Análisis sinusoidal - Ramos Departamento de Electrónica

1
Capítulo 8
ANALISIS SINUSOIDAL
8.1. Redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado estacionario
Se desea desarrollar métodos eficientes para analizar redes sometidas a excitaciones
sinusoidales.
Nos interesará determinar la solución de la red que solamente depende de las excitaciones
sinusoidales.
Supongamos que en cierto instante to, instante de referencia, conectamos las excitaciones a la
red; la solución contendrá una parte que dependerá del estado inicial, es decir de las condiciones
iniciales y otra parte que dependerá de las excitaciones sinusoidales.
Después de un lapso de tiempo, todas las variables de la red serán sinusoidales, esto se
justificará en 8.2. Esto sucederá cuando los términos que componen la parte transitoria de la
respuesta, puedan considerarse que son iguales a cero, dependiendo de la exactitud con que se
desee realizar los cálculos.
Cuando todas las variables de la red, que forman el conjunto de la solución, se han
estacionado en señales estrictamente sinusoidales, diremos que la red se encuentra en estado
estacionario.
La importancia del estudio de métodos adecuados para tratar redes en régimen sinusoidal se
justifica por los siguientes hechos:
La generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica se efectúa mediante señales
sinusoidales.
Las señales con formas de ondas complejas pueden ser representadas por sumas de señales
sinusoidales, mediante desarrollos en series de Fourier. Además, si el sistema es lineal, se
podrá aplicar superposición; con lo cual podremos determinar la respuesta, para cualquier
excitación periódica, si conocemos la respuesta a una excitación sinusoidal. En la especialidad
de Electrónica se presentan a menudo señales con formas de ondas complejas. Ejemplos típicos
son las señales de audio y video, empleadas en la transmisión de información.
En este curso, estudiaremos redes sometidas a excitaciones sinusoidales de igual frecuencia
angular. Esta restricción no restará generalidad a los métodos que desarrollaremos; ya que
mediante la aplicación del teorema de superposición, siempre se podrá descomponer el
problema en redes que solamente estén sometidas a sinusoidales, de igual frecuencia angular.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
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Teoría de Redes Eléctricas
Ejemplo 8.1.
En la Figura 8.1 se muestra una red con dos excitaciones de frecuencias angulares diferentes,
y se desea calcular como respuesta el voltaje v.
v1=A1cos(
v2=A2cos(
1t)
Red lineal
e invariante
2t)
v
Figura 8.1. Red con dos excitaciones.
El estudio se puede efectuar analizando, por separado, las redes que se muestran en las
Figuras 8.2 y 8.3.
v2=A2cos(
Red lineal
e invariante
2t)
Figura 8.2. Red con excitación uno igual a cero.
v1=A1cos(
1t)
Red lineal
e invariante
V20
Figura 8.3. Red con excitación dos igual a cero.
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V10
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
3
Cada una de estas redes está sometida a una excitación sinusoidal solamente, y cada una de
ellas podrá ser analizada por los métodos especiales que serán desarrollados en este capítulo.
Luego de obtenidas las respuestas individuales, la respuesta total, debido a la propiedad de
superposición, será:
(8.1)
v V10 V20
8.2.
Propiedades de las señales sinusoidales
Denominamos señal sinusoidal a una que tenga uno de los dos siguientes modelos
matemáticos.
f (t )
F cos( t
)
f (t )
Fsen( t
)
(8.2)
En el capítulo 4, sobre métodos generales de análisis, se vio que las ecuaciones de la red
contienen sumas de las variables y además derivadas e integrales de esas variables.
Mostraremos a continuación que dichas ecuaciones pueden satisfacerse, si todas las variables
son sinusoides de igual frecuencia angular.
8.2.1. Derivada
La derivada de una señal sinusoidal de frecuencia angular , es una señal sinusoidal de igual
frecuencia.
Sea:
(8.3)
f (t ) F sen( t )
Derivando (8.3) se obtiene:
df (t )
dt
F cos( t
)
F sen( t
2
)
(8.4)
La derivada de una señal sinusoidal es también una señal sinusoidal, de igual frecuencia
angular, pero de distinta amplitud y fase.
8.2.2. Integral
La integral de una señal sinusoidal de frecuencia angular , es una señal sinusoidal de igual
frecuencia, pero de diferente amplitud y fase.
Integrando, en forma definida, la señal sinusoidal (8.3) se obtiene:
t
to
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f ( )d
F
cos( t
)
F
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cos( to
)
(8.5)
4
Teoría de Redes Eléctricas
Si se escoge to, con n entero, tal que:
to
(2n 1)
(8.6)
2
Se obtiene:
t
to
F
f ( )d
cos( t
F
)
sen( t
2
(8.7)
)
8.2.3. Suma de sinusoidales
La suma de dos señales sinusoidales, de igual frecuencia angular
de la misma frecuencia.
, es una señal sinusoidal
Sea:
f (t )
F1 sen( t ) F2 cos( t )
(8.8)
A partir de la siguiente identidad trigonométrica:
f (t ) F sen( t
) F cos( )sen( t ) Fsen( )cos( t )
(8.9)
Comparando (8.8) y (8.9), se obtiene el sistema de ecuaciones:
F cos( )
F1
Fsen( )
F2
(8.10)
Elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones y además obteniendo el cuociente de (8.10),
se obtiene la solución del sistema:
F
F12 F2 2
arctg (
F2
F1
(8.11)
) n
Escogiendo el valor positivo de F, y el valor principal para el ángulo se obtiene:
f (t )
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F12
F22 sen
t arctg
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F2
F1
(8.12)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
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8.2.4. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo
8.2.4.1. Excitados por señales sinusoidales
Si observamos las matrices resultantes de los distintos métodos generales de análisis, y
aplicamos los conceptos del punto 8.2.1., nos daremos cuenta que si las excitaciones de una red
lineal e invariante en el tiempo son señales sinusoidales de igual frecuencia, se tendrá que las
incógnitas deberán ser señales sinusoidales de la misma frecuencia angular; ya que en las
ecuaciones aparecen sumas, derivadas e integrales de las variables.
Entonces en una red en estado estacionario se tendrá:
e1=E1cos( t)
Red lineal
e invariante
r1=R1cos( t+ 1)
Figura 8.4. Sistema lineal con excitación real.
Para la excitación:
e1
(8.13)
E1 cos( t )
la respuesta será:
r1
R1 cos( t
1
)
(8.14)
Es importante notar que la respuesta tiene igual frecuencia que la excitación; pero, en
general, tendrá distinta fase y amplitud.
8.2.4.2. Excitados por señales exponenciales imaginarias
Se denomina función exponencial imaginaria a:
e(t )
Ee j
t
(8.15)
Donde:
j
1
(8.16)
Es conveniente que se asocie a la raíz de menos uno el símbolo j, ya que en ingeniería
eléctrica la letra i se emplea para identificar corrientes.
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Teoría de Redes Eléctricas
Se desea determinar la respuesta de un sistema lineal e invariante en estado estacionario a
una excitación exponencial imaginaria. Como veremos, esto conducirá a un método
simplificado para estudiar redes en las condiciones descritas anteriormente.
Si al sistema de la Figura 8.4, le aplicamos la excitación e2:
e2 (t )
E1 sen( t )
E1 cos( t
2
(8.17)
)
Se tendrá, aplicando la propiedad de invariancia temporal, la siguiente respuesta:
r2 (t )
R1 cos( t
1
2
(8.18)
)
Aplicando propiedades de funciones sinusoidales, (8.18) puede escribirse, en forma
equivalente según:
r2 (t )
R1 sen( t
1
(8.19)
)
Como el sistema es lineal, será homogéneo; y se tendrá, multiplicando (8.17) y (8.19) por j,
que se cumple la relación causa-efecto que se ilustra en la Figura 8.5.
je2=jE1sen( t)
Red lineal
e invariante
jr2=jR1sen( t+ 1)
Figura 8.5. Sistema lineal con excitación imaginaria.
Es decir: para la excitación: je2 (t ) la respuesta será: jr2 (t ).
Como el sistema es lineal, será aditivo y por lo tanto puede generarse un estímulo igual a la
suma de los estímulos mostrados en las Figuras 8.4 y 8.5. Esto se muestra en la Figura 8.6.
e1 + je2
Red lineal
e invariante
r1 + jr2
Figura 8.6. Sistema lineal con excitación compleja.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
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Se desprende entonces que para la excitación: (e1
(r1
je2 ) la respuesta del sistema lineal será:
jr2 )
Recordamos a continuación algunas fórmulas y definiciones relativas a números complejos:
ej
cos
j
e
cos
sen
j sen
cos
e
1
j sen
j
e
j
e
2j
j
1 (8.20)
2
e
j
Usaremos el convenio de escribir un punto debajo de una variable que puede adoptar valores
que son números complejos.
Tenemos entonces que, si la excitación es:
e(t )
•
E1e j
t
E1 cos( t )
jE1 sen( t )
e1 (t )
je2 (t )
(8.21)
La respuesta será, aplicando superposición, homogeneidad e invariancia temporal:
r (t ) r1 (t ) jr2 (t ) R1 cos( t
1
)
jR1 sen( t
1
)
(8.22)
La relación (8.22) puede expresarse abreviadamente, según:
r (t )
R1e j (
t
1)
R1e j 1 e j
(8.23)
t
Las relaciones (8.21) y (8.23) se ilustran en la Figura 8.7:
E1 ej
t
Red lineal
e invariante
(R1 ej 1)ej
t
Figura 8.7. Excitación exponencial compleja.
Hemos demostrado que, para una red lineal e invariante, para la excitación: E1e j t , la
respuesta será: (R1e j 1 )e j
Leopoldo Silva Bijit
t
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Teoría de Redes Eléctricas
Finalmente, llegamos a la importante conclusión: la respuesta de un sistema lineal invariante
en el tiempo y en estado estacionario, a una función exponencial imaginaria, es un número
complejo multiplicado por la misma función exponencial imaginaria.
El problema de análisis sinusoidal, del sistema ilustrado en la Figura 8.7, consistirá en
calcular R1 y 1 a partir de E1 y de los datos de la red.
Los cálculos podrán ser efectuados sólo con números complejos, sin preocuparse de las
funciones temporales; ya que todas las variables tienen su dependencia temporal en el factor
común e j t ; el cual puede simplificarse.
Una vez efectuados dichos cálculos con números complejos, la respuesta temporal a
cualquier señal sinusoidal real, variables medidas con instrumentos, será fácil y simplemente
obtenible.
Ejemplo 8.2.
Se desea obtener la respuesta a una excitación: E1 cos( t ) .
Si ya se ha calculado la relación (8.23), se tendrá sacando parte real a la excitación y a la
respuesta de la Figura 8.7:
E1 cos( t)
Re{R1 ej 1ej t}
Red lineal
e invariante
Figura 8.8. Parte real de la respuesta.
Donde:
Re R1e j 1 e j
t
es la parte real del número complejo; empleando (8.20) se
obtiene:
Re R1e j 1 e j
t
Re R1e j (
t
1)
R1 cos( t
1
)
(8.24)
Ejemplo 8.3.
Para la siguiente red determinar v(t) en estado estacionario cuando la excitación e(t) es una
señal sinusoidal.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
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iR
iL
R
+
iC
C
L
e
v
Figura 8.9. Red RLC.
Solución:
Planteando las ecuaciones de la red:
iC
C
dv
,v
dt
L
diL
,e
dt
RiR v, iR
(8.25)
iC iL
Puede obtenerse la ecuación diferencial que describe el voltaje v en función de la excitación
e, mediante la eliminación de iR, iC, iL, resulta:
RC
d2
v( t )
dt 2
d
v( t )
dt
v( t ) R
L
(8.26)
d
e( t )
dt
Ecuación diferencial, de segundo grado, que es lineal e invariante en el tiempo.
Para comparar las ventajas de introducir señales complejas, resolveremos el problema
empleando primero métodos trigonométricos; luego usaremos los conceptos recién vistos.
Solución empleando funciones trigonométricas
Asumiendo que la excitación puede expresarse según:
e (t )
E cos( t
(8.27)
)
Y que la respuesta v(t) en estado estacionario se representa por:
v (t )
V cos( 1t
Transformamos el problema en encontrar: V,
(8.28)
)
1
y , asumiendo conocidos: R, L, C, E,
y
.
Reemplazando los valores de v y e, en la ecuación diferencial (8.26), se obtiene:
RCV
2
1
cos( 1t
) V
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1
sen( 1t
)
VR
L
(8.29)
cos( 1t
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)
E sen( t
)
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Teoría de Redes Eléctricas
Empleando fórmulas trigonométricas para expandir senos y cosenos de suma de ángulos en
los senos y cosenos de los ángulos:
cos(
)
cos( ) cos( ) sen( ) sen( )
sen(
)
sen( ) cos( ) cos( ) sen( )
(8.30)
Resulta:
2
RCV
V
1
VR
1
cos( t ) cos( )
sen ( t ) cos( ) V
1
cos( t ) cos( )
1
VR
1
L
1
sen ( t ) sen ( )
1
cos( t ) sen ( )
1
(8.31)
sen ( t ) sen ( )
1
L
E sen ( t ) cos( )
2
RCV
1
E
cos( t ) sen ( )
Podemos expresar (8.31) del siguiente modo, factorizando las funciones que dependen del
tiempo, según:
A cos(
(8.32)
t ) Bsen( 1t ) C cos( t ) Dsen( t )
1
Para que la ecuación (8.31) se cumpla, para todo t, se requiere que:
1
Observando (8.32) con
evaluando (8.31) en
, A C, B
(8.33)
D
, se tiene que las condiciones (8.33) pueden obtenerse
1
( B D) .
2
Debe notarse que la frecuencia angular de la respuesta debe ser igual a la frecuencia angular
de la excitación y que las dos ecuaciones A C, B D , permiten calcular las dos incógnitas: V
y , en función de: R, L, C, E, y .
t
0 ( A C ) y en
t
Entonces, para cumplir (8.33) deben cumplirse:
2
RCV
RCV
2
cos( )
sin( )
V
V
sin( )
cos( )
V R cos( )
L
V R sin( )
L
E
E
sin( )
cos( )
(8.34)
(8.35)
Para obtener una solución numérica, podemos asumir los siguientes datos:
R 1, L 1, E 1,
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1,
3
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,C 1
(8.36)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
11
Valores que al ser reemplazados en las ecuaciones (8.34) y (8.35), permiten obtener el
sistema:
Vsen( )
sen( )
3
V cos( )
cos( )
3
(8.37)
El sistema de ecuaciones (8.37), tiene dos soluciones:
V
1,
, V
(8.38)
2
1,
3
3
Es tradicional expresar la respuesta como la solución con amplitud positiva.
Solución empleando funciones exponenciales complejas
La excitación (8.27), empleando el operador parte real de un número complejo, puede
expresarse según:
e(t ) Re Ee j e j
(8.39)
t
La respuesta v(t), en estado estacionario, se representa por:
v(t )
Re Ve j e j
(8.40)
t
En la expresión (8.40) se considera que la respuesta tiene igual frecuencia angular que la
excitación, de acuerdo al resultado obtenido en 8.2.4.1.
La relación causa-efecto, para la excitación (8.27), puede visualizarse en el diagrama de la
Figura 8.10.
+
e(t) = Ecos( t + )
R
L
C
v(t) = Vcos( t + )
Figura 8.10. Red RLC. Excitación coseno.
Si se tiene la relación estímulo-respuesta anterior, y si la red es lineal e invariante en el
tiempo, lo que se cumple para la ecuación diferencial (8.26) que relaciona e con v, se cumple
también la relación causa-efecto que se muestra en la Figura 8.11.
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Teoría de Redes Eléctricas
R
+
e2(t) = Esen( t + )
C
L
v2(t) = Vsen( t + )
Figura 8.11. Red RLC Excitación seno.
Aplicando linealidad, se tendrá que cuando la excitación es:
e(t )
je2 (t )
(8.41)
v (t )
jv2 (t )
(8.42)
la respuesta será:
Empleando el operador parte imaginaria, se tiene que:
e2 (t )
Im Ee j e j
t
v2 (t )
Im Ve j e j
t
(8.43)
Entonces si la red es lineal, y si se excita con:
eC (t ) Re Ee j e j
t
j Im Ee j e j
(8.44)
t
Se tiene que la respuesta de la red lineal e invariante en el tiempo será:
vC (t ) Re Ve j e j
t
j Im Ve j e j
(8.45)
t
La relación entre el estímulo complejo y la respuesta compleja se visualiza en la Figura 8.11.
+
R
ec(t)
L
C
vc(t)
Figura 8.12. Red RLC. Excitación compleja.
La relación (8.44), puede escribirse, según:
eC (t )
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Ee j e j
t
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(8.46)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
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La relación (8.45) puede escribirse:
vC (t ) Ve j e j
(8.47)
t
Reemplazando los valores de vc y ec, en (8.46) y (8.47), en la ecuación diferencial (8.26), se
obtiene:
RCVe
( j)
2 ( t j)
e
Ve
( j)
e
( t j)
Ve
j
( j) ( t j)
e
L
R
Ee
( j)
e
( t j)
(8.48)
j
Hemos transformado el problema en encontrar: V y , asumiendo conocidos: R, L, C, E,
, mediante la relación (8.48).
Simplificando la exponencial e
Ve
( j)
(R C
(
y
t j)
, en (8.48), resulta:
2
L
Lj
R)
L
Ee
( j)
(8.49)
j
La relación (8.49) no depende del tiempo, solo relaciona número complejos. Despejando
Ve j , de (8.49), se obtiene:
( j)
Ve
Ee
RC 2L
( j)
Lj
Lj
(8.50)
R
El lado derecho, de (8.50) está en función de los datos (8.36), y puede calcularse empleando
operaciones con números complejos, resultando:
Ve
( j)
= e
( 1/3 j
)
(8.51)
El cual es igual al resultado anterior (8.38).
Ejemplo 8.4.
Determinar la corriente i(t) cuando la red, de la Figura 8.13, se encuentra en estado
estacionario, y con excitación sinusoidal: e(t ) E cos( t ) .
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14
Teoría de Redes Eléctricas
a
i(t)
R
L
vL
e(t)
b
Figura 8.13. Red RL en estado estacionario.
La relación causa-efecto se ilustra en la Figura 8.14.
Red lineal
e invariante
e
i
Figura 8.14. La corriente es la respuesta.
Si se asume una excitación compleja:
e(t )
Ee j
t
(8.52)
La respuesta, que no conocemos, deberá tener la forma:
i (t )
I ej
t
(8.53)
La red con variables con variables exponenciales complejas, se muestra en la Figura 8.15.
a
i(t)
R
e(t)
vL
L
b
Figura 8.15. Red con excitación exponencial
compleja.
No confundir, en (8.52), la letra e que simboliza al voltaje, con la letra e que representa la
base de los logaritmos naturales.
Aplicando el método de las mallas, a la red de la Figura 8.15, se obtiene:
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
15
d i (t )
L
Ee j
R i (t )
dt
(8.54)
t
Ecuación diferencial no homogénea que deberemos resolver para calcular i(t ) .
La respuesta (8.53) debe ser solución de (8.54). Si sustituimos (8.53) en (8.54), se tiene:
Lj I e j
t
RI ej
t
Ee j
t
(8.55)
Nuevamente la dependencia con la variable tiempo, es común a todos los términos, y puede
simplificarse. Lo cual nos permite obtener:
I
(8.56)
E
R
j L
Tendremos, por (8.53), que:
i(t )
E
ej
R j L
(8.57)
t
La excitación dada es la parte real de (8.52), entonces la respuesta buscada, solución del
problema, será la parte real de (8.57).
i(t ) Re
(8.58)
Ee j t
R j L
Racionalizando (8.58), y empleando (8.20) se obtiene:
i(t )
E
R2
2 2
L
Re (cos( t )
j sen( t ))( R
j L)
(8.59)
Sacando parte real a (8.59), se obtiene finalmente:
i(t )
E
R
2
2 2
L
( R cos( t )
L sen( t ))
(8.60)
Empleando (8.30), la relación (8.60), puede expresarse como una señal sinusoidal, de la
siguiente forma:
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Teoría de Redes Eléctricas
E
i (t )
R
2
2 2
cos( t
)
L
(8.61)
l
tg ( )
R
En el Ejemplo 8.4, se han aplicado los conceptos desarrollados en los puntos 8.2.4.1 y
8.2.4.2. Nótese que la manipulación matemática de las funciones sinusoidales se ha
simplificado notablemente al emplear números complejos, en lugar de funciones
trigonométricas.
A continuación se desarrollará un procedimiento matemático que permitirá una
manipulación simple y sistemática de las señales sinusoidales, en redes en estado estacionario.
8.3.
Transformación fasorial
8.3.1. Definición
Consideremos las funciones temporales que puedan escribirse de la siguiente forma:
f (t ) Re e j t F ( )
(8.62)
Nótese que F ( ) es un número complejo que no depende del tiempo.
Se define la transformación fasorial P, para todas las funciones que cumplan la relación
(8.62), según:
P f (t )
F ( w)
(8.63)
La expresión (8.63) se lee: la transformada fasorial de f (t ) es F ( ) .
La función temporal compleja (8.64), se denomina fasor asociado a f (t ) , y puede
representarse según:
f (t ) e j t F ( )
(8.64)
La transformada fasorial inversa se define según:
P
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1
F( )
f (t )
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(8.65)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
17
La relación (8.65) se lee: la transformada fasorial inversa de F ( ) es f (t ) .
Nótese que P opera sobre funciones temporales, y que P-1 opera sobre números complejos
que son funciones de .
Ejemplo 8.5.
Sea la señal sinusoidal:
f (t )
Fm cos( t
(8.66)
)
Podemos escribir (8.66) en forma alternativa, según:
(8.67)
Re e j t Fme j
f (t )
Se tiene que f (t ) cumple (8.62) y puede aplicarse transformación fasorial a (8.66).
Por lo tanto, aplicando la definición (8.63), podemos escribir:
P f (t )
Fm ·e j
F( )
Fm
Fm (cos
j sen )
(8.68)
Aplicando (8.65) a (8.68) obtenemos:
P
1
Fme j
Fm cos( t
)
(8.69)
8.3.2. Teoremas
Sean: a y b constantes reales
f, f1 y f2 funciones que cumplan la relación (8.62).
Teorema 8.1. Homogeneidad
P af (t )
(8.70)
aP f (t )
Demostración.
Si tenemos el número complejo.
z
x
jy
(8.71)
Se tiene, con a real, que:
a Re z
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a Re x
jy
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ax
(8.72)
18
Teoría de Redes Eléctricas
También se tiene que:
Re az
Re ax
jay
(8.73)
ax
Entonces de (8.72) y (8.73):
a Re z
(8.74)
Re az
De la condición de existencia (8.62) se tiene que si:
(8.75)
Re e j t F ( )
f (t )
Entonces, de la definición (8.63), se tiene.
P f (t )
(8.76)
F( )
Multiplicando ambos lados de (8.75) por el número real a, se tiene que:
af (t )
a Re e j t F ( )
(8.77)
Re e j t a F ( )
(8.78)
Aplicando (8.74), a (8.77), se logra:
af (t )
De la definición de transformada fasorial, (8.63) se reconoce que (8.78) implica:
P af (t )
(8.79)
a F (w)
Teorema 8.2. Linealidad
P af1 (t ) bf 2 (t )
aP f1
(8.80)
bP f 2
Demostración.
Si las funciones cumplen la condición de existencia (8.62), se tiene que:
a1 f1 t
a2 f 2 t
a1 Re F1 e j
t
a2 Re F2 e jwt

Aplicando (8.74) en (8.81), se obtiene:
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
(8.81)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
a1 f1 t
19
Re a1 F1 e j
a2 f 2 t
t
Re a2 F2 e j

t
(8.82)

El operador real es lineal, entonces:
a1 f1 t
Re a1 F1 e j
a2 f 2 t
t
a2 F2 e j

t
(8.83)

Factorizando:
a1 f1 t
a2 f 2 t
Re (a1 F1 a2 F2 )e j

t
(8.84)

Reconociendo en (8.84) la definición de trasformada fasorial (8.63), se logra:
P a1 f1 t
a2 f 2 t
a1 F1 a2 F2

(8.85)

Que demuestra (8.80).
Teorema 8.3. Transformada fasorial de la derivada
(8.86)
df
P
j F( )
dt
Demostración.
Debido a que los operadores parte real y derivada son lineales, puede intercambiarse el orden
en que se aplican, con lo cual se tiene:
df
d
dt
dt
df
dt
Re e j t F ( )
Re
d
dt
ej t F( )
(8.87)
Re e j t j F ( )
Comparando (8.87) con la definición (8.63), se tiene la tesis.
Teorema 8.4. Transformada fasorial de la integral
P
t
to
F( )
f ( )d
j
Demostración:
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(8.88)
20
Teoría de Redes Eléctricas
Debido a que los operadores parte real e integral son lineales, puede intercambiarse el orden
en que se aplican, con lo cual se tiene:
t
to
f ( )d
t
to
Re e j F ( ) d
ej
Re F ( )
j
Re e j
t
ej
j
t
F( )
e j F ( )d
to
(8.89)
Re e j
j
t
to
Re
to
F( )
j
Escogiendo to como un número negativo bastante grande, y tal que e j
to
F( )
sea
j
imaginario, se tendrá la tesis. Esta elección de to siempre será posible de efectuar.
Ejemplo 8.5.
Para la red de la Figura 8.16, con: eg (t )
Esen( t
) , determinar las corrientes de
mallas, en estado estacionario, aplicando la transformación fasorial.
eG
R4
i1
i3
R3
L5
i2
R6
C2
Figura 8.16. Red con excitación sinusoidal.
Aplicando método de mallas, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones íntegrodiferenciales:
( R4
L5 D)i1 L5 Di2
L5 Di1 (C2 1 D
1
1
1
R4i3
eg
L5 D R6 )i2 C2 1D 1i3
R4i1 C2 D i2 ( R3
1
1
R4 C2 D )i3
Sean las siguientes trasformadas fasoriales de las variables:
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0
0
(8.90)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
21
Eg
I1
P eg
P i1 ; I 2
P i2 ; I3
(8.91)
P i3
Aplicando transformada fasorial, al sistema (8.90), y empleando (8.91), se obtiene:
R4
j L5
j L5
j L5
1
j C2
j L5
R4
1
j C2
R6
1
j C2
R4
R3
Eg


I2
0
0

1
j C2
R4
I1
I3
(8.92)

Resulta un sistema algebraico de ecuaciones, que puede ser resuelto por Cramer u otros
métodos.
Una vez determinadas las transformadas fasoriales de las corrientes: I1 , I 2 , I 3 , se aplica
•
•
•
transformación fasorial inversa para obtener: i1 (t ), i2 (t ), i3 (t ) .
Ejemplo 8.6.
Dada la siguiente suma de señales sinusoidales:
f (t )
d
2sen(2t )
dt
2cos(2t 600 ) 4sen(2t )
Se desea expresar f (t ) como una sinusoide, del tipo:
f (t )
Fm cos(2t
)
Como todas las sinusoides, son de igual frecuencia angular, podemos aplicar transformación
fasorial; y luego efectuar cálculos con números complejos. Se logra, aplicando las propiedades:
P f (t )
F( )
F( )
2 cos 600
F ( ) 5 (4
2e
j
3
4e
j
2
2 2 je
j 2sen 600 4(0
3) j
7, 6
2
j )) 2 2 j (0
48,80
En forma gráfica:
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j
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j)
(8.93)
22
Teoría de Redes Eléctricas
j Im(F)
F
7,6
5,732
48,8°
Re(F)
5
Figura 8.17. Representación gráfica de F ( ).
Sacando la transformada fasorial inversa de (8.93), se obtiene:
f (t ) 7,6cos(2t 48,8 )
(8.94)
La transformada fasorial permite efectuar desarrollos analíticos simplificados; sin embargo,
su mayor ventaja es que su representación gráfica permitirá desarrollar un método, muy
eficiente, para cálculos numéricos en redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado
estacionario.
El método gráfico tiene, además, la ventaja de representar en forma simbólica y resumida las
señales de una red en estado estacionario. El análisis del diagrama será utilizado, a menudo, en
cursos de ingeniería.
8.4.
Representación gráfica de fasores
8.4.1. Definición de fasor
Se denomina fasor de f(t) a la función temporal compleja f (t ) .
Donde:
f (t)
F( )e j
t
P f (t )
F( )
Re f (t)
f(t)
(8.95)
Para un tiempo determinado, el fasor será un número complejo que podrá ser representado en
un plano complejo. En el eje de abscisas se anotará la parte real del fasor, y en el eje de
ordenadas la parte imaginaria; el tiempo se tratará como un parámetro y se indicará en el
extremo del vector complejo.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
23
Se tiene:
f (0)
(8.96)
F( )
Es decir, el fasor en el instante cero es la transformada fasorial de f (t ) .
Si definimos la transformada fasorial (8.96), en forma polar:
F( )
(8.97)
Fm
8.4.2. Representación del fasor en t=0
La Figura 8.18 representa al fasor en el instante cero.
Debe notarse:
Que el módulo, siempre positivo, del fasor en el instante cero es Fm; y que el identificador F
está asociado al número complejo que, en el diagrama, se representa como un vector.
jIm(f(t))
c
F = f(0)
Re(f(t))
c
Figura 8.18. Representación gráfica en t=0.
Se ha definido la referencia para medir el ángulo como en la trigonometría. La polaridad
asociada al valor del ángulo debe interpretarse como el ángulo definido por la línea radial en
que está la flecha (polaridad positiva) menos el ángulo definido por la línea radial en que está el
pequeño círculo (polaridad negativa). En el Ejemplo 8.7 se ilustran algunas medidas.
Ejemplo 8.7.
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24
Teoría de Redes Eléctricas
jIm(f(t))
c
2
1
Re(f(t))
c
3
Figura 8.19. Medición de ángulos.
Se tienen:
1
45
0
2
0
45
2
3
(8.98)
1
225
360
Si la dirección en que apunta la referencia para el ángulo, coincide con la trigonométrica
positiva, el ángulo será positivo; en caso contrario el ángulo tendrá valor negativo.
8.4.3. Representación del fasor en cualquier instante
Para dibujar el fasor, en cualquier instante, debe observarse que la dependencia temporal es
únicamente el número complejo e j t ; cuyo módulo es uno y su ángulo es t.
Entonces:
f (t )
f (0)·1
t
(8.99)
Empleando (8.97) en (8.99), se tiene:
f (t )
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Fm
t
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(8.100)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
25
jIm(f(t))
c
f(t)=Fej
t
F = f(0)
t
Re(f(t))
c
f(t)
Figura 8.20. Representación del fasor.
Es importante notar que la proyección de la punta de f (t ) sobre el eje real, da el valor
•
instantáneo de la señal f (t ) asociado al fasor. Entonces si se conoce f (t ) se conocerá f (t ) .
•
También es útil considerar que el fasor está girando con frecuencia angular , en contra del
reloj; y que su punta describe un círculo, ya que el módulo es constante.
Si se observa, desde un punto ubicado sobre el eje imaginario en menos infinito, la
proyección del fasor sobre el eje real, se tendrá que ésta será igual a la amplitud instantánea de
la señal asociada.
También se puede determinar f (t ) en cualquier instante si se conocen: la posición inicial, es
decir, su transformada fasorial F ; y la frecuencia angular .
8.4.4. Fasor de coseno
Estudiaremos algunas señales características, con miras a obtener un procedimiento sencillo
para calcular las transformadas fasoriales de señales sinusoidales.
Sea la señal:
c(t ) cos( t )
(8.101)
La cual, empleando (8.20), puede expresarse:
c(t ) Re e j t ·1
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(8.102)
26
Teoría de Redes Eléctricas
Reconocemos entonces que: C 1 es la transformada fasorial de c(t ) , y c(t )
ej
t
es el
fasor asociado a c(t ) .
La Figura 8.21 representa al fasor que se ha dibujado en tres instantes; y la Figura 8.22 la
señal en el tiempo.
jIm(c(t))
j t2
c
c(t ) = e
2
c(t1) = ej
t1
t1
Re(c(t))
c
C = c(t=0)
Figura 8.21. Fasor de coseno.
t1
t2
Figura 8.22. Forma de onda de coseno.
Para comprender la relación entre el fasor y la forma de onda, debe imaginarse que la
proyección sobre el eje real de c da la ordenada, en ese instante, de c(t ) . Es importante
concentrarse en el movimiento de la punta de c y al mismo tiempo ver cómo se va generando
c(t ) .
Se advierte que los valores que toma c(t ) en determinados instantes pueden leerse en la
gráfica de c (t ) .
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
27
Los instantes, o los ángulos, en que cos( t ) vale cero, menos uno y más uno, pueden
establecerse exactamente, mirando la gráfica de c (t ) . Lo cual da un método nemotécnico para
recordar los valores relevantes de la función trigonométrica coseno.
Es útil reconocer que c(t ) será mayor que cero para ángulos en el primer y cuarto cuadrante.
Resumiendo, las propiedades y valores de la señal cos( t ) pueden asociarse al siguiente
símbolo:
jIm(c(t))
c
ej
t
C = c(0)
t
Re(c(t))
c
Figura 8.23. Fasor de coseno.
Es decir, a partir de este símbolo uno debiera poder: dibujar la forma de onda, calcular
valores característicos, determinar condiciones para que la señal sea positiva o negativa, etc.
8.4.5. Fasor de coseno más un ángulo
Sea la señal:
f (t ) cos( t
)
(8.103)
Aplicando la definición de la transformada fasorial puede determinarse que:
f (t ) e j ·e j
t
(8.104)
La Figura 8.24 representa el fasor, y la Figura 8.25 la forma de onda. Se ha dibujado con
=40º.
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28
Teoría de Redes Eléctricas
Fe
j t
jIm(f(t))
c
F = f(0)
t
s
Re(f(t))
c
c
Figura 8.24. Fasor de cos( t
).
Figura 8.25. Forma de onda de cos( t
).
Debe notarse que en el instante en que el fasor apunta en la dirección positiva del eje real, la
forma de onda pasa por un máximo positivo.
En el ejemplo, esto sucede grados antes que t=0, o que t=0º.
En la Figura 8.24 el ángulo ha sido medido contra el reloj; es decir, en igual sentido a la
dirección de referencia para medir los ángulos, que está dada por t. En la forma de onda la
referencia para el ángulo resulta en igual dirección al eje t.
Por teoremas de corrimiento de señales, la forma de onda corresponde a un coseno
desplazado en grados hacia la derecha; y el fasor F debe desplazarse grados contra el reloj
para coincidir con C , la transformada fasorial de coseno.
En el diagrama también se advierte que en los instantes en que el fasor apunta en la dirección
positiva (o negativa) del eje imaginario, la forma de onda pasa por cero.
En el caso que se analiza, a F le faltan
para pasar por el eje imaginario, en la Figura
8.24; y la forma de onda pasa por cero después de
Leopoldo Silva Bijit
respecto a t igual a cero, o a t=0º.
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
29
8.4.6. Fasor de coseno menos un ángulo
Sea la señal f (t )
cos( t
):
jIm(f(t))
c
Fej t
t
s
c
Re(f(t))
c
F
Figura 8.26. Transformada fasorial de cos( t
Figura 8.27. Forma de onda de cos( t
).
).
La señal cos( t ) pasa por cero
grados antes del instante t=0. También puede
considerarse que la señal puede representarse como un seno corrido hacia la derecha en
) , con + =90º.
grados; es decir: sen( t
Ambos diagramas, el fasor y la forma de onda, representan la misma información. A partir
de un gráfico puede determinarse el otro.
El simbolismo de los fasores es sin lugar a dudas una herramienta abstracta adecuada para
representar variaciones sinusoidales, y es muy superior a las formas de ondas.
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30
Teoría de Redes Eléctricas
Ejemplo 8.8.
En el siguiente ejemplo se representan dos señales f1 y f2.
F2
F1
30º
s
c
Figura 8.28. Transformadas fasoriales de F 1 y F 2.
0,8cos(wt+30°)
0,5cos(wt+30°+ )
Figura 8.29. Formas de ondas de F 1 y F 2.
Se tiene que: la transformada fasorial F2 adelanta, en sentido trigonométrico positivo, en º
a F1 .
En las formas de ondas, se suele decir que la señal f2 adelanta en ( / ) segundos, a la señal
f1. En el tiempo, f2 pasa primero por cero; luego, instantes después, pasa f1 por cero.
Se produce primero el máximo de f2 y después el de f1. Nótese que f1 y f2 tienen igual
período.
Resumen
Para representar gráficamente un fasor, se puede indicar el número complejo F ( ) ; o sea, el
fasor en un instante de referencia, usualmente en el tiempo t=0.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
31
Después de este convenio se subentenderá que el fasor está girando con una velocidad
angular , en contra del reloj, y que tan sólo se lo ha dibujado con una fotografía instantánea en
t=0.
Si se tienen variables sinusoidales de igual frecuencia y si se les representa según el
convenio anterior, se podrá observar las relaciones entre las fases de las variables, así como
también las relaciones entre las magnitudes de las oscilaciones.
Una explicación cualitativa de lo que se ha logrado, es la siguiente: se tenía una cantidad de
funciones que variaban sinusoidalmente, esto debido a que se las miraba desde una posición fija,
esto trae como consecuencia un “alejamiento” del problema y se reflejará en operaciones
matemáticas complicadas; es decir, se trabajará con funciones temporales sinusoidales. Si por
el contrario, el observador se “mete dentro del problema” y comienza a moverse con igual
frecuencia angular que las señales sinusoidales que desea medir, verá un problema “estático”, y
podrá operar con números complejos, no con señales.
8.5. Procedimiento gráfico
8.5.1 Transformadas basadas en la parte real
Basándonos en (8.62) se recomienda el siguiente método para trabajar gráficamente. El
procedimiento está basado en la identificación de las transformadas fasoriales de sen( t ) y
cos( t ) .
Una señal sinusoidal f, con representaciones definidas en (8.2), que tenga transformada
fasorial, empleando (8.30), siempre podrá representarse según:
f (t )
F1sen( t ) F2 cos( t )
(8.105)
Es decir, como la suma de un seno y un coseno de amplitudes diferentes.
Se tiene para las señales coseno y seno respectivamente:
c (t )
s (t )
cos( t )
j t
Re e ·1
j t
sen( t )
Re e e
(8.106)
j· / 2
Las cuales implican que:
C
1
S
1 -90º
(8.107)
Las transformadas fasoriales (8.107) se han representado gráficamente en la Figura 8.30.
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32
Teoría de Redes Eléctricas
jIm(f)
c
s
Re(f)
Figura 8.30. Transformadas fasoriales de seno y coseno.
Las formas de ondas de (8.106) se representan en la Figura 8.31.
90°
c(t)=cos( t)
s(t)=sen( t)
Figura 8.31. Formas de ondas de seno y coseno.
C y S , las transformadas fasoriales de coseno y seno de
t respectivamente, constituyen
una base. Cualquier función sinusoidal tendrá una transformada fasorial que podrá expresarse
en términos de C y S .
La transformada fasorial de coseno de
sen( t ) .
t adelanta en 90º a la transformada fasorial de
Con las identificaciones anteriores, resultará sencillo determinar el número complejo, o sea,
la transformada fasorial, asociado a cualquier función sinusoidal.
Ejemplo 8.9.
Determinar las transformadas fasoriales de:
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
33
f a (t )
3sen( t 50º )
fb (t )
2 sen( t )
f c (t )
2 cos( t 180º )
f d (t )
(8.108)
3cos( t 210º )
Si se representan las transformadas fasoriales de las señales en (8.108) en la Figura 8.32.
Fb
210º
Fc
s
c
50º
Fd
Fa
Figura 8.32. Transformadas fasoriales de (8.108).
De la Figura 8.32, pueden calcularse los valores:
Fa
3 -40º
Fb
2j
Fc
2 0º
Fd
3 210º
2 90º
(8.109)
2
C y S permiten establecer la ubicación de la transformada fasorial, de una función temporal
sinusoidal, en el plano complejo. Por ejemplo, fa adelanta en 50º al seno; o está atrasada en 40º
respecto al coseno. Esto permite dibujar la dirección y sentido de Fa ; el módulo será 3 veces
más grande que el de S .
Una vez que, mediante la observación de las relaciones entre las fases y entre las amplitudes,
se han ubicado los números complejos, éstos deberán leerse cartesiana o polarmente; según se
desee, respecto de los ejes del plano complejo.
Nótese que los ejes en que se deben leer los números complejos no coinciden con C y S .
Empleando la Figura 8.32 también es posible determinar las transformadas fasoriales
inversas.
Es así como:
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34
Teoría de Redes Eléctricas
f d (t )
3sen( t 60º )
3cos( t 150º )
(8.110)
Ya que Fd está 60º atrasado respecto de S , y atrasada en 150º respecto de C .
8.5.2. Transformadas basadas en la parte imaginaria
En la literatura existen definiciones alternativas a las desarrolladas, por ejemplo se suele
definir la transformación fasorial según:
f (t ) Im e j t F ( )
P f (t )
(8.111)
F( )
Lo que llevará al siguiente procedimiento gráfico:
jIm(f)
c
s
Re(f)
Figura 8.33. Transformación de c y s, basada en (8.111).
Esta definición hace coincidir la base ( C y S ) con las direcciones de los ejes en que se mide
•
F( ) .
En este caso la visualización de las formas de ondas deberá hacerse observando las
proyecciones de los fasores sobre el eje imaginario.
8.5.3. Referencia coseno arbitraria
Este procedimiento es recomendado a las personas ya familiarizadas con los métodos
anteriores.
Debido a que S está atrasado 90º respecto de C es usual anotar solamente un eje de
referencia, generalmente la dirección de C , respecto del cual se efectúan las transformaciones.
Y esta referencia puede dibujarse en cualquier posición sin crear ambigüedades.
Ejemplo 8.10.
Dibujar la transformada fasorial de f (t )
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2 sen( t 30º ) .
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
35
En la Figura 8.34 se ha dibujado la referencia coseno con una dirección cualquiera, y sin
referencia a los ejes reales e imaginarios de los números complejos. Subentendiendo que la
referencia para el seno está 90º atrasada respecto a la del coseno, es simple ubicar a mano alzada
la transformada fasorial de f.
Referencia
coseno
60º
F
Figura 8.34. Referencia coseno.
Luego de la Figura 8.34 puede leerse que: F
2 60º
Ejemplo 8.11.
Sean
f1 (t )
2sen( t 30º )
f 2 (t )
3cos( t 10º )
(8.112)
Se puede asociar la referencia a f1(t), con lo cual el diagrama se representa en la Figura 8.35.
F2
s
c
30º
70º
F1
referencia
Figura 8.35. Referencia arbitraria.
La ventaja de este procedimiento es que el número complejo asociado a la referencia resulta
un número real.
De la Figura 8.35, pueden leerse los siguientes números complejos asociados a las señales
(8.112).
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36
Teoría de Redes Eléctricas
F
2 0º
1
F
(8.113)
3 70º
2
Para calcular las transformadas inversas, es conveniente en la Figura 8.35, agregar las
transformadas de c y s.
Por ejemplo, si en este sistema se tiene F
4 -120º , entonces la señal temporal asociada
3
será:
f3 (t ) 4sen( t 30o 120o )
4cos( t )
Este procedimiento corresponde a una definición de la transformada fasorial, en un tiempo
arbitrario distinto de cero.
La elección de la referencia arbitraria se realiza de tal modo que los cálculos numéricos se
vean simplificados.
8.6. Impedancia y admitancia complejas
8.6.1. Definiciones
Se desea estudiar las relaciones de equilibrio de las componentes de una red, sometida a
excitaciones sinusoidales y en estado estacionario.
Observemos una componente pasiva e identifiquemos sus variables terminales con v e i;
podemos, en general, expresar:
Re V e j
v(t )
i (t )
Re I e
t
(8.114)
j t
Donde:
V
P v
I
P i
(8.115)
Se recuerda que las relaciones terminales permiten conocer v, si se conoce i y viceversa. Es
conveniente, entonces, tener expresiones que nos permitan conocer V si se conoce I , y
viceversa.
Se definen, para una componente pasiva:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
37
V( )
Z( ) I( )
I( )
Y ( )V ( )
(8.116)
Z ( ) se denomina impedancia compleja. El nombre deriva del hecho que a voltaje
constante, a mayor impedancia menor corriente. Multiplicada por la transformada fasorial de la
corriente terminal, expresa la transformada fasorial del voltaje terminal.
Y ( ) se denomina admitancia compleja de la componente pasiva. Obviamente, para una
componente, se tienen:
Y
1
Z
;
1
Z
(8.117)
Y
En un caso general, Z e Y serán números complejos, que podrán expresarse de la siguiente
forma:
Z( )
R( )
jX ( )
Y( )
G( )
jB ( )
(8.118)
Se definen:
Resistencia: R( )
Re Z
Reactancia: X ( )
Im Z
•
•
Conductancia: G( )
Re Y
Susceptancia: B( )
Im Y
(8.119)
•
•
Nótese que las cantidades recién definidas, son funciones reales de la frecuencia angular.
Para una componente pasiva, se cumplen:
R( )
G( )
2
G ( )
X( )
B( )
2
G ( )
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2
B ( )
2
B ( )
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(8.120)
38
Teoría de Redes Eléctricas
Obsérvese que si G es positiva, R es mayor que cero; y que si B es positiva, X es menor que
cero.
Ejemplo 8.12.
Para una componente se conocen la corriente en el tiempo y su impedancia:
i (t ) 10 sen(2t 45º )
(8.121)
Z
3
j
2
Determinar v(t).
a
i
v
b
Figura 8.36. Red en estado estacionario, en el tiempo.
Solución.
Sacando transformada fasorial a la corriente, y considerando que la frecuencia angular es 2,
se obtienen:
P i
I
10 -45º
(8.122)
Z
3
j
2 30º
Entonces, usando (8.116), puede calcularse:
V
2 30º
10 -45º
20 -15º
(8.123)
Sacando transformada inversa, resulta:
v(t )
P
1
V
20 cos(2t 15º )
La Figura 8.37 muestra el desfase entre las formas de ondas.
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27-06-2008
(8.124)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
39
15°
v(t)=20cos(2t-15°)
i(t)=10cos(2t-45°)
45°
Figura 8.37. Formas de ondas de v(t) e i(t).
La Figura 8.38 muestra las transformadas fasoriales.
c
15º
s
30º
V
I
Figura 8.38. Transformadas de V e I.
Nótese que, con las referencias elegidas, el ángulo de la impedancia son los grados medidos,
en el sentido trigonométrico positivo, desde I hacia V .
8.6.2. Impedancias y admitancias de las componentes elementales
8.6.2.1. Resistor lineal e invariante en el tiempo
Para el resistor de la Figura 8.39 se tiene la relación de equilibrio en el tiempo:
vR
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R iR
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(8.125)
40
Teoría de Redes Eléctricas
a
iR
R
vR
b
Figura 8.39. Resistencia en el tiempo.
Sacando transformada fasorial a (8.125), se obtiene:
P vR
P RiR
RP iR
(8.126)
En términos de las transformadas fasoriales:
VR
(8.127)
RIR
Empleando la definición de impedancia (8.116), se tienen:
ZR
R
YR
1
R
(8.128)
G
Las Figuras 8.40 y 8.41 ilustran las relaciones en el tiempo y entre las transformadas
fasoriales. Se ha supuesto:
vR (t ) VR cos( t
iR(t)=IRcos( t+ )
)
vR(t)=VRcos( t+ )
Figura 8.40. Formas de ondas de vR e iR.
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(8.129)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
41
VR
IR
c
s
Figura 8.41. Transformadas de V R e I R , en fase.
Observaciones:
Z R e Y R no dependen de la frecuencia angular. Sus valores son números reales.
Las transformadas fasoriales están “en fase”
Los módulos de las transformadas fasoriales del voltaje y la corriente están relacionados por
el valor de la resistencia.
8.6.2.2. Inductor lineal e invariante en el tiempo
Para un inductor se tienen:
vL
P vL
VL
L
diL
dt
P L
diL
dt
(8.130)
j L IL
a
iL
vL
L
b
Figura 8.42. Variables en inductor lineal.
Por lo tanto, pueden calcularse la impedancia y la admitancia:
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27-06-2008
42
Teoría de Redes Eléctricas
ZL
j L
jX L
1
YL
j
L
j L
(8.131)
jBL
Los siguientes diagramas ilustran la situación; se ha supuesto:
iL
I L sen( t
(8.132)
)
VL
c
90º
s
IL
Figura 8.43. Transformadas en cuadratura.
90°
vL(t)=VLcos( t+
)
iL(t)
Figura 8.44. Corriente adelanta en 90° a la tensión.
De acuerdo a la definición (8.119):
XL
L
Se denomina reactancia inductiva, y es positiva, su dimensión es [ ].
La susceptancia inductiva es negativa:
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(8.133)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
43
(8.134)
1
BL
L
Z L e Y L son cantidades imaginarias, y funciones de .
La corriente I L está “atrasada” en 90º, respecto al voltaje V L
La relación entre los módulos, de las transformadas del voltaje y la corriente, es la reactancia
inductiva.
8.6.2.3. Condensador lineal e invariante en el tiempo
Para un condensador se tienen:
ic
C
P ic
Ic
dvc
dt
C P
dvc
dt
(8.135)
j CV c
a
iC
C
vC
b
Figura 8.45. Variables en un condensador lineal.
Por lo tanto, pueden calcularse la impedancia y la admitancia:
ZC
YC
1
j C
j C
(8.136)
1
C
Xc
Bc
j
C
C
Las Figuras 8.46 y 8.47 muestran las relaciones en en plano complejo y en el plano del
tiempo.
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44
Teoría de Redes Eléctricas
Se ha supuesto:
vc (t ) VC cos( t
(8.137)
)
VC
90º
IC
s
c
Figura 8.46. Transformada de I C adelanta en 90° a VC
vC(t)
iC(t)
90°
Figura 8.47. Corriente adelanta en 90° a la tensión.
Observaciones:
Xc se denomina reactancia capacitiva, y es menor que cero.
La susceptancia capacitiva Bc es positiva.
El ángulo de la impedancia es menos 90º.
La corriente está “adelantada” en 90º, respecto al voltaje.
La relación entre los módulos, de las transformadas fasoriales de la corriente y el voltaje, es
el módulo de la reactancia.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
45
8.6.2.4. Resumen
Se advierte que con la definición del concepto de impedancia, las relaciones terminales para
las componentes elementales adoptan la misma estructura; es decir: V Z I .
La función Z es distinta para cada una de las componentes elementales. Se definen Z e Y
sólo para redes pasivas de dos terminales.
8.7. Diagramas para redes sometidas a excitaciones sinusoidales
8.7.1. Símbolos
Nos interesa desarrollar un diagrama simbólico que nos permita analizar con facilidad redes
eléctricas, sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario.
La representación de impedancias, puede efectuarse mediante un simbolismo análogo al
empleado en los diagramas en el plano del tiempo. Asociamos a la ecuación general de
equilibrio V Z I , el siguiente diagrama simbólico:
a
I
Z
V
b
Figura 8.48. Impedancia en plano complejo.
Para las fuentes independientes, empleamos los siguientes símbolos:
a
I
V
Vg
b
Figura 8.49. Fuente de tensión en plano complejo.
En la Figura 8.49 se ha empleado:
P v g (t )
Leopoldo Silva Bijit
Vg
.
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(8.138)
46
Teoría de Redes Eléctricas
a
I
Ig
V
b
Figura 8.50. Fuente de corriente en plano complejo.
En la Figura 8.50 se ha empleado:
P ig (t )
Ig
(8.139)
.
Ejemplo 8.13.
Sea la red, de la Figura 8.51, en el dominio del tiempo:
i
L
v2(t)
eg
i1(t)
C
R
ig
Figura 8.51. Red en el dominio del tiempo.
Si las excitaciones, en el tiempo, son:
eg
E cos( t );
ig
(8.140)
I sen( t )
Con la simbología definida en 8.7.1, se puede lograr la Figura 8.52 a partir de la Figura 8.51.
I
ZL
V2
Eg
I1
ZC
ZR
Ig
Figura 8.52. Red en el plano complejo.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
47
Donde:
Eg
E 0º
Ig
I -90º
j
; ZL
C
ZC
I1
•
P i1 ; V 2
•
(8.141)
j L; Z
R
R
P v2
Diremos que el diagrama, de la Figura 8.52, corresponde a una red en el plano complejo.
Es importante no confundir los diagramas simbólicos. Cada uno, tiene sus propios símbolos
que representan, en forma gráfica, las relaciones analíticas que describen la conducta de la red
eléctrica. No es conveniente dibujar impedancias en una red en el dominio del tiempo; ni
tampoco emplear fasores para identificar una variable temporal.
8.7.2. Leyes de interconexión
Sean ik señales sinusoidales de igual frecuencia si aplicamos L.C.K. a la siguiente
conFiguración, en el tiempo:
i1(t)
i2(t)
in(t)
Figura 8.53. Corrientes en el tiempo.
Para el conjunto de corte que se muestra en la Figura 8.53, se tiene aplicando LCK:
i1 (t ) i2 (t ) ... in (t )
0
(8.142)
Aplicando transformación fasorial a (8.142), como P es un operador lineal, se tendrá:
I1 I 2 ... I n
0
(8.143)
Relación que podrá visualizarse en el diagrama de la red en el plano complejo, que se
muestra en la Figura 8.54.
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48
Teoría de Redes Eléctricas
I1
I2
In
Figura 8.54. Corrientes en plano complejo.
También podrán plantearse L.V.K. para los circuitos de la estructura interconectada, en el
plano complejo.
Ejemplo 8.14.
Se resuelve el Ejemplo 8.3, empleando diagramas en el plano complejo.
El Figura 8.55 representa a la red, de la Figura 8.9, en el plano complejo. Los elementos
dinámicos se tratan como impedancias.
+
IR
IL
R
E
IC
1/j C
j L
V
Figura 8.55. Diagrama de red con impedancias.
A partir del diagrama se pueden plantear las siguientes ecuaciones:
IC
j CV,
V
E
E ,
E
R IR V , IR
V
j L IL
V
(8.144)
I L IC
Debe notarse que aplica LVK en forma implícita en la segunda malla. De esta forma el
voltaje en la impedancia que representa al inductor es el mismo que el asociado a la impedancia
del condensador.
Eliminando las corrientes en (8.144) se obtiene:
V
E ( j L)
R RLC 2 j L
Que es la misma solución obtenida en (8.50).
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(8.145)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
49
8.7.3. Aplicación práctica de los diagramas
La importancia práctica de los diagramas de redes en el plano complejo, es que en ellos
pueden aplicarse todos los procedimientos de análisis de redes desarrollados para el dominio del
tiempo.
Una característica de la teoría de redes es la introducción de diagramas simbólicos que
condensan, en forma gráfica, toda la información que se posee acerca de un sistema eléctrico.
Permiten ver las ecuaciones de interconexión y las de equilibrio; además, permiten plantear
en forma simple las relaciones analíticas que describen el comportamiento de un sistema,
formado por la interconexión de subsistemas.
Destacamos que en los diagramas de redes en el plano complejo podrán aplicarse los
conceptos de equivalencia y los teoremas de Thévenin, Norton y superposición.
También deberá notarse que los métodos generales de análisis, aplicados a redes en el plano
complejo, darán sistemas de ecuaciones algebraicas; es decir, no aparecerán derivadas y
tampoco integrales.
Para obtener la solución de una red, deberá tenerse gran dominio en el cálculo numérico con
expresiones complejas. Es decir: conversión de forma polar a cartesiana y viceversa; suma,
resta, multiplicación y división de números complejos. Esta dificultad de cálculo se ve reducida
cuando se emplean calculadoras electrónicas.
8.8. Potencia en redes sometidas a excitaciones sinusoidales
8.8.1. Análisis en el dominio del tiempo
8.8.1.1. Potencia instantánea
Se tiene en la Figura 8.56, que: p(t )
pasiva proveniente del resto de la red.
v(t )i(t ) es el flujo energético, que ingresa a la red
i(t) a
Red
p(t) Pasiva
v(t)
b
Figura 8.56. Potencia instantánea.
Sean:
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50
Teoría de Redes Eléctricas
Iˆ cos( t
v(t ) Vˆ cos( t
i (t )
)
(8.146)
)
Las variables en (8.146) deben tener igual frecuencia angular.
Resulta, para la potencia instantánea:
ˆˆ cos( t
p(t ) VI
) cos( t
)
(8.147)
Empleando la identidad trigonométrica:
cos( x)cos( y) (cos( x y) cos( x y)) / 2
(8.148)
Aplicando (8.148) a (8.147), se obtiene:
ˆˆ
VI
cos
2
p(t )
(8.149)
cos(2 t 2
)
Empleando la identidad trigonométrica:
cos( x y) cos( x)cos( y) sen( x)sen( y)
(8.150)
Aplicando (8.150) a (8.149), se obtiene:
p(t )
ˆˆ
VI
cos
2
(8.151)
cos cos(2 t 2 ) sen sen(2 t 2 )
Se tienen las siguientes formas de ondas:
v(t
)
i(t)
p(t)
Figura 8.57. Formas de ondas de v, i y p(t).
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
51
Nótese en (8.149) que la potencia instantánea es una constante más una señal sinusoidal, con
una frecuencia angular igual al doble de la de las variables voltajes y corrientes de la red.
En la Figura 8.57, se aprecia que en determinados intervalos, la red pasiva devuelve energía
al resto de la red; esto ocurre cuando p(t) es menor que cero.
Podemos visualizar los procesos energéticos que ocurren en la red pasiva si descomponemos
la potencia en (8.151), de la siguiente forma:
p(t )
poa (t )
(8.152)
poo (t )
De (8.152) y (8.151) pueden definirse:
ˆˆ cos
ˆˆ cos
VI
VI
cos(2 t 2 )
2
2
ˆˆ sen
VI
poo (t )
sen(2 t 2 )
2
poa (t )
(8.153)
Las formas de ondas de (8.153) se muestran en la Figura 8.58.
Pac
p(t)
poa(t)
Q
poo(t)
Figura 8.58. Potencias oscilantes.
8.8.1.2. Energía utilizable
Se denomina a poa, potencia oscilante activa o útil.
Siempre es mayor que cero, y describe el flujo de energía que entra a la red pasiva y que se
queda dentro de ella. Es la energía que fluye hacia las componentes disipadoras de la red.
Nótese que el suministro de energía activa es oscilante, en ciertos intervalos la energía
ingresa rápidamente; en otros lo hace más lentamente. La potencia oscilante activa tiene valor
medio distinto de cero, en un período. Integrando en un período, la relación (8.153) se obtiene:
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52
Teoría de Redes Eléctricas
Pac
p oa
ˆˆ
VI
cos
2
Vef I ef cos
(8.154)
Donde Pac se denomina potencia activa, y se mide en [W], su valor se ilustra en la Figura
8.58.
8.8.1.3. Energía ociosa
Se denomina poo a la potencia oscilante ociosa o reactiva. Describe el flujo de la energía que
entra a la red, y que luego sale de ella.
El valor medio de poo, en un período, es cero. Integrando en un período, la relación (8.153) se
obtiene:
poo
(8.155)
0
Desde un punto de vista energético, diremos que poa califica la energía que se dirige hacia los
resistores de la red pasiva; y que poo califica el intercambio de energías, en forma oscilante,
entre las componentes almacenadoras de la red pasiva con el resto de la red.
Ejemplo 8.15.
Si una red pasiva tiene dos resistores, un condensador y un inductor, podremos plantear el
siguiente balance energético.
poa (t )
R1i R21 (t ) R2i R2 2 (t )
d
poo (t )
LiL2
2
dt
d
CvC2
(8.156)
2
dt
Vaivén reactivo.
Se denomina así, al proceso descrito por poo(t). Esto provoca una molestia económica a las
compañías generadoras de energía, ya que ellas trabajan para vender energía eléctrica y no para
recibirla de vuelta. Lo ideal para ellas, y para cualquiera que venda productos, es que la energía
que sale puedan considerarla como mercadería vendida; y es malo para ellas recibir de vuelta lo
que ya creían vendido. Además, en el viaje de ida y vuelta, en el vaivén, a la planta generadora,
se disipará energía en las líneas de transmisión.
En el vaivén reactivo perderá efectivamente la compañía generadora, no así el consumidor,
esto debido al lugar donde están ubicados los medidores de energía. Por esta razón los
vendedores de energía suelen tomar precauciones para evitar el vaivén; miden la potencia
reactiva y emplean tarifas diferentes de acuerdo a su valor.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
53
Una cantidad que califica el vaivén reactivo es la amplitud de poo, que se muestra como Q, en
la Figura 8.58.
Se define la potencia reactiva, según:
Q
ˆˆ
VI
sen
2
VAR
Vef I ef sen
(8.157)
La unidad MKS de Q, es el Watt. Pero, tradicionalmente, y para diferenciarla de la unidad
para la potencia activa, se define como unidad de Q el Volt Ampère Reactivo.
Nótese que poa y Pac son proporcionales a cos ; y que poo y Q son proporcionales a sen .
Pac es un valor medio; Q es la amplitud de poo.
8.8.1.4. Valor efectivo
Consideremos los dos casos siguientes:
Sea la siguiente red, con una excitación continua:
v
i1(t)
R
Figura 8.59. Red con excitación continua.
i1(t)
I
t
Figura 8.60. Excitación continua.
La potencia disipada en la resistencia es:
P
I2 R W
(8.158)
Debido a que la potencia instantánea es una constante, el valor medio toma el valor de esa
constante.
Sea, ahora, la red siguiente, cuya excitación es sinusoidal:
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54
Teoría de Redes Eléctricas
R
v
i2(t) = Imsen( t)
Figura 8.61. Red con excitación sinusoidal
i2(t)=Imsen( t)
Im
Figura 8.62. Excitación alterna.
La potencia promedio disipada en la resistencia es:
p
1
T
T
0
I m2 R
T
p(t )dt
T
0
I m2 R
2
2
sen( t ) dt
I ef2 R W
(8.159)
Ya que con T=2 :
1
T
T
0
2
sen(2 t / T ) dt
1
2
(8.160)
La integral definida (8.160), toma valor un medio.
Comparando (8.158) y (8.159) podemos establecer que el valor efectivo de una corriente
sinusoidal, es el valor de la corriente continua que produce el mismo efecto calórico. Se define
el valor efectivo, en términos del valor máximo, según:
I ef
Iˆ
2
(8.161)
Es tradicional en el análisis de redes sometidas a excitaciones sinusoidales, en estado
estacionario, referirse a los valores efectivos de las variables voltaje y corriente. Por ejemplo, se
dice “220 volts alternos”, o “220 V c.a.”, sin especificar nada más; debe entenderse que se
refieren a valores efectivos.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
55
8.8.2. Análisis en el plano complejo
8.8.2.1. Relaciones básicas
Transformando, al plano complejo, la red del punto 8.8.1, resultan:
I
V
P i
Iˆ
P v
Vˆ
(8.162)
La red pasiva queda calificada por la impedancia Z .
a
I
V
Z
b
Figura 8.63. Potencia en plano complejo.
De la definición de impedancia:
V
(8.163)
ZI
Efectuando el cuociente de (8.162) y comparando con (8.163), se tienen:
Z
Z
; Z
V̂
;
Î
V  I
(8.164)
Para las transformadas definidas en (8.162) se tienen las formas de ondas que se muestran en
la Figura 8.64.
v(t)=Vmcos( t+ +
)
i(t)=Imcos( t+ )
Figura 8.64. Formas de ondas de v(t) e i(t).
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56
Teoría de Redes Eléctricas
Las transformadas fasoriales se ilustran en la Figura 8.65.
V
I
c
s
Figura 8.65. Transformadas de V e I .
El ángulo
se mide en sentido contrario al reloj, de I hasta V . Esto debido a que el
módulo de la impedancia se define como un número positivo, y de la definición (8.163), el
ángulo del voltaje es la suma de los ángulos de la impedancia y la corriente. Esto se aprecia en
la Figura 8.65.
Las gráficas anteriores ilustran el caso en que
cuadrante.
es positivo y perteneciente al primer
Ejemplo 8.16.
Para una red en el plano complejo se tiene una impedancia con ángulo negativo, si se expresa
con valores angulares dentro del primer cuadrante. Se conoce la transformada fasorial del
voltaje.
Z
Z -30º
V
(8.165)
Z +330º
Vˆ
Determinar las formas de ondas de la corriente y el voltaje, y un diagrama que muestre las
transformadas fasoriales.
De (8.165) y (8.163) se obtienen:
I
v(t ) Vˆ cos( t+ )


V
V
V
Z Z -30º
Z
i(t )
Vˆ
Z
cos( t+
30º
30º )
Las formas de ondas de (8.166), se representan en la Figura 8.66.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(8.166)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
57
+30°
v(t)
i(t)
330°
30°
Figura 8.66. Formas de onda con
negativo.
Las transformadas fasoriales de la corriente y el voltaje se muestran en la Figura 8.67.
Luego de 330º que v pasa por un máximo lo hace i. Se tiene que i pasa por un máximo 30º
antes que v pase por un máximo.
I
30º
330º
s
V
c
Figura 8.67. Transformadas en impedancia con
negativo.
Ejemplo 8.17.
VI
Para (8.162), determinar el número complejo, en forma cartesiana, asociado al producto
2
Se indica con un asterisco el complejo conjugado de un número complejo.
Se tiene:
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*
58
Teoría de Redes Eléctricas
VI
*
V
I-
ˆˆ
VI
(8.167)
Dividiendo por dos, y expresando en forma cartesiana, y empleando las definiciones (8.154)
y (8.157), se obtiene:
1 *
VI
2
ˆˆ
VI
cos
2
j
ˆˆ
VI
sen
2
(8.168)
Pac
jQ
Empleando (8.167) en (8.168) se logra:
Pac
jQ
ˆˆ
VI
2
(8.168a)
Relación que permite determinar la potencia activa y reactiva si se conocen las
transformadas fasoriales de v e i.
8.8.2.2. Transformadas fasoriales con valores efectivos
Debido a que en la práctica se trabaja numéricamente con valores efectivos, puede definirse
la siguiente transformación fasorial para las funciones temporales que puedan escribirse según:
f (t )
2 F( ) e j
Re
F ; Pef-1 F
Pef f
t
(8.169)
f
El subíndice ef, indica que se trata de transformadas fasoriales con valores efectivos.
Comparar con las definiciones del punto 8.3.
Ejemplo 8.18.
Determine la transformada fasorial con valores efectivos de las siguientes señales:
i (t )
3sen(2 t 30º )
v(t )
2Vef cos( t )
(8.170)
Para la corriente, aplicando (8.169), se tiene:
I
3
-60º
(8.171)
2
Para el voltaje, resulta:
V
Leopoldo Silva Bijit
Pef V
Vef 0º
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(8.172)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
59
Si hubiéramos aplicado nuestra definición inicial (8.62), nos resultaría para el voltaje:
V
P v
(8.173)
2Vef 0º
Para la corriente, empleando (8.62):
I
P i
(8.174)
3 -60º
Ejemplo 8.19.
*
Determine en forma cartesiana el producto V I , para las relaciones del punto 8.8.2.1; pero,
usando transformadas fasoriales con valores efectivos.
Resultan:
V
Pef v
Vef
I
Pef i
I ef
(8.175)
Entonces, se obtiene:
VI
*
Vef I ef
Pac
(8.176)
jQ
Al trabajar con valores efectivos el número complejo ( Pac
jQ ) queda expresado por
VI
*
V I ; si se emplearan valores máximos, dicho número quedará expresado por
2
*
.
8.8.2.3. Potencia aparente
Se define la potencia aparente como el número complejo:
P Pac
jQ
(8.177)
En la Figura 8.68 se muestra la dirección de referencia para medir la potencia aparente.
Leopoldo Silva Bijit
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60
Teoría de Redes Eléctricas
I
a
V
P
Red
Pasiva
b
Figura 8.68. Potencia aparente.
P califica el flujo de potencia en redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado
estacionario.
El módulo de P , resulta con dimensión Watts, en el sistema MKS. Para efectuar diferencias
con la potencia activa y reactiva, el módulo de P se mide en [VA], voltamperes.
Representación gráfica en el plano complejo P .
jIm(P)
P
jQ
Re(P)
Pac
Figura 8.69. Plano complejo P .
El módulo de P se expresa según:
P
Pac2
Q 2 VA
(8.178)
La dirección de referencia, para medir el ángulo , es la trigonométrica positiva.
Si
es menor que cero y dentro del cuarto cuadrante, resulta Q con valor negativo.
Ejemplo 8.20.
Sea Z = R + jX una expresión cuyos valores numéricos son conocidos. Determinar la
potencia activa y reactiva, en función del valor efectivo de la corriente que fluye a través de la
impedancia.
Se tiene, trabajando con valores efectivos:
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
P VI
*
61
(Z I ) I
*
ZII
*
Z I ef2
(R
jX ) I ef2
(8.179)
Entonces comparando (8.179) con (8.177), se tienen:
RI ef2
Pac
Q
(8.180)
XI ef2
8.8.2.4. Factor de potencia
Se define el factor de potencia, asociado a un flujo de potencia según:
FP
Pac
p.u.
|P|
(8.181)
Es una medida de la utilización de un flujo de potencia; nótese que cuando FP = 1 se anula el
vaivén reactivo; es decir Q es cero.
En el caso desarrollado en el punto 8.8.2, la potencia fluye hacia una carga, o red pasiva. En
este caso tenemos que:
FP cos
Donde
p.u.
(8.182)
es el ángulo de la impedancia de la red pasiva.
El significado de p.u. es: por unidad; algunas veces se especifica el factor de potencia en
porcentaje.
Ver, además, el punto 8.10. de este capítulo.
8.9.
Planos complejos de admitancia e impedancia
Para lograr una mejor comprensión de los conceptos de impedancia y admitancia,
desarrollaremos su representación gráfica en un plano complejo.
La introducción de símbolos permite representar ideas. Los símbolos permiten el recuerdo,
ya que aparentemente, la memoria del hombre consiste en el almacenamiento de imágenes. Los
publicistas utilizan efectivamente los símbolos, para recordarles a los consumidores que
necesitan comprar los productos a los que se hace propaganda.
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62
Teoría de Redes Eléctricas
8.9.1. Ejemplo
Determinar la impedancia y admitancia para las siguientes redes pasivas, que se representan
mediante un diagrama en el dominio del tiempo.
Red RC serie
R
C
Figura 8.70. Red RC serie.
La impedancia serie se calcula empleando las definiciones (8.128) y (8.136). La admitancia
se calcula según (8.116), como el inverso de la impedancia, luego se expresa en forma
cartesiana. Se obtienen:
Z
R
2
1
j
C
;
Y
C2
2
1
C 2 R2
j
(R
C
(8.183)
)
Se tiene que: X es menor que cero; y B es mayor que cero.
Red RC paralelo
R
C
Figura 8.71. Red RC paralelo.
Se obtienen, en forma similar al caso anterior:
Z
R
1
2
R 2C 2
(1 j RC );
Y
1
R
j C
En el caso paralelo: X es menor que cero; y B es mayor que cero.
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(8.184)
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
63
Red RL serie
R
L
Figura 8.72. Red RL serie.
Se obtienen:
Z
R
j L; Y
R
j L
R2
2
; X 0; B 0
2
(8.185)
L
Red RL paralelo
L
R
Figura 8.73. Red RL paralelo.
Se obtienen:
Y
1
R
j
1
;
L
(8.186)
X 0; B 0
Red RLC serie
R
L
C
Figura 8.74. Red RLC serie.
Se obtienen:
Z
R
j( L
1
);
C
X 0 si
L
1
C
En los ejemplos, nótese que X y B son funciones de la frecuencia
red pasiva.
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(8.187)
y de los parámetros de la
64
Teoría de Redes Eléctricas
8.9.2. Definiciones
A pesar de que sólo se han analizado algunos casos particulares, daremos las siguientes
definiciones, en general:
Una impedancia tiene carácter inductivo si X > 0.
Una impedancia tiene carácter capacitivo si X < 0.
Una admitancia tiene carácter inductivo si B < 0.
Una admitancia tiene carácter capacitivo si B > 0.
(8.188)
Gráficamente, en un plano complejo de impedancias:
j Im(Z)
Z
Z1
Z2
Z3
Z5
Re(Z)
Z4
Figura 8.75. Plano complejo de impedancia.
De acuerdo a (8.188), con el ángulo de la impedancia, se tienen:
Z con carácter inductivo ( > 0º)
1
Z
Z
Z
Z
2
3
4
5
puramente inductiva ( = 90º)
puramente resistiva ( = 0º)
con carácter capacitivo ( < 0º)
puramente capacitiva ( = -90º)
El símbolo Z dentro de un recuadro, en la Figura 8.75, muestra que es una representación en
el plano complejo Z .
Los siguientes diagramas condensan, más aún, la información de las definiciones anteriores
en (8.188):
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
65
Z
Figura 8.76. Plano de impedancia.
Y
Figura 8.77. Plano de admitancia.
Debe observarse que Z representa a una red pasiva, y en ésta debe cumplirse que: Pac
0.
Debido a que la potencia activa es proporcional a cos , según (8.168), se tendrá que el
ángulo de la impedancia está limitado al rango:
–90º
90º
(8.189)
Es decir, la resistencia y conductancia de una impedancia o admitancia, respectivamente,
serán mayores o iguales a cero.
En las Figuras 8.76 y 8.77 se insinúan los tipos de impedancia o admitancia en los ejes y en
el primer y cuarto cuadrante, mediante símbolos de componentes elementales.
8.10. Factor de potencia inductivo y capacitivo
Antes se definió, en (8.182) que: FP = cos
[p.u.].
En el rango de valores permitidos al ángulo, (8.189), se cumple que:
cos
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= cos(- )
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(8.190)
66
Teoría de Redes Eléctricas
Gráficamente:
j Im(Z)
Z
Zind
ind
Re(Z)
cap
Zcap
Figura 8.78. Tipo de factor de potencia.
Las impedancias Z
ind
y Z
cap
, en la Figura 8.78, tienen factores de potencia con igual valor
numérico. Por esta razón, se suele especificar el carácter del factor de potencia. Con este fin se
agrega al valor del factor de potencia su tipo. Por ejemplo: FP=0,8 ind; o bien, FP=0,8 cap. El
significado de las abreviaturas es obvio.
Ejemplo 8.21.
Veremos algunas ideas adicionales sobre el significado del factor de potencia. La red, de la
Figura 8.79, representa a un consumidor ( Z ) conectado a través de líneas de transmisión a una
compañía generadora de electricidad.
a
I
R
E
V
Z
b
Figura 8.79. Resistencia en líneas de transmisión.
La potencia activa del consumidor está dada por: Pac = VI cos [W].
Si Pac y la tensión V son constantes, al aumentar el ángulo , aumentará la corriente I; o sea,
aumentarán las pérdidas de la compañía eléctrica, debido a la disipación en la resistencia de la
línea de transmisión.
También se producirá una pérdida de regulación del voltaje; V disminuirá, y por lo tanto el
consumidor podrá experimentar mal funcionamiento de los equipos eléctricos, debido a la caída
de tensión de alimentación. Se ha supuesto que la disminución es despreciable al asumir V
constante.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
67
8.11. Teorema de máxima potencia de transferencia
Dada una red en el plano complejo:
I
Red
activa
Red
Pasiva
V
Figura 8.80. Teorema de máxima potencia transferida.
Se desea determinar la impedancia de la red pasiva, para que ésta consuma la máxima
potencia posible, proveniente de la red activa. Aplicando el teorema de Thévenin, a la red
activa, resulta la Figura 8.81.
a
I
ZT
ET
Z
V
b
Figura 8.81. Thévenin de la red activa.
El problema puede plantearse, en términos de las variables de la Figura 8.81.
Dados E T y Z T ¿cuál es el valor de Z, que permite aprovechar más eficientemente a la
red activa?
Definiendo:
ET
E
ZT
RT
Z
R
jX T
(8.191)
jX
Resulta:
Pac
RE 2
( R RT )2 ( X
X T )2
(8.192)
Nótese que Pac es función de R y X. Las condiciones para la máxima potencia, en (8.192)
son:
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68
Teoría de Redes Eléctricas
Pac
X
Pac
R
0
(8.193)
0
Aplicando la primera condición de (8.193) a (8.192), se obtiene:
X
XT
(8.194)
0
Aplicando la segunda condición de (8.193) a (8.192), se obtiene:
RT
2
R2
(X
XT )
2
0
(8.195)
Resulta, finalmente, de (8.194) y (8.195):
R
(8.196)
RT
X
XT
Z
ZT
que puede plantearse, según:
(8.197)
*
La impedancia de la carga debe ser el complejo conjugado de la impedancia Thévenin de la
red activa.
Existen teoremas similares para casos particulares. Por ejemplo: Si la carga es solamente
resistiva, puede verificarse que la condición para máximo flujo de energía de la red activa hacia
la resistencia es:
R2
RT2
X T2
(8.198)
8.12. Diagramas fasoriales
8.12.1. Introducción
Se desea desarrollar un procedimiento gráfico para el estudio de redes sometidas a
excitaciones sinusoidales en estado estacionario.
Si se representan las variables de una red mediante sus transformadas fasoriales, los fasores
en un tiempo de referencia, se obtendrá el diagrama fasorial asociado a dicha red.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
69
Un diagrama fasorial condensa, en forma gráfica, la información proporcionada por la
solución de la red. Es decir, muestra las relaciones entre las fases y entre las amplitudes de las
variables de la red.
Por un lado, un diagrama fasorial es teórico, ya que permite visualizar el problema, efectuar
comparaciones, sacar conclusiones, determinar posibles modificaciones. Este método se emplea
en el estudio del comportamiento de la maquinaria eléctrica.
Por otro lado, un diagrama fasorial es un procedimiento práctico, ya que siguiendo los pasos
del método podrá construirse, con ayuda de compás, transportador y regla, el diagrama fasorial
que es la solución de la red. Como se verá luego, la efectiva aplicación de este método requiere
habilidad en la manipulación de conceptos geométricos. La construcción de triángulos a partir
de determinados datos, problema básico de la geometría plana clásica, puede aplicarse
efectivamente en la construcción de los diagramas fasoriales.
Una variante comúnmente empleada por las personas no versadas en geometría, es usar
diagramas fasoriales construidos a mano alzada, y establecer la solución de la red, en forma
analítica, mediante el uso de la trigonometría.
8.12.2. Reglas elementales para la construcción gráfica
8.12.2.1. Polígono LVK
Cada LVK está asociado a un polígono.
Supongamos, por ejemplo, que tenemos tres voltajes, tales que: V 1 V 2 V 3
0
Sus transformadas fasoriales pueden representarse según:
V1
V3
V2
Figura 8.82. Transformadas de v1, v2 y v3.
Desgraciadamente, esta forma gráfica no permite visualizar que cumplen la LVK.
Por esta razón, en los diagramas fasoriales se emplea la siguiente forma:
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70
Teoría de Redes Eléctricas
V2
V1
V3
Figura 8.83. LVK en forma gráfica.
Nótese que las transformadas fasoriales se consideran como vectores libres; o sea, no fijos al
origen. Técnica similar se emplea en los métodos de composición de fuerzas en la mecánica
estática. Obsérvese que si se conocen V 1 y V 2 , puede determinarse el voltaje V 3 .
El polígono puede adoptar otras formas. Adviértase que las distintas formas entregan la
misma información.
V3
V2
V1
Figura 8.84. Polígono LVK alternativo.
8.12.2.2. Polígono LCK
Cada LCK está asociada a un polígono de corrientes.
La siguiente forma gráfica:
I2
I3
I1
I4
Figura 8.85. Polígono LCK.
Nos indica que se cumple:
I1 I 2 I 3 I 4
0
8.12.2.3. Equilibrio gráfico
Cada relación de equilibrio establece dos relaciones entre las transformadas fasoriales de la
corriente y el voltaje asociados a una componente de dos terminales.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
71
Relación de módulos.
El módulo de la impedancia relaciona los módulos del voltaje y de la corriente.
Relación de ángulos.
El ángulo de la impedancia relaciona el ángulo de I con el ángulo de V , en la componente.
Ejemplo 8.22.
Para una componente elemental puramente capacitiva:
a
iC
C
vC
b
Figura 8.86. Variables en un condensador.
Ic
VC
Figura 8.87. Diagrama fasorial para el condensador.
CVC .
Relación de módulos: I C
Relación de ángulos: La corriente adelanta en 90º al voltaje.
Nótese que si se conoce VC puede construirse gráficamente la transformada fasorial I c , y
viceversa.
En las construcciones gráficas conviene escoger escalas adecuadas para las corrientes y para
los voltajes. No necesariamente un cm debe representar igual cantidad de amperes y de volts.
8.12.3. Ejemplos
Se verá, a través de ejemplos, las posibilidades del método recién fundamentado.
conveniente, después de estudiar los distintos ejemplos, releer la introducción.
8.12.3.1. Aplicación de las reglas elementales
Determinar vL(t) para la siguiente red:
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Es
72
Teoría de Redes Eléctricas
a
iL
2
1/2
vL
e(t)=2sen(3t)
b
Figura 8.88. Red RL.
Definamos las variables, en el siguiente diagrama, en el plano complejo:
IR
Z1
a
IL
VR
E
VL
Z2
b
Figura 8.89. Red en plano complejo.
Aplicando los valores dados en la Figura 8.88, se obtienen:
E
Z1
Z2
2 -90º
2
(8.199)
3
2
j
Procedimiento.
Dibujamos V L . Se escoge como referencia para dibujar los voltajes.
VL
Figura 8.90. Inicio del diagrama.
Se construye I L mediante la regla de equilibrio.
Nótese que los diagramas se han construido a mano alzada, pues aún no se conoce V L .
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
73
VL
VL/ L
IL
Figura 8.91. Relación de equilibrio del inductor.
Mediante LCK, agregamos la corriente en la resistencia al diagrama:
VL
IL =VL/ L
IL =IR
Figura 8.92. Incorporación de LCK.
Mediante regla de equilibrio, para la resistencia, se dibuja V R .
V R en fase con I R .
VL
IL=VL/ L
VR =IRR
IL =IR
VR
Figura 8.93. Incorporación de equilibrio de la resistencia.
Aplicando LVK se dibuja E.
VL
VL/ L
IL =IR
VR =IRR
E
VR
Figura 8.94. Diagrama fasorial completo.
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74
Teoría de Redes Eléctricas
Lo cual completa el diagrama fasorial, realizado a mano alzada. Nótese que, con cierta
experiencia, puede dibujarse el diagrama mediante la inspección visual de la red. Esta habilidad
se logra solamente después de resolver gran cantidad de problemas siguiendo ordenadamente
los pasos del procedimiento.
8.12.3.2. Solución analítica, empleando trigonometría
Una vez planteado el diagrama fasorial de la Figura 8.94, pueden obtenerse ecuaciones, a
través de la geometría o trigonometría, para relacionar los ángulos y las amplitudes de la
variables.
En la Figura 8.95 se ha dibujado la referencia seno coincidente con la dirección de la
transformada fasorial de la fuente de tensión.
c
VL
s
VL/ L
VR =IRR
IL =IR
E
VR
Figura 8.95. Obtención de relaciones.
Del diagrama se desprende que puede calcularse el ángulo , y el módulo de VL.
VR
tg
VL
IRR
IL
R
L
L
4
3
(8.200)
53,130
VL
E cos
2 0, 6 1, 2
Lo cual permite conocer la transformada fasorial del voltaje, y sacando transformación
inversa, se obtiene el voltaje en el tiempo, según:
vL (t )
1, 2 sen(3t 53,13º )
(8.201)
8.12.3.3. Solución gráfica, empleando geometría
Observando la Figura 8.94, vemos que para construir el diagrama, desde un punto de vista
geométrico, el problema consiste en construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa
y una relación entre los catetos.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
75
Construcción:
3
C
A
2
4
B
L
Figura 8.96. Construcción geométrica.
Con compás, transportador o escuadra se levanta una perpendicular. Luego se miden 3
unidades en un lado y 4 unidades en el otro. Lo cual determina la recta AL. El procedimiento
anterior, permite dibujar un ángulo sin transportador.
Sobre AL, se mide la hipotenusa. Lo que origina AB, y luego se ubica C, mediante la
paralela, al lado de largo 4.
Se mide AC, que resulta ser 1,2; y es el módulo del voltaje en el inductor; en ángulo se
mide con un transportador. Se ubican las referencias C y S y se obtiene la transformación
fasorial inversa.
8.12.3.4. Obtención de relaciones
Determinar una relación entre R, L, C y
potencia unitario.
para que la red, de la Figura 8.97, tenga factor de
La traducción de la especificación, de acuerdo a (8.182) es que I debe estar en fase con V ,
ya que el ángulo de la impedancia que ve el generador, debe tener ángulo cero.
I
I1
I2
VL
V
E
ZL
ZC
VR
ZR
Figura 8.97. Red en plano complejo.
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76
Teoría de Redes Eléctricas
Dibujando el diagrama fasorial, considerando que I y V deben estar en fase, que I1 debe estar
atrasada respecto a V (por ser una rama de carácter inductivo), y que VL debe adelantar en 90º a
I1, se obtiene:
V =VC
VR
I
VL
I2
I1
Figura 8.98. Diagrama fasorial.
Del diagrama se obtienen:
sen
VR
I2
V C
I1
VR / R
V cos
(8.202)
L
tg
R
Eliminando VR, V y , en (8.202), se obtiene:
L
C
R2
( L) 2
(8.203)
Se formulan las ecuaciones de la red en forma escalar, no con números complejos, a partir
de la inspección visual del diagrama fasorial.
8.13. Lugares geométricos. Diagramas circulares
8.13.1. Introducción
Se desea encontrar los L.G. de los extremos de las transformadas fasoriales, asociados a las
variables de una red sometida a excitación sinusoidal en estado estacionario, cuando alguna
componente elemental, R, L o C, es variable.
Previo a dicho estudio es necesario desarrollar algunos fundamentos matemáticos que nos
serán útiles.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
77
8.13.2. Transformaciones
Se desea encontrar relaciones entre los planos de la impedancia y de la admitancia compleja.
8.13.2.1. Transformación de puntos
En la Figura 8.99 se muestran las transformaciones de puntos ubicados sobre los ejes:
j Im(Z)
Z
j Im(Y)
Y
jX
Re(Z)
Re(Y)
1/R
R
-j/X
Figura 8.99. Transformaciones de puntos sobre los ejes.
Para un punto cualquiera, si el ángulo de la impedancia es positivo, el de la admitancia será
negativo. El módulo de la admitancia será el recíproco del módulo de la impedancia.
j Im(Z)
j Im(Y)
Z
Y
z
Re(Y)
Re(Z)
y
Figura 8.100. Transformación de un punto cualquiera.
8.13.2.2. Transformación de rectas que pasan por el origen
Se aplica 8.13.2.1. para dos puntos de la recta, según se muestra en la Figura 8.101.
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78
Teoría de Redes Eléctricas
j Im(Z)
j Im(Y)
Z
z1
Y
z2
Re(Z)
Re(Y)
y2
y1
Figura 8.101. Rectas que pasan por el origen.
8.13.2.3. Transformación de una circunferencia
Efectuaremos la transformación de un círculo de impedancias en un caso general, como se
muestra en la Figura 8.102.
jX
Z
r
b
R
a
Figura 8.102. Circunferencia en plano Z.
De la Figura 8.102, considerando que un punto tiene coordenadas ( R , X ) , se obtiene:
( R a)2
b) 2
(X
(8.204)
r2
De la definición de impedancia y admitancia (8.116), considerando que las coordenadas de la
admitancia son (G , B ) , se tiene:
Z
R
G
jX
G
2
B
2
j
(8.205)
B
G
2
B
2
Eliminando R y X, en función de G y B de (8.205) en (8.204) se obtiene:
2
G
G2
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B2
a
G2
(8.206)
2
B
B2
b
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r2
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
79
Definiendo una circunferencia en el plano (G , B ) , con centro en (c, d ) y radio e, se tiene:
(G c) 2 ( B d ) 2
(8.207)
e2
Arreglando (8.206) y comparando términos con (8.207), se obtienen:
c
e2
d
a
a b2 r 2
r2
(a 2 b 2 r 2 )2
b
2
a b2 r 2
2
(8.208)
Lo que demuestra que (8.206) es efectivamente una circunferencia. La cual se muestra en el
plano de admitancias, en la Figura 8.103.
jB
Y
c
G
e
-d
Figura 8.103. Circunferencia en plano Y.
Para transformar una circunferencia se procede de la siguiente forma: se pasa una recta por el
origen y el centro de la circunferencia, se transforman los puntos, según se vio en 8.13.2.2. El
procedimiento se ilustra en las Figura 8.104 y 8.105.
jX
Z
R
Figura 8.104. Puntos diametralmente opuestos en Z.
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80
Teoría de Redes Eléctricas
jB
Y
G
Figura 8.105. Puntos diametralmente opuestos en Y.
Se dibuja una recta que pase por el origen y por el centro de la circunferencia en plano
complejo de impedancias, Figura 8.104.
Luego se aplica 8.13.2.2. Esto puede hacerse, ya que del desarrollo anterior, en 8.13.2.3, se
conoce que la transformada de una circunferencia es una circunferencia.
8.13.2.4. Transformación de líneas que no pasan por el origen
Las rectas pueden consideranse circunferencias con centro en el infinito. Procedimiento: se
dibujan 3 puntos sobre la recta, ya que la mínima información para construir una circunferencia
son 3 puntos; y luego se transforman los puntos.
La Figura 8.106, muestra la transformación de una recta paralela al eje jX, en el plano de
impedancias, en una circunferencia en el plano de admitancias.
jX
Z
R
jB
Y
R
G
1/R
Figura 8.106. Transformación de recta paralela a eje jX.
La Figura 8.107, muestra la transformación de una recta paralela al eje R, en el plano de
admitancias, en una circunferencia en el plano de admitancias.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
81
jX
jB
Z
Y
jX
G
R
-j/X
Figura 8.107. Transformación de recta paralela a eje R.
8.13.3. Aplicaciones
8.13.3.1. Determinar lugar geométrico de Z e Y para C variable
Y
G
jBC
Figura 8.108. Red RC paralelo.
Para la admitancia resulta: Y ( j ) G j C . El lugar geométrico de la admitancia, se
muestra en la Figura 8.109, para C variando entre cero e infinito. Se muestra sobre la recta la
dirección en que se movería el valor de la susceptancia BC, cuando el condensador aumenta.
jB
C
Y
jBC
G
G
Figura 8.109. Admitancia con C variable.
El lugar geométrico de la impedancia, cuando se varía el valor del condensador, se muestra
en la Figura 8.110. Y se obtiene transformado tres puntos.
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27-06-2008
82
Teoría de Redes Eléctricas
Z
jX
1/G
R
C
Figura 8.110. Impedancia con C variable
8.13.3.2. L.G. para conductancia variable
Para la siguiente red RC paralelo, con G variable:
Y
G
jBC
Figura 8.111. Red RC con G variable.
Se obtiene, para la admitancia:
Y( j )
G
jBC
G
(8.209)
j C
La Figura 8.112, muestra la recta paralela al eje G, con el lugar geométrico de la admitancia
de la red de la Figura 8.111.
jB
Y
jBC
G
G
Figura 8.112. Admitancia RC, con G variable.
El diagrama para la impedancia, resulta una circunferencia, que se muestra en la Figura
8.113. Cuando la admitancia tiende a infinito, la impedancia tiende a cero.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
83
jX
Z
R
G
-j/ C
Figura 8.113. Impedancia RC, con G variable.
8.13.3.3. L.G. de I con R variable
Para la siguiente red:
I
R
a
E
j L
b
Figura 8.114. Red RL serie.
Se escoge E coincidente con la referencia, resulta E una constante real. Entonces el L.G.
de I será el L.G. de Y , multiplicado por la constante real, esto debido a (8.210).
E
I
Z
(8.210)
EY
Con R variable, se tiene el lugar geométrico de la impedancia, que se muestra en la Figura
8.115.
jX
Z
j L
R
R
Figura 8.115. Impedancia RL, con R variable.
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27-06-2008
84
Teoría de Redes Eléctricas
Para la admitancia, se obtiene la circunferencia de la Figura 8.116.
jB
Y
G
R
-j/ L
Figura 8.116. Admitancia RL, con R variable.
Finalmente, el L.G. de I resulta:
jIm(I)
I
E
Re(I)
R
-jE/ L
Figura 8.117. L.G. de I con R variable.
Ejemplo 8.23.
Para la siguiente red, con: =1; R1=1; R=1; R2=3; L=1.
L
i
R1
R
e
R2
C
Figura 8.118. Red en estado estacionario.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
85
Determinar:
El L.G. de la impedancia Z vista por el generador.
C para I esté en fase con V .
R2 para que exista sólo un valor de C que haga que I y V estén en fase.
Para la combinación serie de R y C, se tienen los L.G. de Z e Y de la Figura 8.119. Se
muestra la variación para la disminución del valor del condensador.
jB
Z
jX
C C0
Y
R
R
1/R
-j/ C
G
C
Figura 8.119. L.G. para C variable.
El valor del condensador C0, para un valor de B0 igual al radio de la circunferencia de la
admitancia, cumple la relación:
C0
1
(8.211)
2 R
Considerando la conductancia G2, en paralelo con la admitancia de la combinación serie
anterior, se logra:
Y
jB
C
1/R2
1/R+1/R2
G
Figura 8.120. L.G. de admitancia para C variable.
El L.G. de la impedancia para el conjunto anterior, resulta:
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86
Teoría de Redes Eléctricas
Z
jX
RR2/(R+R2)
R2
R
C
Figura 8.121. L.G. de impedancia para C variable.
Finalmente se suma la impedancia serie de la resistencia R1 con la inductancia L, resultando
la Figura 8.122.
Dependiendo de los valores numéricos, la circunferencia que muestra la variación del
condensador, puede ser tangente, no cortar, o cortar dos veces al eje real.
jX
Z
j L
C
R
R1
R1+R2
R1+RR2 /(R+R2 )
Figura 8.122. L.G. de Z para C variable.
Reemplazando los valores numéricos, se logra:
Z
jX
j1
C1
1 7/4
C2
C
4
R
Figura 8.123. L.G. de Z para C variable.
Existiendo dos valores del condensador C para los cuales la impedancia tiene ángulo cero.
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
87
En forma analítica, la impedancia vista por el generador, puede expresarse según:
z := R1
1
Lj
1
R2
(8.212)
1
j
R
C
De la cual pueden obtenerse los valores del condensador, que hacen cero la parte imaginaria
de la impedancia, resultan:
C1 :=
R2 2
R2 4 8 L2 R 2 R2 4 2 L2 R2 2 4 L2 R 2
2
2 ( 2 L R 2 R2
L R2 2 L R 2 2 )
2
(8.213)
C2 :=
R2
2
4
2
2
2
2
2
2
R2 8 L R
R2 4 L R2 4 L R
2
2
2 (2 L R
R2
L R2 2 L R 2 2 )
2
2
Evaluando con los datos numéricos se obtienen:
C1 = 0,4101 y C2 = 0,1524
(8.214)
Igualando la reactancia inductiva al radio del círculo se obtiene un solo valor del
condensador para tener impedancia de entrada puramente resistiva. De la Figura 8.122, se logra
la relación:
R2 2
R R2
(8.215)
2 L
Evaluando, con el resto de los datos, se obtienen:
R2 = 2,73205 y C = 0,267955
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(8.216)
88
Teoría de Redes Eléctricas
Problemas resueltos
Problema 8.1
Si se define la transformación fasorial de modo que:
P{ cos(wt-15º) } = 1/0º
determine las transformadas fasoriales de:
f1(t) = 9cos(wt+85º); f2(t) = 3sen(wt-72º); f3(t) =- 5sen(wt+34º).
Solución.
A través de relaciones trigonométricas, debe expresarse:
fj(t), j {1,2,3}, como: fj(t)=|Aj|cos(wt-15º+ j)
y luego, aplicando la definición se llega a:
P{ fj(t) } =|Aj|/
j
ˆ Fj
En nuestro caso:
f1(t) = 9cos(wt+85º) = 9cos(wt-15º+100)
f2(t) = 3sen(wt-72º) = 3cos(wt-72º-90º) = 3cos(wt-15º-147º)
f3(t) =-5sen(wt+34º) = 5cos(wt+34º+90º) = 5cos(wt-15º+139º)
F 1 = 9 /100º F 2 = 3 /-147º
F 3 = 5 /139º
Problema 8.2
Considere la red de la Figura P8.1, con los datos que se señalan:
L
R1
+
e(t)
C
R2
va
vb
i
Figura P8.1.
Datos:
e(t) = 200sen(314t) [V]; R1=5[ ]; L=5/314 [Hy]; R2=4[ ]; C=1/1256 [F].
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
89
Calcular: i(t), va(t), vb(t).
Solución:
Z2
Z1
+
Z3
Va
E
Z4
Vb
I
Figura P8.2.
Las transformadas fasoriales de los datos:
E 200 /0º
Aplicando LVK:
E V1 V 2 V3 V 4
I
200 /0º
9
Z1
R1
Z2
jwL
Z3
R2
Z4
1
jwC
j5
5 /90º
4 /0º
j4
4 /-90º
Z1 I Z 2 I Z 3 I Z 4 I
200 /0º
j
5 /0º
(9
j) I
22, 09 /-6,34º
9, 06 /6,34º
Va
Z1 I Z 2 I
(Z 1 Z 2 ) I
(5
j 5) 22, 09 /-6,34º 156, 2 /38,66º
Vb
Z3 I Z4 I
(Z 3 Z 4 ) I
(4
j 4) 22, 09 /-6,34º 125, 0 /-51,34º
Para obtener i(t), va(t) y vb(t) debe notarse que al haber escogido E
200 /0º se estableció
automáticamente a sen(314t) como referencia. Por lo tanto:
va (t ) 156, 2sen(314t 38,66º )
vb (t ) 125,0sen(314t 51,34º )
i (t )
22,09sen(314t 6,34º )
Observaciones:
Se puede desarrollar un “álgebra de impedancias” en forma análoga a aquella desarrollada
para resistores. Para este ejemplo se puede aplicar la idea de impedancias en serie para calcular
una impedancia equivalente Z , tal como es “vista” desde los terminales de la fuente.
e
Así:
Z
e
Z
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1
Z
2
Z
3
Z
4
9
j
9,06 /6,34º
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90
Teoría de Redes Eléctricas
y, consecuentemente,
I
E/ Z
e
la cual es la misma expresión a la que se había llegado anteriormente.
Es también interesante anotar que las ideas de división de tensión y división de corriente se
aplican igualmente en el análisis sinusoidal, ahora en términos de las impedancias en vez de las
resistencias. En el ejemplo, usando el concepto del divisor de tensión, se llega a:
Va
Vb
Z1 Z 2
Ze
Z3 Z4
Ze
E
E
Problema 8.3
Calcule el equivalente Norton de la red de la Figura P8.3, entre los terminales a y b,
conociendo la red en el plano complejo:
I1
Z2
2 /0º,
3 /-12º,
Z1
4 2 /45º,
I g2
1 /120º,
Eg
20 /-30º
Z3
2 /0º
a
+
Ig1
Z1
Eg
Ig2
Z3
b
Z2
Figura P8.3.
Solución:
La determinación de la red equivalente Norton o Thévenin, no necesita considerar las
condiciones iniciales ya que ellas influyen en la respuesta transitoria solamente y el análisis
sinusoidal sólo considera la situación estacionaria.
Como es fácilmente demostrable, las transformaciones de fuentes también son lícitas en el
dominio complejo, por lo que ese será el camino para reducir la red y llegar, por
transformaciones equivalentes, a la estructura de una red equivalente Norton.
Transformando I g 1 / Z 1 a fuente de tensión y luego reduciendo las dos fuentes de tensión en
serie y las dos impedancias en serie se llega a:
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
91
a
+
Eg3
Ig2
Z4
Z3
b
Figura P8.4.
donde:
Z4
Z1 Z 2
E g3
4
E g I g1 Z 1
j 4 2,93
17,3
j 0,62
j10 8
7,71 /26º
j8 20,3 /-62,6º
Finalmente, transformando la fuente de tensión E g3 y reduciendo las fuentes de corrientes y
las impedancias en paralelo se llega a:
a
ZN
IN
b
Figura P8.5.
donde:
ZN
IN
Z3 Z4
Z3 Z4
I g2
0,5
15, 42 /26º
8,93 j 3,38
E g3
Z4
15, 42 /26º
9,55 /20,7º
1 /120º
j 0,87 0,064
1,61 /5,3º
2,63 /-88,6º
j 2,63
0, 436
j1,76 1,81 /76,1º
Note que el mismo resultado debe obtenerse si en la Figura P8.3, se cortocircuita el par de
terminales a-b y se midiese allí la corriente circulante.
Problema 8.4
Calcule las corrientes de malla, en estado estacionario, para la red de la Figura P8.6:
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92
Teoría de Redes Eléctricas
R1
+
e(t)
C5
R4
M23
ia L2
L3
ib
Figura P8.6.
Se conocen:
e(t ) 100cos(2t ) V
R1 5[ ], R2 2[ ]
L2
L3
C
0,5 Hy ,
0,1 F , R4
M 23
0, 4 Hy
4
Solución:
Existen dos caminos alternativos: el primero consiste en formular las ecuaciones de
mallas en el tiempo y luego transformar fasorialmente esas ecuaciones para calcular I e I ;
a
b
el segundo es llevar simbólicamente la red al dominio fasorial y formular allí las ecuaciones de
mallas.
Seguiremos el segundo camino, pero previamente revisaremos las relaciones de equilibrio
para las inductancias acopladas en el dominio complejo:
v1 (t )
v2 (t )
di1
di
M 2
dt
dt
di
di
M 1 L2 2
dt
dt
L1
v1
P
v2
jwL1 I 1
jwM I 1
Se obtiene el siguiente modelo simbólico:
R1
+
j
E
L2
R4
j M23
j
L3
Ia
Figura P8.7.
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-j/ C5
Ib
jwM I 2
jwL2 I 2
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
93
Reemplazando los valores numéricos:
E 100 /0, jwL2
jwL3 1 /90º
jwM 23
j0,8,
0,8 /90º
-
j
j
wC
5 /-90º
-j5
Aplicando método de mallas:
E
0
( R1
jwL2 ) I a
jwM 23 I a
jwM 23 I b
R4
j
I
wC b
jwL3
Reemplazando valores y expresando matricialmente:
5
j
j 0,8
Ia
100
j4
Ib
0
j 0,8 4
Calculando la inversa, y efectuando cálculos:
Se obtiene:
Ia
4
Ib
j4
j 0,8
j 0,8
5
100
j
0
1
29, 4 /-33º
Ia
19, 25 12º
Ib
2, 72 123º
566 /-45º
29, 4 /-33º
80 /90º
29, 4 /-33º
En el dominio del tiempo:
ia(t) = 19,25 cos(2t -12º) ib(t) = 2,72 cos(2t + 123º)
Problema 8.5
Una impedancia capacitiva Z
c
Rc
1
toma 13[KVA] a FP=5/13 desde una fuente de
jwC
excitación sinusoidal de 200 [V], valor efectivo. Si se conecta a esta impedancia otra de tipo
inductivo, Z
R L jwL , en paralelo con ella, calcule, con los datos que se indican, lo
L
siguiente:
a) Z para que el FP del conjunto de ambas sea máximo y la potencia consumida por ellas
L
sea mínima;
b) la corriente, en valor efectivo, que debe entregar la fuente al conjunto de ambas
impedancias cuando se cumplen las condiciones establecidas en a).
Solución.
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94
Teoría de Redes Eléctricas
La situación es la siguiente:
I
+
E
IC
IL
ZC
ZL
Figura P8.8.
Como se desea trabajar en valores efectivos se definirá la transformación fasorial de la
siguiente forma:
Fˆ
P Fˆ cos wt
/0º
2
P
1
2 | F | cos( wt  F )
F
a) FPmáx =1, por lo que la potencia reactiva total (QrC+QrL) debe ser cero; o sea, la potencia
reactiva en la impedancia inductiva debe ser:
QrL
QrC
PapC sen
PapC sen(arccos( FPC )) 12 KVAR
C
Por otro lado, para que Pact total sea mínima, la potencia consumida por Z L debe ser cero, es
decir, RL debe ser cero. Por lo tanto:
ZL
jwL
PapL
QrL
E2
wL
wL
(200)2
12000
3,33
b) Calculamos la corriente total:
I
IC IL
I
(5000
PapC
E
j12000
ZL
j 3,33
PapL
/arccos(5/13)
j12000) / 200
/90º
E
25 A
También tenemos para la potencia activa:
EI cos
y, dado que cos
PacC
T
T
FPT
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PacL
PacC
5000
1 , para cumplir el requisito de máximo, se tiene:
PacT
5000
I
2,5 A
E cos T
200
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
95
Problema 8.6
Determine gráficamente V , V , V y V en la red de la Figura P8.9
1
2
3
4
2
j
-j3
V1
V2
V3
200|_0º
V4
+
I
1
Figura P8.9.
Solución:
La impedancia total es Z
T
V
1
yV
4
j2 , lo cual determina la fase de I respecto de la fuente.
3
están en fase con I ; V adelanta a I en 90º y V atrasa a I en 90º.
2
3
Además por LVK, se tiene:
200 0°
V1 V 4 V 3
V4
Y se cumplen las siguientes relaciones entre los voltajes:
V
V
1
4
V
2
;
1
V
3
1
3
2
Con estas relaciones se puede construir el diagrama fasorial, escogiendo la fuente como
referencia.
I
V2
V4
V3
V1
2
3
E
Figura P8.10.
Procedimiento:
1. Dibuje E de un largo razonable, con ángulo 0º.
2. Trace un rayo de ángulo = arctg 2/3, obteniendo el LG de I .
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96
Teoría de Redes Eléctricas
3. Construya el
4. En el
rectángulo con hipotenusa dada ( E ) y un
así obtenido identifique el cateto en fase con I como: V
1
cuadratura con I como: V
5. Divida el cateto
V
1
V
2
4
2
V
4
; y aquel en
V .
3
en relación 2:1 para obtener V y V .
1
4
6. Tome la mitad del cateto V
V
dado, el de I respecto de E .
V
2
3
y cópiela a continuación del mismo para obtener
y V 3 en relación de magnitudes 3/1.
7. Conociendo que 200[V] corresponde a 6 [cm] pueden calcularse proporcionalmente las
dimensiones de las transformadas fasoriales. Los ángulos se miden con transportador.
E ˆ 6cm ˆ 200V dato
V1 ˆ 3, 3cm ˆ 110V
V2 ˆ 1, 7cm ˆ 57V
V3 ˆ 5cm ˆ 167V
V4 ˆ 1,5cm ˆ 50V
V 1 110 /33,7º
V2
57 /125º
V3
167 /-55º
V4
50 /33,7º
Problema 8.7
Se tiene la red de la Figura P8.11, sometida a excitaciones sinusoidales y en estado
estacionario:
vL
vR1
L
R1
i R2
e3
Figura P8.11
Se dispone de los siguientes datos: L =5/2, C = 1/12,
R1 = 10, R2 = 3
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vC
i2
i1
e1
vR2
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C
e2
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
97
e1(t) = sen(4t –45°) e2(t) = sen(4t + 135°)
e3(t) = -sen(4t –135°)
a) Determinar: i(t) e I 2
b) Determinar la potencia aparente compleja entregada por la fuente de tensión E2 .
•
c) Dibujar un diagrama fasorial, en que se muestren las tensiones en cada uno de los
elementos.
Solución.
Se obtienen las transformadas fasoriales de las fuentes.
Luego las impedancias de las componentes, y finalmente se calculan las corrientes.
Se obtienen:
E1 1 135
E2 1 45
E3 1 45
Z1
R1 j L 10
Z2
R 2 1/( j C ) 3 12 / j 4 3(1 j ) 3 2 45
E1 E3
I1
1 135 1 45
10 2 45
Z1
E3 E2
I2
I
Z1
I 2 I1
j 4(5 / 2) 10(1
1 45 1 45
3 2 45
1
45
3
1
135
10
j ) 10 2 45
2 180
10 2 45
2 90
3 2 45
1
45
3
1
135
10
1
45
3
1
45
10
13
45
30
Obteniendo la transformada inversa para la corriente, resulta:
i(t) = (13/30) cos(4t –45°)
b) Planteando la expresión para la potencia aparente compleja, y reemplazando los valores,
se obtiene:
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98
Teoría de Redes Eléctricas
E2 ( I 2 )*
PE 2
2
1
1
45 225
2
3
1
270
6
j
6
0
El resultado indica que se tiene potencia reactiva de tipo capacitiva.
c) Se obtienen las transformadas fasoriales de los voltajes en cada componente, y luego se
dibujan los polígonos LVK y LCK, en la Figura P8.2.
E1 1 135
E2 1 45
E3 1 45
5
j 4 I1 1135
2
VR1 10 I1 1135
VL
12
I 2 1 45
j4
VR 2 3I 2 1 45
VC
90
1 225
90
1 135
1 135
1 [V]
0,1 [A]
E2
I1
VL
VR2
VR1
VC
E1
E3
I2
Figura P8.12
Problema 8.8
Se tiene la red de la Figura P8.13, sometida a una excitación sinusoidal y en estado
estacionario:
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
99
i2
R1
i
i1
v3
e
C
v1
L
v2
v4
R2
Figura P8.13
a) Con: e(t) = 25 cos(5t + 45°), L = 2, C = 1/5, R1= 1, R2 = 0
Determinar: p1(t), la potencia instantánea en el condensador.
b) Con: e(t) = 5 cos( t ), determinar R2 en función de R1, L y C, para que la potencia
reactiva entregada por el generador sea cero.
c) Con: e(t) = 10 cos( t), L = 1/4, C = 4/73, R1= 10, R2 = 2
Determinar la frecuencia angular para que las transformadas fasoriales de e(t) e i(t) estén
en fase.
Solución.
a) Se calculan las impedancias:
z RL
R2
j L
j
C
zC
zp
zRL || zC
(1)
(2)
(3)
Para calcular V1 e I1, primero se calcula I, se tiene:
(4)
E
I
R1
zp
Luego:
V1
Iz p
I1
V1
zc
Para la transformada de la fuente, se tiene:
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(5)
100
Teoría de Redes Eléctricas
E
(6)
25 45
Reemplazando los valores numéricos en (1), (2), (3) y (4), y empleando (6), se obtienen:
I
16, 72 93, 0
I1 18,58 93, 0
(7)
V1 18,58 3, 0
Se determinan funciones temporales de v1(t) e i1(t):
v1(t) = 18,58 cos( 5t +3,01°)
i1(t) = 18,58 cos( 5t +93,01°)
(8)
Se tiene para la potencia instantánea en el condensador:
p1(t) = 172,65 cos( 10t + 96,03°)
(9)
b) Para que la potencia reactiva entregada por el generador sea nula, la impedancia vista por
éste debe ser resistiva pura. Entonces la impedancia paralelo del condensador, y de la
combinación serie de la inductancia y la resistencia R2 debe ser un número real, sea éste R.
R (
j
) || ( j L R2
C
(10)
De la cual se obtienen, separando parte real e imaginaria, dos ecuaciones:
RR2
L
C
R2
C
R(
(11)
1
C
L)
Eliminando R, en (11), se obtiene:
R2
L
C
2 2
(12)
L
c) Para que las transformadas fasoriales de e(t) e i(t) estén en fase, la impedancia vista por el
generador debe ser resistiva.
Despejando
de la relación (12), se obtiene:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
101
(13)
R2 2
L2
1
LC
Evaluando (13) con los datos, se obtiene:
=3
Problema 8.9
Se tiene la red de la Figura P8.14, sometida a una excitación sinusoidal y en estado
estacionario:
L
i
i2
i1
e
C
v1
R
Figura P8.14
Se dispone de los siguientes datos: L = 2, C = 3, R = 10.
a) Determinar: i(t) e I 2 cuando e(t) = 25 cos(5t + 45°)
b) Con e(t) = 25 cos( t ) determinar , para que E e I estén en fase.
•
•
Solución:
a) La impedancia vista por la fuente de tensión:
Z :=
Lj
1
1
R
(1)
Cj
Reemplazando los valores numéricos, y calculando se obtiene:
Z
9,93 89,97º
(2)
Se tiene la transformada fasorial de la fuente:
E
25 45,0º
(3)
Puede calcularse la corriente:
I
Leopoldo Silva Bijit
E
Z
25 45º
9,93 89,97º
2,52 45, 0º
27-06-2008
(4)
102
Teoría de Redes Eléctricas
En el dominio del tiempo:
(5)
i(t ) 2,52cos(5t 45,0º )
I2 se calcula empleando un divisor de corriente, a partir de I.
I2
j
C
j
C
I
R
(6)
0, 017 154, 61º
b) Si el ángulo de la impedancia es cero, la tensión y la corriente estarán en fase. Entonces
igualando a cero la parte imaginaria de Z, se obtiene una ecuación que permite determinar .
Para
positivo, diferente de cero, se obtiene:
Im( z )
C
L
1
R2
( C )2
L( R 2 C L)
RLC
0, 407
(7)
(8)
Problema 8.10
Se tienen: e(t) = 10cos(2t + 45°) ; la carga 1, de tipo inductivo, absorbe 10 [W] y 5 [VAR];
la carga 2 absorbe 10 [VAR] con factor de potencia = 0,8 cap.; la potencia activa total entregada
por el generador es de 35 [W]; la potencia reactiva de la carga 3, de tipo capacitivo, es de
2[VAR].
I1
I
P
I2
I3
P1
P2
P3
Z1
Z2
Z3
E
Figura P8.15
Determinar:
a) Las impedancias complejas: Z1, Z2 y Z3.
b) Las corrientes i(t) e i2(t).
c) Las potencias aparentes de las cargas en [VA]
d) El factor de potencia visto por el generador.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
103
Se requiere plantear ecuaciones sin reemplazar datos, empleando símbolos. Luego
especificar los valores de los símbolos anteriores que son datos. Luego discutir cómo pueden
calcularse las incógnitas. Para finalmente efectuar los cálculos.
Solución:
Se tienen las siguientes ecuaciones:
cos 2
j ); P3 Pac3 Q3 j
sen 2
Pac1 Pac 2 Pac3; Q Q1 Q 2 Q3; P Pac jQ
E 10 45 ; P1 Pac1 Q1 j; P 2 Q 2(
Pac
Z
I
EE
EE
EE
; Z1
;Z2
; Z3
2P
2 P1
2P2
E
E
E
E
; I1
;I2
; I3
Z
Z1
Z2
Z3
EE
2 P3
Análisis de las ecuaciones para obtener los valores pedidos:
Son datos del problema:
Pac1 = 10, Q1 = 5, cos 2 = 0,8, Q2 = -10,
Pac = 35, Q3 = -2, con los cuales se pueden calcular: P1, P2, Pac3, Q. Y también: P y P3.
Ya calculados P, P1, P2 y P3, pueden obtenerse las impedancias: Z, Z1, Z2 y Z3.
Con las impedancias calculadas, pueden determinarse las corrientes: I, I1, I2, e I3.
E := 5 2 5 j 2
Pac3 := 11.66666666 Q := -7
P := 35 7 j
= 35.693|_-11.310°
P1 := 10 5 j
= 11.180|_26.565°
P2 := 13.33333333 10. j = 16.667|_-36.870°
P3 := 11.66666667 2. j = 11.837|_-9.728°
a) Cálculo impedancias:
Z := 1.373626374 0.2747252747j = 1.401|_-11.310°
Z1 := 4. 2. j
= 4.472|_26.565°
Z2 := 2.400000000 1.800000000j = 3.000|_-36.870°
Z3 := 4.163362410 0.713719270j = 4.224|_-9.728°
b) Cálculo de corrientes:
I := 3.959797974 5.939696958j
I1 := 2.121320343 0.7071067810j
I2 := 0.4714045216 3.299831646j
I3 := 1.367073110 1.932758535j
Leopoldo Silva Bijit
= 7.139|_56.310°
= 2.236|_18.435°
= 3.333|_81.870°
= 2.367|_54.728°
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104
Teoría de Redes Eléctricas
Expresiones temporales de las corrientes:
i(t) = 7,139 cos(2t +56,31°), i2(t) = 3,333 cos(2t +81,87°)
c) Valores de las potencies aparentes:
Las potencias aparentes en [VA]:
Pap1 = 11.180 Pap2 = 16.667 Pap3 = 11.837
d) Determinación del factor de potencia y su tipo.
El factor de potencia visto por el generador, es el coseno del ángulo de la impedancia
equivalente, es decir:
F.P. = cos(11,31°) = 0.9805806757 y su tipo es capacitivo.
También puede calcularse como: Re(Z)/ abs(Z).
Es el coseno del ángulo medido desde I hacia E
F.P.= cos( (ángulo de E) – (ángulo de I))
=cos( 45° - 56,310°) = cos(-11,31°)
F.P.= cos( 11,31°) cap.
También:
F.P. = cos( ángulo de P) = cos(-11,31°) = cos(11,31°) cap.
Problema 8.11
Para la red de la Figura P8.16, se tienen:
E1

E 0 , E2
E

I
2
,Z

1
Z
P2
P1
E2
E1
Figura P8.16
a) Determinar intervalo de valores de 2 para que la fuente E2 entregue energía activa cuando
la impedancia es puramente inductiva.
b) Determinar intervalo de valores de 2 para que la fuente E2 se comporte como una carga
inductiva cuando la impedancia es puramente capacitiva.
Leopoldo Silva Bijit
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
105
Solución:
E
a) Cuando Z es puramente inductiva, se tiene:
= /2 y la expresión para P2
2
I

2

resulta:
E
P2

2
(E 0
E
2
)
E 2 (cos
2Z
E ( j cos 2 sen 2 )(1 cos
2
2
E ( sen 2 )
2
jsen 2 )(1 cos
2j
jsen 2 )
2
2
P2

Pac 2
2
2
jsen 2 )
La fuente entrega energía activa cuando Pac2 es negativa, lo cual se cumple en el intervalo
0
180
2
E
b) Cuando Z es puramente capacitiva, se tiene:
= - /2 y la expresión para P2

resulta:
P2
E
2
E
2
)
E 2 (cos
jsen 2 )(1 cos
2j
2
2Z

P2
(E 0
E 2 ( j cos
2

sen 2 )(1 cos
2
2
jsen 2 )
jsen 2 )
2
2
E 2 ( cos 2 (1 cos 2 ) sen 2 )
2
2
2
2
E ( cos 2 cos 2 sen 2 )
2
2
E (1 cos 2 )
2
Q2
Q2
Q2
Q2 se comporta como carga inductiva si es mayor que cero. Esto se logra para:
1 cos 2 0
cos
2
1
Lo cual se cumple para todo valor de
Leopoldo Silva Bijit
2.
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2
2
I

106
Teoría de Redes Eléctricas
Ejercicios propuestos
Ejercicio 8.1
En un mismo diagrama fasorial dibuje los fasores asociados a sen(2wt+ ) y sen(wt+ ) en
diferentes instantes y sabiendo que
. Suponga que en ambos casos se ha usado el fasor
asociado a coseno como el fasor de referencia.
A partir de lo observado, discuta la posibilidad de usar el método fasorial para analizar redes
sujetas a excitaciones sinusoidales de diferente frecuencia (sin usar superposición).
Ejercicio 8.2
Dibuje las señales asociadas a las siguientes transformadas fasoriales:
F
F
F
1
20 /40º
15 / - 130º
2
30 /290º
3
Suponga que F =1 /0 corresponde a
2 sen(wt-30º).
Ejercicio 8.3
Se tiene que: I 1 I 2 I 3 I 4 I 5
I
I
I
I
1
2
3
5
0 , además:
2 /0º
4 /30º
3 / - 100º
4 /120º
Calcule i4(t) si I 1 corresponde a 2 2 sen(314t+20º).
Use método gráfico y método analítico.
Leopoldo Silva Bijit
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Capítulo 8. Análisis sinusoidal
107
Ejercicio 8.4
Se tienen:
E
E
E
a
b
c
200 /0º
200 / - 120º
200 /120º
Determine V RS, V ST y V TR.
R
+
Ea
+
Ec
S
Eb
+
T
Figura E8.1.
Ejercicio 8.5
En un condensador de 1/3140[F] circula una corriente de valor 1,5 sen(314t).
En un diagrama fasorial las transformadas fasoriales para la corriente, la tensión y la carga.
¿Qué sentido tendría representar, si es posible, la energía almacenada en el mismo diagrama?
Ejercicio 8.6
En una red se conectan en serie un resistor, un inductor y un condensador y el conjunto es
alimentado por una fuente de tensión igual a Ê sen wt. Establezca bajo qué condiciones las
tensiones en los elementos pasivos pueden tener una amplitud mayor que Ê .
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
108
Teoría de Redes Eléctricas
Ejercicio 8.7
E
2200 /0º
ZL
2 /0º
ZC
5 /45º
T.I.
ZL
+
ZC
E
10:1
Figura E8.2.
Calcule la relación entre las tensiones en Z L y Z C .
Calcule la relación entre las potencias disipadas en Z L y Z C
Ejercicio 8.8
Para la siguiente red, con:
ig1 = 10 sen t, eg6 = 100 cos(t-25º)
R2 = R3 = 2, C4 = 1, L5 = 2
eg6
+
ig1
C4
R2
R3
L5
Figura E8.3.
Calcule las tensiones y las corrientes de la red usando cualquiera de los métodos generales de
análisis de redes.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
109
Ejercicio 8.9
Para la siguiente red, con: E =380 /0º, Z reactiva pura,
1
I = 10, V1 = V2 = 380
+
E
Z1
Z2
V1
V2
I
Figura E8.4.
Calcular, si es posible: Z 1 , Z 2 , y  de I , V 1 , V 2
Ejercicio 8.10
En la red del ejercicio 8.9 se sabe que:
E = 200 /0º
Z
Z
1
2
toma 5[KVA] a FP = 0,8 IND
es una reactancia capacitiva que toma 8 [KVAR]
Calcule I.
Calcule: Z 1 , Z 2
Ejercicio 8.11
Para la siguiente red, con: E =400/0º, Z =40 / 1, Z =50 /
1
2
La fuente entrega 2,6 [KVA] a FP = 0,9 IND.
I
+
E
I1
I2
Z1
Z2
Figura E8.5.
Leopoldo Silva Bijit
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2
110
Teoría de Redes Eléctricas
Calcule: I , I , I , Z , Z .
1 2
1
2
Ejercicio 8.12
En la misma red del ejercicio 8.11, se sabe que:
E = 500 /0º
La fuente entrega 100 [KW] a FP = 1
I1 = 20 con Z 1 reactiva pura (cap.)
Calcule I , I , I , Z , Z .
1 2
1
2
Ejercicio 8.13
Para mejorar el FP de una carga Z L se le conectan en paralelo capacitores que toman 20
[KVAR]. Se sabe que la potencia aparente del conjunto es 185 [KVA] y el FP total llega a 0,9
CAP. Determine P ap en Z L.
Ejercicio 8.14
Una carga de 2 [KVA] a FP1 = 0,8 IND es conectada en paralelo con otra de 0,5 [KVA]. Si
el FP total es 0,9 IND, ¿Cuál es el FP de la segunda carga?
Ejercicio 8.15
En la red del ejercicio 8.11 se sabe que:
Z 1 = 15
Z 2 = 8-j2
Pac total = 2 [KW]
¿Cuál es la potencia activa consumida por cada carga?
Ejercicio 8.16
En la red del ejercicio 8.11 se tiene que:
Z 1 = RL+jXL
Z 2 = Rc+jXc
Determine el LG de I para C variable.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
111
Ejercicio 8.17
Para la siguiente red, se tienen:
E1

E 0 , E2
Asumir E,

2
E2
2
,Z

Z
y Z constantes.
I
Z
P2
P1
E2
E1
Figura E8.6.
a) Determinar relaciones que deben cumplir el ángulo de la impedancia y el valor máximo de
la fuente de tensión dos para que ésta entregue potencia activa y reactiva.
b) Determinar relaciones que deben cumplir el ángulo de la impedancia y el valor máximo de
la fuente de tensión dos para que ésta se comporte como un condensador.
Plantear ecuaciones sin reemplazar datos, empleando símbolos. Luego especificar los valores
de los símbolos anteriores que son datos. Luego discutir cómo pueden calcularse las incógnitas,
a partir de los datos. Para finalmente efectuar los cálculos.
Ejercicio 8.18
L.G. de I con R2 variable. Considerar E como referencia. Analizar los casos: R1 variable; L
variable; C variable.
I
I1
E
VR1
ZR1
VR2
ZR2
VL
ZL
VC
ZC
Figura E8.7. L.G. de
Leopoldo Silva Bijit
I2
I con R2 variable.
27-06-2008
112
Teoría de Redes Eléctricas
Índice general
CAPÍTULO 8 ........................................................................................................................... 1
ANALISIS SINUSOIDAL ....................................................................................................... 1
8.1. REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES EN ESTADO ESTACIONARIO ......... 1
Ejemplo 8.1....................................................................................................................... 2
8.2. PROPIEDADES DE LAS SEÑALES SINUSOIDALES ......................................................... 3
8.2.1. Derivada ................................................................................................................. 3
8.2.2. Integral ................................................................................................................... 3
8.2.3. Suma de sinusoidales.............................................................................................. 4
8.2.4. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo .......................................................... 5
8.2.4.1. Excitados por señales sinusoidales ................................................................................................ 5
8.2.4.2. Excitados por señales exponenciales imaginarias ........................................................................ 5
Ejemplo 8.2. .......................................................................................................................................... 8
Ejemplo 8.3. .......................................................................................................................................... 8
Solución empleando funciones trigonométricas ............................................................................... 9
Solución empleando funciones exponenciales complejas .............................................................. 11
Ejemplo 8.4. ........................................................................................................................................ 13
TRANSFORMACIÓN FASORIAL.................................................................................. 16
8.3.
8.3.1. Definición ............................................................................................................. 16
Ejemplo 8.5. ............................................................................................................................................. 17
8.3.2. Teoremas .............................................................................................................. 17
Teorema 8.1.
Teorema 8.2.
Teorema 8.3.
Teorema 8.4.
Homogeneidad .................................................................................................................. 17
Linealidad ......................................................................................................................... 18
Transformada fasorial de la derivada ................................................................................ 19
Transformada fasorial de la integral.................................................................................. 19
Ejemplo 8.5..................................................................................................................... 20
Ejemplo 8.6..................................................................................................................... 21
8.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FASORES................................................................. 22
8.4.1. Definición de fasor ............................................................................................... 22
8.4.2. Representación del fasor en t=0 .......................................................................... 23
Ejemplo 8.7..................................................................................................................... 23
8.4.3. Representación del fasor en cualquier instante ................................................... 24
8.4.4. Fasor de coseno.................................................................................................... 25
8.4.5. Fasor de coseno más un ángulo ........................................................................... 27
8.4.6. Fasor de coseno menos un ángulo ....................................................................... 29
Ejemplo 8.8. ............................................................................................................................................. 30
Resumen .................................................................................................................................................. 30
8.5. PROCEDIMIENTO GRÁFICO ........................................................................................... 31
8.5.1 Transformadas basadas en la parte real ............................................................... 31
Ejemplo 8.9..................................................................................................................... 32
8.5.2. Transformadas basadas en la parte imaginaria .................................................. 34
8.5.3. Referencia coseno arbitraria................................................................................ 34
Ejemplo 8.10. ........................................................................................................................................... 34
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
113
Ejemplo 8.11. .......................................................................................................................................... 35
8.6. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJAS ................................................................... 36
8.6.1. Definiciones.......................................................................................................... 36
Ejemplo 8.12. .......................................................................................................................................... 38
8.6.2. Impedancias y admitancias de las componentes elementales .............................. 39
8.6.2.1. Resistor lineal e invariante en el tiempo ..................................................................................... 39
8.6.2.2. Inductor lineal e invariante en el tiempo .................................................................................... 41
8.6.2.3. Condensador lineal e invariante en el tiempo ............................................................................ 43
8.6.2.4. Resumen .................................................................................................................................... 45
8.7. DIAGRAMAS PARA REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES ..................... 45
8.7.1. Símbolos .............................................................................................................. 45
Ejemplo 8.13. .......................................................................................................................................... 46
8.7.2. Leyes de interconexión ........................................................................................ 47
Ejemplo 8.14. .......................................................................................................................................... 48
8.7.3. Aplicación práctica de los diagramas ................................................................. 49
8.8. POTENCIA EN REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES ............................. 49
8.8.1. Análisis en el dominio del tiempo ....................................................................... 49
8.8.1.1. Potencia instantánea................................................................................................................... 49
8.8.1.2. Energía utilizable ....................................................................................................................... 51
8.8.1.3. Energía ociosa............................................................................................................................ 52
Ejemplo 8.15....................................................................................................................................... 52
8.8.1.4. Valor efectivo ............................................................................................................................ 53
8.8.2. Análisis en el plano complejo.............................................................................. 55
8.8.2.1. Relaciones básicas ..................................................................................................................... 55
Ejemplo 8.16....................................................................................................................................... 56
Ejemplo 8.17....................................................................................................................................... 57
8.8.2.2. Transformadas fasoriales con valores efectivos ......................................................................... 58
Ejemplo 8.18....................................................................................................................................... 58
Ejemplo 8.19....................................................................................................................................... 59
8.8.2.3. Potencia aparente ....................................................................................................................... 59
Ejemplo 8.20....................................................................................................................................... 60
8.8.2.4. Factor de potencia ...................................................................................................................... 61
PLANOS COMPLEJOS DE ADMITANCIA E IMPEDANCIA ............................................. 61
8.9.
8.9.1. Ejemplo ............................................................................................................... 62
Red RC serie ............................................................................................................................................ 62
Red RC paralelo ...................................................................................................................................... 62
Red RL serie ............................................................................................................................................ 63
Red RL paralelo ....................................................................................................................................... 63
Red RLC serie ......................................................................................................................................... 63
8.9.2. Definiciones......................................................................................................... 64
8.10. FACTOR DE POTENCIA INDUCTIVO Y CAPACITIVO ..................................................... 65
Ejemplo 8.21. ................................................................................................................. 66
8.11. TEOREMA DE MÁXIMA POTENCIA DE TRANSFERENCIA ............................................. 67
8.12. DIAGRAMAS FASORIALES .......................................................................................... 68
8.12.1. Introducción ...................................................................................................... 68
8.12.2. Reglas elementales para la construcción gráfica .............................................. 69
8.12.2.1. Polígono LVK........................................................................................................................... 69
8.12.2.2. Polígono LCK ........................................................................................................................... 70
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
114
Teoría de Redes Eléctricas
8.12.2.3. Equilibrio gráfico ...................................................................................................................... 70
Ejemplo 8.22. ...................................................................................................................................... 71
8.12.3. Ejemplos ............................................................................................................ 71
8.12.3.1. Aplicación de las reglas elementales ......................................................................................... 71
8.12.3.2. Solución analítica, empleando trigonometría ............................................................................ 74
8.12.3.3. Solución gráfica, empleando geometría .................................................................................... 74
8.12.3.4. Obtención de relaciones ........................................................................................................... 75
8.13. LUGARES GEOMÉTRICOS. DIAGRAMAS CIRCULARES ................................................ 76
8.13.1. Introducción ...................................................................................................... 76
8.13.2. Transformaciones .............................................................................................. 77
8.13.2.1. Transformación de puntos ......................................................................................................... 77
8.13.2.2. Transformación de rectas que pasan por el origen .................................................................... 77
8.13.2.3. Transformación de una circunferencia ...................................................................................... 78
8.13.2.4. Transformación de líneas que no pasan por el origen ............................................................... 80
8.13.3. Aplicaciones ...................................................................................................... 81
8.13.3.1. Determinar lugar geométrico de
Z eY
para C variable ...................................................... 81
8.13.3.2. L.G. para conductancia variable .............................................................................................. 82
8.13.3.3. L.G. de
I
con R variable ........................................................................................................ 83
Ejemplo 8.23. ...................................................................................................................................... 84
PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 88
Problema 8.1 .................................................................................................................. 88
Problema 8.2 .................................................................................................................. 88
Problema 8.3 .................................................................................................................. 90
Problema 8.4 .................................................................................................................. 91
Problema 8.5 .................................................................................................................. 93
Problema 8.6 .................................................................................................................. 95
Problema 8.7 .................................................................................................................. 96
Problema 8.8 .................................................................................................................. 98
Problema 8.9 ................................................................................................................ 101
Problema 8.10 .............................................................................................................. 102
Problema 8.11 .............................................................................................................. 104
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................. 106
Ejercicio 8.1 ................................................................................................................. 106
Ejercicio 8.2 ................................................................................................................. 106
Ejercicio 8.3 ................................................................................................................. 106
Ejercicio 8.4 ................................................................................................................. 107
Ejercicio 8.5 ................................................................................................................. 107
Ejercicio 8.6 ................................................................................................................. 107
Ejercicio 8.7 ................................................................................................................. 108
Ejercicio 8.8 ................................................................................................................. 108
Ejercicio 8.9 ................................................................................................................. 109
Ejercicio 8.10 ............................................................................................................... 109
Ejercicio 8.11 ............................................................................................................... 109
Ejercicio 8.12 ............................................................................................................... 110
Ejercicio 8.13 ............................................................................................................... 110
Ejercicio 8.14 ............................................................................................................... 110
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
115
Ejercicio 8.15 ............................................................................................................... 110
Ejercicio 8.16 ............................................................................................................... 110
Ejercicio 8.17 ............................................................................................................... 111
Ejercicio 8.18 ............................................................................................................... 111
ÍNDICE GENERAL .............................................................................................................. 112
Índice de figuras.
Figura 8.1. Red con dos excitaciones. ........................................................................................... 2
Figura 8.2. Red con excitación uno igual a cero. .......................................................................... 2
Figura 8.3. Red con excitación dos igual a cero. ........................................................................... 2
Figura 8.4. Sistema lineal con excitación real. .............................................................................. 5
Figura 8.5. Sistema lineal con excitación imaginaria. ................................................................... 6
Figura 8.6. Sistema lineal con excitación compleja. ..................................................................... 6
Figura 8.7. Excitación exponencial compleja................................................................................ 7
Figura 8.8. Parte real de la respuesta. ............................................................................................ 8
Figura 8.9. Red RLC. .................................................................................................................... 9
Figura 8.10. Red RLC. Excitación coseno. ................................................................................. 11
Figura 8.11. Red RLC Excitación seno. ...................................................................................... 12
Figura 8.12. Red RLC. Excitación compleja............................................................................... 12
Figura 8.13. Red RL en estado estacionario. ............................................................................... 14
Figura 8.14. La corriente es la respuesta. .................................................................................... 14
Figura 8.15. Red con excitación exponencial compleja. ............................................................. 14
Figura 8.16. Red con excitación sinusoidal. ................................................................................ 20
Figura 8.17. Representación gráfica de F ( ). ............................................................................ 22
Figura 8.18. Representación gráfica en t=0. ................................................................................ 23
Figura 8.19. Medición de ángulos. .............................................................................................. 24
Figura 8.20. Representación del fasor. ........................................................................................ 25
Figura 8.21. Fasor de coseno. ...................................................................................................... 26
Figura 8.22. Forma de onda de coseno. ....................................................................................... 26
Figura 8.23. Fasor de coseno. ...................................................................................................... 27
Figura 8.24. Fasor de cos( t ) . ............................................................................................... 28
Figura 8.25. Forma de onda de cos( t ) . ................................................................................ 28
Figura 8.26. Transformada fasorial de cos( t ) . ..................................................................... 29
) ................................................................................ 29
Figura 8.27. Forma de onda de cos( t
Figura 8.28. Transformadas fasoriales de F 1 y F 2. .................................................................. 30
Figura 8.29. Formas de ondas de F 1 y F 2. ................................................................................. 30
Figura 8.30. Transformadas fasoriales de seno y coseno. ........................................................... 32
Figura 8.31. Formas de ondas de seno y coseno. ........................................................................ 32
Figura 8.32. Transformadas fasoriales de (8.108). ...................................................................... 33
Figura 8.33. Transformación de c y s, basada en (8.111). ........................................................... 34
Leopoldo Silva Bijit
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116
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 8.34. Referencia coseno. .................................................................................................. 35
Figura 8.35. Referencia arbitraria. ............................................................................................... 35
Figura 8.36. Red en estado estacionario, en el tiempo. ............................................................... 38
Figura 8.37. Formas de ondas de v(t) e i(t). ................................................................................ 39
Figura 8.38. Transformadas de V e I. .......................................................................................... 39
Figura 8.39. Resistencia en el tiempo. ......................................................................................... 40
Figura 8.40. Formas de ondas de vR e iR...................................................................................... 40
Figura 8.41. Transformadas de V R e I R , en fase. ...................................................................... 41
Figura 8.42. Variables en inductor lineal. ................................................................................... 41
Figura 8.43. Transformadas en cuadratura. ................................................................................. 42
Figura 8.44. Corriente adelanta en 90° a la tensión. .................................................................... 42
Figura 8.45. Variables en un condensador lineal......................................................................... 43
Figura 8.46. Transformada de I C adelanta en 90° a VC ........................................................... 44
Figura 8.47.
Figura 8.48.
Figura 8.49.
Figura 8.50.
Figura 8.51.
Figura 8.52.
Figura 8.53.
Figura 8.54.
Figura 8.55.
Figura 8.56.
Figura 8.57.
Figura 8.58.
Figura 8.59.
Figura 8.60.
Figura 8.61.
Figura 8.62.
Figura 8.63.
Figura 8.64.
Figura 8.65.
Corriente adelanta en 90° a la tensión. ................................................................... 44
Impedancia en plano complejo............................................................................... 45
Fuente de tensión en plano complejo. .................................................................... 45
Fuente de corriente en plano complejo. ................................................................. 46
Red en el dominio del tiempo. ............................................................................... 46
Red en el plano complejo. ...................................................................................... 46
Corrientes en el tiempo. ......................................................................................... 47
Corrientes en plano complejo................................................................................. 48
Diagrama de red con impedancias. ........................................................................ 48
Potencia instantánea. .............................................................................................. 49
Formas de ondas de v, i y p(t). ............................................................................... 50
Potencias oscilantes................................................................................................ 51
Red con excitación continua. ................................................................................. 53
Excitación continua. ............................................................................................... 53
Red con excitación sinusoidal ................................................................................ 54
Excitación alterna. .................................................................................................. 54
Potencia en plano complejo. .................................................................................. 55
Formas de ondas de v(t) e i(t). ............................................................................... 55
Transformadas de V e I . ....................................................................................... 56
Figura 8.66.
Figura 8.67.
Figura 8.68.
Figura 8.69.
Formas de onda con negativo.............................................................................. 57
Transformadas en impedancia con negativo. ...................................................... 57
Potencia aparente. .................................................................................................. 60
Plano complejo P . ................................................................................................. 60
Figura 8.70.
Figura 8.71.
Figura 8.72.
Figura 8.73.
Figura 8.74.
Figura 8.75.
Figura 8.76.
Figura 8.77.
Red RC serie. ......................................................................................................... 62
Red RC paralelo. .................................................................................................... 62
Red RL serie........................................................................................................... 63
Red RL paralelo. .................................................................................................... 63
Red RLC serie. ....................................................................................................... 63
Plano complejo de impedancia............................................................................... 64
Plano de impedancia. ............................................................................................. 65
Plano de admitancia. .............................................................................................. 65
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 8. Análisis sinusoidal
117
Figura 8.78. Tipo de factor de potencia...................................................................................... 66
Figura 8.79. Resistencia en líneas de transmisión. ..................................................................... 66
Figura 8.80. Teorema de máxima potencia transferida. ............................................................. 67
Figura 8.81. Thévenin de la red activa. ...................................................................................... 67
Figura 8.82. Transformadas de v1, v2 y v3. ................................................................................. 69
Figura 8.83. LVK en forma gráfica. ........................................................................................... 70
Figura 8.84. Polígono LVK alternativo. ..................................................................................... 70
Figura 8.85. Polígono LCK. ....................................................................................................... 70
Figura 8.86. Variables en un condensador. ................................................................................ 71
Figura 8.87. Diagrama fasorial para el condensador. ................................................................. 71
Figura 8.88. Red RL. .................................................................................................................. 72
Figura 8.89. Red en plano complejo........................................................................................... 72
Figura 8.90. Inicio del diagrama. ............................................................................................... 72
Figura 8.91. Relación de equilibrio del inductor. ....................................................................... 73
Figura 8.92. Incorporación de LCK. ......................................................................................... 73
Figura 8.93. Incorporación de equilibrio de la resistencia. ........................................................ 73
Figura 8.94. Diagrama fasorial completo. .................................................................................. 73
Figura 8.95. Obtención de relaciones. ........................................................................................ 74
Figura 8.96. Construcción geométrica........................................................................................ 75
Figura 8.97. Red en plano complejo........................................................................................... 75
Figura 8.98. Diagrama fasorial. .................................................................................................. 76
Figura 8.99. Transformaciones de puntos sobre los ejes. ........................................................... 77
Figura 8.100. Transformación de un punto cualquiera............................................................... 77
Figura 8.101. Rectas que pasan por el origen. ............................................................................ 78
Figura 8.102. Circunferencia en plano Z. ................................................................................... 78
Figura 8.103. Circunferencia en plano Y. .................................................................................. 79
Figura 8.104. Puntos diametralmente opuestos en Z. ................................................................. 79
Figura 8.105. Puntos diametralmente opuestos en Y. ................................................................ 80
Figura 8.106. Transformación de recta paralela a eje jX............................................................ 80
Figura 8.107. Transformación de recta paralela a eje R. ............................................................ 81
Figura 8.108. Red RC paralelo. .................................................................................................. 81
Figura 8.109. Admitancia con C variable................................................................................... 81
Figura 8.110. Impedancia con C variable................................................................................... 82
Figura 8.111. Red RC con G variable. ....................................................................................... 82
Figura 8.112. Admitancia RC, con G variable. .......................................................................... 82
Figura 8.113. Impedancia RC, con G variable. .......................................................................... 83
Figura 8.114. Red RL serie. ....................................................................................................... 83
Figura 8.115. Impedancia RL, con R variable........................................................................... 83
Figura 8.116. Admitancia RL, con R variable............................................................................ 84
Figura 8.117. L.G. de I con R variable. ...................................................................................... 84
Figura 8.118. Red en estado estacionario. .................................................................................. 84
Figura 8.119. L.G. para C variable. ............................................................................................ 85
Figura 8.120. L.G. de admitancia para C variable...................................................................... 85
Figura 8.121. L.G. de impedancia para C variable. .................................................................... 86
Figura 8.122. L.G. de Z para C variable..................................................................................... 86
Figura 8.123. L.G. de Z para C variable..................................................................................... 86
Figura P8.1. ................................................................................................................................. 88
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
118
Teoría de Redes Eléctricas
Figura P8.2. ................................................................................................................................. 89
Figura P8.3. ................................................................................................................................. 90
Figura P8.4. ................................................................................................................................. 91
Figura P8.5. ................................................................................................................................. 91
Figura P8.6. ................................................................................................................................. 92
Figura P8.7. ................................................................................................................................. 92
Figura P8.8. ................................................................................................................................. 94
Figura P8.9. ................................................................................................................................. 95
Figura P8.10. ............................................................................................................................... 95
Figura P8.11 ................................................................................................................................ 96
Figura P8.12 ................................................................................................................................ 98
Figura P8.13 ................................................................................................................................ 99
Figura P8.14 .............................................................................................................................. 101
Figura P8.15 .............................................................................................................................. 102
Figura P8.16 .............................................................................................................................. 104
Figura E8.1. ............................................................................................................................... 107
Figura E8.2. ............................................................................................................................... 108
Figura E8.3. ............................................................................................................................... 108
Figura E8.4. ............................................................................................................................... 109
Figura E8.5. ............................................................................................................................... 109
Figura E8.6. ............................................................................................................................... 111
Figura E8.7. L.G. de I con R2 variable. .................................................................................. 111
Leopoldo Silva Bijit
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