1 Serie 1 = + + = + − 01 2 3 2 : zx zyx r π π y 1,1,1 2 3 101 31 2 1,0,1

IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Serie 1
2 x − y + 3 z = 2
:
 x + z +1 = 0
1.- Dada la recta r : 
a) Encuentre un vector director de la recta r.
b) Calcule la ecuación continua de la recta paralela a r que pasa por el punto P = (1, 0, –1).
[1 punto por cada apartado]
a) Es un vector perpendicular a los dos vectores directores de los planos que denominaremos
la resultante del producto vectorial de ambos
π 1 y π 2 , por lo tanto es
i
j k
vπ = (2 , − 1 , 3)
1
⇒ v r = vπ 1 × vπ 2 = 2 − 1 3 = −i + 3 j + k − 2 j = −i + j + k ⇒

 vπ 2 = (1 , 0 , 1)
1 0 1
v r = (− 1 , 1 , 1)
b) La recta t se determina por el mismo vector director que la recta r y por el punto P
vt = v r = (− 1 , 1 , 1) ⇒ t :
x −1
= y = z −1
−1
2.- Dadas la matriz invertible A y la ecuación matricial X ·A + B = C:
a) Despeje la matriz X.
 1 − 2
 1 1
3 1 
 , B = 
 y C = 

−1 1 
 − 2 1
 1 − 1
b) Encuentre la matriz X cuando A = 
[1 punto por cada apartado]
a)
XA = (C − B ) ⇒ XAA −1 = (C − B )A −1 ⇒ XI = (C − B )A −1 ⇒ X = (C − B )A −1
b
A=
1 −2
 1 − 1
1 2 
1
 ⇒ adj A t = 

= 1 − 2 = −1 ≠ 0 ⇒ ∃A −1 ⇒ A −1 =
⋅ adj A t ⇒ A t = 
−1 1
A
− 2 1 
1 1 
A −1 =
(
)
 3 1   1 1  − 1 − 2   2 0   − 1 − 2   − 2 − 4 
1 1 2 
 ⇒ X = 
 − 
 ⋅ 
 = 
 ⋅ 
 = ⋅

⋅ 
(− 1) 1 1 
 1 − 1  − 2 1  − 1 − 1   3 − 2   − 1 − 1   − 1 − 4 
1
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Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
x2 −1
3.- Definimos las funciones f (x) = a (1 − x ) y g ( x ) =
, en que a > 0.
a
2
a) Compruebe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones es
(
4 1+ a2
3a
)
b) Calcule el valor del parámetro a para que esta área sea mínima.
[1 punto por cada apartado]
a)
Puntos de corte entre funciones
x2 −1
⇒ a2 1− x2 = x2 −1 ⇒ a2 − a2 x2 − x2 +1 = 0 ⇒
a
 x = −1
a2 +1
a2 +1− a2 +1 x2 = 0 ⇒ a2 +1 = a2 +1 x2 ⇒ x2 = 2
=1⇒ x = ± 1 ⇒ 
a +1
 x =1
(
)
(
g (x ) = f (x ) ⇒ a 1 − x 2 =
(
)
(
)
)

 x = −1
2
a 1 − x = 0 ⇒ 

 x =1 ⇒
Puntos de corte de las funciones con el eje OX ⇒ y = 0 ⇒  2
 x − 1 = 0 ⇒  x = −1

a
 x =1
a 1 − 0 2 = a > 0

⇒
Cuando x = 0 ∈ (− 1 , 1) ⇒  0 2 − 1
1
 a = − a < 0
(
(
1
(
A = ∫ a 1− x
−1
2
)
)
)
x2 −1
1
dx + ∫
dx = a ∫ 1 − x 2 dx − ∫ x 2 − 1 dx =
a
a −1
−1
−1
1
1
[ ]
(
)
1
(
)
[ ]
1
1
1
1 1
1 1
1
A = a [x ]−1 − a ⋅ ⋅ x 3 −1 − ⋅ ⋅ x 3 −1 + [x ]−1
a 3
a
3
a
1
1
2 2a 2 6a 2 + 6 − 2a 2 − 2
3
3
−
=
A = a [1 − (− 1)] + [1 − (− 1)] − ⋅ 13 − (− 1) − ⋅ 13 − (− 1) = 2a + −
a
a 3 3a
3
3a
3a
2
2
4a + 4 4 a + 1
=
A=
3a
3a
[
(
b)
]
[
]
)
(
)
dA 4 2a ⋅ a − a 2 + 1 4 2a 2 − a 2 − 1 4 a 2 − 1
4 a2 −1
= ⋅
=
⋅
=
⋅
⇒
=
⇒
⋅
= 0 ⇒ a2 −1 = 0 ⇒
A
'
0
2
2
2
2
da 3
3 a
3 a
3
a
a
2
2
2
a = −1
d A 4 2a ⋅ a − 2a a − 1 4 2a 2 − 2a 2 + 2
8
⇒ A' ' =
= ⋅
= ⋅
= 3
a2 = 1 ⇒ a = ± 1 ⇒ 
2
4
3
3
3
da
a
a
3a
 a =1
A' =
(
)
8
8

(
)
−
=
=
−
⇒ Máximo
A
'
'
1
3

3
3 (− 1)
⇒ a =1

8
8
 A' ' (− 1) =
= ⇒ Mínimo
3 ⋅ 13 3

2
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Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
x + 2 y − az = −3


4.- Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + (a − 5) y + z = 4a + 2
 4 x + (a − 1) y + 3 z = 4

a) Calcule los valores del parámetro a para que el sistema no sea compatible determinado.
b) ¿Existe algún valor de a para el cual x = 1, y = –3, z = –1 sea la única solución del sistema?
[1 punto por cada apartado]
a)
−a 1
−a
−a
1
2
2
1
2
A = 2 a − 5 1 = 0 a − 9 1 + 2a = 0 a − 9 1 + 2a = 1 ⋅ (a − 9 ) ⋅ (2 + 2a ) ⇒
4 a −1 3
0 a − 9 3 + 4a 0
0
2 + 2a
a−9 = 0 ⇒ a = 9
Si A = 0 ⇒ (a − 9 ) ⋅ (2 + 2a ) = 0 ⇒ 2 (a − 9 ) ⋅ (1 + a ) = 0 ⇒ 
1 + a = 0 ⇒ a = −1
No es compatible det er min ada para a = −1 o para a = 9
b)
1 + 2 ⋅ (− 3) − a (− 1) = −3 ⇒ 1 − 6 + a = −3 ⇒ a = 2


2 ⋅ 1 + (a − 5) ⋅ (− 3) + (− 1) = 4a + 2 ⇒ 2 − 3a + 15 − 1 = 4a + 2 ⇒ 7 a = 14 ⇒ a = 2 ⇒ No existe

4 ⋅ 1 + (a − 1) ⋅ (− 3) + 3 ⋅ (− 1) = 4 ⇒ 4 − 3a + 3 − 3 = 4 ⇒ −3a = 0 ⇒ a = 0

5.- Sean r1 : x − 2 =
x+3
z +1
y − 3 1− z
y r1 :
.
= y +1 =
=
2
2
2
2
a) Compruebe que r1 y r2 son perpendiculares.
b) Compruebe que se cortan mediante la determinación del punto de corte.
[1 punto por cada apartado]
a) Si son perpendiculares el producto escalar de ambos vectores tiene que ser nulo
v r = (1 , 2 , − 2 )
1
⇒ v r1 ⋅ v r2 = (1 , 2 , − 2 ) ⋅ (2 , 1 , 2 ) = 2 + 2 − 4 = 0 ⇒ v r1 ⊥ v r2 ⇒ Comprobado

 v r2 = (2 , 1 , 2 )
b)

 x = 2+λ


 r1 :  y = 3 + 2λ
 2 + λ = −3 + 2 µ
 λ − 2 µ = −5
 z = 1 − 2λ

 2 λ − µ = −4



⇒  3 + 2λ = − 1 + µ ⇒  2 λ − µ = −4 ⇒ 
⇒ 3λ = −3 ⇒ λ = −1 ⇒

1 − 2λ = −1 + 2 µ
 2λ + 2 µ = 2  λ + µ = 1
  x = −3 + 2 µ


r2 :  y = −1 + µ
 
  z = −1 + 2 µ
− 1 + µ = 1 ⇒ µ = 2 ⇒ (− 1) − 2 ⋅ 2 = −5 ⇒ −5 = −5 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
 x = 2 + (− 1)

Punto de corte P  y = 3 + 2 ⋅ (− 1) ⇒ P(1 , 1 , 3)
 z = 1 − 2(− 1)

3
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Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
6.- Sea f (x) = x2 · e–ax cuando a ≠ 0.
a) Calcule el valor de a para que esta función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2.
b) Cuando a = 2, clasifique sus extremos relativos.
[1 punto por cada apartado]
a)
f ' (x ) = 2 x e − ax + (− a ) e − ax x 2 = x e − ax (2 − ax ) ⇒ f ' (2 ) = 0 ⇒ 2 e − 2 x (2 − a ⋅ 2 ) = 0 ⇒
e − 2 x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
⇒ a = 1 ⇒ f (x ) = x 2 e − x
4 e − 2 x (1 − a ) = 0 ⇒ 
 1− a = 0 ⇒ a = 1
b)
(
) (
)
f (x ) = x 2 e − 2 x ⇒ f ' (x ) = 2 x e − 2 x + (− 2 ) e − 2 x x 2 = e − 2 x 2 x − 2 x 2 = 2 x − x 2 e − 2 x = 2 x (1 − x ) e − 2 x ⇒
f ' (x ) = 0 ⇒ 2 x (1 − x ) e − 2 x
[
e − 2 x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

=0⇒
x=0
 1− x = 0 ⇒ x = 1

(
)]
(
)
(
)
f ' ' ( x ) = 2 (1 − 2 x ) e − 2 x + (− 2 ) e − 2 x x − x 2 = 2e − 2 x 1 − 2 x − 2 x + 2 x 2 = 2 1 − 4 x + 2 x 2 e − 2 x ⇒
(
)
 f ' ' (0 ) = 2 1 − 4 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 e
= 2 ⋅ 1 ⋅ e = 2 > 0 ⇒ Mínimo

⇒
2

2
− 2⋅1
−2
 f ' ' (1) = 2 1 − 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 e = 2 ⋅ (− 1) ⋅ e = − e 2 < 0 ⇒ Máximo
Mínimo relativo ⇒ x = 0 ⇒ f (0 ) = 0 2 e − 2⋅0 = 0 ⋅ e 0 = 0 ⋅ 1 = 0

1

2
− 2⋅1
−2
 Máximo relativo ⇒ x = 1 ⇒ f (1) = 1 e = 1 ⋅ e = e 2
(
2
)
− 2⋅0
0
4
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Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Serie 4
1- Calcule el área del recinto limitado por las curvas de ecuación f (x) = x2 − x + 2 y
g(x) = 5 − 3x.
[2 puntos]
5

5 − 3x = 0 ⇒ 5 = 3x ⇒ x = > 1

Puntos de corte cada función con OX ⇒ y = 0 ⇒ 
3
 x 2 − x + 2 = 0 ⇒ ∆ = (− 1)2 − 8 = −7 < 0 ⇒ No hay
Puntos de corte entre funciones ⇒ 5 − 3 x = x 2 − x + 2 ⇒ x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇒ ∆ = 2 2 + 12 = 16 > 0 ⇒
−2+4

 x = 2 =1
− 2 ± 16
⇒
x=
−2−4
2 ⋅1
x =
= −3
2

 5 − 3⋅0 = 5
En x = 0 ∈ (− 3 , 1) ⇒  2
⇒ 5 > 2 ⇒ g (x ) > f (x )
0 − 0 + 2 = 2
∫ (5 − 3x ) dx − ∫ (x
1
A=
−3
1
[
2
−3
] [
)
1
(
)
[ ]
1
− x + 2 dx = ∫ − x 2 − 2 x + 3 dx = − ⋅ x 3
3
−3
1
−3
[ ]
1
− 2 ⋅ ⋅ x2
2
1
−3
+ 3 ⋅ [x ]−3
1
]
28 60 − 28 32 2
28
1
3
2
=
=
A = − ⋅ 13 − (− 3) − 12 − (− 3) + 3 ⋅ [1 − (− 3)] = − + 8 + 12 = 20 −
u
3
3
3
3
3
2.- Dado el plano π : 2x + y – z = 5:
a) Encuentre la ecuación del plano paralelo al plano π que pasa por el punto P = (1, 0, −1).
b) Calcule también la distancia entre el punto P y el plano π.
[1 punto por cada apartado]
a) Siendo un plano α paralelo, su vector director será el del plano π que es perpendicular al vector PG,
donde G es el punto genérico del plano y por, ello, su producto escalar nulo y la ecuación del plano que se
pide

vπ = (2 , 1 , − 1)
⇒ vπ ⊥ PG ⇒ vπ ⋅ PG = 0 ⇒

 PG = ( x , y , z ) − (1 , 0 , − 1) = ( x − 1 , y , z + 1)
(2 , 1 , − 1) ⋅ (x − 1 , y , z + 1) = 0 ⇒ 2 (x − 1) + y − (z + 1) = 0 ⇒ α ≡ 2 x + y − z − 3 = 0
b)
d (P , α ) =
2 ⋅1 + 0 − 1 − 3
2 2 + 12 + (− 1)
2
=
−2
4 +1+1
=
2
6
=
2 6
6
=
u
6
3
5
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Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
3.- La gráfica correspondiente a la derivada de una función f (x) es la siguiente:
a) Explique razonadamente qué valores de x corresponden a máximos o a mínimos relativos de f (x).
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x).
[1,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b]
b) Empezaremos por los intervalos de crecimiento y decrecimiento
El intervalo de crecimiento se da en los intervalos en donde la derivada es mayor que cero por lo tanto
Crecimiento
∀x ∈ ℜ / − 3 < x < 0
Decrecimiento
∀x ∈ ℜ / (x < −3) ∪ x > 0
a) Consecuencia de lo determinado en el apartado anterior tenemos
Mínimo relativo en x = -3 porque la función pasa de decrecimiento a crecimiento
Máximo relativo en x = 0 porque la función pasa de crecimiento a decrecimiento
En el punto de abcisa x = 2, en donde podía haber dudas, hay un punto de inflexión ya que la segunda
derivada es nula
4.- Analice, según los valores del parámetro k, el carácter (es decir, si es compatible o
2 x + y − z = k − 4

no y si es determinado o no) del siguiente sistema de ecuaciones:  (k − 6 ) y + 3 z = 0
 (k + 1)x + 2 y = 3

[2 puntos]
2
A=
0
k +1
[
−1
1
k −6 3 =
(
2
0
−1
1
6
k −3
= −[12 − (k − 3) (k + 1)]
6
k − 3 0 = (− 1) ⋅
k +1
2
k +1
2
0
A = − 12 − k 2 + k − 3k − 3
2
) ]= k
2
− 2k − 3 − 12 = k 2 − 2k − 15 ⇒ Si A = 0 ⇒ k 2 − 2k − 15 = 0 ⇒
2+8

k = 2 =5
2 ± 64
∆ = (− 2 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 15) = 64 > 0 ⇒ k =
⇒
⇒
2−8
2 ⋅1
k =
= −3
2

∀k ∈ ℜ − {− 3 , 5} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = número de incognitas ⇒ Sist. Compatible Deter min ado
2
Continuación Problema 4 de la serie 4
6
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Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Si k = −3
 2
1 −1 − 4  2 1 −1 − 4  2 1 −1 − 4

 
 

 0 − 9 3 0  ≡  0 − 9 3 0  ≡  0 0 0 − 3  ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒
− 2 2
0 3   0 3 − 1 − 1   0 3 − 1 − 1 

Sistema Incompatible
Si k = 5
 2 1 −1 − 4  2 1 −1 − 4  2 1 −1 − 4
 
 


 0 − 1 3 0  ≡  0 − 1 3 0  ≡  0 − 1 3 0  ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒
 6 2 0 3   0 − 1 3 15   0 0
0 15 

 
 
Sistema Incompatible
5.- Encuentre la ecuación general (es decir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) de los planos
y = 2
y que forman un ángulo de 45º con el plano z = 0.
z =1
que contienen la recta r : 
[2 puntos]
El vector director de los planos π pedidos es perpendicular al vector director de la recta r y por tanto su
producto escalar es nulo, y forma 45º con el vector director del plano α dado.
Sea el vector director del plano buscado (A , B , 1)
 x = λ
 
r :  y = 2 ⇒ v r = (1 , 0 , 0 )
⇒ v r ⊥ vπ ⇒ v r ⋅ vπ = 0 ⇒ (1 , 0 , 0 ) ⋅ ( A , B , 1) = 0 ⇒ A = 0
 
  z =1

vπ = ( A , B , 1)
v r ⋅ vπ
 vα = (0 , 0 , 1)
2
⇒ cos 45º =
⇒
=

2
vπ = ( A , B , 1)
v r ⋅ vπ
(0 , 0 , 1) ⋅ ( A , B , 1)
0 2 + 0 2 + 12 ⋅ A 2 + B 2 + 1 2
⇒
1
2
=
2
1 ⋅ A2 + B 2 + 1
 2 A 2 + B 2 + 1 = 2
2
1
=±
⇒
⇒ 2 A2 + B 2 + 1 = 4 ⇒ A2 + B 2 + 1 = 2 ⇒
2
2
2
2
2
 2 A + B + 1 = −2
A + B +1
 B = 1 ⇒ vπ = (0 , 1 , 1) ⇒ π ≡ y + z + D = 0
 A=0
2
B
B
⇒
=
1
⇒
=
±
1
⇒
⇒
 2

2
 B = −1 ⇒ vπ = (0 , − 1 , 1) ⇒ π ≡ y − z + D = 0
A + B = 1
2 + 1 + D = 0 ⇒ D = −3 ⇒ π 1 ≡ y + z − 3 = 0
Contiene al punto P(λ , 2 , 1) ⇒ 
 2 − 1 + D = 0 ⇒ D = −1 ⇒ π 2 ≡ y + z − 1 = 0
(
)
7
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Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
6. Dentro de un triángulo rectángulo, de catetos 3 y 4 cm, se encuentra un rectángulo.
Dos lados del rectángulo están situados en los catetos del triángulo y uno de los vértices del rectángulo está
en la hipotenusa del triángulo.
a) Haga un esbozo de la situación descrita.
b) Si x es la longitud del lado del rectángulo que está situado en el cateto pequeño e y es el otro lado del
rectángulo, compruebe que se cumple que 4x + 3y = 12.
c ) Determine las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.
[0,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b; 1 punto por el apartado c]
a)
b)
4− y 4
= ⇒ 12 − 3 y = 4 x ⇒ 4 x + 3 y = 12
x
3
b)
12 − 4 x

12 − 4 x 12 x − 4 x 2 4
4 x + 3 y = 12 ⇒ 3 y = 12 − 4 x ⇒ y =
S
x
⇒
=
=
= 3x − x 2 ⇒

3
3
3
3

S = xy
dS 4
4
3
S'=
= (3 − 2 x ) ⇒ S ' = 0 ⇒ (3 − 2 x ) = 0 ⇒ 3 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 3 ⇒ x = ⇒
dx 3
3
2
3

x = cm

2
d 2S
8

3
S ' ' = 2 = − < 0 ⇒ Máximo ⇒ 
12 − 4 ⋅
3
dx

2 = 12 − 6 = 2 cm
y
=

3
3

(
)
8