Ecuaciones Diferenciales (MA-841)

Ecuaciones Diferenciales (MA-841)
Ecuaciones Diferenciales Exactas
Departmento de Matemáticas / CSI
aciones Diferenciales Exactas
ITESM
Ecuaciones Diferenciales - p. 1/15
Ecuaciones Diferenciales Exactas
En el curso de cálculo de varias variables se
definió el diferencial total de una función de dos
variables f (x, y) por la ecuación (3.1) siguiente:
∂f (x, y)
∂f (x, y)
dx +
dy
df (x, y) =
∂x
∂y
(3.1)
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Para saber el valor del diferencial total en un punto
(x0 , y0 ), hay que conocer los diferenciales de las
variables independientes, esto es dx y dy para
posteriormente evaluar. En esta evaluación puede
ser que el valor encontrado para el diferencial total
sea diferente de cero o bien, idénticamente cero.
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 2/15
Sin embargo, existe una función f (x, y) para la
cual el valor de su diferencial total simpre será
igual a cero, sin importar el punto (x0 , y0 ) y los
correspondientes dx y dy. Esta función f (x, y) esta
definida por la ecuación (3.2)
f (x, y) = cte
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
(3.2)
No es difícil probar la aseveración anterior, ya que
cuando una función es igual a una constante, el
incremento de la función f (x, y) y el diferencial
total tienen exactamente el mismo valor de cero.
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 3/15
Esto es, si f (x, y) = cte entonces
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
df (x, y) = ∆f (x, y) = f (x+∆x, y+∆y)−f (x, y) = cte−cte = 0
(3.3)
La ecuación (3.3) es una prueba general, para
mostrar de forma específica lo anterior, considere
el siguiente ejemplo.
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 4/15
Ejemplo 1
Si f (x, y) = ex+y = 1, muestre que su diferencial
total vale cero.
Solución
Lo primero que tenemos que hacer para mostrar
que el diferencial vale cero, es determinar el
dominio de f (x, y). Para que la función ex+y sea
simpre igual a 1, se requiere que el exponente
x + y sea siempre igual a cero, para con ello tener
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
ex+y = e0 = 1
luego el dominio de la función es el conjunto de
puntos tales que x + y = 0 o bien la recta
y = −x
Aplicando diferenciales a la ecuación que define el
dominio de f (x, y) encontramos un relación entre
los diferenciales
dada por
aciones
Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 5/15
Ahora, calculemos el diferencial total de
f (x, y) = ex+y y apliquemos dy = −dx
(x,y)
(x,y)
df (x, y) = ∂f∂x
dx + ∂f∂y
dy
df (x, y) = (ex+y )dx + (ex+y )dy
df (x, y) = (ex+y )dx + (ex+y )(−dx)
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
luego
df (x, y) = 0
que es lo que se deseaba mostrar.
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 6/15
Se puede modificar el valor de la constante y
veremos que el resultado que se encuentre simpre
será cero, aunque en algunas ocasiones será más
fácil que en otras mostrar lo que nos piden. En lo
sucesivo, consideraremos que si f (x, y) = cte, su
diferencial total siempre vale cero sin importar el
valor de la constante y el punto en que se pida.
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 7/15
Ejemplo 2
Determine el diferencial total de cada función de
dos variables.
1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 8/15
Ejemplo 2
Determine el diferencial total de cada función de
dos variables.
1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5
(x,y)
(x,y)
df (x, y) = ∂f∂x
dx + ∂f∂y
dy
df (x, y) =
2x
x2 +3y
+ sen(y) dx +
2. f (s, t) = tan−1 ( st ) =
aciones Diferenciales Exactas
3
x2 +3y
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
+ xcos(y) dy = 0
π
2
Ecuaciones Diferenciales - p. 8/15
Ejemplo 2
Determine el diferencial total de cada función de
dos variables.
1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5
(x,y)
(x,y)
df (x, y) = ∂f∂x
dx + ∂f∂y
dy
df (x, y) =
2x
x2 +3y
+ sen(y) dx +
3
x2 +3y
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
+ xcos(y) dy = 0
2. f (s, t) = tan−1 ( st ) = π2
(s,t)
(s,t)
df (s, t) = ∂f∂s
ds + ∂f∂t
dt
−t
s
df (s, t) = s2 +t2 ds + s2 +t2 dt = 0
3. f (r, θ) = rsec(θ) + cos(θ) = 4
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 8/15
Ejemplo 2
Determine el diferencial total de cada función de
dos variables.
1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5
(x,y)
(x,y)
df (x, y) = ∂f∂x
dx + ∂f∂y
dy
df (x, y) =
2x
x2 +3y
+ sen(y) dx +
3
x2 +3y
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
+ xcos(y) dy = 0
2. f (s, t) = tan−1 ( st ) = π2
(s,t)
(s,t)
df (s, t) = ∂f∂s
ds + ∂f∂t
dt
−t
s
df (s, t) = s2 +t2 ds + s2 +t2 dt = 0
3. f (r, θ) = rsec(θ) + cos(θ) = 4
(r,θ)
(r,θ)
df (r, θ) = ∂f∂r
dr + ∂f∂θ
dθ
df (r, θ) =
sec(θ)dr + (rsec(θ)tan(θ) − sen(θ))dθ = 0
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 8/15
Ecuación Diferencial Exacta
Una ecuación diferencial de la forma
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
se dice que es una ECUACION DIFERENCIAL
EXACTA si existe una función f (x, y) = cte tal que:
∂f (x, y)
= M (x, y)
∂x
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
∂f (x, y)
= N (x, y)
∂y
Ecuaciones Diferenciales - p. 9/15
Ecuación Diferencial Exacta
Una ecuación diferencial de la forma
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
se dice que es una ECUACION DIFERENCIAL
EXACTA si existe una función f (x, y) = cte tal que:
∂f (x, y)
= M (x, y)
∂x
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
∂f (x, y)
= N (x, y)
∂y
y además M (x, y) y N (x, y) cumplen con la
siguiente igualdad
∂N (x, y)
∂M (x, y)
=
∂y
∂x
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 9/15
Ecuación Diferencial Exacta
Una ecuación diferencial de la forma
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
se dice que es una ECUACION DIFERENCIAL
EXACTA si existe una función f (x, y) = cte tal que:
∂f (x, y)
= M (x, y)
∂x
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
∂f (x, y)
= N (x, y)
∂y
y además M (x, y) y N (x, y) cumplen con la
siguiente igualdad
∂N (x, y)
∂M (x, y)
=
∂y
∂x
y la solución de dicha ecuación diferencial es
f (x, y) = cte
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 9/15
En la teoría del cálculo en varias variables la
igualdad ∂M/∂x = ∂N/∂y resulta ser una
condición necesaria y suficiente para la existencia
de f (x, y). Es decir, existe f (x, y) tal que su
diferencial total es
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
M (x, y) dx + N (x, y) dy
si y solamente
∂f (x, y)
∂f (x, y)
= M (x, y) y
= N (x, y)
∂x
∂y
Aquí juega un papel importante del teorema de
Clairaut que dice que las parciales cruzadas, en
caso de existir y ser continuas, son iguales.
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 10/15
Ejemplo 3
Indique el valor de b para que la siguiente
ecuación diferencial sea exacta:
2
2
b x y + 3 x y dx + x2 (x + 3 y) dy = 0
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 11/15
Método de Solución
El método de solución de una ecuación exacta
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
consiste la determinación de la función f (x, y)
cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 12/15
Método de Solución
El método de solución de una ecuación exacta
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
consiste la determinación de la función f (x, y)
cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.
El procedimiento es prestado del curso de cálculo
en varias variables.
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 12/15
Método de Solución
El método de solución de una ecuación exacta
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
consiste la determinación de la función f (x, y)
cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.
El procedimiento es prestado del curso de cálculo
en varias variables.
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Paso 1. Verifique que la ED sea exacta:
Nx = M y
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 12/15
Método de Solución
El método de solución de una ecuación exacta
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
consiste la determinación de la función f (x, y)
cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.
El procedimiento es prestado del curso de cálculo
en varias variables.
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Paso 1. Verifique que la ED sea exacta:
Nx = M y
Paso 2. La función buscada f (x, y) es casi la
integral parcial de M (x, y) respecto a x:
Z
f (x, y) = M (x, y) dx + h(y)
aciones Diferenciales Exactas
Ecuaciones Diferenciales - p. 12/15
Paso 3. Determine h′ (x) derivando parcialmente
respecto a y la integral anterior e
igualando a M (x, y):
Z
∂f (x, y)
∂
= N (x, y) =
M (x, y) dx+h′ (y)
∂y
∂y
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 13/15
Paso 3. Determine h′ (x) derivando parcialmente
respecto a y la integral anterior e
igualando a M (x, y):
Z
∂f (x, y)
∂
= N (x, y) =
M (x, y) dx+h′ (y)
∂y
∂y
Z
∂
′
M (x, y) dx
h (y) = N (x, y) −
∂y
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 13/15
Paso 3. Determine h′ (x) derivando parcialmente
respecto a y la integral anterior e
igualando a M (x, y):
Z
∂f (x, y)
∂
= N (x, y) =
M (x, y) dx+h′ (y)
∂y
∂y
Z
∂
′
M (x, y) dx
h (y) = N (x, y) −
∂y
Paso 4. Determine h(y) integrando respecto a y a
h′ (y).
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 13/15
Paso 3. Determine h′ (x) derivando parcialmente
respecto a y la integral anterior e
igualando a M (x, y):
Z
∂f (x, y)
∂
= N (x, y) =
M (x, y) dx+h′ (y)
∂y
∂y
Z
∂
′
M (x, y) dx
h (y) = N (x, y) −
∂y
Paso 4. Determine h(y) integrando respecto a y a
h′ (y).
Paso 5. Forme f (x, y):
Z
f (x, y) = M (x, y) dx + h(y)
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 13/15
Ejemplo 4
Determine la solución general a:
2
2
24 x y + 8 x y dx + x2 (8 x + 8 y) dy = 0
A
72 x3 y + 4 x2 y 2 = C
B
24 x3 y + 8 x2 y 2 = C
C
72 x3 y + 16 x2 y 2 = C
D
8 x3 y + 4 x2 y 2 = C
E
24 x3 y + 4 x2 y 2 = C
F
8 x3 y + 16 x2 y 2 = C
G
16 x3 y + 4 x2 y 2 = C
H
8 x3 y + 8 x2 y 2 = C
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 14/15
Ejemplo 5
Determine la solución general a:
2
2
2
−6 x + 9 y dx + 18 x y + 12 y dy = 0
A
−2 x3 + 9 x y 2 + 4 y 3 = C
B
−2 x3 + 9 x y 2 + 12 y 3 = C
C
−6 x3 + 9 x y 2 + 12 y 3 = C
D
−6 x3 + 9 x y 2 + 4 y 3 = C
E
−6 x3 + 18 x y 2 + 12 y 3 = C
F
−18 x3 + 36 x y 2 + 81 y 3 = C
G
−2 x3 + 18 x y 2 + 4 y 3 = C
H
−2 x3 + 18 x y 2 + 4 y 3 = C
aciones Diferenciales Exactas
Diferencial Total
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ecuación Exacta
Ejemplo 3
Método de
Solución
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ecuaciones Diferenciales - p. 15/15