Intervalos de Confianza para el cociente de varianzas

Intervalos de Confianza
para el cociente de varianzas
(ó desviaciones estándar)
INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE DOS
VARIANZAS
La necesidad de disponer de métodos estadísticos para comparar las
varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del análisis de una
sola población. Frecuentemente se desea comparar la precisión de
un instrumento de medición con la de otro, la estabilidad de un
proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que varía
el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de
otro.
Intuitivamente, podríamos comparar las varianzas de dos poblaciones,
σ21 y σ22, utilizando la razón de las varianzas muestrales
s12 / s2 2
y si es casi igual a 1, se tendrá poca evidencia para indicar que σ21 y
σ22 no son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy
2
2
pequeño para s1 / s2 , proporcionará evidencia de una diferencia en las
varianzas de las poblaciones.
Para encontrar un intervalo de confianza para el cociente de dos
varianzas, empleamos la distribución F que es similar a como hicimos
en el caso de una sóla varianza empleando la distribución chicuadrada, sólo que ahora usamos el estadístico definido por:
Supóngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes
con varianzas desconocidas σ21 y σ22, respectivamente. De este par de
poblaciones, se tienen disponibles dos muestras aleatorias de
tamaños n1 y n2, respectivamente, sean s21 y s22 las dos varianzas
muestrales. Si se desea, por ejemplo, conocer un intervalo de
confianza del 95% por ciento para el cociente de las dos varianzas:
σ 12 / σ 22
El caso de la distribución la F, para un nivel de confianza (por ejemplo
de 95%) requiere calcular los grados de libertad del numerador y del
denominador, este ejemplo son 30 y 24 respectivamente:
Distribution Plot
F, df1=30, df2=24
1.2
1.0
Density
0.8
0.6
0.4
95% del área = 0.95
0.2
0.025
0.0
0
0.025
0.468
X
2.21
α/2= 0.025 =2.5% del área
F α/2
F (1−α/2)
Para construir el intervalo de confianza para el cociente de dos
varianzas poblacionales, se coloca la varianza muestral mayor en el
numerador del estadístico F.
2
⎛ s1 ⎞ ⎛ σ 2 ⎞
F =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ s2 ⎠ ⎝ σ 1 ⎠
Despejando:
2
σ 12
s12
=
2
σ2
Fs2 2
Esto nos da permite calcular la probabilidad de que el cociente se
encuentre entre dos valores de F.
Para construir el intervalo de confianza empleamos entonces
s12
σ 12
s12
< 2<
2
σ2
Fs2
Fs2 2
En este caso se requiere calcular los grados de libertad del numerador
que son n1-1 (recordando que se toma a n1 como el tamaño de la
muestra de la varianza más grande) y los del denominador que son n2 -1.
Ejemplo.
Un fabricante de automóviles pone a prueba dos nuevos métodos de
ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados
se muestran en la tabla siguiente:
Método 1
Método 2
n1 = 31
n1 = 25
s21 = 50
s22 = 24
Construir un intervalo de confianza del 90% para
Solución:
Sabemos que
σ 12 / σ 22
s12
σ 12
s12
< 2<
2
σ2
Fs2
Fs2 2
Tomamos a s21 como numerador porque es el valor más grande. Los
valores de F requieren los grados de libertad del numerador (n1 -1 =
30) y del denominador (n2 -1 = 24).
Distribution Plot
F, df1=30, df2=24
1.2
1.0
Density
0.8
0.6
90% del área =0.40.90
0.2
0.0
0.05
0.05
0
0.530
X
1.94
σ 12
50
50
< 2<
(1.94)(24) σ 2
(0.53)(24)
Por lo tanto:
σ 12
1.07 < 2 < 3.93
σ2
y el intervalo de confianza para el cociente de las desviaciones
estándar sería:
σ1
1.03 <
< 1.98
σ2
Ejemplo 2.
Una empresa fabrica propulsores. A los ingenieros les gustaría saber
cuál de dos procesos tiene la menor rugosidad en las superficies. Para
ello se toman muestras aleatorias de cada proceso.
Datos.
Proceso 1. n1 = 16 mm, s1 = 4.7
Proceso 2. n2 = 12 mm, s2 = 5.1
Distribution Plot
F, df1=11, df2=15
0.9
0.8
0.7
Density
0.6
0.5
0.4
0.3
90% del área = 0.90
0.2
0.05
0.1
0.0
0.05
0
0.368
X
2.51
Por lo que el intervalo de confianza para el cociente de varianzas
estará dado por
2
2
2
s1
σ1
s1
< 2<
2
σ2
Fs2
Fs2 2
5.1
5.12
σ1
< 2<
2
(0.368)(4.7)
( 2.51)(4.7 ) 2
σ2
2
2
σ 12
0.469 < 2 < 3.2
σ2
Y para las desviaciones estándar (calculamos la raíz cuadrada):
0.68 <
σ1
< 1.79
σ2
Como el intervalo de confianza incluye el valor de uno, no se puede
concluir que exista alguna diferencia entre la variabilidad de los dos
procesos (es decir, el intervalo de confianza incluye la posibilidad de
que las dos desviaciones estándar sean iguales, por lo que el cociente
sería igual a uno).