Asignatura: Fundamentos Matemáticos

Asignatura: Fundamentos Matemáticos
Código: 106111006
Titulación: I.T.O.P.
Curso (Cuatrimestre): Primer curso (anual)
Tipo (T/Ob/Op): T
Profesor(es) responsable(s): Gabriel Soler
López, Carlos Angosto Hernández y Francisco
Granados
e-mail: gabriel.soler@upct.es
Créditos (T+P): 6T+4.5P
web:
http://filemon.upct.es/~gabi
Ubicación despacho: Dpto. Matemática
Aplicada-Campus Alfonso XIII
Departamento: Matemática Aplicada y
Estadística
web: http://www.dmae.upct.es
Descriptores de la asignatura según el Plan de Estudios:
Álgebra lineal. Cálculo infinitesimal. Integración. Ecuaciones diferenciales.
Objetivos de la asignatura:
Esta asignatura es de carácter introductorio a las matemáticas superiores que
debe conocer el Ingeniero Técnico de Obras Públicas. Dada la amplitud de
conocimiento que abarcan los descriptores de la asignatura y los créditos disponibles
para su desarrollo, nos contentaremos con los siguiente objetivos: (1) conocer los
conceptos y leyes básicas de nuestras asignaturas, (2) conocer el alcance y significado
de las teorías desarrolladas, (3) desarrollar un enfoque lógico, riguroso, claro y
sistemático para la formulación y resolución de los problemas planteados, (4) reconocer
la Matemática como una disciplina totalmente integrada en la Ingeniería, (5) Dominar el
lenguaje matemático y el razonamiento lógico-deductivo, (6) trasladar los resultados
obtenidos de un problema matemático a los términos originales siendo capaz de
analizarlos.
Requisitos previos recomendables:
Sería deseable que el alumno hubiera cursado las matemáticas del Bachillerato
Científico-Tecnológico o en su defecto las del Bachillerato de Ciencias de la Salud. En
el caso de acceso de alguna rama de F.P. 2, se considera necesario que el alumno haya
cursado las asignaturas de matemáticas propias de su rama.
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA
A) Programa de Teoría (completo):
Bloque primero: Álgebra Lineal
1.
•
•
•
•
•
•
•
Conceptos generales. Estructuras algebraicas.
Conjuntos. Operaciones entre conjuntos.
Los números naturales, enteros y racionales.
Relaciones binarias.
Aplicaciones.
Leyes de composición. Estructuras algebraicas.
Los números reales.
Propiedades de los números reales. Los números complejos. Representación
módulo argumental de los números complejos.
2.
•
•
•
•
•
•
•
Matrices y determinantes
Definición de matriz. Tipos de matriz.
Operaciones con matrices. Traspuesta de una matriz, suma y producto de matrices.
Producto de matrices por escalares.
Rango de una matriz. Transformaciones elementales por filas y por columnas.
Matrices elementales y equivalentes.
Matrices Cuadradas. Cálculo de la inversa de una matriz utilizando matrices
elementales.
Determinantes. Inversa de una matriz utilizando determinantes.
3.
•
•
•
•
Sistemas de ecuaciones lineales
Definiciones básicas.
Teorema de Rouché-Frobenius.
Resolución de sistemas, método de Gauss.
Método de Cramer.
4. Espacios vectoriales
• Definiciones básicas y primeras consecuencias.
• Combinación lineal, dependencia e independencia lineal, sistema generador, espacio
generado, bases y dimensión.
• Rango de un conjunto de vectores. Prueba del teorema de Rouché-Frobenius.
• Cambio de bases. Matriz de cambio de base.
• Subespacios vectoriales. Operaciones con subespacios: intersección, unión y suma.
Ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorial.
5.
•
•
•
•
•
Aplicaciones lineales.
Nociones básicas.
Subespacios vectoriales asociados a una aplicación lineal.
Inyectividad y suprayectividad de aplicaciones lineales.
Matrices asociadas a una aplicación lineal. Relación entre las coordenadas de v y
f(v).
Propiedades de las matrices asociadas a aplicaciones lineales.
•
Endomorfismos con significado geométrico. Proyecciones ortogonales. Homotecias.
Simetrías y rotaciones del plano.
6.
•
•
•
•
•
•
Diagonalización de endomorfismos y matrices
Introducción.
Polinomio característico, espectro, valores propios y vectores propios.
Teorema de diagonalización.
Aplicaciones de la diagonalización: potencias de matrices y series temporales.
Diagonalización de matrices simétricas.
Matriz de rotación. Detección de ejes de simetría de un sólido.
Bloque segundo: Funciones reales de variable real
7.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Funciones reales de variable real.
Nociones de topología en R.
Función real de variable real. Tipos y álgebra de funciones.
Definición y cálculo de límites de funciones reales de variable real.
Continuidad de funciones reales de variable real. Clasificación de
discontinuidades.
Teoremas sobre valores intermedios y valores extremos de las funciones
continuas: teoremas de Bolzano y Weierstrass. Método de la bisección.
Derivada de un función. Propiedades.
Teoremas de los valores medios de funciones derivables: teoremas de Rolle,
Cauchy y Lagrange.
Reglas de Bernoulli-L'Hôpital.
Aproximación polinómica de funciones derivables. Fórmula de Taylor.
Aproximación del valor de una función en un punto.
Cálculo de límites mediante el polinomio de Taylor. Series de potencias.
Resolución numérica de ecuaciones. Iteración directa. Método de Newton.
Crecimiento, convexidad, concavidad, extremos relativos y absolutos y puntos de
inflexión.
8. Integral de Riemann unidimensional. Integrales impropias
• Particiones de un intervalo. Suma superior e inferior de Riemann.
• Funciones integrables Riemann. Interpretación geométrica de la integral.
Propiedades.
• El Teorema fundamental del cálculo integral.
• Concepto de primitiva de una función. La regla de Barrow. Integración por partes y
cambio de variable.
• Aplicaciones del cálculo integral al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes.
• Cálculo de primitivas.
• Métodos numéricos para calcular integrales. La regla del trapecio y el método de
Simpson.
• Integrales impropias de primera especie. Cálculo y criterios de convergencia.
• Integrales impropias de segunda especie. Cálculo y criterios de convergencia.
Bloque tercero: Cálculo diferencial de funciones de varias
variables
9. Introducción a las funciones de varias variables. Continuidad.
• Topología en Rn: normas, conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos. Puntos
de
• acumulación, interiores y aislados.
• Funciones de varias variables.
• Definición de límite de una función de varias variables. Propiedades.
• Cálculo de límites de un función de dos variables: Límites iterados, direccionales y
cambio a coordenadas polares.
• Continuidad de funciones de varias variables. Propiedades.
10. Diferenciabilidad de funciones de varias variables
• Derivadas direccionales y derivadas parciales.
• Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos
variables.
• Diferenciabilidad de una función. Cálculo de la diferencial. Propiedades.
• Matriz Jacobiana de una función. Propiedades.
• Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz.
• Polinomio de Taylor de una función de varias variables.
• Extremos relativos y absolutos de una función de varias variables. Extremos
condicionados, método de los multiplicadores de Lagrange.
• El teorema de la función implícita.
• El teorema de la función inversa.
11. Ecuaciones diferenciales de primer orden
• Nociones básicas: ecuación diferencial, sistemas de ecuaciones diferenciales y
soluciones.
• Problema de Cauchy.
• Ecuaciones en variables separadas. Aplicaciones.
• Familia de curvas ortogonales.
• Ecuaciones lineales. Problemas de mezclas químicas.
Bloque cuarto: ampliación de cálculo integral
12. Integrales de varias variables reales.
• Integrales de Riemann en rectángulos.
• Integral doble sobre recintos básicos de R2.
• Cálculo de integrales dobles mediante cambio de variables.
• Integrales de Riemann en prismas rectangulares de R3.
• Integral triple sobre recintos básicos de R3.
• Cálculo de integrales triples mediante cambio de variables. Coordenadas
cilíndricas y esféricas.
B) Programa de Prácticas (completo):
Programa
Denominación de la práctica Duración
Cambios de base y
endomorfismos
El teorema de CayleyHamilton y sus aplicaciones
Gráficas de funciones e
integración
3 h.
Tipo de práctica
(Aula, laboratorio,
informática)
Aula de informática
Ubicación física
(sede Dpto., aula
informática...)
Departamento
4 h.
Aula de informática
Departamento
3 h.
Aula de informática
Departamento
C) Bibliografía básica:
ALGEBRA LINEAL
•
•
•
•
•
•
•
D.C. Lay, "Álgebra lineal y sus aplicaciones", Addison Wesley Longman (1999).
J.R. Torregrosa y C. Jordán, “Álgebra lineal y sus aplicaciones”, Ed. Schaum
(1991).
J. Burgos, “Álgebra lineal y geometría cartesiana”, Ed. McGraw-Hill (2000).
J.S. Cánovas y J.A. Murillo, “Fundamentos matemáticos de la Ingeniería”, Ed. DM
(1999).
A. de la Villa, "Problemas de álgebra con esquemas teóricos", CLAGSA (1998).
S.I. Grossman, “Álgebra lineal con aplicaciones”, McGraw-Hill (1996).
E. Tebar Flores, “Problemas de matemáticas: álgebra lineal, cálculo diferencial”,
(1975).
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
•
•
•
•
•
•
•
•
George B. Thomas, Ross L. Finney, "Cálculo una y varias variables" volúmenes I y
II, Ed. Pearson (1999).
Gerald L. Bradley, Karl J. Smith, "Cálculo en una y varias variables", vol. I y II, Ed.
Prentice Hall Iberia (1998).
Sherman K. Stein, “Cálculo y geometría analítica”, McGraw-Hill (1987).
Piskunov, “Cálculo diferencial e integral”, Ed. Tonsa (1970).
Larson, Hostetler & Edwards, "Cálculo I y II", Ediciones Pirámide (2002).
J. E. Marsden, A.J. Tromba, "Cálculo vectorial", Ed. Addison Wesley Longmann
(1998).
F. Ayres, "Teoría y problemas de cálculo diferencial e integral", Ed. McGraw-Hill ,
D.L. (1988).
F. Coquillat, “Cálculo integral : metodología y problemas”, Ed. Tébar-Flores
(1997).
•
•
J.I. Alonso, V.Novo, “Cálculo de Primitivas (Aplicaciones) “, Cuadernos de la
UNED (1988).
V. del Olmo, C. Jordan y J.R. Torregrosa, "Problemas de cálculo diferencial de
funciones de varias variables", Universiad Politécnica de Valencia (1987).
PRACTICAS
•
•
•
M. Calixto, “Prácticas de Matemáticas con Mathematica para ingenieros”, Ed.
Morpi (2002).
A.Fernández, M.L.Sein-Echaluce, “Cálculo. Prácticas con Mathematica”, Prensas
Universitarias de Zaragoza (1995).
M. Muñoz Guillermo, “Prácticas de Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería con
Mathematica”, Editorial nausícaä (2005).
D. Evaluación del alumno:
La evaluación se realiza básicamente mediante la valoración de un examen final escrito.
No obstante se realizará un examen por cada uno de los cuatrimestres, si el alumno
supera estos exámenes parciales estará exento de la realización del examen final. Para
aprobar por parciales es necesario obtener una media de 5 puntos y una nota superior a
un 3.5 en los dos.
La calificación de la asignatura se complementará con la puntuación de las prácticas
que tendrá asignado un 5% del valor total de la asignatura.
E) OBSERVACIONES:
Se aconseja que el alumno curse la asignatura “Matemáticas Básicas”.