PRACTICA 7 Integración Numérica Fórmulas de tipo interpolatorio 1) Tomamos n+1 puntos distintos, xi , i = 0, 1, ..., n, del intervalo [a,b] 2) Calculamos el polinomio de interpolación de la función f en los puntos xi Ÿa Ÿa 3) Aproximamos la integral de la función por la integral del polinomio de interpolación b f HxL „ x > b pHxL „ x. † Veamos cómo se obtienen las fórmulas del Trapecio y de Simpson. In[1]:= In[3]:= Out[3]= Clear@"Global`∗"D datos = 88a, f@aD<, 8b, f@bD<<; poli = InterpolatingPolynomial@datos, xD f@aD + H−a + xL H−f@aD + f@bDL −a + b ‡ poli x b In[4]:= a Out[4]= − 1 2 In[5]:= In[7]:= Out[7]= Ha − bL Hf@aD + f@bDL Clear@"Global`∗"D datos = :8a, f@aD<, : a+b a+b , fB 2 2 poli = InterpolatingPolynomial@datos, xD f@aD + H−a + xL −f@aD + −a + a+b fA 2 E a+b 2 I 12 H−a − bL + xM ‡ poli x − 1 6 Ha − bL f@aD + f@bD + 4 fB a+b 2 1 F a+b F H−a−bL+b −a + b a Out[8]= f@bD−fB 2 + b In[8]:= F>, 8b, f@bD<>; 2 − −f@aD+fB −a+ a+b a+b 2 2 F 2 Practica7_Integracion_Numerica.nb Fórmulas del Rectángulo, del Trapecio y de Simpson Fórmula del rectángulo izquierda: Ÿa b f HxL „ x > f HaL Hb - aL Fórmula del rectángulo derecha: Ÿa b f HxL „ x > f HbL Hb - aL Fórmula del punto medio: Ÿa b f HxL „ x > f J a+b N Hb 2 - aL Fórmula del trapecio: Ÿa b f HxL „ x > b-a 2 H f HaL + f HbLL . Fórmula de Simpson: Ÿa b f HxL „ x > b-a B f HaL + 4 6 fJ a+b N+ 2 f HbLF Ejemplo 1 Ÿ0 1ê2 Calcular un valor aproximado de la integral ex „ x, aplicando la fórmula del punto medio. Comparar con el valor exacto. Clear@"Global`∗"D f@x_D := ^ x a = 0; b = 0.5; In[9]:= Aplicamos la fórmula del punto medio a la función f en el intervalo [0,1/2] In[13]:= ValorAproximado = fB a+b 2 Out[13]= 0.642013 F Hb − aL Comparamos con el valor exacto ValorExacto = ‡ In[14]:= 1ê2 x x 0 N@ValorExactoD Out[14]= −1 + Out[15]= 0.648721 Error = Abs@ValorExacto − ValorAproximadoD êê N In[16]:= Out[16]= 0.00670856 Ejemplo 2 Ÿ0 1 Calcular un valor aproximado de la integral e-x „ x, aplicando las fórmulas del trapecio y de Simpson. 2 Clear@"Global`∗"D In[17]:= f@x_D := a = 0; b = 1; −x2 Aplicamos la fórmula del trapecio a la función f en el intervalo [0,1] ValorAproximado1 = In[21]:= Hb − aL 2 Out[21]= Hf@aD + f@bDL êê N 0.68394 Aplicamos la fórmula de Simpson a la función f en el intervalo [0,1] In[22]:= ValorAproximado2 = Hb − aL 6 Out[22]= f@aD + 4 fB a+b 2 F + f@bD êê N 0.74718 Fórmulas de integración compuesta Consiste en dividir el intervalo inicial en subintervalos y aplicar un método de integración numérica simple en cada uno de ellos. Si llamamos tomamos h = b-a , n entonces los puntos xi = a + i h, i = 0, 1, ..., n forman una partición del intervalo [a, b] y basta aplicar en cada subintervalo [ xi , xi+1 ], i= 0, 1, ..., n-1, el método simple que queramos 4 Practica7_Integracion_Numerica.nb Fórmula del rectángulo izquierda compuesta: Ÿa b n-1 f HxL „ x > h ⁄i=0 fi Fórmula del rectángulo derecha compuesta: Ÿa b n-1 f HxL „ x > h ⁄i=0 fi+1 Fórmula del punto medio compuesta: Ÿa b n-1 f HxL „ x > h ⁄i=0 f i+ 1 2 Fórmula del trapecio compuesta: Ÿa b f HxL „ x > h 2 n-1 I f0 + 2 ⁄i=1 fi + fn M Fórmula de Simpson compuesta: Ÿa b f HxL „ x > h 6 n-1 n-1 f0 + fn + 2 ⁄i=1 fi + 4 ⁄i=0 f i+ 1 2 Ejemplo 3. Calcular un valor aproximado de la integral de la función f(x) = (x3 - x + 2M ex en el intervalo [0,2] aplicando fórmulas de integración del rectángulo derecha, del trapecio y de Simpson compuestas con n=20. Clear@"Global`∗"D f@x_D := Ix3 − x + 2M In[23]:= x a = 0.; b = 2.; n = 20; b−a h= ; n DoAxi_ := a + i h, 8i, 0, n<E Valor exacto ValorExacto = ‡ f@xD x êê N 2 In[30]:= 0 Out[30]= 25.1672 Fórmula del rectángulo derecha compuesta: Ÿa f HxL ‚ x > h ⁄n-1 i=0 fi+1 b aprox1 = h ‚ f@xi+1 D n−1 In[31]:= i=0 Out[31]= 28.1389 error1 = Abs@ValorExacto − aprox1D In[32]:= Out[32]= 2.9717 Fórmula del trapecio compuesta Ÿa f HxL ‚ x > b In[33]:= aprox2 = h 2 Out[33]= In[34]:= Out[34]= n−1 i=1 25.2832 error2 = Abs@ValorExacto − aprox2D 0.116076 aprox3 = h 6 Out[35]= In[36]:= Out[36]= If0 + 2 ⁄n-1 i=1 fi + fn M f@x0 D + 2 ‚ f@xi D + f@xn D † Fórmula de Simpson compuesta ‡ In[35]:= h 2 b a f HxL „ x > h 6 f0 + fn + 2 ‚ fi + 4 ‚ fi+ 1 f@x0 D + 2 ‚ f@xi D + 4 ‚ fBxi + n−1 n−1 i=1 i=0 h 2 n-1 n-1 i=1 i=0 2 F + f@xn D 25.1672 error3 = Abs@ValorExacto − aprox3D 0.0000211033 Observamos la gran precisión de la fórmula de Simpson, que es una de las más usadas en la práctica. Ejemplo 4. Calcular un valor aproximado de la integral de la función f(x) = ln(x) en el intervalo [1,2] aplicando las fórmulas de integración del rectángulo izquierda, del trapecio y de Simpson compuestas con n=200. 6 Practica7_Integracion_Numerica.nb Clear@"Global`∗"D f@x_D := Log@xD a = 1.; b = 2.; n = 200; b−a h= ; n DoAxi_ := a + i h, 8i, 0, n<E In[37]:= Valor exacto ValorExacto = ‡ f@xD x êê N 2 In[44]:= 1 Out[44]= 0.386294 Fórmula del rectángulo izquierda compuesta: Ÿa f HxL ‚ x > h ⁄n-1 i=0 fi b aprox1 = h ‚ f@xi D n−1 In[45]:= i=0 Out[45]= 0.38456 error1 = Abs@ValorExacto − aprox1D In[46]:= Out[46]= 0.00173391 Fórmula del trapecio compuesta Ÿa f HxL ‚ x > b In[47]:= aprox2 = h 2 Out[47]= In[48]:= Out[48]= f@x0 D + 2 ‚ f@xi D + f@xn D n−1 i=1 0.386293 error2 = Abs@ValorExacto − aprox2D 1.04167 × 10−6 h 2 If0 + 2 ⁄n-1 i=1 fi + fn M Fórmula de Simpson compuesta Ÿa f HxL ‚ x > b In[49]:= aprox3 = h 6 n−1 n−1 i=1 i=0 h 2 n-1 Jf0 + fn + 2 ⁄i=1 fi + 4 ⁄n-1 i=0 fi+ 1 N 2 F + f@xn D 0.386294 Out[49]= In[50]:= f@x0 D + 2 ‚ f@xi D + 4 ‚ fBxi + h 6 error3 = Abs@ValorExacto − aprox3D Out[50]= 3.79752 × 10−13 Ejercicios Propuestos Ejercicio 1. Calcular de forma aproximada la integral 1 3 ‚ x utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson. Ÿ1 2 1+x Comparar con el valor exacto Ejercicio 2. Dividir el intervalo [1,2] en 100 partes iguales para hallar de forma aproximada el valor de ln(1.5) utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson compuestas. Comparar con el valor exacto. (Indicación: 2 1 x). utilizar la integral Ÿ1 x+1 Ejercicio 3. La longitud de la elipse viene dada por la integral 4 c Ÿ0 p 2 k= c2 -d 2 c x2 c2 + y2 d2 = 1, c > d > 0, 1 - k 2 sen HqL2 ‚ q siendo . Aproximar, usando la regla de Simpson compuesta con n=20, la longitud de la elipse x 2 + 4 y 2 - 16 = 0.