Lección 10. Hidráulica subterránea Principio general de la

Lección 10. Hidráulica subterránea
Principio general de la hidrostática. Concepto de nivel piezométrico.
Regímenes de flujo: flujo laminar y flujo turbulento. Velocidad crítica y número
de Reynolds. Hidrodinámica: el teorema de Bernouilli. Concepto de carga
hidráulica y potencial de fuerzas. El flujo de aguas subterráneas.
Consideremos un fluido en reposo, de manera que la resultante de las fuerzas actuantes debe
ser nula. La presión aplicada en un punto de ese fluido es la fuerza que ejerce la masa del
resto del fluido sobre ese punto:
-2
2
-1 -2
F/S = m·a/S = M L T /L = M L T
Si suponemos un hipotético disco de fluido, sobre él tenemos las siguientes fuerzas:
Presión sobre la cara inferior = P
Presión sobre la cara superior = P + dP
Presión lateral. Las fuerzas se anulan entre sí
Y
P + dP
S
dy
P
X
Si consideramos el peso del disco:
dW = g·M = ρ·g·V = ρ·g·S·dy
En el equilibrio P·S = (P + dP)·S + ρ·g·Sdy
P = P + dP + r·g·dy
-dP = ρ·g·dy
dP / dy = -ρ·g
El signo negativo indica que a medida que aumenta y y disminuye P, cuanto más alto esté el
punto en la masa fluida tendrá menos presión.
Si integramos esta función entre dos puntos cualesquiera, A y B:
dP = -ρ·g·dy
PA - PB = -ρ·g (yB - yA)
PA - PB = ρ · g (yA - yB)
Luego la diferencia de presión entre dos puntos es el equivalente al peso de una columna de
fluido de sección unitaria y de altura igual a la diferencia de cota entre esos dos puntos.
γ
Si tenemos un medio poroso, como el de la figura:
Si B está en la superficie piezométrica, su presión hidrostática es cero. Entonces, si
PB = PA - γ·b y PB = 0
PA -γ•b = 0 b = PA /γ
El nivel piezométrico se define como
hA = PA / γ + ZA
PA /γ tiene unidades de longitud
B
PA/γ
Nivel piezométrico
hA
A
zA
Nivel de referencia
CONDICIONES HIDRODINAMICAS
Si se considera un fluido en movimiento y en un instante representamos el vector velocidad de
cada punto, tendremos que las trayectorias serían tangentes a la velocidad. Y considerando
todo un volumen de fluido obtendríamos un tubo de fluido, y el agua obtenida en ese tubo de
corriente sería un filete líquido.
A
B
Fijándonos en un punto concreto y su variación a lo largo del tiempo, podemos verlo de dos
modos, o bien fijando el punto o bien siguiendo una partícula a lo largo del tiempo.
Si nos fijamos en un punto concreto y todas las moléculas tienen igual masa específica y la
misma velocidad, estamos en un flujo de régimen permanente. El contrario sería transitorio.
Si ahora tenemos además que a lo largo del tiempo no hay variaciones de este tipo siguiendo
la partícula a lo largo del tiempo, se supone que no hay variaciones de sección, con lo que se
supone que hay régimen uniforme.
Distinguimos dos tipos de regímenes permanentes, basados en la experiencia de Reynolds:
laminar y turbulento.
Si tenemos una vasija llena de agua en la que se mantiene el nivel constante y en ella hay un
tubo de desagüe en el que se puede controlar el flujo y este desagüe se continúa en el interior
de la vasija y a él va a parar un tubo capilar muy fino en el que hay agua coloreada.
Si se abre la llave del desagüe para que dé un caudal pequeño, en estas condiciones el agua
coloreada se mantendrá en forma de un hilo muy fino absolutamente rectilíneo y paralelo a las
paredes del tubo. Este sería el régimen laminar. Si abrimos más la llave llega un momento en
que se pierde el paralelismo. Este sería el régimen turbulento.
En régimen laminar tendríamos unos filetes laminares que se desplazan unos paralelos a otros.
El hecho de que haya diferente velocidad entre ellos se debe a que el fluido tiene una
viscosidad que se opone al flujo.
La velocidad límite entre ambos regímenes es la velocidad crítica, de la que hay dos tipos:
Velocidad crítica superior, por encima de la cual el régimen es siempre turbulento
Velocidad crítica inferior, por debajo de la cual el límite es siempre laminar.
Estas velocidad no coinciden por lo que hay un rango de velocidades en que el régimen es
intermedio. La velocidad crítica superior puede ser de hasta 1.5 veces la inferior; a veces se
considera una velocidad crítica intermedia:
Vc = NR · m /2·r·r
ρ
µ ρ
µ ρ ν
ν
Así, en tubos lisos el número de Reynolds puede ser de hasta 2000, y en acuíferos es de unas
pocas unidades.
En algunos acuíferos el límite entre laminar y turbulento se da con velocidades de 0.5 cm/seg;
esto tiene importancia desde el punto de vista de que en régimen turbulento se disipa mucha
más energía.
PRINCIPIO GENERAL DE LA HIDRODINAMICA
Tenemos un fluido entre dos límites AB y CD en un tiempo inicial, y tras cierto tiempo el fluido
está entre A'B' y C'D', que es como admitir que la masa entre AC y A'C' se ha desplazado de
BD a B'D'.
El trabajo efectuado será:
dW = P S l – P S’ l’
P
A l
A'
S
C
C'
z
B
S'
D
D'
z'
l'
B'
P'
v
El volumen (S·l) no ha variado
dW = (P – P’) vol = (P – P’) m/ρ
Si no ha variado el volumen ni el peso específico, se han debido de producir variaciones de
energía:
2
2
∆ Ec = ½ m v’ – ½ m v
∆ Ep = m g z’ – m g z
2
2
dW = (P – P’) m/ρ = (1/2 m (v’ – v )) + m g (z’ – z)
Y reagrupando términos del estado inicial y final de la expresión, queda:
2
2
P m/ρ – ½ mv + m g z = P’ m/ρ + ½ mv’ + m g z’ = cte
Que es una expresión del teorema de Bernouilli en términos de energía: "En un fluido ideal que
se mueve en régimen permanente, la energía total se mantiene constante".
Si dividimos la expresión por m/ρ :
2
2
P + ½ ρ v + r g z = P’ + ½ ρ v’ + r g z’ = cte
Que es la expresión del teorema de Bernouilli en términos de presión.
Si dividimos por un peso específico (ρ·g):
2
2
P/ρ g + ½ v /g + z = P’/ρ g + ½ v’ /g + z’ = cte
Que es la misma expresión expresada en energía/ peso. Tiene unidades de longitud, la cual
expresa el nivel piezométrico en términos de carga hidráulica. Al ser un flujo en agua
subterránea (donde las velocidades son muy bajas) se puede despreciar el término de la
velocidad y queda igual que en condiciones hidrostáticas:
h = P/ρ + z
El agua en un acuífero no es un fluido ideal, y tiene pérdidas de energía por rozamientos entre
las propias partículas del fluido y entre estas y las del acuífero.
Luego, en realidad, lo que tenemos es:
∆h
PA/γA
PB/γB
hA
hB
zA
∆S
zB
Luego, en realidad tenemos que hA > hB, debido a las pérdidas de carga (pérdidas de energía).
Y la pérdida de carga en relación en relación a la longitud recorrida es lo que se llama
gradiente hidráulico (i):
i = ∆h / ∆S
Luego el agua fluye de zonas de mayor h a zonas de menor h, y no se considera que los
fluidos vayan de zonas de mayor presión a zonas de menor presión, lo cual sólo es cierto para
los gases, donde p/ρ >> z. Luego el agua puede circular de zonas de baja presión a zonas de
mayor presión.
∆h
B
A
A
B
∆h
∆h
A
B
B
A
1)
2)
3)
4)
En B hay mayor presión que en A y, sin embargo, el fluido no fluye
En A hay menos presión que en B y sin emnargo el agua fluye de A a B
A y B tienen la misma presión, y sien embargo el agua fluye de A a B
A tiene mayor presión que B; sin embargo, el agua fluye de A a B porque tiene mayor
energía