Lección 7. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con

7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes
constantes
La ecuación lineal homogénea de coecientes constantes de orden n es:
an y (n) + an−1 y n−1 + . . . + a1 y 0 + a0 y = 0
donde a1 , a2 , . . . , an son constantes.
Para la resolución formamos la ecuación característica:
an mn + an−1 mn−1 + . . . + a1 m + a0 = 0.
Si la ecuación característica:
Tiene una raíz m real de multiplicidad k , las funciones emx , xemx , . . . , xk−1 emx son k soluciones
linealmente independientes de la ecuación diferencial.
Tiene un par α + iβ y α − iβ de raíces complejas conjugadas de multiplicidad k , las funciones:
eαx cos(βx), x eαx cos(βx), . . . , xk−1 eαx cos(βx)
eαx sen(βx), x eαx sen(βx), . . . , xk−1 eαx sen(βx)
son 2k soluciones de la ecuación diferencial.
Ejemplos:
1. y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0 → m3 − 3m2 + 3m − 1 = 0.
3
(m − 1) = 0 → m = 3 triple.
Entonces {e3x , x e3x , x2 e3x } son linealmente independientes y y = c1 e3x + c2 xe3x + c3 x2 e3x es la
solución general de la ecuación.
√
√
2. y 000 − 8y = 0 → m3 − 8 = 0 → m = 2, m = −1 − 3i, m = −1 + 3i.
√
√
Entonces y = c1 e2x + c2 e−x cos( 3x) + c3 e−x sen( 3x) es la solución general de la ecuación diferencial.
2
3. y (4) + 2y 00 + y = 0 → m4 + 2m2 + 1 = 0 → (m2 + 1) = 0 → m = i, m = −i dobles.
Entonces {cos x, x cos x, sen x, x sen x} es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación y
y = c1 cos x + c2 x cos x + c3 sen x + c4 x sen x es la solución general de la ecuación.
Ejemplo:
Si m = 0, m = −2 − 3i, m = −2 + 3i son soluciones de la ecuación característica de una e.d.o. lineal de
coecientes constantes, la ecuación característica correspondiente es
m(m − (−2 − 3i))(m − (−2 + 3i)) = 0 → m3 + 4m2 + 13m = 0.
que corresponde a
y 000 + 4y 00 + 13y 0 = 0.
1
7.1. Ecuaciones no homogéneas con coecientes constantes: cálculo de una
solución particular
Dada la e.d.o. no homogénea de coecientes constantes:
an y (n) + an−1 y n−1 + . . . + a1 y 0 + a0 y = g(x),
la solución de la ecuación es y = yc +yp , donde yc es la solución complementaria o solución de la ecuación
homogénea asociada y yp es una solución particular de la ecuación no homogénea. Damos a continuación
dos métodos para encontrar una solución particular de la no homogénea:
7.1.1. Método de los coecientes indeterminados
La solución particular vendrá dada según sea la función g(x).
1. Si g(x) = Pn (x) es un polinomio de grado n y:
0 no es raíz de la ecuación característica:
yp = Qn (x);
0 es una raíz de la ecuación característica de multiplicidad k :
yp = xk Qn (x);
donde Qn (x) es un polinomio de grado n.
2. Si g(x) = eax Pn (x), a ∈ R, Pn (x) un polinomio de grado n y:
a no es raíz de la ecuación característica:
yp = eax Qn (x);
a es raíz de multiplicidad k de la ecuación característica:
yp = xk eax Qn (x);
donde Qn (x) es un polinomio de grado n.
3. Si g(x) = eax (Pl (x) cos(bx) + Qn (x) sen(bx)) y:
a + bi, a − bi no son raíces de la ecuación característica:
yp = (Tr (x) cos(bx) + Sr (x) sen(bx))eax ;
a + bi, a − bi son raíces de multiplicidad k de la ecuación característica:
yp = xk eax (Tr (x) cos(bx) + Sr (x) sen(bx));
donde Tr (x), Sr (x) son polinomios de grado r =max(l, n).
Ejemplo: Buscamos soluciones de la ecuación y 000 − y 00 + y 0 − y = g(x) para diferentes g(x).
Las raíces de la ecuación característica m3 − m2 − 1 = 0 de la ecuación homogénea asociada
y 000 − y 00 + y 0 − y = 0,
son:
m = 1, m = i, m = −i.
La solución complementaria es: yc = c1 ex + +c2 cos x + c3 sen x.
2
Si g(x) = x2 − x:
• g es un polinomio de segundo grado.
• 0 no es raíz de la ecuación característica.
• La solución particular tiene la forma de un polinomio de segundo grado: yp = Ax2 + Bx + C .
Calculamos los coecientes A, B y C :
yp000 − yp00 + yp0 − yp = x2 − x → −Ax2 + (2A − B)x + (B − C − 2A) = x2 − x.
Igualando coecientes: A = −1, B = −1, C = 1, y una solución particular es yp = −x2 − x + 1.
La solución de la ecuación no homogénea
y = yc + yp = c1 ex + c2 cos x + c3 sen x − x2 − x + 1.
Si g(x) = 6x2 ex :
• g(x) tiene la forma eax P2 (x), a = 1, P2 (x) = 6x2 .
• a = 1 es raíz de la ecuación característica de multiplicidad k = 1.
• La solución particular yp = xk eax Q2 (x) → yp = xex (Ax2 + Bx + C).
Determinación de coecientes:
yp000 − yp00 + yp0 − yp = 2(3A + 2B + C)ex + 2(6A + 2B)xex + 6Ax2 ex = 6x2 e2 .
Como {ex , xex , x2 ex } es un conjunto linealmente independiente, en la combinación lineal:
(6A + 4B + 2C)ex + (12A + 4B)xex + (6A − 6)x2 ex = 0,
necesariamente:

 6A + 4B + 2C = 0
12A + 4B = 0
→ A = 1, B = −3, C = 3.

6A − 6 = 0
La solución de la ecuación diferencial es
y = yc + yp = c1 ex + c2 cos x + c3 sen x + xex (x2 − 3x + 3).
Si g(x) = 4 cos x:
• g(x) tiene la forma eax (Pl (x) cos(bx) + Qn (x) sen x), a = 0, b = 1, Pl (x) = 4, Qn (x) = 0,
l = n = 0.
• a + bi = i es raíz de la ecuación característica de multiplicidad k = 1.
• La solución particular tiene la forma
yp = xk eax (Tr (x) cos(bx) + Sr (x) sen(bx)), r = max(l, n) = 0,
entonces
yp = x(A cos x + B sen x).
Determinación de coecientes:
yp000 − yp00 + yp0 − yp = 4 cos x → (−2A − 2B) cos x + (2A − 2B) sen x = 4 cos x.
Como {sen x, cos x} es un conjunto linealmente independiente:
½
−2A − 2B − 4 = 0
(−2A − 2B − 4) cos x + (2A − 2B) sen x = 0 →
→ A = B = −1.
2A − 2B = 0
La solución es
y = yc + yp = c1 ex + c2 cos x + c3 sen x − cos x − sen x.
3
7.1.2. Método de variación de parámetros
Método para llegar a la solución particular de una ecuación diferencial lineal de orden n en un intervalo
I:
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + . . . + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x).
En forma normal:
y (n) + Pn−1 (x)y (n−1) + . . . + P1 (x)y 0 + P0 (x)y = f (x).
Una solución particular de la ecuación es de la forma:
yp = u1 (x)y1 + u2 (x)y2 + . . . + un (x)yn ,
donde:
{y1 , y2 , . . . , yn } es un conjunto fundamental de soluciones en I de la forma homogénea de la ecuación
Las uk , k = 1, 2, . . . , n están determinadas por las ecuaciones

0
0

 y10 u01 + . . . + yn0 un0 = 0

y1 u1 + . . . + yn un = 0
...


 (n−1) 0
(n−1) 0
un = f (x)
u1 + . . . + yn
y1
Solución:
Por la regla de Cramer:
u0k =
Wk
,
W
donde
W es el Wronskiano de {y1 , . . . , yn } .
Wk es el determinante obtenido al sustituir la k−ésima columna del wronskiano por (0, 0, . . . , f (x)).
Ejemplo: Sea la ecuación y 00 +y = sec x tan x. {sen x, cos x} forma un sistema fundamental de soluciones
de y 00 + y = 0, por tanto
yp = u1 sen x + u2 cos x.
El sistema es
½
sen x u01 + cos x u02 = 0
cos x u01 − sen x u02 = sec x tan x
¯
¯ sen x cos x
W = ¯¯
cos x − sen x
¯
¯
¯ = −1
¯
¯
¯ 0
cos x
W1 = ¯¯
sec x tan x − sen x
¯
¯ sen x 0
W2 = ¯¯
cos x sec x tan x
¯
¯
¯ = − tan x
¯
¯
¯
¯ = tan2 x
¯
4
Las funciones u1 y u2 se calculan
u01 =
u02 =
− tan x
= tan x → u1 =
−1
tan2 x
= − tan2 x → u2 =
−1
Por tanto
Z
tan x dx = − ln(cos x).
Z
tan2 x dx = −x + tan x.
yp = ln(cos x) sen x + (−x + tan x) cos x.
la solución de la ecuación es
y = c1 sen x + c2 cos x + ln(cos x) sen x + (−x + tan x) cos x.
Observaciones:
El método de variación de los parámetros tiene cierta ventaja sobre el de los coecientes indeterminados al poder llegar a una solución para cualquier forma de g(x).
Se puede aplicar el método tanto para ecuaciones con coecientes constantes como para coecientes
variables.
5
Ejercicios del capítulo
1. Obtén la solución general de la ecuación diferencial dada:
a ) 3y 00 − y 0 = 0.
b ) 2y 00 + 5y 0 = 0.
d2 y
dy
+8
+ 16y = 0.
dx2
dx
d ) y 00 + 3y 0 − 5y = 0.
c)
e ) y 000 + y 00 − 2y = 0.
f ) y 000 − 6y 00 + 12y 0 − 8y = 0.
2. Determina una ecuación diferencial lineal con coecientes constantes que tenga las soluciones indicadas:
a ) 4e6x , 3e−3x .
b ) 3, 2x, −e7x .
3. Halla la ecuación diferencial lineal de coecientes constantes reales, del menor orden posible, sabiendo que la funciones y1 = x2 ex e y2 = 3 sen x son soluciones de la ecuación homogénea e y = x2
es solución particular de la completa. ¾Cuál sería la solución general de la ecuación diferencial?
4. Halla la ecuación diferencial lineal de coecientes constantes reales, del menor orden posible, sabiendo que la función y1 = x sen x es solución de la ecuación homogénea e y = x2 es solución de
la completa. ¾Cuál sería la solución general de la ecuación diferencial?
5. Determina cuál o cuáles pueden ser las formas de una solución particular de una ecuación diferencial dada de coecientes constantes an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = g(x) si el término
independiente de la ecuación g(x) es:
(a) 1
(d) x3 − x + 1
(g) e5x
(j) e3x sen(4x)
(b) 5x + 7
(e) sen(4x)
(h) (9x − 2)5x
(k) 5x2 sen(4x)
(c) 3x2 − 2
(f ) cos(4x)
(i) x2 e5x
(l) xe3x cos(4x)
6. Resuelve, mediante el método de los coecientes indeterminados, la ecuación y 000 −y 00 +y 0 −y = g(x),
donde g(x) es:
(a) x2 + x
(d) 4 cos x
(b) 5xe2x (c) 3ex x2
(e) 4 sen x (f ) 1
7. Resuelve la ecuación diferencial dada por el método de los coecientes indeterminados:
a ) y 00 − 9y = 54.
b ) y 000 + 2y 00 + 2y 0 = 6x2 + 1.
c ) y 00 − 6y 0 + 9y = 25ex sen x.
d ) y 00 + y 0 + y = x sen x.
dy
d2 y
8. La ecuación del movimiento libre amortiguado es 2 + 2λ + w2 y = 0, donde λ > 0 y w es una
dt
dt
constante. Escribe la solución de la ecuación en los siguientes casos:
a ) Si el sistema está "sobreamortiguado", es decir, si λ2 − w2 > 0.
b ) Si el sistema está çríticamente amortiguado", es decir, si λ2 − w2 = 0.
6
c ) Si el sistema está "subamortiguado", es decir, si λ2 − w2 < 0.
9. Demuestra que la solución general de de la siguiente ecuación de Schrodinger
−(}2 /2m)d2 ψ/dx2 = Eψ
es ψ = Aeikx + Be−ikx , E = k 2 }2 /2m o también ψ = A sen(kx) + B cos(kx), E = k 2 }2 /2m
10. Idem anterior
−(}2 /2m)d2 ψ/dx2 + V ψ = Eψ,
1/2
cuya solución es ψ = Aekx + Be−kx , k = {2m(V − E)}2 }
11. Resuelve la ecuación diferencial dada mediante variación de parámetros:
a ) y 00 + y = sen x.
b ) y 00 + y = cos2 x.
c ) y 00 − 4y = e2x /x.
d ) 2y 000 − 6y 00 = x2 .
7