Integración numérica Algunas reglas básicas Berenice Becerra O. 01/12/2008 Trabajo para la materia de Análisis Numérico donde se describe brevemente algunas reglas básicas de la integración numérica y algunos casos particulares. Algunos de los cálculos se corroboran con Mathematica CONTENIDO Introducción ...................................................................................................................................................................................... 3 Algunos casos particulares.......................................................................................................................................................... 4 Regla del rectángulo .................................................................................................................................................................. 4 Regla del punto medio ............................................................................................................................................................. 5 Regla del Trapecio ..................................................................................................................................................................... 6 Regla de Simpson ....................................................................................................................................................................... 7 Regla del trapecio corregida .................................................................................................................................................. 8 Resumen ........................................................................................................................................................................................ 9 Ejemplo .........................................................................................................................................................................................10 Algunos datos importantes ..................................................................................................................................................11 Bibliografía ......................................................................................................................................................................................14 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: ALGUNAS REGLAS BÁSICAS INTRODUCCIÓN El problema de la integración numérica o cuadratura numérica es estimar el número Este problema surge cuando este número no se puede calcularse de manera exacta o cuando vista como un número finita de puntos es Ahora bien asumiendo que es veces diferenciable y suave en el intervalo algún , contiene al intervalo , entonces puede verse como que ,…, 1 ,…, ; este es un polinomio que interpola a ∏ y de grado menor igual a y continua e integrable como función de x en , Se estimara , con , … , en el intervalo , y en particular lo es en , . ,…, Si es no‐negativa o no‐positiva integrable en , integrales se tiene que Si además es , ,…, 1 diferenciable en , se tiene que 1 1 ! Si 1 puntos y ,…, , 2 ! por el teorema del valor medio para , para algún , para algún , .1 no es necesariamente no‐positiva o no‐negativa y si además ocurre que es diferenciable 2 veces entonces 1 , . Entonces el error estimado esta dado por por medio de ,…, en para algún , 0 y .2 ALGUNOS CASOS PARTICULARES REGLA DEL RECTÁNGULO Si se considera 0. Entonces , y y si entonces en este caso y es no‐positiva o no‐negativa en , en 2 por ec. 1 por lo que el error esta dado por 2 REGLA DEL PUNTO MEDIO Si se considera 0. Entonces y y si , entonces 2 en este caso y además 0 2 entonces haciendo por ec. 2 se tiene que 2! Nótese que 2 es no‐negativa en todo y en particular en 24 , REGLA DEL TRAPECIO Si se considera Si y 1. Entonces , , , y , entonces 2 y además en este caso 1 6 entonces por ec. 1 se tiene que 2! 2 1 6 12 REGLA DE SIMPSON Si se considera 2. Entonces , , , , , Para distintos valores de , , en , se tiene que necesariamente no‐positiva o no‐negativa pero si 0 1 y entonces 0, 1 con , 6 4 0 1 2 no es entonces 0 2 0, 1 0 , 0, 1, 2 0 0, 1, 2 2 0 1 2 , en este caso como ya se menciono escoge entonces se tiene que no‐negativa en , 1 2 2 0 por lo que si se y esta es o no‐positiva o y por la ec. 2 se tiene que 4! 0 24 1 120 90 2 REGLA DEL TRAPECIO CORREGIDA Si se considera 3. Entonces x x , , , , , , en , se tiene que no es necesariamente no‐positiva o no‐negativa pero si 0 1 2 3 2 2 y entonces y 0 1 2 3 0 2 esta es no‐negativa; ahora bien Para distintos , , , , , valores de , , y entonces , , 0 3 2 en este caso como ya se menciono 4! 1 , 0, 0 3 0, , , 12 0, 2 0 2 , x , 0, 0, 2, 2 0 2 2 0 2 2 , 2 4! 2 2 30 , entonces se tiene que por la ec. 2 720 x RESUMEN Regla del … Valor aproximado de la integral Rectángulo Punto Medio Trapecio Simpson Trapecio corregido Error 2 2 4 24 1 2 6 2 12 2 12 90 720 2 EJEMPLO Calcular el valor de las siguientes integrales por los casos vistos anteriormente y el valor del error 0 1 2 0.36788 1 0 0 Regla del … Trapecio corregido 1 2 0.73576 1 Punto Medio Simpson 0.77880 Valor aproximado de la integral Rectángulo Trapecio 0.7788 2 1 2 0.68394 6 2 4 0.74718 2 12 0.74525 ALGUNOS DATOS IMPORTANTES b In[1]:= ‡ Kx − a Out[1]= a+b O x 2 0 b In[2]:= ‡ Kx − a Out[2]= − a+b 2 O x 2 1 3 Ha − bL 12 b In[3]:= ‡ Kfa + a Out[3]= − fb − fa Hx − aLO x b−a 1 Ha − bL Hfa + fbL 2 b In[4]:= ‡ HHx − aL Hx − a Out[4]= In[5]:= Out[5]= a3 a2 b a b2 b3 − + − 6 2 6 2 Factor@%D 1 3 Ha − bL 6 In[6]:= ‡ Out[6]= − b fa + a fm − fa fa fm fb a+b Hx − aL + + + Hx − aL Kx − O a+ b − a a +b a +b a +b a +b 2 Ia − M Ha − bL I − aM I − bM H b − aL I b − M 2 2 2 2 2 In[9]:= b a Hx − aL Kx − 1 5 Ha − bL 120 a+b 2 O Hx − bL 2 x 120 × 4 ! Out[9]= 2880 In[10]:= 90 25 Out[10]= 2880 a+b O Hx − bLO x 2 0 In[8]:= ‡ Out[8]= x 1 Ha − bL Hfa + fb + 4 fm L 6 b In[7]:= ‡ KHx − aL Kx − a Out[7]= bLL x In[11]:= fab = In[12]:= ‡ Out[12]= fb − fa ; b−a fa + fpa Hx − aL + b a Out[13]= − Out[14]= In[15]:= bL2M x 1 Ha − bL5 30 30 × 4 ! 720 DB Out[15]= −2 In[16]:= DB Out[16]= −2 In[17]:= DB Out[17]= 12 −x2 , xF −x2 −x2 , 8x, 2<F −x2 −x2 x +4 −x2 x2 , 8x, 4<F −x2 −x2 − 48 x2 + 16 , Si −x2 x4 entonces se define ,…, , x 1 Ha − bL H− 6 fa − 6 fb + Ha − bL Hfpa − fpbLL 12 b 2 In[13]:= ‡ IHx − aL Hx − a In[14]:= 3 fab − 2 fpa − fpb fpb + fpa − 2 fab Hx − aL2 + Hx − aL2 Hx − aL b−a H b − aL2 ,…, , ,…, ! Ahora bien si ∆ y , , y usando el hecho anterior se tiene que para , , , , , por lo que se tiene que , , , , , , , , ∆ , , , , , , , , , ∆ 3 , , , 2 ∆ 2 , , ∆ ∆ Para la ec. 2 se usa la siguiente identidad ,…, , se tiene que ,…, ,…, , ,…, , ,…, , ,…, , , 1 2 ! que es la ec. 2 mencionada anteriormente , valido , dado que se tiene que Por lo que se puede elegir un que haga que y si es 2 veces diferenciable se sigue que entonces para un valor , 0 sea solo o no‐positiva o no‐negativa en para algún , , BIBLIOGRAFÍA Conte S., Boor Carl. Elementary Numerical Analysis an algorithmic approach. ed. 2, Ed. Mc Graw‐Hill