0202distribucionesdevelocidadenflujolaminar-170904223543

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
FENÓMENOS DE
TRANSPORTE.
MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES
DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIONES DE
VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR.
SISTEMAS RADIALES.
Ing. Willians Medina.
Maturín, septiembre de 2017.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
CONTENIDO.
CONTENIDO........................................................................................................................ 2
PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4
ACERCA DEL AUTOR. ..................................................................................................... 6
2.3.- FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR. ........................................................ 8
2.4.- FLUJO EN TUBOS CIRCULARES............................................................................ 14
Ejemplo 2.25. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. .. 14
Ejemplo 2.26. Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un tubo
capilar............................................................................................................................. 15
Ejemplo 2.27. Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo.
Problema 2.A1 del Bird. Página 2-30. ........................................................................... 15
Ejemplo 2.28. Flujo a través de una sección de corona circular. Sección 2.4 del Bird.
Página 2.18. .................................................................................................................... 16
Ejemplo 2.29. Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo circular. Problema
2.B1 del Bird. Página 2.30. ............................................................................................ 17
Ejemplo 2.30. ................................................................................................................. 17
Ejemplo 2.31. ................................................................................................................. 18
Ejemplo 2.32. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior.
Problema 2.J2 del Bird. .................................................................................................. 18
Ejemplo 2.33. ................................................................................................................. 19
Ejemplo 2.34. ................................................................................................................. 20
Ejemplo 2.35. ................................................................................................................. 20
Ejemplo 2.36. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo
circular. .......................................................................................................................... 21
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 22
Ejemplo 2.37. Flujo laminar en un tubo circular de un fluido incompresible que
obedece a la ley de potencias. Ejemplo 8.3-1 del Bird. Segunda Edición. Página 284. 28
Ejemplo 2.38. Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Problema 8A.1 del
Bird. Segunda Edición. Página 301. .............................................................................. 28
Ejemplo 2.39. Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Problema 8A.2 del
Bird. Segunda Edición. Página 301. .............................................................................. 28
Ejemplo 2.40. Flujo no newtoniano en tubos concéntricos. Problema 8B.3 del Bird.
Segunda Edición. Página 301. ....................................................................................... 29
Ejemplo 2.41. Flujo de Bingham en un tubo capilar. Ejemplo 2.3-2 del Bird. Página 216. Deducción de la ecuación de Buckingham – Reiner. Problema 8B.6 del Bird.
Segunda Edición. Página 303. ....................................................................................... 30
Ejemplo 2.42. ................................................................................................................. 31
Ejemplo 2.43. Perfil de velocidad de un fluido plástico de Bingham. Ejemplo 3.5-3 del
Geankoplis. Cuarta Edición. Página 184. Problema 3.5-5 del Geankoplis. Cuarta
Edición. Página 236. ...................................................................................................... 32
Ejemplo 2.44. Caída de presión para un fluido plástico de Bingham. Problema 3.5-6 del
Geankoplis. Cuarta Edición. Página 236. ...................................................................... 32
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Ejemplo 2.45. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. Problema 2.I2 del
Bird. Página 2-34. .......................................................................................................... 32
Ejemplo 2.46. ................................................................................................................. 33
Ejemplo 2.47. ................................................................................................................. 33
Ejemplo 2.48. ................................................................................................................. 33
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 34
BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................... 36
TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
FENÓMENOS DE TRANSPORTE.................................................................................. 37
OBRAS DEL MISMO AUTOR. ....................................................................................... 38
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
PRESENTACIÓN.
El presente es un Manual de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para
estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil,
Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de
algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del
estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su
compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad
de los mismos.
Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada
en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor
sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente
en la literatura.
Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de las distribuciones de velocidad
en flujo laminar para sistemas radiales, contiene los fundamentos teóricos, 24 ejercicios
resueltos paso a paso y 11 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser
utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por
estudiantes que están tomando un curso universitario de Fenómenos de Transporte o
Mecánica de Fluidos, así como por profesores que estén impartiendo clases en el área de
enseñanza de Fenómenos de Transporte o Mecánica de Fluidos para estudiantes de
Ingeniería, Ciencia y Tecnología.
Antes de abordar los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante debe
haber tomado un curso sobre viscosidad y mecanismo del transporte.
El concepto de distribuciones de velocidad en flujo laminar es fundamental en el
estudio de los Fenómenos de Transporte, pues es la base de algunas definiciones
involucradas en el estudio de esta materia (Ecuaciones de variación para sistemas
isotérmicos, flujo a régimen permanente en canales abiertos y balances macroscópicos en
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
sistemas isotérmicos), y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el
espectro de situaciones involucradas en el manejo de los perfiles de velocidad en flujo
laminar para sistemas rectangulares tanto para un flujo libre sobre una lámina, como para
dos fluidos en movimiento uno encima del otro y diferentes tipos de fluidos.
Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante
puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a ecuaciones de variación para
sistemas isotérmicos.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte y la Mecánica
de Fluidos, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales
pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352, correo
electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó
personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas,
Maturín, Estado Monagas, Venezuela.
Ing. Willians Medina.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la
Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó
sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas
mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por
LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios
universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó
como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica
Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a
la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de
Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado
Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma
corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte
del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan
Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de
preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando
finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad
de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos
de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,
forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,
Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),
cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),
Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV
(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la
enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a
través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de
ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física,
Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de
Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.
En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración
de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso
y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,
siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a
los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como
una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017)
ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a
través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con
privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual
cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa)
mediante
la
corporación
http://www.amazon.com/
y
su
página
académica
http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
2.3.- FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR.
Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante 
en un tubo <<muy largo>> de longitud L y radio R .
r
p0
z
Elemento diferencial de radio.
L  R
r
r

R
L
,
R
pL
Condiciones:
Estado estacionario.
Flujo laminar.
Fluido Newtoniano.
Propiedades del fluido constantes (  ,  ).
Efectos de borde despreciables.
Flujo en dirección z ( vr  0 , v  0 , v z  0 ).
La velocidad varía en función de r : v z  v z (r ) .
Se analizan cada uno de los términos involucrados en el balance de cantidad de
movimiento:
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
– Velocidad de entrada de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica
situada en r .
Área de contacto (Área paralela a  r ): 2  r L
r
Densidad de flujo de cantidad de movimiento:  r z
Cantidad de movimiento: 2  r L r z
r
(2.24)
– Velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica situada
en r   r .
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Área de contacto (Área paralela a r   r ): 2  r L
r  r
Densidad de flujo de cantidad de movimiento:  r z
Cantidad de movimiento: 2  r L r z
(2.25)
r  r
– Velocidad de entrada de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada
en z  0 .
Flujo de cantidad de movimiento = Flujo másico  Velocidad.
Flujo másico = Flujo volumétrico  Densidad ( m  Q   ).
Flujo volumétrico = Área  Velocidad ( Q  A  v z ).
Área de flujo: A   [(r   r ) 2  r 2 ]
A   [ r 2  2 r  r  ( r ) 2  r 2 ]
A   [ 2 r  r  ( r ) 2 ]
 r  0  ( r ) 2  0
A  2 r  r
Flujo volumétrico:
Q  2  r  r  (v z
Q  2 r  r vz
z 0
)
z 0
Flujo másico:
m  2 r  r vz
z 0
m  2 r  r vz 

z 0
Flujo de cantidad de movimiento
= 2 r  r vz 
= 2  r  r v z2 
z 0
z 0
 (v z
z 0
)
(2.26)
Velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada en
z  L.
Flujo de cantidad de movimiento = 2  r  r v z2 
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zL
(2.27)
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Fuerza de gravedad que actúa sobre la envoltura cilíndrica:
Fuerza = Peso del fluido en la dirección del flujo.
Fuerza = Masa  Aceleración de la gravedad.
Fuerza = Volumen  Densidad  Aceleración de la gravedad.
Fg  (2  r  r L)  (  )  ( g z )
Fg  2  r  r L  g z
(2.28)
Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z  0 .
Fuerza = Área  Presión.
Fp  (2  r  r )  p0
Fp  2  r  r p0
(2.29)
Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z  L .
Fuerza = Área  Presión.
Fp  (2  r  r )  p L
Fp  2  r  r p L
(2.30)
Balance de cantidad de movimiento:
2  r L  r z r  2  r L r z r   r  2  r  r v z2  z 0  2  r  r v z2  z  L  2  r  r L  g z 


  
Efecto viscoso
Efecto de gravedad
Efecto de velocidad
2  r  r p0  2  r  r p L  0

Efecto de presión
(2.31)
Como v z vale lo mismo para z  0 y z  L , los términos tercero y cuarto (efecto de
velocidad) se anulan entre sí.
2  r L r z r  2  r L r z r   r  2  r  r L  g z  2  r  r p0  2  r  r p L  0
 


 
Efecto de gravedad
Efecto viscoso
2  r L r z r  2  r L r z
r  r
(2.32)
Efecto de presión
 2  r  r L  g z  2  r  r ( p0  p L )  0
(2.33)
Las películas cilíndricas descendentes son de longitud L y de espesor  r .
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
La ecuación (2.33) corresponde al balance de cantidad de movimiento en coordenadas
cilíndricas para una película cilíndrica descendente. En caso de un sistema en el cual las
coordenadas cilíndricas se encuentren en otra orientación, debe hacerse la adaptación de la
ecuación (2.33) al sistema indicado.
La ecuación (2.33) es el punto de partida para abordar cualquier problema de flujo laminar
en tuberías, bien sea que el flujo se deba a la gravedad (inclinado o vertical), a una
diferencia de presión ( p0  p L  0 ) o a la transferencia de cantidad de movimiento
(movimiento de la tubería). Para su aplicación se pueden presentar los siguientes casos:
Flujo sin diferencia de presión ( p0  pL  0 ).
2  r L r z r  2  r L r z
r  r
 2 r  r L  g z  0
(2.34)
Tubería horizontal ( g z  0 ).
2  r L r z r  2  r L r z
r  r
 2  r  r ( p0  p L )  0
(2.35)
En este caso, para que exista flujo, debe estar presente por lo menos una tubería en
movimiento o ambas estáticas con el fluido sometido a una diferencia de presión.
Tubería vertical ( g z  g ).
2  r L r z r  2  r L r z
r  r
 2  r  r L  g  2  r  r ( p0  p L )  0
(2.36)
En este caso, el flujo puede existir a expensas de la diferencia de presión, sólo por el efecto
gravitacional. Si adicionalmente no existe diferencia de presión, la ecuación (2.36) se
reduce a:
2  r L r z r  2  r L r z
r  r
 2 r  r L  g  0
(2.37)
En los ejemplos resueltos en este manual se partirá de la ecuación (2.33) directamente, pues
su deducción ya ha sido mostrada rigurosamente.
Definición de la derivada de una función:
f
d f
 lim 
d x  x0 

x x
f
x
x




(2.38)
Ley de Newton de la viscosidad:
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
 r z  
Sistemas radiales.
d vz
dr
(2.39)
Magnitudes relacionadas al flujo de fluidos.
r
Velocidad máxima.
 v 
r , r z  0
R
Velocidad media.
2
vz , max  vz

  v (r ) r d r d 

  r d r d
0
Flujo volumétrico.
R
0
2
0
z
R
Q
2
0

R
0
v z (r ) r d r d 
0
Número de Reynolds.
Re 
D v 
(2.40a)

Re 
4Q 
 D
(2.40b)
Re 
4 m
 D
(2.40c)
Re 
4 m
 D 
(2.40d)
Flujo laminar
Re  2100
Flujo turbulento
Re  2100
Desarrollo en serie de potencias para funciones de interés.
ln (1  x)   x 
ex  1 x 
x 2 x3 x 4 x5
(1)n 1 n
    ... 
x  ...
2 3 4 5
n
x2 x3 x4 x5
xn



 ... 
 ...
2! 3! 4! 5!
n!
(2.41)
(2.42)
Integrales notables.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
1 ax
e c
a
a x 1 a x
ax
 x e d x  a2 e  c
mxa
bm  an
m
 n x  b d x  n x  n 2 ln (n x  b)  c
e
ax
a
2
a
2
dx
(2.43)
(2.44)
(2.45)
 bu  a 
1
1
c
du
ln 
2 2
2 a b  b u  a 
b u
(2.46)
u
1
d u   2 ln (a 2  b 2 u 2 )  c
2 2
b u
2b
(2.47)
2.4.- FLUJO EN TUBOS CIRCULARES.
Ejemplo 2.25. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10.
Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante 
en un tubo <<muy largo>> de longitud L y radio R .
r
p0
L  R
z
L
,
R
pL
Determinar:
a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
b) Distribución de velocidad.
c) Velocidad máxima.
d) Velocidad media.
e) Velocidad volumétrica de flujo.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
f) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.26. Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un tubo
capilar.
Por un tubo horizontal de 30 cm de longitud y 2.5 mm de diámetro interno, fluye glicerina
(CH2OH.CHOH.CH2OH) a 26.5ºC. Para una caída de presión de 2.957 kgf/cm2 la
velocidad de flujo es 1.883 cm3/s. La densidad de la glicerina a 26.5ºC es 1.261 g/cm3. A
partir de estos datos calcular la viscosidad de la glicerina en centipoises. (La medida del
flujo en tubos capilares es uno de los métodos corrientes para la determinación de
viscosidad; estos aparatos se denominan <<viscosímetros capilares>>).
p
30.00 cm
R
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.27. Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo.
Problema 2.A1 del Bird. Página 2-30.
Uno de los métodos para determinar el radio de un tubo capilar consiste en medir la
velocidad de flujo de un fluido viscoso a través del tubo. Hallar el radio de un capilar a
partir de los siguientes datos:
Longitud del capilar = 50.02 cm
Viscosidad cinemática del fluido = 4.0310-5 m2 /s
Densidad del fluido = 0.9552103 kg/m3
Caída de presión a través del tubo capilar (horizontal) = 4.829105 N/m2 = 4.766 atm.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Velocidad de flujo de masa a través del tubo = 2.99710-3 kg/s.
p
50.02 cm
R
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.28. Flujo a través de una sección de corona circular. Sección 2.4 del Bird.
Página 2.18.
Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida
entre dos cilindros circulares coaxiales de radios k R y R .
pL
L
,
2k R
R
p0
z
r
Determinar.
a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
b) Distribución de velocidad.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
c) Velocidad máxima.
d) Velocidad media.
e) Velocidad volumétrica de flujo.
f) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior.
g) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.29. Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo circular. Problema
2.B1 del Bird. Página 2.30.
Un anillo circular horizontal tiene una longitud de 8.23 m. El radio externo del cilindro
interior es de 1.257 cm y el radio interno del cilindro exterior es de 2.794 cm. Mediante una
bomba se hace circular a través del conducto anular una solución acuosa de sacarosa
(C12H22O11) al 60 por ciento a 20ºC. La densidad del fluido es de 1.286 g/cm3 y su
viscosidad 56.5 cp. ¿Cuál es la velocidad volumétrica de flujo cuando se le comunica una
diferencia de presión de 0.379 kgf/cm2?
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.30.
Un intercambiador de calor de doble tubo, concéntricos (ver figura), se utiliza para calentar
una línea de glicerina utilizando agua caliente proveniente de otro proceso. La glicerina
circula por la región anular experimentando una caída de presión a lo largo del
intercambiador de 2.1 atm. En estas condiciones:
a) Qué caudal de este producto fluye por la región anular?
b) ¿Qué fuerza ejerce éste sobre las paredes del tubo?
c) Determine si el flujo es laminar o no.
Considere que la densidad y la viscosidad de la glicerina son constantes e iguales a 1.261
g/cm3 y 65 cP respectivamente.
d) Si el mismo caudal de un plástico de Bingham (  0  600 Pa ,  0  80 mPa.s ,
  1.55 g/cm 3 ) fluye por la zona anular, determine la caída de presión en este caso.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
0.20 m
0.09 m
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.31.
Por un riel cilíndrico, tal como se muestra en la figura, se desliza otro cilindro con una
velocidad V . Halle una expresión para determinar la fuerza tangencial que actúa sobre el
cilindro que se mueve. Considere que el fluido que se encuentra entre ambos mantiene sus
propiedades constantes y que la longitud del cilindro que se desliza es L .
V
r
R
kR
z
L
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.32. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior.
Problema 2.J2 del Bird.
Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con
una velocidad V . La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad
en estado estacionario, la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la
varilla cilíndrica. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con
barniz.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Fluido a la presión
Sistemas radiales.
Cilindro de radio interior R
p0
Fluido a la presión
p0
r
z
Varilla de radio
kR
que se mueve con velocidad
V
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.33.
En el diseño original de un sistema, se transporta agua en flujo estacionario
(   1000 kg/m 3 ,   1 mPa.s ) a través de una tubería horizontal de 1 m de longitud y 4
cm de radio desde un punto a otro, entre los cuales existe una caída de presión por unidad
de longitud (P0 – PL)/L = 0.05 Pa/m. Se modifica el diseño original colocando
concéntricamente en el interior del tubo de 4 cm de radio un tubo de 2 cm de radio, como se
muestra en la figura.
r
vo
z
z 0
P  P0
zL
P  PL
Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que
el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original, determine a qué
velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del
fluido. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema.
Desprecie efectos gravitacionales.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
[Sugerencia: Para el flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior,
el caudal está dado por la ecuación Q 
Fz (r )  
 R 2V  (1  k 2 )
2

 2 k 2  y la fuerza por

 ln (1 / k )

2  V L
].
ln k
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.34.
Un fluido newtoniano se encuentra entre dos cilindros concéntricos horizontales de radio
R1 y R 2 (ver figura). Si el cilindro interno se mueve hacia la izquierda y el externo hacia la
derecha, ambos con velocidad v 0 , calcule:
a) La distribución de velocidad.
b) El caudal que pasa entre los dos cilindros.
c) Determine la posición r para la cual la velocidad del fluido es igual a cero.
vo
vo
r
z
R2
R1
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.35.
Se tiene una tubería vertical de radio R 2 y dentro de ella, un fluido newtoniano que se
mueve hacia arriba. Dentro de la corriente del fluido se coloca una barra muy larga y
delgada de masa m , radio R1 y longitud L ( L  R1 ) como puede verse en la figura.
Dicha barra la sostiene la corriente que fluye hacia arriba. Se pide:
a) La distribución de velocidad que hay entre los dos cilindros concéntricos.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
b) La diferencia de presión  p que debe haber entre los extremos de la barra para que ésta
pueda mantenerse en equilibrio.
c) El caudal que pasa entre los dos cilindros.
m
pL
L
L  R1
L  R2
,
2 R1
R2
p0
z
r
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.36. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo
circular.
En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un
pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo. Aplicar un
balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor  r , tal como se
indica en la figura. Obsérvese que las flechas de <<entrada de cantidad de movimiento>> y
<<salida de cantidad de movimiento>> se toman siempre en la dirección r positiva al
efectuar el balance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en
la dirección r negativa.
a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los
efectos finales) es
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
 g R2
vz 
4
Sistemas radiales.
  r 2
 r 
2
1     2 a ln  
 R 
  R 
b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.
c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación Q 
 gW  3
si el
3
espesor de la película es muy pequeño.
r
z
L
,
r

r
aR
R
R
aR
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
1. Para medir de forma continua la velocidad de flujo de un líquido con la densidad
  875 kg/m 3 ,   1.13  10 3 Pa.s se usa un pequeño capilar con diámetro interior
2.22  10 3 m y longitud 0.317 m. La lectura de la caída de presión a través del capilar
durante el flujo es 0.0655 m de agua (   996 kg/m 3 ). ¿Cuál es la velocidad de flujo en
m3/s sin tomar en cuenta los efectos en los extremos del tubo?
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Respuesta: Q  1.06  10 6 m 3 /s .
2. En un laboratorio de mecánica de fluidos se cuenta con un capilar horizontal de longitud
L  60 cm , dos fluidos (agua @ 20ºC y uno desconocido) e instrumentos para medir la
caída de presión en el capilar y el flujo másico.
a) Escriba un procedimiento para determinar la viscosidad del fluido desconocido.
b) Se hace circular el agua y luego el fluido desconocido a través del capilar obteniéndose
los siguientes datos:
Agua
Fluido desconocido
0.225
4.502
2.94510–4
2.47410–4
Caída de presión (atm)
Flujo másico (kg/s)
Nota: Se determinó que el fluido desconocido tenía una densidad de 0.88 g/cc y las
propiedades del agua @ 20ºC son   1 cp y   1 g/cc . Verificar la validez de los
resultados.
Respuesta:  Desconocido  20.96 cp .
3. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable.
Resolver de nuevo el Ejemplo 2.25 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición
en la forma siguiente:    0 e  r / R , en la que  0 es la viscosidad en el centro de la tubería,
y  una constante que expresa la rapidez con que disminuye  al aumentar r . Demostrar
como el resultado de este problema se transforma en el obtenido en el Ejemplo 2.25 para el
caso límite de que   0 (fluido de viscosidad constante).
Respuesta:
v z ,máx 
Q
a)
rz
P

r;
2L
b)
P R 2 
[e (  1)  1] ; d)
2  L 2
vz 
P R2
2  L 2
 

 r/R r
 1 ;

e (  1)  e
 R


c)
P R2  3
 v z 
[e (  3 2  6   6)  6] ; e)
4
2  L
 P R4  3
[e (  3 2  6   6)  6] ; f) Fz ( R)   R 2  p   R 2 L  g .
4
2  L
4. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Resolver de nuevo el Ejemplo 2.25 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición
 r
radial en la forma siguiente:    0 1 
 , en la que  0 es la viscosidad en el centro del
R 

tubo, y  una constante que expresa la rapidez con que disminuye  al aumentar r .
Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido en el Ejemplo
2.25 para el caso límite de que   0 (fluido de viscosidad constante).
Respuesta: a)  r z 
v z ,max 
e) Q 
P R2
P
r ; b) v z 
2  L 2
2L


r
 r

  1  R   ln 1  R   ln (1   ) ; c)






P R2
P R 2
[



ln
(
1


)]
;
d)

v

[2  3  3 2  6   6 ln (1   )] ;
z
2
4
2  L
12  L 
 P R 4
[2  3  3 2  6   6 ln (1   )] ; f) Fz ( R)   R 2  p   R 2 L  g .
12  L  4
5. Un fluido newtoniano se transporta entre dos puntos en flujo estacionario e
incompresible mediante una tubería horizontal de sección circular. Si se mantiene la
diferencia de presión entre la entrada y la salida de la tubería y el flujo puede considerarse
desarrollado en todo momento, indique cómo cambia el flujo volumétrico de fluido si su
temperatura (la cual puede suponerse uniforme) se aumenta bruscamente mediante una
transferencia de calor desde el exterior. Justifique su respuesta. Considere las posibilidades
de que el fluido pueda ser un líquido o un gas. ¿Cómo cambia su respuesta si el ducto es de
sección cuadrada en vez de circular?
6. Por un ducto circular de diámetro D  20 cm , circula un cilindro (de diámetro
d  19 cm , longitud L  30 cm y densidad   1200 kg/m 3 ), y entre el cilindro y el ducto
hay un fluido lubricante (rellena completamente el espacio) de viscosidad   1000 cp y
densidad   800 kg/m 3 . Si la fuerza aplicada al cilindro para que se mueva es de
F  100 N , y suponiendo que el fluido lubricante es newtoniano y que la diferencia de
presión en la dirección de flujo es despreciable, calcule la velocidad del cilindro dentro del
ducto si:
a) El ducto está horizontal.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
b) El ducto está vertical y la fuerza se ejerce hacia arriba.
r
vo
z
z 0
P  P0
zL
P  PL
Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que
el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original, determine a qué
velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del
fluido. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema.
Desprecie efectos gravitacionales.
7. Flujo laminar de una película que desciende por el interior de un tubo circular.
Un fluido viscoso desciende por el interior de un pequeño tubo circular.
a) Determine la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los
efectos finales).
b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.
 gW  3
c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación Q 
si el
3
espesor de la película es muy pequeño.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
r
z
L
,
R
kR
8. Viscosímetro de cilindro descendente.
Un viscosímetro de cilindro descendente consta de un largo recipiente cilíndrico vertical
(de radio R ), cerrado en ambos extremos, con un pedazo de metal cilíndrico sólido (de
radio k R ). El pedazo de metal está equipado con aletas, de modo que su eje coincide con el
del tubo.
La velocidad de descenso del pedazo metálico en el recipiente cilíndrico puede
observarse cuando éste se encuentra lleno de fluido. Encontrar una ecuación que
proporcione la viscosidad del fluido en términos de la velocidad terminal v0 del pedazo de
metal y las diversas cantidades geométricas que se muestran en la figura.
a) Demostrar que la distribución de velocidad en la rendija anular está dada por
vz
(1   2 )  (1  k 2 ) ln (1 /  )

v0
(1  k 2 )  (1  k 2 ) ln (1 / k )
donde   r / R es una coordenada radial adimensional.
b) Hacer un balance de fuerzas sobre el pedazo de metal cilíndrico y obtener
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.

Sistemas radiales.
(  0   ) g (k R) 2  1   1  k 2 

 ln   
2 
2 v0
 k   1  k 
donde  y  0 son las densidades del fluido y el pedazo de metal, respectivamente.
9. Uno de los mayores problemas que se presentan en el transporte de petróleo crudo es
que, debido a su alta viscosidad, las caídas de presión que se generan en las tuberías de
transporte son muy altas, lo cual se traduce en altos costos de bombeo. Una alternativa para
aliviar el problema consiste en inyectar agua en la tubería. Esto hace que, en ciertas
condiciones, se obtenga un régimen de flujo anular (ver figura). Determine para este caso el
flujo volumétrico de cada fase en términos de sus propiedades físicas, Ri , R , y la caída de
presión por unidad de longitud,  P / L . Considere flujo estacionario unidimensional y
desprecie los efectos de la tensión superficial en la interfase agua-petróleo.
2R
Petróleo
2 Ri
Agua
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Ejemplo 2.37. Flujo laminar en un tubo circular de un fluido incompresible que
obedece a la ley de potencias. Ejemplo 8.3-1 del Bird. Segunda Edición. Página 284.
Deducir la expresión para la velocidad de flujo másico de un líquido polimérico, descrito
por el modelo de la ley de potencias. El fluido circula por un tubo circular largo de radio R
y longitud L , como resultado de una diferencia de presión, de gravedad o de ambas cosas.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.38. Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Problema 8A.1 del
Bird. Segunda Edición. Página 301.
Una solución al 13.5% (por peso) de polisopropeno en isopentano tiene los siguientes
parámetros de la ley de potencias a 323 K: n  0.2 y m  5 103 Pa.s n . La solución se
bombea (en flujo laminar) a través de un tubo horizontal de 10.2 m de longitud y 1.3 cm de
diámetro interior. Se desea usar otro tubo de 30.6 m de longitud con la misma velocidad de
flujo másico y la misma caída de presión. ¿Cuál debe ser el radio del tubo?
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.39. Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Problema 8A.2 del
Bird. Segunda Edición. Página 301.
Una solución acuosa al 1% de polietileno a 333 K tiene los parámetros de la ley de
potencias n  0.6 y m  0.50 Pa.s n . La solución se bombea entre dos tanques, donde el
primero está a una presión p1 y el segundo está a una presión p2 . El tubo que transporta la
solución mide 14.7 m de longitud y es de 0.27 cm de diámetro interior.
Se ha decidido sustituir el tubo simple por un par de tubos de la misma longitud,
pero de diámetro interior más pequeño. ¿Qué diámetro deben tener estos tubos de modo
que la velocidad de flujo másica sea la misma que en el tubo simple?
VER SOLUCIÓN.
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28
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Ejemplo 2.40. Flujo no newtoniano en tubos concéntricos. Problema 8B.3 del Bird.
Segunda Edición. Página 301.
Volver a trabajar el ejemplo 2.32 para el flujo en tubos concéntricos de un fluido que
obedece a la ley de potencias, con el flujo impulsado por movimiento axial del cilindro
interior.
a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido es
v z (r / R)1(1 / n )  1

v0
k 1(1 / n )  1
b) Comprobar que el resultado del inciso a) se simplifica al resultado newtoniano cuando n
tiende a la unidad.
c) Demostrar que la velocidad de flujo másico en la región anular está dada por
m 
2  R 2 v0  1  k 3(1 / n ) 1  k 2 
1


 (para n  3 )
2 
k 1(1 / n )  1  3  (1 / n)
(8B.3-2)
d) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico para fluidos con n  13 ?
e) Simplificar la ecuación 8B.3-2 para el fluido newtoniano.
Fluido a la presión
p0
Varilla de radio
kR
que se mueve con velocidad
Cilindro de radio interior R
Fluido a la presión
p0
V
Solución.
Ejemplo 2.32 y respuestas obtenidas.
Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con
una velocidad V . La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad
en estado estacionario, la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la
varilla cilíndrica. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con
barniz.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Fluido a la presión
Sistemas radiales.
Cilindro de radio interior R
p0
Fluido a la presión
p0
r
z
Varilla de radio
kR
que se mueve con velocidad
Distribución de velocidad:
V
v z ln (r / R)

V
ln k
Velocidad volumétrica de flujo: Q 
 R 2V  (1  k 2 )
2

 2k 2 

 ln (1 / k )

Fuerza requerida para halar la varilla cilíndrica: Fz (r )  
2  V L
ln k
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.41. Flujo de Bingham en un tubo capilar. Ejemplo 2.3-2 del Bird. Página 216. Deducción de la ecuación de Buckingham – Reiner. Problema 8B.6 del Bird.
Segunda Edición. Página 303.
Un fluido cuyo comportamiento se ajusta muy aproximadamente al modelo de Bingham
circula por un tubo vertical en virtud de un gradiente de presión y/o la aceleración de la
gravedad. El radio y la longitud del tubo son, respectivamente, R y L . Se desea obtener
una relación entre la velocidad volumétrica de flujo, Q , y la combinación de las fuerzas de
presión y gravedad que actúan sobre el fluido.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
r
Sistemas radiales.
p0
z
L  R
L
 ,  0 , 0
R
pL
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.42.
Se tiene una tubería horizontal de longitud L con un fluido Bingham dentro de ella (ver
figura). Si se quiere que la mitad del fluido (en volumen) se mueva con una velocidad
uniforme, calcule, despreciando los efectos de la gravedad: a) Perfil de velocidades, b) La
caída de presión por unidad de longitud (  p / L ) que hay que ejercer en el fluido, c) El
caudal que pasa por la tubería y d) La fuerza F necesaria para mantener la tubería fija.
p
L
0, ,
R
VER SOLUCIÓN.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Ejemplo 2.43. Perfil de velocidad de un fluido plástico de Bingham. Ejemplo 3.5-3 del
Geankoplis. Cuarta Edición. Página 184. Problema 3.5-5 del Geankoplis. Cuarta
Edición. Página 236.
Una
solución
de
pigmento
para
impresión
en
barniz,
10%
en
peso
(  0  0.4 N/m 2 ,  0  0.25 Pa.s ), fluye por una tubería con diámetro de 1.0 cm y longitud
de 10.2 m. Se está empleando una fuerza propulsora de presión de 4.35 kN/m2:
a) Calcúlese la velocidad de flujo Q en m3/s.
b) Calcule la velocidad para la región de flujo de taponamiento en r = r0.
c) Calcule la velocidad para valores de r de 0.35 cm, 0.45 cm y 0.50 cm, y grafique el perfil
de velocidad completo contra la posición radial.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.44. Caída de presión para un fluido plástico de Bingham. Problema 3.5-6
del Geankoplis. Cuarta Edición. Página 236.
Cierto fluido plástico de Bingham tiene un valor de  0  1.2 N/m 2 y una viscosidad
 0  0.4 Pa.s . El fluido fluye a 5.70  10 5 m3 /s en una tubería de 2.5 m de largo con
diámetro interno de 3.0 cm. Calcule la caída de presión p0  p L en N/m2 y r0. (Sugerencia:
Esta solución puede obtenerse por medio del método de prueba y error. Como primera
aproximación, asuma que  0  0 .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.45. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. Problema 2.I2 del
Bird. Página 2-34.
Un tubo vertical está lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior
mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad.
Explíquese este hecho y establézcase un criterio de flujo para este experimento.
VER SOLUCIÓN.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Ejemplo 2.46.
Un tubo vertical de radio interno 3 cm está lleno de un fluido de Bingham (  0  600 Pa ,
  2000 kg/m 3 ) y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la
lámina, el fluido puede o no fluir por el extremo inferior debido a la gravedad. Determine si
el fluido sale o no del tubo.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.47.
Se conecta un tubo de 3 mm de d.i. y de 100 mm de longitud a la base de un bote de
mostaza dirigido recto hacia abajo. Cuando el bote está lleno (altura de 1 m) la mostaza sale
por el tubo, pero cuando la altura en el tanque desciende hasta 0.4 m el flujo se para. A
partir de la información anterior encuéntrese la tensión de fluencia de la mostaza, un
plástico de Bingham de densidad   1200 kg/m 3 .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.48.
Se dispone de un tanque A, tapado en su extremo inferior con una lámina removible, tal
como se muestra en la figura. Determine el tiempo necesario para llenar el tanque B (de 50
L de capacidad) a partir del tanque A, una vez removida la tapa, si:
a) El fluido es Newtoniano:
 r z  
d vz
;   1150 kg/m 3 ;   80 cp .
dr
b) El fluido sigue la ley de la potencia:
rz
 dv
 m   z
 dr



n
m  2.5 dina  s n / cm 2 ; n  0.6 ;   1150 kg/m 3 .
c) El fluido sigue el modelo de Bingham:
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
rz 0 :
Sistemas radiales.
d vz
0
dr
rz 0 : rz 0  
d vz
dr
 0  300 Pa;   1150 kg/m 3 ;   80 cp.
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
10. ¿Qué diámetro de tubo vertical permitiría a la mayonesa (   1200 kg/m 3 ) fluir bajo su
propio peso?
11. Flujo no – newtoniano en un tubo.
a) Deducir la fórmula análoga a la de Hagen – Poiseuille para el modelo de Ostwald – de
Waele (ley de potencia). Al hacer la deducción debe de eliminarse primeramente el signo
del valor absoluto. Como para el flujo en un tubo
d vz
es siempre negativo, la ley de la
dr
potencia se transforma en este caso en
rz
d vz
 m
dr
n 1
d vz
dv
m  z
dr
dr
n 1
 d vz
 
 dr
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
 dv
  m   z

 dr



n
(2.H-1)
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Explicar cuidadosamente las transformaciones de la ecuación 2.H-1.
b) Deducir una expresión de la velocidad volumétrica para el flujo en un tubo de un fluido
de Ellis

d vz
  0 r z  1  r z
dr
 1
rz .
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TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y
PROPUESTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
OBRAS DEL MISMO AUTOR.
Serie Problemas Resueltos y Propuestos de:
- Electricidad (Física II).
- Química.
- Cálculo Diferencial.
- Cálculo Integral.
- Cálculo Vectorial.
- Ecuaciones Diferenciales.
- Métodos Numéricos.
- Estadística.
- Mecánica Vectorial (Estática).
- Termodinámica Básica.
- Termodinámica Aplicada.
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Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.
Sistemas radiales.
Videotutoriales.
Cálculo diferencial: Límites de funciones.
Cálculo diferencial: Derivadas de funciones.
Ecuaciones diferenciales de primer orden.
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