Diseños Factoriales

Diseños Factoriales
Diseño de experimentos – p. 1/25
Introducción
El término “experimento factorial” o “arreglo factorial” se refiere
a la constitución de los tratamientos que se quieren comparar.
Diseño de tratamientos es la selección de los factores a
estudiar, sus niveles y la combinación de ellos.
El diseño de tratamientos es independiente del diseño
experimental que indica la manera en que los tratamientos se
aleatorizan a las diferentes u.e. y las formas de controlar la
variabilidad natural de las mismas.
Así, el diseño experimental puede ser completamente al azar,
bloques al azar, bloques al azar generalizados, cuadro latino,
etc. y para cada uno de estos diseños se puede tener arreglo
factorial de los tratamientos, si estos se forman por la
combinación de niveles de varios factores.
A ambos tipos de diseños, el de tratamientos y el
experimental, les corresponde un modelo matemático.
Diseño de experimentos – p. 2/25
Introducción
Así, por ejemplo, si el diseño experimental es bloques al azar,
el modelos es:
yij = µ + τi + βj + ǫij
respuesta = media general + efecto de tratamiento + efecto de
bloque + error
Si se trata de un diseño factorial, los tratamientos se forman
combinando los niveles de los factores en estudio, de manera
que el efecto del tratamiento τi se considera a su vez
compuesto de los efectos de los factores y sus interacciones.
Por ejemplo, si son dos factores en estudio se tiene:
τi = τkl = αk + γl + ξkl
tratamiento = factor A + factor B + interacción AB
Diseño de experimentos – p. 3/25
Introducción
Haciendo una equivalencia entre los valores de i y los de k y l
suponiendo que el factor A tiene K niveles y el factor B L:
l
i k
1 1
1
2 1
2
3
3 1
.. ..
..
t K L
Y el modelo resultante es:
yklj = µ + αk + γl + ξkl + βj + ǫklj
Es poco usual tener diseños experimentales muy complicados
en los experimentos factoriales, ya que se dificulta el análisis y
la interpretación.
Diseño de experimentos – p. 4/25
Introducción
La necesidad de estudiar conjuntamente varios factores
obedece a la posibilidad de que el efecto de un factor cambie
según los niveles de otros factores, esto es, que los factores
interactúen, o exista interacción.
También se utilizan los arreglos factoriales cuando se quiere
optimizar la respuesta o variable dependiente, esto es, se
quiere encontrar la combinación de niveles de los factores que
producen un valor óptimo de la variable dependiente.
(superficie de respuesta)
Si se investiga un factor por separado, el resultado puede ser
diferente al estudio conjunto y es mucho más difícil describir el
comportamiento general del proceso o encontrar el óptimo.
Diseño de experimentos – p. 5/25
Introducción
Las ventajas de los experimentos factoriales son:
1. Economía en el material experimental al obtener
información sobre varios factores sin aumentar el tamaño
del experimento. Todas las u.e.se utilizan para la
evaluación de los efectos.
2. Se amplía la base de la inferencia en relación a un factor,
ya que se estudia en las diferentes condiciones
representadas por los niveles de otros factores. Se amplía
el rango de validez del experimento.
3. Permite el estudio de la interacción, esto es, estudiar el
grado y forma en la cual se modifica el efecto de un factor
por los niveles de los otros factores.
Una desventaja de los experimentos factoriales es que
requiere un gran número de u.e., sobre todo cuando se
prueban muchos factores o muchos niveles de algunos
factores, es decir, se tiene un número grande de tratamientos.
(factoriales fraccionales)
Diseño de experimentos – p. 6/25
Interacción
Suponga un diseño con dos factores: A con a niveles y B con b
niveles, en diseño completamente al azar. (Factorial a × b
completo, balanceado, efectos fijos)
Sea yijk la respuesta para la k-ésima u.e. del nivel i de A y j
de B.
yijk = µ + τi + βj + γij + ǫijk
i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , n
Las hipótesis que se prueban son:
H01 :
γij = 0 ∀ i, j
H02 : τi + γ̄i. = 0 ∀ i
H03 : βj + γ̄.j = 0 ∀ j
Diseño de experimentos – p. 7/25
Interacción
Ejemplo de un factorial 2 × 2 sin y con interacción.
Diseño de experimentos – p. 8/25
Interacción
Conocer la interacción es más útil que conocer los efectos
principales. Una interacción significativa frecuentemente
oscurece la significancia de los efectos principales.
Cuando hay interacción significativa, se deberán examinar los
niveles de un factor, digamos A, con los niveles del o de los
otros factores fijos, para tener conclusiones acerca del efecto
principal A.
Dos factores: A con a niveles y B con b niveles. Se dice que se
tiene un factorial a × b, con diseño completamente al azar
(bloques, etc.). Se tienen ab tratamientos.
Diseño de experimentos – p. 9/25
Tabla de ANOVA
F.V.
g.l.
SS
CM
F
A
a−1
SSA
SSA /(a − 1)
B
b−1
SSB
SSB /(b − 1)
AB
(a − 1)(b − 1)
SSAB
SSAB /(b − 1)
CMA
CME
CMB
CME
CMAB
CME
error
ab(n − 1)
SSE
SSE /ab(n − 1)
total
abn − 1
SST
SST
=
a X
b X
n
X
i=1 j=1 k=1
2
yijk
E(CM )
2
σ 2 + rbθa
σ 2 + raθb2
2
σ 2 + rθab
σ2
2
y...
−
abn
a
SSA
=
2
y...
1 X 2
y −
bn i=1 i.. abn
b
SSB
=
2
y...
1 X 2
y.j. −
an j=1
abn
a
SSAB
SSE
=
b
2
1 XX 2
y...
yij. −
− SSA − SSb
n i=1 j=1
abn
= SST − SSAB − SSA − SSB
Diseño de experimentos – p. 10/25
Ejemplo
Un ingeniero está diseñando una batería para usarse en un
aparato que estará sujeto a variaciones extremas de
temperatura. Tiene tres opciones para el material de la placa
para la batería, y como sabe que la temperatura afecta la vida
de la batería decide probar tres temperaturas:
15◦ F, 70◦ F, 125◦ F .
Se prueban 4 baterías en cada combinación de material y
temperatura y las 36 pruebas (3 × 3 × 4) se corren en orden
aleatorio (completamente al azar).
Los datos son vida (en horas) de las baterías.
Diseño de experimentos – p. 11/25
Ejemplo
tipo de
material
1
2
3
Temperatura(◦ F )
15
70
125
130 155 34
40 20 70
74 180 80
75 82 58
150 188 136 122 25 70
159 126 106 115 58 45
138 110 174 120 96 104
168 160 150 139 82 60
El ingeniero quiere contestar las siguientes preguntas:
1. Qué efectos producen el material y la temperatura en la
vida de la batería?
2. Existe un material que produzca uniformemente más larga
vida a la batería sin importar la temperatura?
diseño completamente al azar, experimento balanceado,
completo, factores fijos. ej_fact3x3.jmp
Diseño de experimentos – p. 12/25
Una observación por celda
Suponga un experimento con dos factores A con a niveles y B
con b niveles y una sola repetición en cada celda (tratamiento).
El modelo con interacción es:
yij = µ + τi + βj + (τ β)ij + ǫij i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b
F.V.
A
B
AB
Error
Total
g.l.
a−1
b−1
(a − 1)(b − 1)
0
ab − 1
E(CM )
σ 2 + bθa2
σ 2 + aθb2
2
σ 2 + θab
σ2
σ 2 no se puede estimar, por lo tanto no hay prueba para los
efectos principales a menos que no haya interacción, y
entonces el modelo es
yij = µ + τi + βj + ǫij
Este es el caso de bloques al azar.
Diseño de experimentos – p. 13/25
El Diseño Factorial General. Balanceado
El diseño factorial de dos factores se puede generalizar a
tener p factores:
A con a niveles
B con b niveles
..............
En general, habrá abc · · · n observaciones si hay n repeticiones
del experimento completo.
Debe haber por lo menos 2 repeticiones (n ≥ 2) para poder
calcular σ̂ 2 si todas las posibles interacciones están incluidas
en el modelo.
Diseño de experimentos – p. 14/25
Tres factores
El modelo para un factorial de tres factores en diseño
completamente al azar:
yijkl = µ+τi +βj +γk +(τ β)ij +(τ γ)ik +(βγ)jk +(τ βγ)ijk +ǫijkl
i = 1, . . . , a;
j = 1, . . . , b;
k = 1, . . . , c;
l = 1, . . . , n
Ejemplo:
Se desea obtener más uniformidad en el llenado de botellas
de refresco. La máquina de llenado teóricamente llena cada
botella a la altura correcta, pero en la práctica hay variación, y
la embotelladora desea entender mejor las fuentes de esta
variabilidad para eventualmente reducirla.
El ingenio de procesos puede controlar tres factores durante el
proceso de llenado:
El % de carbonato (A), la presión del llenado (B) y las botellas
llenadas por minuto (velocidad de la línea) (C).
Diseño de experimentos – p. 15/25
Sigue ejemplo tres factores


 10%
A=
12%

 14%
(
25psi
B=
30psi
(
200bpm
C=
250bpm
Decide correr dos repeticiones de un diseño factorial en estos
tres factores, con las 24 corridas realizadas en orden aleatorio.
La variable de respuesta es la desviación de la altura objetivo.
Diseño de experimentos – p. 16/25
Sigue ejemplo tres factores
% carbonato
(A)
10
12
14
Presión (B)
25psi
30psi
Velocidad (C) Velocidad (C)
200
250
200
250
-3
-1
-1
1
-1
0
0
1
0
2
2
6
1
1
3
5
5
7
7
10
4
6
9
11
fact3x2x2.jmp
Diseño de experimentos – p. 17/25
Factoriales desbalanceados
Hay situaciones en que el número de observaciones
(repeticiones) en cada tratamiento es diferente. Esto ocurre
por varias razones.
Por ejemplo, el experimentador pudo haber diseñado un
experimento balanceado inicialmente, pero debido a
problemas durante la ejecución del experimento que no se
previeron, se perdieron algunas observaciones lo que provocó
terminar con un diseño desbalanceado.
Por otro lado, algunos diseños desbalanceados se diseñan
así, por ejemplo, algunos tratamientos pueden ser más caros o
con más dificultad para aplicarse, por lo que se toman menos
observaciones en ellos.
Diseño de experimentos – p. 18/25
Factoriales desbalanceados
Alternativamente, algunos tratamientos pueden ser de gran
interés para el investigador porque pueden representar
condiciones nuevas o inexploradas, por lo que toma más
observaciones en ellos.
La ortogonalidad entre efectos principales e interacciones ya
no funciona en los diseños desbalanceados. Esto significa que
no se aplican las técnicas del ANOVA usual.
Diseño de experimentos – p. 19/25
Factoriales desbalanceados
Caso del modelo con dos factores con interacción:
yijk = µ + τi + βj + γij + ǫijk
i = 1, . . . , a;
j = 1, . . . , b;
k = 1, . . . , nij
Se definen otros tipos de sumas de cuadrados. El primero
involucra ajustar modelos de una manera secuencial:
1. Ajustar yijk = µ + ǫijk y obtener SSE1
2. Ajustar yijk = µ + τi + ǫijk y obtener SSE2
3. Ajustar yijk = µ + τi + βj + ǫijk y obtener SSE3
4. Ajustar yijk = µ + τi + βj + γij + ǫijk y obtener SSE4
Diseño de experimentos – p. 20/25
Factoriales desbalanceados
Sea
R(τ |µ) = SSE1 − SSE2
R(τ |µ) es la reducción debida a τ ajustada por µ. Es la
cantidad en la que se reduce la suma de cuadrados del error
del modelo en el paso 1 al incluir en el modelo el término τi .
Mientras más grande sea R(τ |µ) más importante es tener a τi
en el modelo. Es decir, R(τ |µ) es una medida del efecto del
factor A.
R(β|µ, τ ) = SSE2 − SSE3
es la reducción debida a β ajustada por µ y τ . Es una medida
del efecto del factor B dado que ya se tiene a µ y a τi en el
modelo.
R(γ|µ, τ, β) = SSE3 − SSE4
es la reducción debida a γ ajustada por µ, τ y β.
Diseño de experimentos – p. 21/25
Tabla de Análisis de Varianza tipo I
F.V.
A
B
AB
Error
Total
g.l.
a−1
b−1
(a − 1)(b − 1)
n.. − ab
n.. − 1
donde, n.. =
Pa
i=1
Pb
j=1
SS
R(τ |µ)
R(β|µ, τ )
R(γ|µ, τ, β)
SSE4
SSE1
CM
SSA /glA
SSB /glB
SSAB /glAB
SSE /glE
F
CMA /CME
CMB /CME
CMAB /CME
nij
Diseño de experimentos – p. 22/25
Tabla de Análisis de Varianza tipo II
F.V.
A
B
AB
Error
Total
g.l.
a−1
b−1
(a − 1)(b − 1)
n.. − ab
n.. − 1
SS
R(τ |µ, β)
R(β|µ, τ )
R(γ|µ, τ, β)
SSE4
SSE1
CM
SSA /glA
SSB /glB
SSAB /glAB
SSE /glE
F
CMA /CME
CMB /CME
CMAB /CME
Diseño de experimentos – p. 23/25
Análisis tipo III, Regresión
1. Se generan a − 1 variables dummy (0,1) para los a niveles
del factor A. Se generan b − 1 variables dummy para los b
niveles del factor B.
2. La interacción A × B se representa por los productos de
sus variables dummy correspondientes.
3. Se ajusta el modelo con todas las variables dummy y se
obtiene SSE.
4. Se ajusta el modelo con todas las variables dummy
excepto aquellas que corresponden a los efectos
principales o interacciones que están siendo probadas. La
diferencia entre esta SSE y la del modelo completo es la
SS correspondiente a este efecto.
Diseño de experimentos – p. 24/25
Ejemplo factorial 2x3 desbalanceado
Suponga un experimento factorial 2 × 3 en un diseño
completamente al azar.
T1
T2
B1
19
20
21
25
27
B2
24
26
21
24
24
B3
22
25
25
31
32
33
ej9_1_messy.jmp
Diseño de experimentos – p. 25/25