de la inserción en la presimulación (señal 2) para saber cual es realmente la señal incidente y poder compararla posteriormente con la reflejada. Así mismo como no utilizamos el SFTF al inyectar la señal, lo haremos en ambas direcciones, por ello también hay que muestrear la señal en la presimulación en la dirección contraria (señal 1) para poder obtener por comparación luego la verdadera señal reflejada. A continuación hacemos la simulación con la pared al final de la guía y la ranura, muestreando la señal al inicio a la izquierda del área de alimentación (señal 3). Para muestrear las señales lo que se hace es sumar todas las componentes una a una en una sección de la guía, de tal forma que al final tenemos tres señales, una por cada componente del campo eléctrico. Podemos obtener directamente el S11 en módulo a partir de las señales anteriores utilizamos la siguiente fórmula. √| ( )| √| ( | )| ( | )| ( )| | | ( ( )| )| En este caso el S11 estará normalizado a la impedancia de la línea de transmisión. 4.2. Señales temporales obtenidas Las señales temporales obtenidas según el esquema de la Figura 43 se presentan a continuación. Para obtener estas señales en el tiempo se integran los valores de señal en una componente en el puerto. En la Figura 44 se presenta la señal correspondiente al campo eléctrico de componente Z, es decir, la componente transversal correspondiente al modo TE01. La señal azul se corresponde con la señal en el puerto de entrada con la ranura, vemos como inicialmente es igual a la señal de entrada (la roja) y luego empieza a cambiar a medida que llega la reflexión de la pared final. La señal roja se corresponde a la señal pseudoreflejada (por denominarla de alguna manera) ya que al no aplicar ninguna técnica como el SF/TF al alimentar la guía generamos una onda en los dos sentidos. Por ello en el inicio la señal azul será la suma de la señal incidente y las posibles reflexiones que vengan. 46 Z component 4000 Signal 3 Signal 1 3000 2000 1000 0 -1000 -2000 -3000 -4000 0 500 1000 1500 Samples ( t) 2000 2500 Figura 44 Señales reflejadas componente Z En la Figura 45 se muestra la componente Y de las señales reflejadas, está es la componente longitudinal del modo TE01. En la Figura 46 se presentan las señales reflejadas de componente X. En teoría en la presimulación (señal 1) no debería haber nada de componente X ya que el modo TE01 no tiene, sin embargo aparece algo de componente X debido a que estamos inyectando una onda plana en el puerto, sin embargo el valor de esta componente comparado con el valor de la componente Z es varios ordenes de magnitud menor. Y component 60 Signal 3 Signal 1 40 20 0 -20 -40 -60 0 500 1000 1500 Samples ( t) 2000 2500 Figura 45 Señales reflejadas componente Y 47 X component 30 Signal 3 Signal 1 20 10 0 -10 -20 -30 0 500 1000 1500 Samples ( t) 2000 2500 Figura 46 Señales reflejadas componente X Finalmente se representan las señales reflejada e incidente en la Figura 47. 3000 Incident signal Reflected signal 2000 1000 0 -1000 -2000 -3000 0 500 1000 1500 Samples ( t) 2000 2500 Figura 47 Señales reflejada y transmitida 48 5 DFT x 10 Incident Reflected 6 5 4 3 2 1 2.6 2.8 3 f(Hz) 3.2 3.4 3.6 10 x 10 Figura 48 DFT de señales incidente y reflejada A partir de las DFT´s de las señales incidente y reflejada (Figura 48) resulta posible adivinar dónde va a estar la resonancia, en este caso algo por encima de los 30 GHz. 4.3. Parámetros S Una vez establecido el setup del puerto, a continuación se expondrán una serie de sweeps mostrando las variaciones en la reflexión en función de las variaciones en la geometría de la ranura. Una ranura en guía tiene fundamentalmente dos parámetros básicos, su longitud y su offset respecto al centro de la guía (Figura 49). Con su longitud se controla la frecuencia de resonancia, mientras que con su offset se controla la admitancia equivalente que presenta la ranura. ra_L ra_offset Figura 49 parámetros de una ranura En la Figura 50 se pude ver un esquema del mallado seguido en la ranura, en él se ha tratado de mallar mucho más la zona de la ranura que el resto. Una mejora en el mallado sería 49 mallar no uniformemente la ranura, de tal forma que la malla fuera más densa en los extremos y menos en el centro. Lo mismo se podría hacer en la sección transversal de la guía. Figura 50 mallado de una guía con una ranura Para mallar una ranura hay que tener en cuenta como se comento en la introducción teórica el último campo no nulo anterior a una superficie eléctrica debe ser de componente perpendicular a la superficie. Por ello se sigue el mallado que se muestra en la Figura 51, en el cual siempre debe haber una fila más de componentes Ex y una columna más de componente Ey. Para hacer la ranura más ancha habría que añadir siempre una fila de componentes Ey/Ez y otra fila debajo de componentes Ex para cumplir con las condiciones en la superficie de un PEC. Ex Ez Ey Figura 51 Mallado ranura En las simulaciones se comprueba como disminuyendo la longitud de las ranuras aumenta la frecuencia de resonancia Figura 52), como es lógico. También se comprueba como aumentando el offset de la ranura cambia el valor de su admitancia (Figura 53), variando el offset vamos cambiando desde admitancias muy bajas hasta admitancias más altas, en el medio de esta variación obtenemos la mejor adaptación, correspondiente a la impedancia del generador. 50 S11 vs slot slot length (mm) 0 -2 -4 -6 dB -8 -10 4.5 FDTD 4.5 CST 4.75 FDTD 4.75 CST 5 FDTD 5 CST 5.25 FDTD 5.25 CST -12 -14 -16 -18 -20 25 26 27 28 29 30 f (GHz) 31 32 33 34 35 Figura 52 S11 en función de longitud ranura S11 vs slot slot offset 0 -2 -4 -6 dB -8 3.12 mm 3.12 mm 2.62 mm 2.62 mm 2.12 mm 2.12 mm 1.62 mm 1.62 mm -10 -12 -14 -16 FDTD CST FDTD CST FDTD CST FDTD CST -18 -20 25 26 27 28 29 30 f (GHz) 31 32 33 34 35 Figura 53 S11 en función de offset de la ranura 51 En ambas figuras se comparan los resultados con los obtenidos mediante software comercial, en este caso CST. En ambos casos se observa como las resonancias están justo donde deben estar. La diferencia está en que en el software comercial el S11 es siempre menor, esto no supone un problema en exceso en la rutina del optimizador ya que de cualquier forma el propio software es capaz de detectar la mejor de las soluciones ya que sigue la tendencia que hay en cada barrido. Por ejemplo en la Figura 53 se ve como variando el offset se desplaza por un lado un poco la frecuencia de resonancia y también se ve como la adaptación empeora al disminuir el offset, tanto en el software comercial como en el propio. 4.4. Señales cortes 2D Una de las ventajas del FDTD es que se pueden ver las señales en el tiempo y detectar posibles errores, difracciones… En la Figura 54 se presenta el campo magnético de componente X en la cara interior de la guía donde está hecha la ranura. Vemos como afecta la ranura al campo magnético, y por ende Hy field a las corrientes superficiales, y en la última captura se puede comprobar cómo resuena la ranura. 45 40 35 X axis 30 25 20 Hy field 15 10 45 5 40 35 10 20 30 40 Y axis 50 60 70 X axis 30 25 20 Hy field 15 10 45 5 40 35 10 20 30 40 Y axis 50 60 70 20 30 40 Y axis 50 60 70 X axis 30 25 20 15 10 5 10 52 Hy field 45 40 35 X axis 30 25 20 15 45 10 405 35 10 20 30 40 Y axis 50 60 70 30 25 20 15 10 5 Figura 54 Campo magnético con ranura componente X 10 20 30 40 50 60 70 La Figura 55 y Figura 56 muestra la componente Z e Y del campo magnético en la cara de la guía con la ranura. Vemos como aparece en la zona de inserción dos pequeños spots debido a que se inserta una onda plana en vez del modo correspondiente con bootstraping. Esto puede parecer un problema, pero en realidad no afecta nada a la simulación ya que al utilizar la comparación entre el caso de guía normal y guía con ranura cortocircuitada, el problema está presente en ambos casos y se cancela. En el modo TE01 no debería existir campo Hz, pero sin embargo aparece en la ranura. La componente Hy sería la componente longitudinal del modo TE10. Hz field 45 40 35 X axis 30 25 20 15 10 5 10 20 30 40 Y axis 50 60 70 Figura 55 Campo magnético en ranura, componente Z 53 Hy field 45 40 35 X axis 30 25 20 15 10 5 10 20 30 40 Hy field Y axis 50 60 70 10 20 30 40 Y axis 50 60 70 45 40 35 X axis 30 25 20 15 10 5 Figura 56 Campo magnético en guía, componente Y En la Figura 57 se presentan los cortes transversales del campo eléctrico a la altura del centro de la ranura, cada corte se corresponde a un instante de tiempo, de menor a mayor. En ellos se puede apreciar como radia la ranura, comprobándose como en ese plano el diagrama de radiación va a ser del tipo abanico. Otra cosa interesante que se ve es la difracción que se produce en los bordes o cantos de la guía, especialmente en el más cercano a la ranura. 54 Figura 57 Campo eléctrico corte transversal a la altura de la ranura 4.5. Campo radiado por la ranura Para calcular el campo radiado por la ranura se utiliza el procedimiento descrito anteriormente. En este caso y a diferencia del dipolo no podemos utilizar la caja de radiación donde muestrear las corrientes magnéticas y eléctricas ya que hay dos caras que intersecarían a la guía, y por tanto se considerarían los campos en el interior de la guía para el cálculo del campo lejano. Hay dos soluciones, evitar esas dos “tapas” como se muestra en la Figura 58, el error no sería muy grande ya que el campo en esa zona es menor, y la segunda es simplemente introducir una corrección en el algoritmo para que no tenga en cuenta esa zona (la del puerto). Para el cálculo del campo lejano de una sola ranura se ha utilizado la primera forma. Figura 58 Superficie de integración para cálculo de campo lejano 55 En la Figura 59 se muestra el diagrama de radiación en 3D y en la Figura 60 en función de Theta y Phi. En el primer caso la similitud con el software comercial es bastante grande con la diferencia de que en el software comercial se muestra el diagrama den dB y en el propio en unidades naturales. En la figura en 2D se ve como la forma del campo es más o menos la misma y como la radiación principal va en la misma dirección. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 eje z 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 eje y eje x (a) (b) Figura 59 Diagrama radiación de una ranura en 3D FDTD(a) y CST(b) FIT CST Own FDTD 180 0 160 0 160 -5 140 -5 140 -10 -10 120 120 -15 100 -15 80 -20 (º) (º) 100 -20 80 60 -25 -25 40 40 -30 -30 20 20 -35 0 60 0 50 100 150 200 (º) (a) 250 300 350 0 0 50 100 150 200 250 300 350 (º) (b) Figura 60 Diagrama radiación 2D 1 ranura FDTD(a) y CST(b) En la Figura 61 y Figura 62 se muestran los cortes en Phi y Theta. En ellos se pueden apreciar la forma del diagrama y la posición de mínimos y lobulos. Muchos de estos lóbulos son provocados por difracción en los cantos de las guías. Así por ejemplo en los cortes en Phi 56 -35 se distinguen claramente la radiación de la ranura en 180º y la radiación en 0º correspondiente al canto opuesto de la ranura. Own FDTD 0 -5 -10 dB -15 -20 -25 -30 -35 -40 0 20 40 60 80 100 120 140 160 (º) Figura 61 Cortes en θ del diagrama de radiación de una ranura 0 -5 -10 dB -15 -20 -25 -30 -35 -40 0 50 100 150 200 250 300 350 (º) Figura 62 Cortes en φ de diagrama de radiación de una ranura 57 4.6. Guía con 4 ranuras En la Figura 63 se presenta un esquema de una guía ranurada. Variando el offset de las ranuras se varía la admitancia de cada una de tal forma que si su separación es λ/2, la admitancia en el punto de alimentación es la suma de la de las ranuras. La distancia desde el centro de la última ranura hasta la pared debe de ser del orden de λ/4 para así poner un circuito abierto virtual en el extremo. d ranuras d final Figura 63 Esquema de 1 guía ranurada 4.7. Señales en los puertos En la Figura 65 se representan las señales en el puerto de entrada. En el caso de la señal reflejada (roja) se comprueba como en un primer momento viene una señal grande correspondiente a la reflexión en la pared y luego otras señales más pequeñas correspondientes a la parte de la señal que rebota varias veces y a acoplos entre ranuras. Figura 64 Señales incidentes y reflejadas 58 4.8. Parámetros S guía ranurada En la Figura 65 se presentan los resultados de adaptación e función de la longitud de las ranuras comparados con los resultados obtenidos con CST. Al igual que en el caso de una ranura se ve como los resultados obtenidos tienen un nivel de reflexión más alto pero siempre se encuentran las resonancias en el mismo punto y con una forma similar. Figura 65 S11 guía ranurada vs longitud ranura En la Figura 66 se presenta la adaptación de la guía ranurada en función del offset de las ranuras (para un offset entre ranuras igual). Se comprueba como el valor óptimo estaría cercano a 2.62 mm. 59 S11 vs slot slot offset 5 0 dB -5 -10 3.12 mm 2.62 mm 2.12 mm 1.62 mm -15 -20 25 26 27 28 29 30 f (GHz) 31 32 33 34 35 Figura 66 S11 guía ranurada vs offset ranuras 4.9. Campos en 2D en la guía ranurada En la Figura 67 y Figura 68 se presentan cortes longitudinales de la guía ranurada. Se comprueba por un lado como la onda va avanzando, haciendo que unas ranuras radien primero y luego otras según la separación eléctrica que hay entre ellas y como la onda va “perdiendo” potencia en el interior de la guía ya que parte de esta potencia se radia por las ranuras. 45 45 40 40 35 35 30 30 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 10 20 30 40 50 60 70 10 80 20 30 40 50 Figura 67 Cortes de la parte superior exterior de la guía 60 70 80 60 35 30 25 20 15 10 5 Figura 68 Corte transversal de dos ranuras radiando 10 20 30 40 50 60 70 80 4.10. Diagramas radiación guía ranurada eje z En la Figura 69 y Figura 70 se presentan los diagramas en 3D y en 2D de una guía con 4 ranuras tanto con FDTD como con software comercial. Los resultados son muy parecidos sobre todo en el caso de 2D ya que en el caso de 3D los resultados de FDTD no están expresados en unidades logarítmicas. eje x eje y (a) (b) Figura 69 Diagrama de radiación en 3D con CST (a) en d v B y FDTD (b) en ud. naturales 61 FIT CST Own FDTD 180 0 0 160 160 -5 -5 140 140 -10 -10 120 120 -15 80 -20 60 -25 40 -30 (º) (º) 100 100 -15 80 -20 60 -25 40 -30 20 20 -35 0 50 100 150 200 250 300 0 350 (º) -35 0 50 100 150 200 (º) 250 300 Figura 70 Radiación en 2D CST y FDTD propio En la Figura 72 se ve como la guía apunta a 20 º en Theta aunque tienen una serie de lóbulos secundarios correspondientes entre otras cosas a difracciones en los cantos de la guía. En la Figura 71 se presentan los cortes en phi. 0 -5 -10 -15 dB 0 -20 -25 -30 -35 -40 0 50 100 150 200 250 300 350 (º) Figura 71 Cortes en φ guía ranurada 62 350 Own FDTD 0 -5 -10 dB -15 -20 -25 -30 -35 -40 0 20 40 60 80 100 120 140 160 (º) Figura 72 Cortes en θ diagrama radiación guía ranurada 4.11. Array con cuatro guías Port 4 Port 3 Port 2 Sep Port 1 Como último apartado se presenta un array de 4 guías. En este caso las guías no funcionaran todas igual debido a los acoplos que existan con sus vecinas. Figura 73 Esquema de las 4 guías 63 4.12. Cortes campos de cuatro guías ranuradas Figura 74 Vista transversal de 4 guías Figura 75 Vista longitudinal 4 guías 4.13. Señales en los puertos para array de cuatro guías Comparando con simulaciones anteriores en este caso la señal no decae tan rápido a cero como antes debido a los acoplos que hay presentes entre guías que hacen que nos lleguen hasta 3 “grandes” reflexiones. 64 4 1 x 10 Port 1 Incident Port 1 Reflected 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 500 1000 1500 Samples ( t) 2000 2500 Figura 76 Señales incidente y reflejada 4.14. Parámetros S array de cuatro guías La Figura 77 muestra los parámetros S cuando se excita únicamente una guía. Se comprueba como la similitud con el software comercial es bastante grande, teniendo en cuenta que la forma y las resonancias son iguales solo que aumente un poco el nivel de reflexión. Se comprueba como el acoplo entre guías es del orden de 17 dB con la guía más próxima, -23 para la siguiente y -27 para la más alejada (siempre mirando en la zona de resonancia). 65 Matching and coupling 0 Matching FDTD Matching CST Coupling 1->2 FDTD Coupling 1->2 mm CST Coupling 1->3 FDTD Coupling 1->3 CST Coupling 1->4 FDTD Coupling 1->4 CST -5 -10 -15 dB -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 25 26 27 28 29 30 f (GHz) 31 32 33 34 35 Figura 77 Adaptación y acoplos entre guías entrando por primera guía únicamente En la Figura 78 se muestra la adaptación de cada uno de los puertos. Se comprueba como las dos guías centrales se comportan de la misma forma, mientras que las dos que están en los extremos tienen una adaptación diferente. Se podría pensar que la adaptación de las guías de los extremos debería ser igual, pero hay que tener en cuenta la posición de las ranuras, ya que en la primera guía las ranuras 1 y 3 dan hacia en el que está el vacío, mientras que en la cuarta guía dan hacia el lado en el que está la tercera guía. 66 Matching 0 Matching 1 Matching 2 Matching 3 Matching 4 -2 -4 -6 dB -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 25 26 27 28 29 30 f (GHz) 31 32 33 34 35 Figura 78 Adaptación de cada puerto de las guías 4.15. Diagramas de radiación array 4x4 En la Figura 79y Figura 80 se presentan los diagramas de radiación en 2D y 3D del array. Como se puede comprobar las similitudes son muy grandes. Hay que tener en cuenta que en este caso el paso en φ y θ se ha aumentado un poco para que no tardara mucho, aúna así la precisión es bastante buena. Hay que destacar que la gráfica en 2D en CST está en dB mientras que la propia está en unidades naturales. (a) (b) Figura 79 Diagramas 2D 4x4 CST(a) y FDTD(b) 67 (a) (b) Figura 80 Diagramas en 3D CST(b) y FDTD(a) 0 -10 dB -20 -30 -40 -50 -60 0 50 100 150 200 250 300 350 (º) Figura 81 Cortes en φ 68 Own FDTD 0 -10 dB -20 -30 -40 -50 -60 0 20 40 60 80 (º) 100 120 140 160 Figura 82 Cortes en θ 69 5 Acoplador en guía A continuación se simularán acopladores por ranura en guía. Estos acopladores sirven para acoplar parte de la potencia de la guía longitudinal a las guías en rama. Normalmente se emplean ranuras giradas o ranuras longitudinales. En este caso debido a que mallar una ranura girada resultaría más complicado se utilizaran ranuras transversales como se ve en la siguiente figura. En la Figura 1 se muestra el esquema del acoplador, dos guías transversales con una ranura entre ellas que acopla parte de la potencia a las guías en ramas y parte se transmite para otras ramas o circuitos. Figura 83 Esquema de Acoplador en guía 5.1 Simulación En este caso para simular el acoplador en guía habría que actualizar el campo en muchas zonas donde nunca va a haber campo ya que los bucles del algoritmo hacen que se tenga que estudiar todo el comportamiento electromagnético en un paralelepípedo entero. Una opción sería cambiar los bucles para que se fueran cambiando los recorridos progresivamente según las distintas partes o hacer como hace Taflove en su libro, aplicar el algoritmo en componentes (guia1, ranura y guias2 en este caso). Estas opciones resultan un cambio sustancial en el código por lo que se desecharon. En lugar de ello se define un nuevo tipo de material en el bucle además del PEC de tal forma que si en el bucle se detecta que esa celda corresponde a ese material salta al siguiente paso sin realizar ningún cálculo. Esto supone que vamos a ejecutar un bucle vacío en muchas posiciones, perdiendo algo de tiempo, pero ganando mucho tiempo en comparación con el caso en el que se aplica el algoritmo a todos los puntos del paralelepípedo. En la Figura 84 se ve el corte de los materiales empleados. En rojo fuerte estaría el conductor, en azul aire y el rojo más claro representa las zonas en las que no se calcula el campo. La frontera superior también es PEC, por lo que la guía superior terminará en PEC 70 también. Otra cosa a destacar es que aunque el mallado parezca igual, no lo es, es decir el tamaño de los cuadraditos en la realidad no es el mismo. 60 50 20 15 40 10 30 5 10 20 30 40 50 60 20 10 10 20 Figura 84 Cortes transversales definición de materiales 30 40 50 60 En la Figura 85 se muestran los esquemas de mallado no uniforme seguidos, donde se comprueba como en z se ha mallado mucho más en la ranura que en el resto y como se malla también mucho más en la zona en la que las guías quedan enfrentadas. Mallado en z Mallado en x Figura 85 Esquema de mallado de doble guía 5.2 Señales temporales En la Figura 86 se muestran las señales en el tiempo del acoplador en ranura. Como puede verse la señal transmitida es muy parecida a la gaussiana que se inyecta, lo cual quiere decir que se transmitirá toda la potencia salvo en un rango de frecuencias. Las señales reflejadas y acopladas son muy parecidas, por lo que sus parámetros S también serán parecidos en forma. 71 Coupled signal Reflected Signal 500 300 400 200 300 200 100 100 0 0 -100 -100 -200 -300 -200 -400 -300 -500 0 500 1000 1500 Samples 2000 2500 3000 0 500 1000 1500 Samples 2000 2500 Transmited signal 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2000 0 500 1000 1500 Samples 2000 2500 3000 Figura 86 Señales temporales del acoplador de ranura 5.3 Parámetros S En la Figura 87 se presentan los parámetros S simulados comparados con los de CST. Se ve que la concordancia es bastante grande a pesar de que hay un pequeño desplazamiento en frecuencia. Esto pequeño desplazamiento puede ser debido a que resulta difícil traducir el mallado propio a distancias reales ya que en muchos casos hay que ir comprobando hasta donde llega la ranura y que tamaño de malla hay en cada posición de la ranura… 72 3000 Waveguide slot coupler 0 Matching FDTD Matching CST Coupled 1 FDTD Coupled 1 CST Coupled 2 FDTD Coupled 2 CST Transmited FDTD Transmited CST -5 dB -10 -15 -20 -25 25 26 27 28 29 30 f (GHz) 31 32 33 34 35 Figura 87 Parámetros S acoplador en guía 5.4 Cortes 2D de señales En la Figura 88 se presentan los campos en un corte transversal en diversos instantes de tiempo. Se comprueba como se deforma el modo TE cuando la ranura empieza a acoplar potencia y como el campo en el interior de la ranura es muy alto, como es lógico. 20 20 15 15 10 10 5 5 10 20 30 40 50 60 20 20 15 15 10 10 5 5 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 20 15 10 5 10 20 30 40 50 60 Figura 88 Cortes 2D transversales del acoplador por ranura 73 En la Figura 89 se ve el campo en secciones longitudinales tanto de la guía principal como de la acoplada. En el primer caso (la guía principal) se puede apreciar el efecto de la inserción de campo mediante soft surface ya que aparece una especie de pared de un color más fuerte. La potencia en la guía de arriba aparece de un color mucho más tenue debido a que la cantidad de potencia que va a cada rama es inferior a la cuarta parte de la de la guía principal. 60 60 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 10 20 30 40 50 60 10 60 60 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 10 20 30 40 50 60 10 20 20 30 40 50 60 30 40 50 60 Figura 89 Cortes en 2D longitudinales acoplador por ranura 74 6 Esquema de simulación En la Figura 90 se presenta el diagrama de clases den Java así como los ficheros matlab auxiliares. En un principio se empezó a programar el algoritmo en matlab pero se vio que conforme aumentaba la carga computacional el tiempo de cálculo era demasiado grande además de no poder controlar tan bien la memoria dinámica con matlab. A continuación se empezaron a hacer pruebas con lenguaje C, el problema es que C no permite una escritura de código tan sencilla e eficiente como Java (aunque suele correr más rápido que Java). Por ello finalmente se escribió el código final en Java, en las pruebas realizadas el código corría igual de rápido en Java y en C, siendo mucho más fácil de cambiar y jerarquizar el código en Java. Él código tiene un núcleo que es el que contiene el algoritmo y es el encargado de llamar a cada una de las clases. Todo el código Java ha sido escrito desde cero a excepción de la FFT y el GA (Genetic Algortihm). El código de la FFT es código opensource cogido de Internet. El código del optimizador basado en algoritmo genético es código del MIT liberado. Para utilizar tanto la FFt como el GA ha habido que hacer una serie de pasarelas para que se puedan entender con el propio programa ya que por ejemplo el GA optimiza ristras de bits, por lo que hay que transformar nuestros parámetros de simulaciones en ristras de bits así como funciones de peso en función de nuestros deseos. Finalmente la salida del algoritmo se presenta con matlab con pequeños scripts para presentar gráficas en 2D, películas o diagramas de campo. 75 Figura 90 Esquema de clases java y matlab 76 6.1 Explicación de cada clase 6.1.1 FDTD.java FDTD.java es el núcleo del algoritmo. Contiene todas las referencias al PML, fuente, parámetros S, etc de la simulación. Es donde está escrito el bucle temporal por lo que es desde donde se llama a las demás clases. En un primer momento está clase era mucho más grande y se fue adelgazando paulatinamente llevando parte de sus rutinas a clases aparte a medida que crecía. 6.1.2 PML.java En esta clase se guardan todos los arrays y variables relacionados con el PML. Puesto que las fronteras PML se establecen en un principio y no se prevé que se vayan a cambiar dinámicamente en optimizaciones, el cambio de las características de las fronteras debe hacerse en el constructor de la clase. La forma de utilizar la clase es crear el objeto, asignar al núcleo el objeto mediante el set() del núcleo y a continuación llamar al método que inicializa las variable en el PML. Una vez inicializado el algoritmo llamará al núcleo para modificar los códigos convolucionales. 6.1.3 Complex.java Es una clase que representa a un número complejo con todas sus operaciones asociadas. La clase en si contiene al número complejo, es decir no es una clase con métodos estáticos, un ejemplo de utilización sería: Complex a = new Complex(1.0 , 2.0) Complex b= new Complex(1.4, 3.4); Complex div =a.divididedby(b); 6.1.4 Constants.java Esta clase contiene en variables estáticas los valores de constantes físicas como pueden ser la velocidad de la luz, la permitividad y permeabilidad del vacío, el número pi… 6.1.5 FFT.java Clase que vale para calcular la FFT de secuencias. Básicamente en el núcleo se crea un objeto de esta clase y cada vez que se quiere una FFT se le llama. El algoritmo utilizado es del tipo recursivo (O(Nlog2(N)), no es el más eficiente en memoria y carga, pero sí el más legible y fácil de implementar. 77 6.1.6 NFTFF.java Este interfaz representa el objeto que se encarga de transformar el campo cercano en campo lejano. Se usa una interfaz en lugar del propio objeto en si porque la implementación cambia un poco según si se quiere el diagrama en un corte en θ, en φ o en 3D. De esta forma se puede instanciar un objeto NFTFF en la rutina principal sin necesidad de saber qué tipo de corte es. 6.1.7 NFTFF3.java A modo de ejemplo se presenta la implementación 3D del near to far field. El uso de estas clases en la rutina principal es el siguiente. Primero se inicializa con los datos de tiempo máximo, direcciones theta y phi y frecuencias de interés. A continuación mediante setters se establecen las coordenadas de la caja de radiación, el área que se utiliza para el puerto… Dentro de la rutina principal hay que incluir un trozo de código que compruebe si hay algún NFTFF asociado y si lo hay ejecutar un paso en la actualización. Finalmente una vez que la simulación FDTD ha terminado hay que llamar a los métodos finalNFTFF(), timeToFrequency() y ouput() o outputFrequency() según se quiera. 6.1.8 2DPlot.java Esta clase contiene varios métodos para guardar datos en 2D. Entre estos datos están los campos en cada una de las componentes en un plano especificado, el campo en una única región concreta, el mallado en la estructura… Su uso es muy simple, se crea un objeto Record2D en el lanzador pasándole una referencia del propio kernell para que pueda acceder a él sin restricciones. Al crear el objeto hay que especificarle una frecuencia o periodo de salvado y cada vez que se llame a un método de salvado se comprobará si el instante en el que se ejecuta es módulo cero con el periodo de salvado para guardar la información en fichero. 6.1.9 Record1D.java Esta clase se encarga de contener arrays temporales e ir almacenando muestras en cada paso de la simulación. 6.1.10 Mesh.java Mesh.java es un interfaz que representa al mallador, es decir, al objeto físico a simular. Al utilizar una interfaz podemos instanciar en el núcleo a un único mallador que a su vez tendrá varias implementaciones como dipolos, guías de onda, guías de onda ranuradas... El único método que debe implementar un objeto que implemente el interfaz además el constructor es el método mesh() que será llamado por el núcleo para asignar materiales a los arrays espaciales del núcleo. 78 6.1.11 SParameters.java Esta clase se encarga de leer las muestras de las presimulaciones (necesarias para comparar señales como se explicó anteriormente), almacenar los arrays temporales de las señales en cada paso de la simulación, calcular los parámetros S usando FFTs y guardar los parámetros en ficheros txt. 6.1.12 Source.java Esta clase contiene diversos tipos de señales temporales. Se inicializa en el núcleo y se la llama cada vez que se quiere una muestra nueva de la señal de entrada. 6.1.13 Launcer.java Launcher se encarga de las rutinas necesarias para lanzar la simulación, en un primer momento se hacia todo en el método main del núcleo pero debido a que es único que cambia entre simulación y simulación cuando se hace el setup se decidió aislarlo para poder controlarlo más fácilmente. 6.1.14 LauncerIni.java Igual que Launcher normal solo que es usado para hacer únicamente la presimulación para luego comparar señales. 6.1.15 Optimizer.java Esta clase es la pasarela entre el paquete optimizador del MIT y la propia simulación. Lo fundamentral de esta clase es como se traducen la posición de ranuras y offset (por ejemplo) en bits para pasárselos al optimizador. También define la función de gol a partir de los parámetros S calculados en cada paso. 6.2 Líneas de código por clases En la Tabla 5 se presenta un resumen de las clases con las líneas de código de cada uno de ellas. Con ello se puede comprobar que clases hacen más o menos trabajo. Una excepción sería la clase 2D Plot que es larga porque tiene muchos métodos repetitivos según se quieran los cortes, módulo o una componente, etc. 79 Clase FDTD NTFF2 PML Slotted Waveguide 2DPlot Complex Constants FFT Record1D SParameters Source Launcher LauncherIni Optimizer líneas 685 602 354 141 816 53 22 80 52 188 60 61 66 120 Tabla 5 Líneas por clase Java 80 7 Bibliografía 1. Numerical solutions of initial boundary value problems involving MAxwell´s equations in isotropic media. Yee, K. S. s.l. : IEEE Trans. Antennas and Propagation, Vol. 14. 2. Taflove, Allen. Computacional electrodynamics- The finite-diference time-domain method. Tercera. s.l. : Artech House, 2005. 3. Fourier analysis of numerical algorithms for the Maxwell´s equations. Liu, Y. s.l. : J Computational Physics, Vol. 124. 4. Absorbing boundary conditions for the finite-difference aproximation of the timedomain electromagnetic field equations. G., Mur. s.l. : IEEE Transc. Electromag. Compat., Vol. 23. 5. A perfectly Matched Layerfor the Absorption of Electromagnetic Waves. Berenguer, Jean-Pierre. 1994, Journal of Computacinal Physics, Vol. 114, págs. 185-200. 6. Three-Dimensional Perfectly Matched Layer for the Absorption of Electromagnetic Waves. Bérenger, Jean Pierre. 1996, Journal of Computacional Physics, Vol. 127, págs. 363379. 7. Perfectly Matched Layer for the FDTD solution of Wave-Structure Interation Problems. Bérenger, Jean Pierre. 1, January de 1996, IEEE Transactions of Antennas and Propagation, Vol. 44. 8. A 3D perfectly matched medium from modified Maxwell´s equations with streched coordinates. Chew, W. C. and W.H. Weedom. s.l. : IEEE Microwave Guided Wave Lett., Vol. 7. 599-604. 9. A perfectly matched anisotropic ansorber for use as an absorbing boundary conditions. Sacks, Z.S. s.l. : IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. 43. 10. Convolutional PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbotrary media. Roden, J.A. and S.D. Gedney. s.l. : Microwave Optical Tech. Lett., Vol. 27. 11. On implementating a numeric Huygen´s source scheme in a finite difference program to illuminate scattering bodies. Merewether, D.E., R. Fisher and F.W. Smith. s.l. : IEEE Trans. Nuclear Science , Vol. 27. 12. Perfect wideband plane wave injector for FDTD method. Guiffaut, C. and K. Mahdjoubi. Salt Lake City : Proc. IEEE Antennas Propagation Soc. Intl. Symp. 81 5. Indice de figuras Figura 1 Algoritmo de Yee ...................................................................................................... 7 Figura 2 Dispersión en función de incidencia y mallado ........................................................ 8 Figura 3 Dispersión causada por mallado y discretización temporal..................................... 9 Figura 4 Forma de mallar I ................................................................................................... 10 Figura 5 Forma de mallar II .................................................................................................. 10 Figura 6 Mallado de superficie PEC ...................................................................................... 11 Figura 7 Campos TE10 mallando mal superficie PEC ........................................................... 11 Figura 8 Campos TE10 mallando bien superficie PEC .......................................................... 12 Figura 10 Señal incidente (a) y reflejada de una frontera ABC de Mur ............................... 13 Figura 11: PML Bérenger en 3D (6) ...................................................................................... 15 Figura 12 Scattering sin PML(a) y con PML(b) ..................................................................... 18 Figura 13 Ejemplo de campana de Gauss pulsada ............................................................... 19 Figura 14 Seno en tiempo (a) y en frecuencia (b) ................................................................ 20 Figura 15 Esquema de puertos discretos ............................................................................. 20 Figura 16 Aplicación Ley de Ámpere .................................................................................... 21 Figura 17 Esquema de integración para la ley de Ámpere .................................................. 21 Figura 18 Simulación onda plana ......................................................................................... 23 Figura 19 Esquema bootstrapping ....................................................................................... 24 Figura 20 Scattered Field / Total Field ................................................................................. 24 Figura 21 Ejemplo Scattered Fields – Total Field ................................................................. 25 Figura 22 Aplicación principio de equivalencia .................................................................... 26 Figura 23 Campo eléctrico de un dipolo λ/2 en el tiempo................................................... 29 Figura 24 Instantes de tiempo de las capturas de la Figura 21............................................ 30 Figura 25 Corte para representación campo magnético ..................................................... 30 Figura 26 Campo magnético corte longitudinal ................................................................... 31 Figura 27 Esquema del campo magnético alrededor del dipolo ......................................... 31 Figura 28 Campo magnético en el plano transversal ........................................................... 32 Figura 29 Corte longitudinal del dipolo para representación del campo eléctrico ............. 32 Figura 30 Componentes campo eléctrico corte longitudinal ............................................... 33 Figura 31 Componentes del campo eléctrico en corte transversal ..................................... 34 Figura 32 Señal incidente en el tiempo y en la frecuencia .................................................. 34 Figura 33 Corriente generada en el puerto.......................................................................... 35 Figura 34 Campo total en el gap .......................................................................................... 36 Figura 35 Resistencia del dipolo para distintos tamaños de celda ...................................... 37 Figura 36 Reactancia del dipolo para distintos tamaños de celda....................................... 38 Figura 37 Detalles del mallado con CST ............................................................................... 39 Figura 38 Comparación de impedancia con CST .................................................................. 39 Figura 39 Resonancia frene a señal de entrada ................................................................... 40 Figura 40 Diagrama de radiación del dipolo en 3D .............................................................. 41 Figura 41 Corte longitudinal vs CST...................................................................................... 41 Figura 42 Modos en guía ...................................................................................................... 43 Figura 43 Excitación de guía normal y con SF/TF Technique ............................................... 45 82 Figura 44 Vista guía con ranura para hallar reflexión .......................................................... 45 Figura 45 Señales reflejadas componente Z ........................................................................ 47 Figura 46 Señales reflejadas componente Y ........................................................................ 47 Figura 47 Señales reflejadas componente X ........................................................................ 48 Figura 48 Señales reflejada y transmitida ............................................................................ 48 Figura 49 DFT de señales incidente y reflejada.................................................................... 49 Figura 50 parámetros de una ranura ................................................................................... 49 Figura 51 mallado de una guía con una ranura ................................................................... 50 Figura 52 Mallado ranura ..................................................................................................... 50 Figura 53 S11 en función de longitud ranura ....................................................................... 51 Figura 54 S11 en función de offset de la ranura .................................................................. 51 Figura 55 Campo magnético con ranura componente X ..................................................... 53 Figura 56 Campo magnético en ranura, componente Z ...................................................... 53 Figura 57 Campo magnético en guía, componente Y .......................................................... 54 Figura 58 Campo eléctrico corte transversal a la altura de la ranura .................................. 55 Figura 59 Superficie de integración para cálculo de campo lejano ..................................... 55 Figura 60 Diagrama radiación de una ranura en 3D FDTD(a) y CST(b) ................................ 56 Figura 61 Diagrama radiación 2D 1 ranura FDTD(a) y CST(b) .............................................. 56 Figura 62 Cortes en θ del diagrama de radiación de una ranura......................................... 57 Figura 63 Cortes en φ de diagrama de radiación de una ranura ......................................... 57 Figura 64 Esquema de 1 guía ranurada................................................................................ 58 Figura 65 Señales incidentes y reflejadas ............................................................................ 58 Figura 66 S11 guía ranurada vs longitud ranura .................................................................. 59 Figura 67 S11 guía ranurada vs offset ranuras..................................................................... 60 Figura 68 Cortes de la parte superior exterior de la guía .................................................... 60 Figura 69 Corte transversal de dos ranuras radiando .......................................................... 61 Figura 70 Diagrama de radiación en 3D con CST (a) en d v B y FDTD (b) en ud. naturales . 61 Figura 71 Radiación en 2D CST y FDTD propio .................................................................... 62 Figura 72 Cortes en φ guía ranurada ................................................................................... 62 Figura 73 Cortes en θ diagrama radiación guía ranurada ................................................... 63 Figura 74 Esquema de las 4 guías ........................................................................................ 63 Figura 75 Vista transversal de 4 guías .................................................................................. 64 Figura 76 Vista longitudinal 4 guías ..................................................................................... 64 Figura 77 Señales incidente y reflejada ............................................................................... 65 Figura 78 Adaptación y acoplos entre guías entrando por primera guía únicamente ........ 66 Figura 79 Adaptación de cada puerto de las guías .............................................................. 67 Figura 80 Diagramas 2D 4x4 CST(a) y FDTD(b)..................................................................... 67 Figura 81 Diagramas en 3D CST(b) y FDTD(a) ...................................................................... 68 Figura 82 Cortes en φ ........................................................................................................... 68 Figura 83 Cortes en θ ........................................................................................................... 69 Figura 84 Esquema de Acoplador en guía ............................................................................ 70 Figura 85 Cortes transversales definición de materiales ..................................................... 71 Figura 86 Esquema de mallado de doble guía ..................................................................... 71 Figura 87 Señales temporales del acoplador de ranura ...................................................... 72 Figura 88 Parámetros S acoplador en guía .......................................................................... 73 83 Figura 89 Cortes 2D transversales del acoplador por ranura .............................................. 73 Figura 90 Cortes en 2D longitudinales acoplador por ranura .............................................. 74 Figura 91 Esquema de clases java y matlab ......................................................................... 76 84 6. Indice de tablas Tabla 1 Parámetros del PML ................................................................................................ 18 Tabla 2 Parámetros comunes de simulación del dipolo ...................................................... 28 Tabla 3 parámetros geométricos del dipolo ........................................................................ 36 Tabla 4 Resumen simulaciones cambiando mallado ........................................................... 37 85