Teórico y Práctico

Fı́sica
David Giuliodori
2
Índice general
1. Movimiento Rectilı́neo
1.1. Movimiento Rectilı́neo Uniforme . . . . . . . .
1.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Movimiento Rectilı́neo Uniformemente Variado
1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Tiro Oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Alcance y Encuentro . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Movimiento Circular Uniforme
2.1. Aceleraciones y Velocidades en MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Relación entre velocidad angular y velocidad lineal o tangencial . . . . . . . . . .
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Trabajo y Energı́a
3.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
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33
4. Impulso - Cantidad de Movimiento 4.1. Impulso y Cantidad de Movimiento .
4.2. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Colisiones elásticas . . . . . .
4.2.2. Colisiones inelásticas . . . . .
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
5. Dinámica
5.1. Introducción . . . . . . . .
5.2. Leyes de Newton . . . . .
5.3. Peso de un cuerpo . . . .
5.4. Aplicaciones . . . . . . . .
5.4.1. Fuerzas de Fricción
5.4.2. Plano Inclinado . .
5.5. Ejercicios . . . . . . . . .
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Colisiones
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Rozamiento .
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6. Fluidos
6.1. Presión de un Fluido en Reposo
6.2. Principio de Pascal . . . . . . .
6.3. Principio de Arquı́mides . . . .
6.4. Ecuación de Continuidad . . .
6.5. Ecuación de Bernoulli . . . . .
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . .
ÍNDICE GENERAL
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7. Termodinámica
7.1. Temperatura . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Medición de la Temperatura . .
7.2. Capacidad Calorı́fica en los Sólidos . .
7.2.1. Calores de Transformación . .
7.3. Ecuación de Estado - Ley de los Gases
7.4. Trabajo efectuado sobre un gas ideal .
7.5. Capacidad Calorı́fica de un gas ideal .
7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ideales
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8. Electricidad
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . .
8.2. Formas para electrizar un cuerpo
8.3. Fuerza Eléctrica . . . . . . . . .
8.3.1. Ley de Coulomb . . . . .
8.4. Campo Eléctrico . . . . . . . . .
8.5. Energı́a potencial eléctrica . . . .
8.5.1. Potencial Eléctrico . . . .
8.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . .
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9. Magnetismo
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Fuerza Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1. Ley de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1. El campo magnético terrestre . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2. Flujo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Diferencias entre el campo eléctrico y magnético . . . . . . . .
9.5. Partı́culas que inciden perpendicularmente al campo magnético
9.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10.Astronomı́a
10.1. Historio del Calendario . . . . . . . . .
10.2. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . .
10.3. Ley de Gravitación Universal . . . . .
10.3.1. Variación de la intensidad de la
10.3.2. La masa de los planetas . . . .
10.3.3. Movimiento de los satélites . .
10.4. Distancias en Astronomı́a . . . . . . .
10.5. Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1. Magnitud Aparente . . . . . .
10.5.2. Magnitud Absoluta . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
10.6. Universo, Galaxias y Estrellas
10.6.1. Galaxias . . . . . . . .
10.6.2. Estrellas . . . . . . . .
10.7. Ejercicios . . . . . . . . . . .
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11.Matemática Avanzada
11.1. Lı́mite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1. Punto de Acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2. Lı́mite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1. Ecuación de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2. Máximos y Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3. Derivada de un polinomio y una constante . . . . . . . .
11.2.4. Regla de la Derivada de una Suma y Resta de funciones
11.2.5. Aplicación a la cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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112
112
112
114
6
ÍNDICE GENERAL
Capı́tulo 1
Movimiento Rectilı́neo
En este movimiento, el cuerpo considerado como partı́cula, sólo podrá moverse en una dimensión (trayectoria rectilı́nea). Vamos a disntiguir dos tipos de MR:
1. Movimiento Rectilı́neo Uniforme (MRU)
2. Movimiento Rectilı́neo Uniformemente Variado (MRUV)
Empezaremos definiendo dos conceptos que son fundamentales en este tipo de movimiento:
Definición 1 (Velocidad) La velocidad de un cuerpo es la relación que existe entre el espacio
que recorre y el tiempo que emplea en recorrerlo. Esta podrá ser constante o variable, dependiendo
del tipo de movimiento que se trate.
v=
∆x
x2 − x1
=
∆t
t2 − t1
(1.1)
donde x1 y x2 son los espacios inicial y final respectivamente, y t1 y t2 los tiempos iniciales y
finales.
Definición 2 (Aceleración) La velocidad de un cuerpo es la relación que existe entre el cambio
de velocidad que experimenta y el tiempo que tarda en experimentarlo. Un cuerpo que modifica
su velocidad a medida que transcurre el tiempo, está asumiendo que tiene una cierta aceleración.
a=
∆v
v2 − v1
=
∆t
t2 − t1
(1.2)
donde v1 y v2 son las velocidades inicial y final respectivamente.
1.1.
Movimiento Rectilı́neo Uniforme
Los cuerpos que se mueven con movimiento rectilı́neo uniforme, se caracterizan por recorrer espacios iguales en tiempos iguales. En otras palabras, la velocidad es constante y como
consecuencia, la aceleración es nula. Por lo tanto:
v=
x2 − x1
∆x
=
=k
∆t
t2 − t1
7
(1.3)
8
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
a=
v2 − v1
∆v
=
=0
∆t
t2 − t1
(1.4)
Si despejamos x2 de la ecuación 1.3 se obtiene:
x2 = x1 + v · ∆t
(1.5)
esta ecuación es la que llamaremos ecuación del espacio.
Recordemos cómo era la ecuación de una función lineal:
y =a+b·x
(1.6)
Por lo tanto, se puede observar que x2 es una función lineal respecto de ∆t, donde el espacio
inicial x1 es la ordenada al origen, y la velocidad la pendiente de la recta. Gráficamente tenemos:
Figura 1.1: Gráfico del Espacio en función del Tiempo
Si la velocidad es positiva la recta es creciente, si la velocidad es negativa la recta decrece.
Cabe destacar que los gráficos del espacio en función del tiempo sólo tienen sentido en el primer
cuadrante, debido a que no existen ni tiempos ni espacios negativos.
Dado que en MRU la velocidad es constante a lo largo del tiempo, cuando graficamos tenemos:
En este gráfico, el área representa el espacio recorrido, es decir:
Área
= Base · Altura
=
∆t · v = ∆x
(1.7)
1.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
9
Figura 1.2: Gráfico de la Velocidad en función del Tiempo
Ejemplo 1 Un auto se desplaza a 80 km/h durante 3 horas. Calcular la distancia recorrida por
el auto.
Solución
Usando la ecuacion 1.5 tenemos,
x2 = v · ∆t = 80km/h · 3h = 240km
(1.8)
Ejemplo 2 Escribir la ecuación del espacio del siguiente gráfico 1.3.
Solución
Usando la ecuacion 1.5 tenemos,
x2 = 10m +
10m
· ∆t = 10m + 0, 83m/s · ∆t
12s
(1.9)
1.1.1.
Ejercicios
1. Pasar de unidades las siguientes velocidades:
a) de 36 km/h a m/s.
b) de 10 m/s a km/h.
c) de 30 km/min a cm/s.
d ) ) de 50 m/min a km/h.
10
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Figura 1.3: Gráfico del Espacio en función del Tiempo
2. Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular:
a) Su velocidad.
b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad?.
Respuestas: 49 km/h y 147 km
3. Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policı́a, ¿cuánto tarda el policı́a
en oı́rlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s?
Respuestas: 6,18 s
4. La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un
relámpago a 50 km de un observador.
a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido?
b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra?
Respuestas: La luz. La diferencia de tiempo es 151,51 s
5. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000
km/s y el sol se encuentra a 150.000.000 km de distancia.
Respuestas: 500 s
6. Un auto de fórmula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiempo
t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5m. Calcular:
a) ¿A qué velocidad se desplaza el auto?
1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
11
b) ¿En qué punto de la recta se encontrarı́a a los 3 s?
Respuestas: 40 m/s y 123,5 m
7. ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un dı́a y
medio de viaje?
Respuestas: 3240 km
8. ¿Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120
km/h o el (b) que lo hace a 45 m/s?
Respuestas: El movil b
9. ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una
distancia de 25.000 m?
Respuestas: 0,33 hs
10. ¿Qué tiempo empleará un móvil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640
km?
Respuestas: 8 hs
1.2.
Movimiento Rectilı́neo Uniformemente Variado
Es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una
aceleración constante, como consecuancia experimenta cambios de velocidades iguales en intervalos de tiempo iguales. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caı́da libre vertical, en
el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.
También puede definirse el movimiento como el que realiza una partı́cula que partiendo del
reposo es acelerada por una fuerza constante.
Por lo tanto podemos escribir:
a=
v2 − v1
∆v
=
6= 0
∆t
t2 − t1
(1.10)
Despejando v2 de la ecuación 1.10 tenemos:
v2 = v1 + a · ∆t
(1.11)
Nuevamente aquı́ sucede algo similar a lo visto en MRU con la ecuación del espacio, es decir
que v1 es la ordenada al origen, y la aceleración la pendiente (que puede ser positiva o negativa).
A la ecuación 1.11 la llamaremos la ecuación de la velocidad. El gráfico de esta ecuación
es equivalente a la ecuación del espacio del MRU (1.5), por lo que el gráfico de esta ecuación es
el siguiente:
12
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Figura 1.4: Gráfico del Velocidad en función del Tiempo
Nuevamente, el área del gráfico representa el espacio total recorrido. Calculando las áreas
tenemos:
Área 1
=
Base · Altura
∆t · v1
Base · Altura
=
2
∆t · (v2 − v1 )
=
2
= Área 1 + Área 2
∆t · (v2 − v1 )
= ∆x
= ∆t · v1 +
2
=
Área 2
Área
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Ahora, reemplazando el resultado obtenido en la ecuación 1.11 por v2 , tenemos:
∆x =
=
∆t · (v2 − v1 )
2
∆t · (v1 + a · ∆t − v1 )
∆t · v1 +
2
∆t · v1 +
(1.15)
Simplificando y reescribiendo la ecuación, se obtiene:
∆x = ∆t · v1 +
a · ∆t2
2
(1.16)
Por último, descomponemos ∆x = x2 − x1 , por lo que:
1
x2 = x1 + v1 · ∆t + a · ∆t2
2
(1.17)
1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
13
La ecuación 1.19 es la que llamaremos ecuación del espacio del MRUV.
Ahora, recordemos cómo era la ecuación de la función cuadrática:
y = a · x2 + b · x + c
(1.18)
Por lo que se puede observar, de la ecuación 1.19, x2 es una función cuadrática respecto del
tiempo, donde la ordenada al origen (coeficiente c) viene dado por x1 ; 1/2 · a, que se corresponde
con el coeficiente a de la función cuadrática, determina si las parábolas van hacia arriba (aceleración positiva) o hacia abajo (aceleración negativa); y por último, la velocidad inicial v1 es el
coeficiente b de la función.
Figura 1.5: Gráfico del Espacio en función del Tiempo con aceleración positiva
Cabe destacar que si la aceleración toma el valor cero, la ecuaciones 1.11 y 1.19 son las
siguientes:
x2
= x1 + v1 · ∆t
v2
= v1
(1.19)
que son efectivamente las ecuaciones correspondiente al MRU, donde la velocidad es constante
(velocidad inicial y final iguales) y el espacio es lineal respecto del tiempo.
Existe una relación muy importante y que es muy útil en muchos casos prácticos que surge de
combinar las ecuaciones 1.11 y 1.19, que relaciona las velocidades con la aceleración y el espacio:
v22 − v12
=
2a∆x
(1.20)
Ejemplo 3 Usted frena su Porsche desde la velocidad de 85 km/h hasta los 45 km/h en una
distancia de 105 m. Calcular a) la aceleración suponiendo que sea constante durante el intervalo
14
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
b) ¿Qué tanto tiempo transcurrió durante el intervalo? c) Si usted fuera a seguir frenando con la
misma aceleración, ¿qué tiempo le tomará detenerse y qué distancia adicional le tocará recorrer?
Solución
Usando la ecuacion 1.20 y despejando la aceleración tenemos,
2
a=
2
v22 − v12
(12, 5m/s) − (23, 61m/s)
=
= −1, 91m/s2
2 · ∆x
2 · 105m
(1.21)
Para calcular el tiempo usamos la ecuacion 1.11 y despejamos el tiempo,
∆t =
v2 − v1
12, 5m/s − 23, 61m/s
= 5, 8s
=
a
−1, 91m/s2
(1.22)
Si fueramos a seguir frenando, tendrı́amos que calcular lo siguiente:
∆t =
v2 − v1
0 − 12, 5m/s
= 6, 5s
=
a
−1, 91m/s2
(1.23)
Para calcular el espacio recorrido hasta frenar usamos la ecuación 1.19,
x2
1
= x1 + v1 · ∆t + a · ∆t2
2
1
2
−1, 91m/s2 · (6, 5s) = 41m
= 12, 5m/s · 6, 5s +
2
(1.24)
En resumen, podemos escribir las dos variantes del moviemiento rectilı́neo en el siguiente
cuadro:
MRU
0
Constante
Aceleración
Velocidad
Espacio
1.2.1.
x2 = x1 + v · ∆t
Función lineal respecto al tiempo
MRUV
Constante
v2 = v1 + a · ∆t
Función lineal respecto al tiempo
x2 = x1 + v1 · ∆t + 21 a · ∆t2
Función cuadrática respecto al tiempo
Ejercicios
1. Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10 s en detenerse.
Calcular:
a) ¿Qué espacio necesitó para detenerse?
1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
15
b) ¿Con qué velocidad chocarı́a a otro vehı́culo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los
frenos?
Respuestas: x2 = 166, 6m y v2 = 30m/s
2. Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos.
Calcular:
a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
b) ¿Qué espacio necesito para frenar?
3. Un avión, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una
desaceleración de 20 m/s2 , necesita 100 metros para detenerse. Calcular:
a) ¿Con qué velocidad toca pista?
b) ¿Qué tiempo demoró en detener el avión?
4. Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h.
Si para esto tuvo que frenar durante 1.500 m. Calcular:
a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
b) ¿Cuánto tiempo empleó para el frenado?
5. La bala de un rifle, cuyo cañón mide 1,4 m, sale con una velocidad de 1.400 m/s. Calcular:
a) ¿Qué aceleración experimenta la bala?
b) ¿Cuánto tarda en salir del rifle?
6. Una partı́cula se encuentra en reposo en el instante t=0 s. Si su gráfica a − t es la que se
muestra en la figura, determinar las gráficas v − t y x − t.
7. Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre
una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar:
a) ¿Qué velocidad tenı́a el móvil antes de aplicar los frenos?
b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
8. Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante
en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar
al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo
que la aceleración fue constante.
16
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
9. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s2 , determinar:
a) ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento?
b) ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?
10. A partir del gráfico v − t mostrado a continuación, calcular la velocidad inicial (v0 ) del
móvil, si se sabe que la distancia total recorrida es de 102 m.
11. Un móvil que se desplaza con velocidad constante, acelera durante 30 segundos, y recorre
una distancia de 350 m hasta alcanzar los 160 km/h. Determinar:
a. Velocidad inicial
b. Aceleración
12. Según el siguiente gráfico V − t, calcular:
a. Identificar el tipo de movimiento en cada tramo
b. Espacio total recorrido
c. Velocidad media para todo el recorrido
13. Según el siguiente gráfico V − t, calcular:
a.
b.
c.
d.
Identificar el tipo de movimiento en cada tramo
Espacio total recorrido
Velocidad media para todo el recorrido
Aceleración en cada tramo
1.3. TIRO OBLICUO
1.3.
17
Tiro Oblicuo
Un ejemplo de tiro oblicuo es el movimiento de un proyectil, el movimiento ideal de una
pelota de béisbol o el de una pelota de golf. En nuestro análisis supondremos que se desprecia
el rozamiento del aire. Además, por simplificación, consideraremos sólo el movimiento de caı́da
del objeto. Entonces, en el eje vertical (lo llamaremos y) sólo actuará la gravedad, es decir un
movimiento variado, mientras que en el eje horizontal (lo llamaremos x) será un movimiento
rectilı́neo uniforme.
Por lo que tenemos:
Espacio
Velocidad
Eje Vertical (y)
x2 = x1 + v1 · ∆t + 12 a · ∆t2
v2 = v1 + a · ∆t
Eje Horizontal (x)
x2 = x1 + v · ∆t
v = constante
Si consideramos la velocidad inicial en y igual a cero, y teniendo en cuenta que el espacio
recorrido en el eje vertical corresponde a la altura desde donde es lanzado el objeto, entonces:
Espacio
Velocidad
Eje Vertical (y)
h = 21 g · ∆t2
v2 = g · ∆t
Eje Horizontal (x)
x2 = v · ∆t
v = constante
Despejando el tiempo de la ecuación de espacio del eje vertical, podemos calcular el tiempo
de caı́da o de impacto del objeto:
s
∆t =
2·h
g
(1.25)
Además, la velocidad de impacto o velocidad de caı́da del eje y es:
v2 =
p
2·h·g
(1.26)
18
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Cabe destacar, que el tiempo de caı́da es el tiempo de alcance del objeto, es decir el tiempo
que tarda en recorrer el espacio en el eje x, que es el mismo tiempo que tarda en caer.
Ejemplo 4 En un concurso en dejar caer un paquete sobre un blanco, el aeroplano de unos de
los concursantes está volando a una velocidad constante de 155 km/h y a una altura de 225 m
hacia el punto directamente arriba del plano. ¿Cuál es el tiempo de caı́da y a qué distancia se
encuentra el blanco?
Solución
Hallaremos el tiempo de caı́da usando la ecuación 1.25,
s
∆t =
2·h
=
g
s
2 · 225m
= 6, 78s
9, 8m/s2
(1.27)
La distancia horizontal recorrida por el paquete en este tiempo viene dada por:
x2 = v · ∆t = 43, 05m/s · 6, 78s = 291, 9m
(1.28)
1.3.1.
Ejercicios
1. Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba.
Calcular:
a) ¿Cuánto tarda en oı́r la explosión?
b) ¿A qué distancia se encontraba el objetivo?
2. Un avión que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bomba
cuando se encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar:
a) ¿A qué distancia del objetivo cae la bomba?
b) ¿Cuánto tarda la bomba en llegar al suelo?
c) ¿Dónde está el avión al explotar la bomba?
3. Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en dirección paralela al
rı́o, éste hace impacto en el agua a 2000 m del lugar del disparo. Determinar:
a) ¿Qué velocidad inicial tenı́a el proyectil?
b) ¿Cuánto tardó en tocar el agua?
4. Una pelota está rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a los
0,5 s de haberse caı́do de la mesa esta a 0,2 m de ella. Calcular:
a) ¿Qué velocidad traı́a?
b) ¿A qué distancia de la mesa estará al llegar al suelo?
c) ¿Cuál era su distancia al suelo a los 0,5 s?
1.4. ALCANCE Y ENCUENTRO
19
5. Un avión vuela horizontalmente con velocidad vA = 900 km/h a una altura de 2000 m,
suelta una bomba que debe dar en un barco cuya velocidad es vB = 40 km/h con igual
dirección y sentido. Determinar:
a) ¿Qué tiempo tarda la bomba en darle al barco?
b) ¿Con qué velocidad llega la bomba al barco?
c) ¿Qué distancia recorre el barco desde el lanzamiento hasta el impacto?
d ) ¿Cuál será la distancia horizontal entre el avión y el barco en el instante del lanzamiento?
e) ¿Cuál será la distancia horizontal entre el avión y el barco en el instante del impacto?
1.4.
Alcance y Encuentro
En este caso particular, en el momento de encuentro/alcance los cuerpos cumplen con la
condición de que el espacio y el tiempo son los mismos. Entonces igualando las ecuaciones de
espacio de los cuerpos generalmente se resuelve el problema.
Ejemplo 5 Pasa un auto a 72 km/h por un puesto de control policial. En el mismo instante
sale en su persecución una moto de policia, que parte del reposo, con una aceleración de 3 m/s2 .
¿Dónde y cuando lo alcanzará?
Solución
Para hallar la solución, primero hay que identificar el tipo de movimiento en cada vehı́culo.
La moto, dado que tiene aceleración de 3 m/s2 , es un MRUV, y el auto, que se mueve a velocidad
constante, es MRU.
Para el auto tenemos que la ecuación de espacio viene dada por:
x2
=
x1 + v · ∆t
x2
=
72km/h · ∆t
(1.29)
Para la moto tenemos:
x2
=
x2
=
e =
1
x1 + v1 · ∆t + a · ∆t2
2
1
0 · ∆t + 3m/s2 · ∆t2
2
1
2
3m/s · ∆t2
2
(1.30)
Igualando ambas ecuaciones (transformando todo a las mismas unidades), dado que en el
momento de ecuentro la moto y el auto han recorrido el mismo espacio, se tiene:
20m/s · ∆t =
Despejando ∆t, se llega a:
1
3m/s2 · ∆t2
2
(1.31)
20
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
∆t =
∆t =
20m/s
0,5 · 3m/s2
13, 33s
(1.32)
Una vez calculado el tiempo, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones 1.29 o 1.30 ese
valor para ası́ obtener el espacio recorrido. Por ejemplo usaremos la ecuación del espacio correspondiente al auto (1.29), entonces:
x2
=
20m/s · 13, 33s
x2
=
266, 6m
(1.33)
La conslusión del problema es que la moto alcanza al auto luego de recorrer 266,6 m en 13,33
s.
1.4.1.
Ejercicios
1. En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20
m/s. Diez segundos después, una patrulla de la policı́a pasa por la misma esquina persiguiéndolo a 30 m/s. Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolver
gráfica y analı́ticamente:
a) ¿A qué distancia de la esquina, la policı́a alcanzará al muchacho?
b) ¿En qué instante se produce el encuentro?
2. En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilı́neo uniforme de 20 m/s. Cinco
segundos después, pasa en su persecución, por el mismo punto A, otro cuerpo animado
de movimiento rectilı́neo uniforme, de velocidad 30 m/s. ¿Cuándo y dónde lo alcanzará?,
resolver gráfica y analı́ticamente.
3. Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismo
instante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km.
Calcular:
a) ¿A qué distancia de A se encontraran?
b) ¿En qué instante se encontraran?
4. Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, 90 minutos
después sale desde el mismo lugar y en su persecución otro móvil a 27,78 m/s. Calcular:
a) ¿A qué distancia de A lo alcanzará?
b) ¿En qué instante lo alcanzará?
5. Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre
si 3 km, con velocidades va = 54 km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y del
mismo sentido. Hallar analı́ticamente y gráficamente:
a) La posición del encuentro.
1.4. ALCANCE Y ENCUENTRO
21
b) El instante del encuentro.
6. Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre
si 6 km, con velocidades va = 36 km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y del
sentido opuesto. Hallar analı́ticamente y gráficamente:
a) La posición del encuentro.
b) El instante del encuentro.
7. Dos puntos A y B están separados por una distancia de 180 m. En un mismo momento
pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con velocidades de 10
m/s y 20 m/s respectivamente. Hallar analı́ticamente y gráficamente:
a) ¿A qué distancia de A se encontraran?
b) El instante del encuentro.
8. En una obra en construcción se tira verticalmente hacia arriba desde los 15 m de altura un
martillo con velocidad inicial de 40 m/s, en el mismo momento, a 8 m de altura, sube un
montacarga con velocidad constante de 2 m/s, si el martillo no pudo ser atajado, ¿cuánto
tiempo después y a qué altura chocará con el montacarga?
9. Se largan dos ciclistas, uno con velocidad constante de 40 km/h, el otro partiendo del
reposo con una aceleración de 1000 km/h2 , calcular:
a) ¿Cuándo el primer ciclista será alcanzado por el segundo?
b) ¿A qué distancia de la salida?
c) ¿Qué velocidad tendrá el segundo ciclista en el momento del encuentro?
10. Un automovilista pasa por un puesto caminero a 120 km/h superando la velocidad permitida, a los 4 s un policı́a sale a perseguirlo acelerando constantemente, si lo alcanza a los
6000 m, calcular:
a) ¿Cuánto dura la persecución?
b) ¿Qué aceleración llevaba el policı́a?
c) ¿Qué velocidad tenı́a el policı́a en el momento del encuentro?
11. Un motociclista detenido en una esquina arranca con una aceleración de 0, 003m/s2 . En
el mismo momento un automóvil lo pasa y sigue con una velocidad constante de 70 km/h,
calcular:
a) ¿Cuánto tarda el motociclista en alcanzar al automóvil?
b) ¿A qué distancia de la esquina ocurre esto?
12. El maquinista de un tren que avanza con una velocidad v1 advierte delante de él, a una
distancia d, la cola de un tren de carga que se mueve en su mismo sentido, con una velocidad
v2 constante, menor que la suya. Frena entonces, con aceleración constante, determinar el
mı́nimo valor del módulo de dicha aceleración, para evitar el choque.
13. Un jugador de fútbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ángulo de 30 grados
con respecto a la horizontal y con una velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador corre
para alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella
desde 20 m más delante de la posición de disparo. Despreciando el tiempo que necesita
para arrancar, calcular con qué velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando ésta
llegue al suelo.
22
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
14. En el instante en que un semáforo da luz verde, un automóvil, que habı́a estado detenido
en el cruce, arranca recto con una aceleración constante de 2m/s2 . Al mismo tiempo una
camioneta, con velocidad constante de 10 m/s, le da alcance y lo pasa. Determinar:
a) ¿A qué distancia de su punto de partida el automóvil alcanzará a la camioneta?
b) ¿A qué velocidad lo hará?
Un auto va desde Córdoba hacia Carlos Paz (36 km de distancia), partiendo desde el reposo
con una aceleración de 0,1 m/s2 . Al mismo tiempo parte un auto desde Carlos Paz hacia
Córdoba con una velocidad constante de 80 km/h.
a) ¿A qué distancia de Córdoba se encontraran los autos?
b) ¿Cuanto tiempo tardarán en encontrarse?
c) ¿Cuál es la velocidad de cada auto al momento de encuentro? Realice un gráfico de
las ecuaciones del espacio, marcando los puntos principales
Capı́tulo 2
Movimiento Circular Uniforme
En fı́sica, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando,
con rapidez constante, una trayectoria circular.
2.1.
Aceleraciones y Velocidades en MCU
Definición 3 Aceleración centrı́peta
La aceleración centrı́peta es una magnitud relacionada con el cambio de dirección de la velocidad de una partı́cula en movimiento cuando recorre una trayectoria curvilı́nea. Cuando una
partı́cula se mueve en una trayectoria curvilı́nea, aunque se mueva con rapidez constante (por
ejemplo el MCU), su velocidad cambia de dirección, ya que es un vector tangente a la trayectoria,
y en las curvas dicha tangente no es constante.
ac =
v2
R
(2.1)
Definición 4 Velocidad angular
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:
ω=
∆θ
∆t
(2.2)
Definición 5 Frecuencia
La frecuencia mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil dividido el
tiempo que tarda en realizarlas.
f=
vueltas
∆t
(2.3)
Definición 6 Perı́odo
Tiempo necesario para realizar una vuelta
f=
1
T
23
(2.4)
24
CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Figura 2.1: Esquema de los vectores que componen el MCU
Por otra parte, dado que el perı́metro de una circunferencia viene dado por P = 2πR, entonces
la distancia total recorrida viene dada por:
∆x = 2πR · vueltas
2.2.
(2.5)
Relación entre velocidad angular y velocidad lineal o
tangencial
La velocidad angular y la velocidad lineal se relacionan a través del radio de la circunferencia,
es decir:
v =ω·R
(2.6)
Esta relación es sumamente útil a la hora de resolver ejercicios en los que, por ejemplo no se
conoce el ángulo recorrido.
Ejemplo 6 Un moto circula a velocidad constante por una curva de 150 m de radio. Si la velocidad de la moto es de 72 km/h, calcular la aceleración centrı́peta de la moto.
Solución
Usando la ecuación 2.1 tenemos:
2
ac =
v2
(20m/s)
=
= 2, 67m/s2
R
150m
(2.7)
Ejemplo 7 Sobre un carrete que gira a velocidad angular constante ω = 7rad/s, se enrollan 21
m de hilo, siempre con el mismo radio r = 0, 18 m. Calcular:
a) El tiempo que tarda en enrollar los 21 m
b) El número de vueltas que ha dado el carrete
2.3. EJERCICIOS
25
c) El ángulo girado en radianes
d) La velocidad lineal del hilo
e) La aceleración centrı́peta que sufre un punto de la periferia del carrete
Solución
a)
∆t =
∆x
∆x
21m
=
=
= 16, 66s
v
ωR
7rad/s · 0, 18m
(2.8)
b)
P = 2πR = 2π0, 18m = 1, 13m
(2.9)
Por regla de tres simple se calcula que la cantidad de vueltas es 18,56.
c)
θ = ωt = 7rad/s · 16, 66s = 116, 66rad
(2.10)
V = ωR = 7rad/s0, 18m = 1, 26m/s
(2.11)
d)
e)
2
ac =
(1, 26m/s)
V2
=
= 8, 82m/s2
R
0, 18m
(2.12)
2.3.
Ejercicios
1. Un disco de 8 cm de diámetro, ha girado 81 vueltas en un tiempo total de 108 s. Suponiendo
contante la velocidad angular, calcular:
a) La distancia recorrida por un punto de la periferia
b) El ángulo girado en radianes
c) La velocidad lineal o tangencial de un punto de la periferia
d ) La velocidad angular del disco
e) La aceleración centrı́peta
Respuestas: 2035,75 cm; 508,88 rad; 18,85 cm/s; 4,71 rad/s; 88,74 cm/s2
2. Sobre un carrete que gira a velocidad angular constante ω = 5rad/s, se enrollan 18 m de
hilo, siempre con el mismo radio r = 0, 15 m. Calcular:
a) El tiempo que tarda en enrollar los 18 m
26
CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
b) El número de vueltas que ha dado el carrete
c) El ángulo girado en radianes
d ) La velocidad lineal del hilo
e) La aceleración centrı́peta que sufre un punto de la periferia del carrete
Respuesta: 24 s; 19,10 vueltas; 120 rad; 0,75 m/s; 3,75 m/s2
3. Un auto circula a velocidad constante por una curva de autopista de 1000 m de radio. Si
la aceleración centrı́peta no debe exceder 1,2 m/s2 , calcular:
a) La máxima velocidad permitida
Respuesta: 34 m/s
4. Un coche circula por una curva de autopista de 300 m de radio a una velocidad de 90 km/h.
Calcular:
a) Cuánto vale la componente normal (centrı́peta) de su aceleración
Respuesta: 2,1 m/s2
5. La Luna gira alrededor de la Tierra haciendo una revolución completa en 27,3 dı́as. Suponiendo que la órbita es circular y que tiene un radio de 3, 82 × 108 m. ¿Cuál es la magnitud
de la aceleración de la Luna hacia la Tierra?
6. Calcule la velocidad de un satélite artificial de la Tierra, suponiendo que está viajando a
una altitud de 210 km, donde la g = 9, 2 m/s2 . El radio de la Tierra es de 6370 km.
7. Un tren realiza un viaje entre Parı́s y Le Mans, en Francia, donde puede adquirir una
velocidad máxima de 310 km/h.
a) Si el tren toma una curva a esta velocidad, y la aceleración experimentada por los
pasajeros no debe superar los 0,05 g (9,8 m/s2 ) ¿cuál es el radio de la vı́a más pequeña
que puede tolerarse?
b) Si existiese una curva con radio de 0,94 km ¿A qué valor deberı́a disminuir el tren su
velocidad?
8. Un niño hace girar una piedra en un cı́rculo horizontal situado a 1,9 metros sobre el suelo
por medio de una cuerda de 1,4 metros de longitud. La cuerda se rompe y la piedra
sale disparada horizontalmente, golpeando el suelo a 11 metros de distancia. ¿Cuál fue la
aceleración de la piedra mientras estaba en movimiento circular?
9. Un automóvil, cuyo velocı́metro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perı́metro de
una pista circular en un minuto. Calcular:
a) La velociadd angular
b) El radio de la circunsferencia
c) La aceleración centrı́peta
10. Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los
puntos situados a 50cm de su eje estén sometidos a una aceleración que sea 500 veces la de
la gravedad.
2.3. EJERCICIOS
27
11. Un piloto de avión bien entrenado aguanta aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad,
durante tiempos breves, sin perder el conocimiento.
a) Para un avión que vuela a 2300 km/h, ¿cuál será el radio de giro mı́nimo que puede
soportar?
b) ¿Que sucede con el piloto, si el radio de giro es de 4800 m a la velocidad calculada en
el punto anterior? Justifique su respuesta con el planteo y cálculo correspondiente.
12. Una bicicleta recorre 40 m en 5 s.
a) Hallar el perı́odo de sus ruedas si el radio es de 50 cm.
b) Determinar el tiempo que tardará en recorrer 300 m.
Respuestas: 0,4 s ; 37,5 s
13. Una varilla de 3 m de longitud gira respecto a uno de sus extremos a 20 r.p.m.: Calcular:
a) El perı́odo y el no de vueltas que dará en 15 s.
b) La velocidad del otro extremo de la varilla.
c) La velocidad de un punto de la varilla situado a 1 m del extremo fijo.
d ) La velocidad de un punto de la varilla situado a 2 m del extremo fijo.
Respuestas: 3 s; 5 rev; 2π m/s; 2,1 m/2; 4,2 m/s
14. Hallar el periodo de la aguja horaria de un reloj.
Respuestas: 43200 s
15. Una rueda de coche tarda 20 s en recorrer 500 m. Su radio es de 40 cm. Hallar el no de
vueltas que dará al recorrer los 500 m y las r.p.m. con que gira.
Respuestas: 199 rev; 596,8 rpm
16. La velocidad angular de una rueda es de 2 rad/s y su radio, 60 cm. Hallar la velocidad y
la aceleración centrı́peta de un punto del extremo de la rueda.
Respuestas: 1,2 m/s; 2,4 m/s2
17. Un auto se desplaza a 124 km/h, cuando ve que hay un cartel de curva a 250 metros, por
lo que frena hasta la velocidad adecuada para tomar una curva de 252,52 metros de radio,
que admite una aceleración centrı́peta máxima de 1,1 m/s2 . Una vez finalizada la curva, el
auto vuelve a acelerar hasta llegar a los 110 km/h en un tiempo de 10 segundos. Calcular:
a) Tiempo empleado para frenar antes de llegar a la curva
b) Aceleración durante el frenado
c) Velocidad lineal durante la curva
d ) Velocidad angular
e) Espacio recorrido después de la curva
f ) Aceleración alcanzada después de la curva
g) ¿Qué hubiese sucedido si el auto frenaba hasta los 80 km/h antes de llegar a la curva?
28
CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Capı́tulo 3
Trabajo y Energı́a
3.1.
Trabajo
Definición 7 Trabajo
En mecánica clásica, el trabajo que realiza una fuerza se define como el producto de ésta por
el camino que recorre su punto de aplicación y por el coseno del ángulo que forman el uno con el
otro.1 El trabajo es una magnitud fı́sica escalar que se representa con la letra (del inglés Work)
y se expresa en unidades de energı́a, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional
de Unidades.
W = F · d · cos α
La unidad del W es el Joule (J =
(3.1)
Kg·m2
s2 )
Figura 3.1: Esquema del trabajo realizado sobre un bloque
Definición 8 Potencia
Potencia (sı́mbolo P) es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo
P =
W
t
La unidad de la potencia es el Watts (W =
J
s)
29
(3.2)
30
CAPÍTULO 3. TRABAJO Y ENERGÍA
3.2.
Energı́a
Se define como la capacidad para realizar un trabajo. La energı́a por ser justamente la capacidad de realizar un trabajo, se mide con las mismas unidades que el trabajo (J).
Definición 9 Energı́a Cinética
En un sistema fı́sico, la energı́a cinética de un cuerpo es energı́a que surge en el fenómeno
del movimiento. Está definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa
dada desde el reposo hasta la velocidad que posee. Una vez conseguida esta energı́a durante la
aceleración, el cuerpo mantiene su energı́a cinética salvo que cambie su rapidez o su masa. Para
que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud
que su energı́a cinética. Suele abreviarse con letra Ec .
Ec =
1
m · v2
2
(3.3)
Figura 3.2: Esquema de la energı́a cinética
Definición 10 Energı́a Elástica
La energı́a elástica o energı́a de deformación es el aumento de energı́a interna acumulado
en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que
provocan la deformación. Suponiendo que tenemos un resorte con constante elástica K, y con
una deformación ∆X, entonces la energı́a elástica se define como:
EE =
1
K · ∆X 2
2
La unidad con la que se mide K generalmente será N/m.
Figura 3.3: Esquema de la energı́a elástica
(3.4)
3.2. ENERGÍA
31
Definición 11 Energı́a Potencial
La energı́a potencial gravitatoria es la energı́a asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa, y la fuerza de la
gravedad.
Ep = m · g · h
(3.5)
Figura 3.4: Esquema de la energı́a potencial
Ley de conservación de la energı́a
La ley de la conservación de la energı́a constituye el primer principio de la termodinámica y
afirma que la cantidad total de energı́a en cualquier sistema aislado (sin interacción con ningún
otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energı́a puede transformarse en
otra forma de energı́a. En resumen, la ley de la conservación de la energı́a afirma que la energı́a
no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando
la energı́a potencial se transforma en energı́a cinética en la caı́da libre de un objeto. Dicho de
otra forma :la energı́a puede transformarse de una forma a otra o transferirse de un cuerpo a
otro, pero en su conjunto permanece estable (o constante).
Ec1 + Ep1 + EE1 = Ec2 + Ep2 + EE2
(3.6)
Ejemplo 8 El resorte de un rifle se comprime 3,2 cm desde su estado de relajación, y en el
cañón se introduce una bala de 12 g de masa. ¿A qué velocidad saldrá la bala del cañón al disparar el arma? La constante del resorte es 7,5 N/cm. Suponga que no existe fricción y que el
cañón del rifle está horizontal.
Solución
Aplicando la ley de conservación de la energı́a tenemos,
Ec1 + Ep1 + EE1
1
0 + 0 + KX 2
2
= Ec2 + Ep2 + EE2
1
=
mv 2 + 0 + 0
2
(3.7)
32
CAPÍTULO 3. TRABAJO Y ENERGÍA
Resolviendo para v nos da:
r
v=X
s
K
750N/m
= 0, 032m
= 8, 0m/s
m
12 × 10−3 kg
(3.8)
Ejemplo 9 Una montaña rusa eleva lentamente una carrito lleno de pasajeros a una altura de
25 m, desde donde se deja caer hacia abajo. Despreciando la fricción en el sistema, ¿a qué velocidad llegará el carrito al fondo?
Solución
Aplicando la ley de conservación de la energı́a tenemos,
Ec1 + Ep1 + EE1
0 + mgh + 0
= Ec2 + Ep2 + EE2
1
mv 2 + 0 + 0
=
2
(3.9)
Resolviendo para v nos da:
v=
p
2gh =
p
2 · 9, 8m/s2 25m = 22m/s
(3.10)
Ejemplo 10 Una persona le gusta realizar el deporte extremo de caı́da libre. Si la persona pesa
70 kg, y sabiendo que la altura a la que se larga del avión es a 4000 metros sobre el nivel del
suelo, calcular
a) ¿Qué velocidad tendrá la persona cuando esta a 1500 m de altura?
b) Si la velocidad máxima a la cuál se debe abrir el paracaı́das es a los 250 km/h, ¿a qué altura
deberá abrir el paracaı́das?
Solución
Aca se usa la ley de conservación de la energı́a para resolver el problema.
a)
Ec1 + Ep1 + EE1
=
Ec2 + Ep2 + EE2
1
mv 2 + m · g · h2 + 0
0 + m · g · h1 + 0 =
2
1 2
0 + g · h1 + 0 =
v + g · h2 + 0
2
p
v =
2g (h1 − h2 )
p
v =
2 · 9, 8m/s2 (4000m − 1500m) = 221, 39m/s
(3.11)
3.3. EJERCICIOS
33
b) Exáctamente igual, pero ahora tenemos que calcular la altura a la cuál llegará a los 250 km/h.
Ec1 + Ep1 + EE1
=
0 + m · g · h1 + 0
=
0 + g · h1 + 0
=
h2
=
h2
=
Ec2 + Ep2 + EE2
1
mv 2 + m · g · h2 + 0
2
1 2
v + g · h2 + 0
2
g · h1 − 12 v 2
g
9, 8m/s2 · 4000m − 21 69, 44m/s
= 3753, 98m
9, 8m/s2
(3.12)
Ejemplo 11 Sobre la cascada de un rı́o se coloca una turbina para generar energı́a eléctrica. Si
la cascada tiene una altura de 30 metros, y sabiendo que caen 250000 m3 por minuto, calcular
la potencia que entrega la turbina suponiendo que transforma el 53 % de la energı́a potencial en
eléctrica.
Ayuda: recordar que la densidad del agua es 1000 kg/m3 y que se define como
ρ = m/V ol
Solución
Acá hay que tener en cuenta que la energı́a es el trabajo realizado para calcular la potencia.
Además debemos calcular la masa usando la densidad del agua.
P
=
P
=
P
=
P
=
Eelectrica
t
0, 53Ep
t
0, 53 · mgh
t
0, 53 · 250000000kg · 9, 8m/s2 30m
= 649250000W = 649, 25M W
60s
(3.13)
(3.14)
3.3.
Ejercicios
1. Se dispara horizontalmente una bala de 55 g a corta distancia hacia adentro de un montı́culo
de arena. La bala ingresa con una rapidez de 350 m/s y alcanza el reposo en la arena después
de recorrer 18 cm. Determinar:
a) ¿Cuál es la energı́a cinética inicial de la bala?
34
CAPÍTULO 3. TRABAJO Y ENERGÍA
b) ¿Qué fuerza promedio ejerce la arena sobre la bala?
Respuestas: 3369 J; -18715,28 N
2. Un cuerpo de masa 1 kg en caı́da libre tiene una velocidad de 10 m/s cuando esta a 80 m
de altura.
a) ¿Qué velocidad tendrá cuando esta a 20 m de altura?
b) ¿Desde qué altura cayó suponiendo que la velocidad inicial es igual a cero?
Respuestas: 36 m/s; 85 m
3. Un cubo de hielo muy pequeño cae desprendido desde el borde de una cubetera semiesférica
sin fircción y cuyo radio es de 23,6 cm. ¿A qué velocidad se mueve el cubo en el fondo de
la cubetera?
Respuesta: 2,15 m/s
4. Una bola de 112 g es arrojada desde una ventana a una velocidad de 8,16 m/s y un ángulo
de 34,0 grados sobre la horizontal. Usando la conservación de la energı́a determinar:
a) energı́a cinética de la bola en la parte más alta de su vuelo
b) su velocidad cuando está a 2,87m debajo de la ventana.
Despreciar la fuerza de arrastre del aire.
Respuesta: 2,56 J; 11,1 m/s
5. Una varilla delgada de longitud 2,13 m y de masa despreciable, está pivotada en un extremo
de modo que pueda girar en circulo vertical. La varilla se separa en un ángulo de 35,0 grados
y luego se suelta. ¿A qué velocidad se mueve la bola de plomo que está en el extremo de la
varilla en su punto más bajo?
Respuesta: 2,75 m/s
6. Una piedra de 7,94 kg descansa sobre un resorte. El resorte se comprime 10,2 cm por la
piedra.
a) Calcule la constante de fuerza del resorte
b) La piedra es empujada hacia abajo 28,6 cm más y luego se suelta. ¿Cuánta energı́a
potencial hay almacenada en el resorte en el momento antes de que sea soltada la
piedra?
c) ¿A qué altura se elevará la piedra sobre esta nueva posición (la más baja)?
7. Por las cataratas del Niágara caen aproximadamente cada minuto 3,3×105 m3 de agua,
desde una altura de 50 m.
a) ¿Cuál serı́a la salida de potencia de una planta generadora de electricidad que pudiera
convertir el 48 % de la energı́a potencial del agua en energı́a eléctrica?
Respuesta: 1300 MW
3.3. EJERCICIOS
35
8. Un bloque de 1,93 kg se coloca contra un resorte comprimido sobre un plano inclinado de
27,0 grados son fricción. El resorte, cuya constante de fuerza es de 20,8 N/cm, se comprime
18,7 cm, después de lo cual el bloque se suelta. ¿Qué tanto subirá el bloque antes de alcanzar
el reposo?
Respuesta: 4,24 m
9. Un bloque de 2,14 kg se deja caer desde una altura de 43,6 cm contra un resorte de constante
de fuerza de 18,6 N/cm. Hallar la distancia máxima de compresión del resorte.
Respuesta: 9,9 cm
10. Una pequeña bola de acero de 1 kg está amarrada al extremo de un alambre de 1 m
de longitud. El alambre se lo hace girar desde el otro extremo a una velocidad angular
constante de 120 rad/s en circulos horizontales a 2,2 metros de altura
a) Calcular la energı́a cinética en el momento que la bola de acero está girando
b) Calcular la energı́a potencial que posee la bola cuando está girando
c) Si el alambre se corta, ¿con qué velocidad caerá la bola al piso? (Considerar unicamente
la velocidad del eje vertical y)
11. Calcular el trabajo efectuado por un hombre que arrastra un saco de harina de 65 kg por
10 m a lo largo del piso con una fuerza de 250 N y que luego lo levanta hasta un camión
cuya plataforma está a 75 cm de altura. ¿Cuál es la potencia promedio desarrollada si el
proceso entero tomó 2 minutos?
Ayuda: Tener en cuenta que para calcular la potencia hay que considerar el
trabajo realizado por el hombre para arrastrar el saco y para luego levantarlo.
36
CAPÍTULO 3. TRABAJO Y ENERGÍA
Capı́tulo 4
Impulso - Cantidad de
Movimiento - Colisiones
4.1.
Impulso y Cantidad de Movimiento
Definición 12 Impulso
Es el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que se aplica esa fuerza sobre el cuerpo.
I = F · ∆t
(4.1)
Definición 13 Cantidad de Movimiento
Se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.
CM = m · ∆v
(4.2)
Ley de conservación de la cantidad de movimiento
Si tenemos un sistema de muchos cuerpos (por ejemplo dos), la cantidad de movimiento, en
ausencia de fuerzas externas, se conserva.
m1 · ∆v1 + m2 · ∆v2
m1 · v11 + m2 · v21
=
0
= m1 · v12 + m2 · v22
(4.3)
donde el subı́ndice indica la partı́cula y el segundo subı́ndice distintos momentos del tiempo.
Ejemplo 12 Un cañón cuya masa es de 1300 kg dispara una bala de 72 kg en dirección horizontal con una velocidad de salida de 55 m/s. El cañón está montado de modo que pueda recular
libremente. ¿Cuál es la velocidad del cañón al recular con la salida de la bala?
Solución
Usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento tenemos,
m1 · ∆v1 + m2 · ∆v2
m1 · v11 + m2 · v21
0+0
=
0
= m1 · v12 + m2 · v22
=
1300kg · v + 72kg · 55m/s
37
(4.4)
38
CAPÍTULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES
Despejando v,
v=−
72kg · 55m/s
= −3, 05m/s
1300kg
(4.5)
4.2.
Colisiones
En una colisión, una fuerza relativamente grande actúa sobre cada partı́cula que interviene en
el choque durante un tiempo relativamente corto. La idea básica de la colisión consiste en que el
movimiento de las partı́culas que colisionan (o al menos una de ellas), cambia de forma brusca, y
que podemos hacer una separación relativamente clara del momento antes y después de la colisión.
En toda colisión siempre existe conservación del ı́mpetu o cantidad de movimiento.
4.2.1.
Colisiones elásticas
En una colisión elástica, además de la conservación de la cantidad de movimiento, también
se conserva la energı́a cinética antes y después del choque. Es decir, en el caso de dos partı́culas
tenemos:
m1 · v11 + m2 · v21 = m1 · v12 + m2 · v22
(4.6)
1
1
1
1
2
2
2
2
m1 · v11
+ m2 · v21
= m1 · v12
+ m2 · v22
2
2
2
2
(4.7)
Reescribiendo las ecuaciones 4.6 y 4.7 de la siguiente forma:
m1 · (v11 − v12 ) = m2 · (v22 − v21 )
(4.8)
2
2
2
2
m1 · (v11
− v12
) = m2 · (v22
− v21
)
(4.9)
Descomponiendo la diferencia de cuadrados de la ecuación 4.9 tenemos:
m1 · (v11 − v12 ) · (v11 + v12 ) = m2 · (v22 − v21 ) · (v22 + v21 )
(4.10)
Ahora, dividiendo la ecuación 4.10 por la ecuación 4.8 tenemos:
m1 · (v11 − v12 ) · (v11 + v12 )
m1 · (v11 − v12 )
v11 + v12
m2 · (v22 − v21 ) · (v22 + v21 )
m2 · (v22 − v21 )
= v22 + v21
=
(4.11)
Entonces, si conoces las masas y las velocidades iniciales, podemos calcular las velocidades
finales o velocidades después de la colisión.
4.2. COLISIONES
39
Figura 4.1: Esquema de una colisión elástica frontal
Combinando las ecuaciones 4.6 y 4.11 y despejando para calcular las velocidades después del
choque, se tiene que:
v12 =
m1 − m2
2m2
· v11 +
· v21
m1 + m2
m1 + m2
(4.12)
v22 =
2m1
m2 − m1
· v11 +
· v21
m1 + m2
m1 + m2
(4.13)
Existen algunos casos particulares en los que se pueden aproximar las velocidades después del
choque (ecuaciones 4.12 y 4.13), siempre que se cumplan las condiciones planteadas (se omitirán
las demostraciones):
1. Masas Iguales (m1 = m2 ): En este caso las velocidades después del choque vienen dadas
por:
v12
=
v21
(4.14)
v22
=
v11
(4.15)
2. Partı́cula Blanco en Reposo (v21 = 0): La partı́cula blanco, a la cuál se impactará, la
consideraremos a la segunda masa. Las velocidades finales para este caso son:
v12
v22
m1 − m2
v11
=
m1 + m2
2m1
=
v11
m1 + m2
(4.16)
(4.17)
40
CAPÍTULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES
3. Blanco de masa muy grande (m2 m1 ): En este caso, la masa del blanco (m2 ) es
mucho más grande que la del proyectil (m1 ), entonces las velocidades son:
v12
= −v11 + 2v21
(4.18)
v22
= v21
(4.19)
Observar que en este caso la velocidad del blanco no cambia.
4. Proyectil de masa muy grande (m1 m2 ): En este caso, la masa del proyectı́l (m1 )
es mucho más grande que la del blanco (m2 ), entonces las velocidades son:
v12
=
v11
(4.20)
v22
=
2v11 − v21
(4.21)
Observar que en este caso la velocidad del proyectil no cambia.
4.2.2.
Colisiones inelásticas
En este caso, las partı́culas permanecen “pegadas” después de la colisión, por ejemplo la
colisión de una bala sobre un bloque de madera. La conservación total de la energı́a se cumple,
pero se añaden otras energı́as distintas a la cinética, por lo que la ecuación 4.7 no se cumple en
este tipo de choque.
En el caso especial de que el choque sea inelástico puro, entonces la velocidad finales de las
dos partı́culas es la misma, por lo que existe una sola incógnita y la ecuación 4.6 se transforma
en:
m1 · v11 + m2 · v21 = (m1 + m2 ) · v2
(4.22)
Ejemplo 13 Una bala de 3,8 g, se dispara horizontalmente con una velocidad de 1100 m/s contra un gran bloque de madera de masa igual a 12 kg que inicialmente está en reposo sobre una
mesa horizontal. Si el bloque puede deslizarse sin fricción por la mesa, ¿qué velocidad adquirirá después de que se le ha incrustado la bala?
Solución
Usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento y teniendo en cuenta que es un
choque inelástico tenemos,
m1 · v11 + m2 · v21
=
m1 · v12 + m2 · v22
0 + 0, 0038kg · 1100m/s =
12kg · v + 0, 0038kg · v
0 + 0, 0038kg · 1100m/s =
(12kg + 0, 0038kg) v
(4.23)
Despejando v,
v=
0, 0038kg · 1100m/s
= 0, 35m/s
12kg + 0, 0038kg
(4.24)
4.3. EJERCICIOS
41
Figura 4.2: Esquema de una colisión inelástica frontal
4.3.
Ejercicios
1. Dos bloques de 1,6 kg y otro 2,4 kg, se deslizan sin fricción con unas velocidades de 5,5
m/s y 2,5m/s en la misma dirección y sentido. Luego de la colisión, la velocidad del bloque
mayor es de 4,9 m/s ¿Cuál es la velocidad del bloque de 1,6 kg después de la colisión? ¿Es
una colisión elástica?
Respuesta: 1,9 m/s a la derecha
2. Un elefante furioso embiste a razón de 2,1 m/s contra una mosca que revolotea. Suponiendo
que la colisión sea elástica, ¿a que velocidad rebota la mosca?
Respuesta: 4,2 m/s
3. Un carrito de 342g de masa se dirige sin fricción a una velocidad de 1,24 m/s contra otro
carrito de masa desconocidad, que se encuentra en reposo, con el cuál colisiona. El choque
entre los carritos es elástico. Después de la colisión, el primer carrito continúa con una
velocidad de 0,636 m/s. ¿Cuál es la masa y la velocidad después del impacto del segundo
carrito?
4. Se cree que el Meteor Crater, en Arizona, se formó por el impacto de un meteorito con la
Tierra hace unos 20.000 años. La masa del meteorito se calcula que fue de 5 × 1010 kg y su
velocidad en 7,2 km/s. ¿Qué velocidad impartirı́a a la Tierra tal meteorito en una colisión
frontal?
5. Un objeto de 2,0 kg de masa choca elásticamente contra otro objeto en reposo y continúa
moviéndose en la dirección original pero a un cuarto de su velocidad inicial. ¿Cuál es la
masa del objeto golpeado?
Respuesta: 1,2 kg
6. La cabeza de un palo de golf que se mueve a 45,0 m/s, golpea una pelota de golf (masa
igual a 46,0 g) que descansa sobre el tee (punto donde se coloca la pelota). La masa efectiva
de la cabeza del palo es de 230 g.
42
CAPÍTULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES
a) ¿A qué velocidad deja el tee la bola?
b) ¿A qué velocidad dejarı́a el tee si se duplicara la masa de la cabeza del palo?
c) ¿Y si se triplicara?
d ) ¿Qué conclusiones puede sacarse de los palos pesados?
Supongase que las colisiones son perfectamente elásticas y que el golfista puede manejar
los palos más pesados a igual velocidad en el impacto.
Respuesta: 74,4 ms; 81,8 m/s y 84,1 m/s
7. Un carro de carga del ferrocarril que pesa 35,0 toneladas (1000 kg) choca contra un furgón
que está estacionado. Se acoplan entre sı́ y el 27 % de la energı́a cinética inicial se disipa
como calor, sonido y vibraciones. Halle el peso del furgón.
Solución
Planteando las ecuaciones de la cantidad de movimeinto para una colisión inelástica y la
conservación de la energı́a cinética (teniendo en cuenta la pérdida de energı́a cinética como
consecuencia del calor, sonido y vibraciones), tenemos:
m1 v11
1
(m1 + m2 ) v22
2
=
=
(m1 + m2 ) v2
1
2
0,73 m1 v11
2
(4.25)
(4.26)
Combinando ambas ecuaciones, se puede llegar a:
m1
m1 + m2
m2
=
0, 73
(4.27)
=
12, 9tn
(4.28)
8. Un cañón de 3000 kg descansa sobre un estanque congelado. Se carga el cañón con una
bala de 30 kg y se dispara de manera horizontal. Si el cañón retrocede hacia la derecha
con una velocidad de 1,8 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la bala del cañón inmediatamente
después que es disparada?
Respuesta: -180 m/s
9. Un auto de masa 1800 kg se encuentra en reposo frente a un semáforo, en el momento que
es colisionado por otro vehı́culo de masa 900 kg. Los autos quedan enredados después del
choque. Se pide:
a) Si el segundo auto se mueve a 20 m/s antes del choque, ¿cuál será la velocidad de
ambos autos después de la colisión?
b) ¿Cuánta energı́a cinética se pierde en el choque?
Respuestas:‘6,67 m/s; 1,20×105 J
4.3. EJERCICIOS
43
10. Un objeto de 0,30 kg viaja con una velocidad de rapidez 2,0 m/s en la dirección positiva
del eje x y tiene una colisión frontal elástica con otro cuerpo en reposo de masa 0,70 kg
localizado en x = 0. ¿Cuál es la distancia que separa los cuerpos colisionados 25 s después
del encuentro?
Respuesta: 50 m
44
CAPÍTULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES
Capı́tulo 5
Dinámica
5.1.
Introducción
Hay tres conceptos que se usan todo el tiempo en dinámica. Estos conceptos son los de fuerza,
masa y aceleración.
Definición 14 (Fuerza) En dinámica, vamos a considerar a la fuerza como un vector que hace
que algo que está quieto se empiece a mover.
Cuando la fuerza empieza a actuar, el cuerpo que estaba quieto se empieza a mover. Si uno
no deja que el cuerpo se mueva, la fuerza empieza deformarlo o romperlo.
Cuanto más masa tiene un cuerpo, más difı́cil es comenzar moverlo, y si el cuerpo viene
moviéndose, más difı́cil va a ser frenarlo. Entonces:
Definición 15 (Masa) La masa se define como una medida de la tendencia de los cuerpos al
cambio de movimiento o inercia del cuerpo
De manera que la masa es una cantidad que me da una idea de qué tan difı́cil es acelerar o
frenar a un cuerpo.
Definición 16 (Aceleración) La aceleración es una cantidad que me dice qué tan rápido está aumentando o disminuyendo la velocidad de un cuerpo.
Esto ya se sabe de cinemática. Digamos que si un objeto tiene una aceleración de 10m/s2 ,
eso querrá decir que su velocidad aumenta en 10m/s por cada segundo que pasa. Si al principio
su velocidad es cero, después de un segundo será de 10m/s, después de 2 seg será de 20m/s, etc.
Las unidades con la que se miden la Fuerza, la Masa y la Aceleración.
1. A la aceleración la vamos a medir en m/s2 . (obviamente, igual que en cinemática). A la
unidad m/s2 no se le da ningún nombre especial.
2. A la masa la medimos en Kilogramos. Recordemos que un kilogramo equivale a 1000 gramos.
3. A la fuerza la vamos a medir en dos unidades distintas: el Newton y el Kilogramo fuerza
(kgf)
Un objeto que tiene un kilogramo de masa, ejerce un peso de un kilogramo fuerza. Un por
el contrario, si un objeto tiene un kilogramo fuerza de peso, entonces tiene una masa de un
kilogramo.
45
46
CAPÍTULO 5. DINÁMICA
Masa y peso NO son la misma cosa, pero en La Tierra, una masa de 3 Kg pesa 3 Kgf
La otra unidad de fuerza que se usa es el Newton. Un Newton es una fuerza tal que si uno
se la aplica a un cuerpo que tenga una masa de 1 Kg, su aceleración será de 1 m/s2 .
1N = 1Kg × 1m/s2
Por otra parte, la equivalencia entre Kgf y N viene dada por:
1Kgf = 9, 8N
5.2.
Leyes de Newton
I. Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilı́neo uniforme a menos
que otros cuerpos actúen sobre él.
II. La sumatoria de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es directamente proporcional a su
aceleración.
X
F =m·a
(5.1)
III. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual
y de sentido opuesto.
5.3.
Peso de un cuerpo
La fuerza con que La Tierra atrae a las cosas se llama Peso. Haciendo uso de la segunda ley
de Newton se tiene:
F =m·a
(5.2)
Ahora, a la fuerza F la vamos a llamar Peso P y a la aceleración la denotaremos con g, por
ser la aceleración de la gravedad (9, 8m/s2 ), entonces:
P =m·g
Por lo que podemos definir al peso como:
Definición 17 (Peso) El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a un objeto.
(5.3)
5.4. APLICACIONES
5.4.
47
Aplicaciones
Los problemas se dinámica no son todos iguales. Pero en gran cantidad de ellos se pide calcular
la tensión de la cuerda y la aceleración del sistema. Para ese tipo de problema hay una serie de
pasos que conviene seguir
1. Hacer el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que intervienen en el problema. Si hay un solo cuerpo, habrá un solo diagrama. Si hay 2 cuerpos habrá 2 diagramas,
etc.
Un diagrama de cuerpo libre es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo u objeto en particular. Consiste en colocar la partı́cula en el origen
de un plano de coordenadas, y representar a las fuerzas que actúan sobre ella por medio
de los vectores correspondientes, todos concurrentes en el origen.
La mayor aplicación de los diagramas de cuerpo libre es visualizar mejor el sistema de
fuerzas que actúan sobre un cuerpo; además, se identifican mejor las fuerzas pares, como
la de acción - reacción y las componentes de las fuerzas.
Si en un sistema existen dos o más cuerpos de interés, éstos se deben separar y cada uno
tiene un diagrama propio con sus respectivas fuerzas actuando.
2. De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, planteo la 2a ley de Newton:
X
F =m·a
(5.4)
3. Para cada diagrama de cuerpo libre voy a tener una ecuación. De la ecuación (o sistema
de ecuaciones) se calcula la incógnita en cuestión.
Este método para resolver problemas de dinámica sirve para cualquier tipo de problema, sea
con rozamiento, sin rozamiento, plano horizontal, plano inclinado, etc.
5.4.1.
Fuerzas de Fricción o Rozamiento
Si lanzamos un bloque de masa m a una velocidad inicial v0 a lo largo de una mesa horizontal
larga, al final llegará al reposo. Esto significa que mientras se está moviendo experimenta una
aceleración promedio que apunta en dirección contraria al movimiento. En este caso afirmamos
que la mesa ejerce una fuerza de fricción sobre el bloque, cuyo valor viene dado por la segunda
ley de Newton.
La fuerza de fricción es directamente opuesta al movimiento relativo del objeto.
Por otra parte, las fuerzas de fricción que actúan sobre superficies estáticas, se llaman fuerzas de fricción estáticas. Una vez que se ha iniciado el movimiento, las fuerzas de fricción que
actúan sobre las superficies de los cuerpos generalmente disminuyen, de manera que sólo es necesario una fuerza más pequeña para mantener un movimiento uniforme (velocidad constante). Las
fuerzas que actúan sobre superficies en movimiento, se llaman fuerzas de fricción dinámica.
La fuerza de fricción es proporcional a la fuerza normal que ejerce el cuerpo sobre la superficie
y es aproximadamente independiente del área de contacto.
48
CAPÍTULO 5. DINÁMICA
Si fe representa la magnitud de la fuerza de fricción estática, podemos escribir:
fe = µe N
(5.5)
donde µe es el coeficiente de fricción estático y N es la magnitud de la fuerza normal.
La fuerza de fricción dinámica fd entre superficies secas no lubricadas, sigue las mismas leyes
que la fuerza de fricción estática. Si fd representa la magnitud de la fuerza de fricción dinámica,
podemos escribir:
fd = µd N
(5.6)
donde µd es el coeficiente de fricción dinámica.
Tanto µe como µd son constantes sin dimensión, cuyos valores dependen de la naturaleza de
los cuerpos. Siempre se cumple que µe > µd .
Ejemplo 14 Un cuerpo de masa 5 kg se mueve con velocidad 10 m/s por una zona con rozamiento. Suponiendo que el µd = 0, 3, calcular la aceleración que hace frenar al cuerpo.
Solución
El diagrama de cuerpo libre en este caso va a ser:
Planteando que la segunda ley de Newton sobre el eje x tenemos que:
X
Fx
=
m·a
fc
=
m·a
µd N
=
m·a
(5.7)
Teniendo en cuenta que en este caso la magnitud de la fuerza normal coincide con el peso, y
sabiendo que P = m · g, podemos escribir:
µd P
= m·a
µd m · g
= m·a
µd g
= a
a
=
9, 8m/s2 · 0, 3
a
=
2, 94m/s2
(5.8)
5.4. APLICACIONES
5.4.2.
49
Plano Inclinado
Supongamos que tenemos un cuerpo que está apoyado en un plano que está inclinado un
ángulo α. Entonces, la fuerza peso apunta para abajo de esta manera:
Para resolver este tipo de problema, hay que descomponer el peso en las direcciones de los ejes
cartesianos, que en este caso hay que orientar la dirección del eje x paralela al plano inclinado,
y el eje y perpendicular a éste. Gráficamente,
donde se puede verificar por simple trigonométrı́a que el ángulo α es el mismo ángulo que tiene
ek plano inclinado. Por lo que, la descomposición de las fuerzas que intervienen en el diagrama
de cuerpo libre, utilizando los ejes cartesianos propuestos, toma la forma:
X
Fx
= m · ax
Px =
= m · ax
P · sin α =
X
Fy
= m · ax
N − Py =
= m · ay
N − P · cos α =
= m · ay
(5.9)
= m · ay
(5.10)
En el caso de existir rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado, esta fuerza estará en la
dirección del eje x y tendrá un sentido opuesto al movimiento del cuerpo, por lo qe las ecuaciones
tomarán la siguiente forma:
P · sin α − fd =
= m · ax
(5.11)
N − P · cos α =
= m · ay
(5.12)
En el caso de que el cuerpo no se encuentre en movimiento, es decir esté en reposo, las
ecuaciones se pueden sintetizar de la siguiente manera:
50
CAPÍTULO 5. DINÁMICA
P · sin α − fe =
=
0
(5.13)
N − P · cos α =
=
0
(5.14)
dado que las aceleraciones en ambos ejes son nulas.
Ejemplo 15 Un bloque está en reposo sobre un plano inclinado que forma un ángulo α con la
horizontal. Cuando el ángulo se eleva por encima de los 15o empieza el desplazamiento. Calcular
el coeficiente de fricción estático.
Solución
Teniendo en cuenta que el
Pcuerpo se encuentra en reposo, por lo que la segunda ley de Newton
es igualada a cero, es decir
F = 0, y resolviendo las fuerzas que actúan en las componentes x
e y (a lo largo del plano inclinado y normal al plano, respectivamente), obtenemos:
X
Fx
= P · sin α − fd = 0
(5.15)
X
Fy
= N − P · cos α = 0
(5.16)
Suponiendo que el ángulo α corresponde al ángulo justo antes de que el bloque comience su
desplazamiento, y reordenando las ecuaciones, tenemos que:
P · sin α
= fd
(5.17)
P · cos α
= N
(5.18)
Dividiendo ambas ecuaciones, se puede llegar a:
P · sin α
P · cos α
=
fd
N
(5.19)
Pero como fd = µd N , entonces:
µd = tan α = tan 15o = 0, 27
(5.20)
Como conclusión, la medición del ángulo de un plano inclinado puede ser usado como un
experimento para medir el coeficiente de fricción estático entre dos superficies. Por otra parte,
cabe destacar que el coeficiente de fricción no depende del peso del cuerpo.
Ejemplo 16 Consideremos un auto que se desplaza a lo largo de una ruta recta horizontal con
una velocidad inicial de 72 km/h. Suponiendo que el coeficiente de fricción dinámico entre las
llantas y el pavimento es de 0,23, calcular la distancia más corta en que puede ser detenido el
auto sin utilizar los frenos.
Solución
Sabiendo que es un movimiento rectilı́neo uniformemente variado, y haciendo uso de la relación 1.20
5.5. EJERCICIOS
51
v22 − v12
=
2a∆x
(5.21)
Eligiendo una posición inicial x1 = 0 y suponiendo que el auto se detuvo (v2 = 0), entonces
se puede llegar a:
x2
= −
v12
2a
(5.22)
Para determinar el valor de a usaremos la segunda ley de Newton, donde:
X
Fx
=
−fd = m · ax
(5.23)
X
Fy
=
N − P · cos α = 0 ⇒ N = mg
(5.24)
Haciendo uso de la definición de la fuerza de fricción, tenemos que:
fd = µd N = µd m · g
(5.25)
por lo que reemplazando en la ecuación del eje x y despejando a, se tiene:
a = −µd g
(5.26)
Sustituyendo en el valor de la aceleración en la ecuación 5.22, se llega a:
x2
= −
v2
(20m/s)2
v12
= 1 =
= 88, 7m
2a
2µd g
2 · 0, 23 · 9, 8m/s2
(5.27)
Cabe destacar que:
Cuanto mayor es la velocidad inicial, mayor será la distancia requerida para frenar. Más
aún, esta distancia varı́a con el cuadrado de la velocidad.
Cuanto más grande sea el coeficiente de fricción, menor será la distancia requerida para
frenar el auto.
5.5.
Ejercicios
1. A un cuerpo de masa m=10Kg se le aplica una fuerza horizontal F=40 N si el coeficiente
de rozamiento es µd = 0, 1 calcular
a. La acelaración
b. Espacio recorrido a los 5 segundos.
2. Se arrastra un cuerpo de masa m=25 Kg por una mesa horizontal , con una fuerza F=80
N que forma un angulo de 60 grados y coeficiente de rozamineto µd = 0, 1 calcular :
52
CAPÍTULO 5. DINÁMICA
a. La acelaración
b. Velocidad a los 3 segundos.
3. Un cuerpo de masa m=80 kg que se mueve a una velocidad de 20 m/s se para después de
recorrer 50 m en un plano horizontal con rozamiento. Calcula µd .
4. Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda, suponiendo que
mA = 10kg, mB = 5kg y µd = 0, 2.
5. Una grúa eleva una masa m=800 kg mediante un cable q soporta una tensión de 12000 N
a. ¿Cuál es la máxima aceleración con que se puede elevar?
b. Si se eleva con una a=2 m/s2 ¿que tensión soporta el cable?
6. Sobre una superficie horizontal se desliza un cuerpo de masa m=12Kg mediante una cuerda
que pasa por una polea fija y lleva colgado del otro extremo una masa m= 8 Kg . Si µd = 0, 1.
Calcular:
a. Aceleración del sistema
b. Tensión de la cuerda
7. Se quiere subir un cuerpo de masa m= 5 kg por un plano inclinado de ángulo de inclinación
30o y con un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,2 mediante la aplicación de una fuerza
paralela al plano inclinado F=45 N. Calcular la aceleración del cuerpo.
8. Si el coeficiente de rozamiento estático entre la masa y el plano inclinado es 0,4. ¿Cuál
será ángulo de inclinación del plano?
9. Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una aceleración
de 5m/s2 .
10. Un cuerpo de 15 kg se encuentra sobre una superficie horizontal. Calcula los coeficientes de
rozamiento estático y dinámico si hay que aplicar paralelamente a dicho plano una fuerza
de 51,45 N para que comience a deslizarse y otra de 36,75 N para que mantenga un MRU.
11. A lo largo de una rampa inclinada 30o sobre la horizontal se sube una carretilla de 10 kg
de masa aplicándole una fuerza de 100 N paralela a la rampa. Si el coeficiente dinámico de
rozamiento es de µd = 0, 5, hacer un esquema detallando las fuerzas que actúan y calcula:
a. La fuerza normal que ejerce la superficie.
b. La fuerza de rozamiento.
c. Calcula la aceleración con la que sube la carretilla.
Capı́tulo 6
Fluidos
Sin entrar en demasiado detalle, vamos a distinguir entre un fluido y un sólido con la siguiente
caracterı́stica:
El sólido conserva su forma, pero el fluido fluye para adoptar la forma del recipiente
Definición 18 Presión
La magnitud de la fuerza normal por unidad de área superficial se llama presión, es decir:
P =
F
A
(6.1)
La unidad con la que se mide la presión es el Pascal y equivale a N/m2 .
Figura 6.1: Esquema la fuerza ejercida sobre un área
Ejemplo 17 Supongamos un cuerpo C que ejerce, sobre la superficie que ocupa, una fuerza vertical igual a 500 N que es en este caso, su peso. Si la superficie de la base es 33 cm2 , el peso se
repartirá en toda ella. ¿Cuál será la presión que se ejerce?
53
54
CAPÍTULO 6. FLUIDOS
Solución
P =
F
500N
= 151515, 1P a
=
A
0, 0033m2
(6.2)
Definición 19 Densidad
La densidad se define como la masa de un elemento divido por el volumen que dicho elemento
ocupa.
ρ=
6.1.
m
V
(6.3)
Presión de un Fluido en Reposo
Consideremos un fluido que está en equilibrio, entonces la relación que nos dice como varı́a
la presión con la elevación sobre cierto nivel de referencia viene dado por:
P2 − P1 = ρg (h2 − h1 )
(6.4)
Si el fluido tiene una superficie libre, entonces la presión P1 es ejercida por la atmósfera de
la Tierra, por lo que se puede escribir:
P = P0 + ρgh
(6.5)
Ejemplo 18 Un tubo en U, en el cual ambos extremos están abiertos a la atmósfera, contiene
cierta cantidad de agua. En el otro lado se vierte aceite, sustancia que no se mezcla con el agua,
hasta llegar a una distancia de d = 12, 3mm sobre el nivel del agua, del otro lado, nivel que se
ha elevado mientras tanto a una distancia de a = 67, 5mm desde su nivel original. Hallar la
densidad del aceite en el punto mas bajo del agua (unión de aceite y agua).
Solución
Igualando las presiones de cada uno de los lados del tubo en forma de U, tenemos que:
P0 + ρagua · 2a
ρaceite
= P0 + ρaceite · (2a + d)
2 (67, 5mm)
= 1000kg/m3
2 (67, 5mm) + 12, 3mm
(6.6)
6.2.
Principio de Pascal
La presión aplicada a un fluido confinado se transmite ı́ntegramente a todas las partes del
fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.
6.3. PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES
55
Figura 6.2: Esquema del tubo en forma de U
Es decir, si aumentamos la presión en alguna parte del fluido, cualquier otra parte del fluido
experimenta el mismo aumento de presión.
F1
F2
=
A1
A2
(6.7)
Ejemplo 19 Gato hidráulico empleado para elevar un auto. Se emplea una bomba de mano, con
la cuál se aplica una fuerza al émbolo menor de 2,2 cm de diámetro. La masa combinada del
auto que va a ser elevado con la plataforma de elevación es de 1980 kg, y el émbolo grande tiene
16,4 cm de diámetro. Calcular la fuerza necesaria para elevar el auto.
Solución
Usando el principio de Pascal,
F1
A1
=
F2
A2
F1
=
m·g
F1
=
1980kg · 9, 8m/s2
F1
=
349N
A1
A2
2
π (1, 1cm)
2
π (8, 2cm)
(6.8)
6.3.
Principio de Arquı́mides
Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido sufre un empuje de abajo hacia
arriba por una fuerza de magnitud igual al peso del fluido que desaloja.
56
CAPÍTULO 6. FLUIDOS
Ejemplo 20 ¿Que fracción del volumen total de un iceberg queda expuesta?
Solución
El peso del iceberg es:
W = ρi Vi g
(6.9)
donde Vi es el volumen del iceberg. El peso del volumen del agua desalojada es la fuerza de
flotación, es decir:
Fb = ρagua Vd g
(6.10)
Pero Fb es igual a W porque el iceberg está en equilibrio, por lo que:
ρi Vi g = ρagua Vd g
(6.11)
Usando las densidades del agua de mar (1024 kg/m3 ) y del hielo (917 kg/m3 ),
ρi
917kg/m3
Vd
=
=
= 0, 896 = 89, 6 %
Vi
ρagua
1024kg/m3
(6.12)
6.4.
Ecuación de Continuidad
Supongamos un fluido entra en un tubo por uno de los lados con mayor diámetro y sale por
el otro lado, el cual tiene menor diámetro. Además, se supone que entre los dos extremos del
tubo no puede ni entrar ni salar fluido, y que el fluido tiene densidad constante. Entonces,
A1 v 1 = A2 v 2
(6.13)
donde A es el área de cada uno de los extremos del tubo y v es la velocidad del fluido al pasar
por cada uno de los extremos respectivamente. El producto del área por la velocidad también es
llamado razón de flujo volumétrico.
La razón de flujo volumétrico también puede ser escrita como:
R=A·v =
V olumen
t
(6.14)
Ejemplo 21 Un grifo cuya corriente de agua se angosta desde un área de 1,2 cm2 hasta los
0.35 cm2 . Los dos niveles donde se miden las áreas están separados 45 mm. ¿En qué cantidad
fluye el agua de la llave?
Solución
6.5. ECUACIÓN DE BERNOULLI
57
Figura 6.3: Ecuación de continuidad. Esquema de la entrada de un fluido en un tubo.
A1 v 1 = A2 v 2
(6.15)
Teniendo en cuenta la ecuación 1.3, se puede escribir:
v22 = v12 + 2 · gh
(6.16)
Eliminando la v2 y resolviendo para v1 , se tiene:
s
v1
=
=
2ghA22
A21 − A22
28, 6cm/s
(6.17)
Luego, la razón de flujo volumétrico viene definida como:
R = A1 v1 = 1, 2cm2 · 28, 6cm/s = 34cm3 /s
(6.18)
6.5.
Ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli es una relación fundamental en la mecánica de los fluidos y se deriva
de las leyes de la mecánica de Newton. Omitiendo la demostración de como se deriva la ecuación,
tenemos:
1
1
P1 + ρv12 + ρgy1 = P2 + ρv22 + ρgy2
2
2
(6.19)
58
CAPÍTULO 6. FLUIDOS
Ejemplo 22 Un tanque elevado de altura h = 32 m y diámetro D = 3, 0 m, abastece de agua
una casa. Una tuberı́a horizontal en la base del tanque tiene un diámetro de d = 2, 54 cm. Para
satisfacer las necesidades del hogar, la tuberı́a de abastecimiento debe ser capaz de sustituir agua
a razón de R = 0, 0025 m3 /s. Si el agua estuviese fluyendo a la cantidad máxima, ¿cuál serı́a la
presión en la tuberı́a horizontal?
Solución
Aplicando la ecuación de Bernoulli, tenemos:
1
1
P1 + ρv12 + ρgy1 = P2 + ρv22 + ρgy2
2
2
(6.20)
En 1, la presión es la atmosférica (parte superior del tanque). Con y1 = h y y2 = 0, obtenemos:
1
Patm + ρv12 + ρgh =
2
P2
=
1
P2 + ρv22
2
1
Patm + ρ v12 − v22 + ρgh
2
(6.21)
Por otro lado, podemos hallar las velocidades a partir de la igualdad del flujo volumétrico, es
decir:
R
=
v1
=
v2
=
A1 v 1 = A2 v 2
R
= 3, 5 × 10−4 m/s
A1
R
= 4, 9m/s
A2
(6.22)
Entonces,
P2
=
=
=
1
Patm + ρ v12 − v22 + ρgh
2
1
101325P a + 1000kg/m3 1, 16 × 10−7 m2 /s2 − 24, 01m2 /s2 +
2
+1000kg/m3 9, 8m/s2 32m
5
4, 03 × 10 P a
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
6.6.
Ejercicios
1. Supongamos que tenemos una cama de agua que mide 2 m de lado y 30 cm de profundidad,
teniendo en cuenta que la densidad del agua es igual a 1000 kg/m3 . ¿Cuál será el peso de
la cama de agua? Exprese el resultando en Newton.
Respuesta: 11760 N
6.6. EJERCICIOS
59
2. El tubo de entrada que suministra aire a presión para que funcione un elevador hidráulico
tiene 5 cm de diámetro. El émbolo de salida tiene un diámetro de 44 cm. ¿Cuál será la
presión que debe utilizarse para elevar un automóvil que pesa 2300 kg?
Respuesta:
3. Se desea construir un elevador hidráulico para ejercer fuerzas de 12000 N. ¿Cuál deberı́a
ser el área del pistón grande, si sobre el menor, que es de 20 cm2 de área, se aplica una
fuerza de 80 N?
Respuesta:
4. Por un conducto recto, circula agua a una velocidad de 25 m/seg. Si la sección del tubo es
de 8 cm2 . ¿Cuál es el caudal circulante de la corriente de agua?
Respuesta:
5. Por un conducto que tiene 15 cm2 de sección, circula agua a razón de 50 cm/s. ¿Cuál será el
volumen de agua que pasó en 55 segundos?
Respuesta:
6. Un tubo de 34,5 cm de diámetro conduce agua que circula a razón de 2,62 m/s. ¿Cuánto
tiempo le tomará descargar 1600 m3 de agua?
Respuesta: 49 min
7. A veces se prueban modelos de torpedos en un tubo horizontal por el que fluye agua, muy
similar al túnel de viento que se emplea para probar modelos de aeroplanos. Considere un
tubo circular de 25,5 cm de diámetro interno y un modelo de torpedo alineado a lo largo
del eje del tubo, con un diámetro de 4,80 cm. El torpedo va a ser probado con el agua que
circula a razón de 2,76 m/s. Calcular:
a) ¿A qué velocidad deberá fluir el agua en la parte no reducida del tubo?
b) Hallar la diferencia de presión entre la parte no reducida y la reducida del tubo.
Respuesta: 2,66 m/s; 271 Pa
8. Las ventanas de un edificio de oficina tienen 4,26 m por 5,26 m. En un dı́a tempestuoso,
el aire sopla a razón de 28,0 m/s al pasar por una ventana en el piso 53. Calcule la fuerza
neta sobre la ventana. La densidad del aire es de 1,23 kg/m3
Respuesta: 10800 N
60
CAPÍTULO 6. FLUIDOS
Capı́tulo 7
Termodinámica
7.1.
Temperatura
Definición 20 Temperatura
Existe una cantidad escalar, llamada temperaturam, que es una propiedad de todos los sitemas termodinámicos en equilibrio. Dos sistemas están en equilibrio térmico sı́ y sólo si sus
temperaturas son iguales
7.1.1.
Medición de la Temperatura
La temperatura y una de las siete unidades básicas (las otras unidades son longitud, tiempo,
masa, intensidad de corriente eléctrica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa).
Las escalas Celsius y Fahrenheit
En casi todos los paı́ses del mundo se emplea la escala Celsius. La escala Celsius se basó originalmente en dos puntos de calibración, el punto de cengelación del agua que se definió en cero
grado, y el punto de ebullición del agua, que se definió en 100 grados. Estos dos puntos se emplearon para calibrar termómetros, y luego se dedujeron las demás temperaturas por interpolación
y extrapolación.
La escala Fahrenheit, originalmente también se basó en dos puntos: el punto de congelación
de una mezcla de agua y sal, y la temperatura media del cuerpo humano. En esta escala, los
puntos de congelamiento y ebullición del agua son 32o F y 212o F respectivamente.
TF =
9
TC + 32
5
(7.1)
Escala Kelvin
Para la calibración de esta escala, se escogió el punto triple del agua, que es la temperatura
en la que coexisten el gua, el hielo y el vapor, el cuál es muy cercano al punto de congelación del
agua.
TC = T − 273, 15
61
(7.2)
62
CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA
7.2.
Capacidad Calorı́fica en los Sólidos
Definición 21 Calor
El calor es energı́a que fluye entre un sistema y su entorno en virtud de una diferencia de
temperatura entre ellos.
Ya que el calor es una forma de energı́a, sus unidades son las de la energı́a. La unidad que se
suele usar para medir el calor es la calorı́a, donde:
1
cal = 4, 186J
(7.3)
La cantidad de calor que se transmite por cada grado de temperatura que se aumenta, se
puede calcular como:
Q = mCe (Tf − Ti )
(7.4)
donde Ce es el calor especı́fico una caracterı́stica propia de cada material o sustancia que compone
el cuerpo, m la masa del cuerpo, y Ti y Tf son las temperaturas iniciales y finales respectivamente.
Las unidades que se mide generalmente el calor especı́fico son cal/g o C.
Definición 22 Capacidad Calorı́fica
Es el calor especı́fico multiplicado por la masa del cuerpo, es decir:
C = Ce m
(7.5)
La capacidad calorı́fica es caracterı́stica de un objeto en particular, a diferencia del calor
especı́fico que carecteriza a la sustancia.
Principio Cero de la Termodinámica
En un sistema aislado, la cantidad de calor es igual a cero. Es decir, si un objeto cede
calor (negativo), el otro objeto lo absorve (positivo). En otras palabras,
Qabsorvido = Qcedido
ó bien
P
Q=0
Ejemplo 23 Una muestra de cobre, cuya masa es de 75g se calienta en una estufa de laboratorio
a una temperatura de 312o C. El cobre se deja luego caer en un vaso que contiene agua (masa
de 220g) a una temperatura de 12o C. ¿Cuál es la temperatura final del cobre y del agua luego de
que llegan al equilibrio?
Solución
Partiendo que la energı́a que sale de un objeto en un sistema aislado es absorvida por otro
objeto, entonces tenemos que:
7.2. CAPACIDAD CALORÍFICA EN LOS SÓLIDOS
X
63
Q=0
Qagua + Qcobre = 0
magua Ceagua (Tf − Tiagua ) + mcobre Cecobre Tf − Ticobre = 0
220g · 1cal/g o C (Tf − 12o C) + 75g · 0, 092cal/g o C (Tf − 312o C) = 0
(7.6)
Despejando Tf tenemos:
Tf =
220g · 1cal/g o C · 12o C + 75g · 0, 092cal/g o C · 312o C
= 21, 12◦ C
220g · 1cal/g o C + 75g · 0, 092cal/g o C
(7.7)
7.2.1.
Calores de Transformación
Cuando entra calor a un sólido o lı́quido, la temperatura de la muestra no se eleva necesariamente. En cambio, la muestra puede cambiar de una fase o estado (sólido, lı́quido o gaseoso)
a otro. Por lo tanto, el hielo se funde, y el agua hierve, absorviendo calor en cada caso sin un
cambio de temperatura. En los precesos inversos (el agua se congela y el valor se condensa), la
muestra libera calor a una temperatura constante.
La cantidad de calor por unidad de masa transferido durante un cambio de fase, se llama
calor de transformación, y se calcula como:
Q=L·m
(7.8)
donde m es la masa de la muestra en cada fase y L es un valor que depende de la sustancia y de
la fase. A continuación se presenta una tabla con algunos valores de L para distintas sustancias:
Sustancia
Hidrógeno
Oxı́geno
Mercurio
Agua
Plomo
Plata
Cobre
Punto de fusión
(K)
14,0
54,8
234,0
273,0
601,0
1235,0
1356,0
Calor de fusión
(kJ/kg)
58,6
13,8
11,3
333,0
24,7
105,0
205,0
Punto de ebullición
(K)
20,3
90,2
630
373,0
2013,0
2485,0
2840,0
Calor de vaporización
(kJ/kg
452,0
213,0
296,0
2256,0
858,0
2336,0
4730,0
Ejemplo 24 Una persona prepara una cantidad de té helado mezclando 520 g de té caliente
(esencialmente agua) con una masa igual de hielo a 0o C. ¿Cuáles son la temperatura final y la
masa de hielo restante si el té caliente está inicialmente a una temperatura de a) 70o C y b) 90o C?
64
CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA
Solución
Vamos a suponer que el hielo se derrite completamente y calcularemos la temperatura de
equilibrio del sistema, entonces podemos escribir:
X
Q=0
Qagua + Qfusión del hielo + Qaguaderretida = 0
magua · Ce (Tf − Tiagua ) + mhielo · L + mhielo · Ce Tf − Tihielo = 0
0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C · (Tf − 70o C) + 0, 52kg · 333kJ/kg +
+0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C · (Tf − 0o C) = 0
(7.9)
Despejando Tf tenemos:
Tf =
−0, 52kg · 333kJ/kg + 0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C · 70o C
= −4, 77o C
0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C + 0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C
(7.10)
Este resultado no es lógico fı́sicamente hablando. Es decir, un sistema aislado no puede tener una temperatura de equilibrio que fue menor a la menor de las temperaturas, ni mayor a la
mayor de las temperaturas de las sustancias que componen el sistema. En este caso particular,
la temperatura de equilibrio está por debajo de cero grado. Como conclusión, no se derrite todo
el hielo, teniendo que calcular la cantidad de hielo que se derrite, y la temperatura de equilibrio
será cero grados.
Entonces, ahora podemos escribir:
X
Q=0
Qagua + Qfusión del hielo = 0
magua · Ce (Tf − Tiagua ) + mhielo · L = 0
0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C · (0o C − 70o C) + m · 333kJ/kg = 0
(7.11)
Despejando m de la ecuación anterior, tenemos:
m
=
m
=
0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C · (0o C − 70o C)
333kJ/kg
0, 4576kg
(7.12)
Como la masa de hielo es de 520 g, entonces nos queda sin derretir m = 520g − 457, 6g =
62, 4g.
Ahora analizaremos el caso en el que el té caliente esté inicialmente a 90o C. Supondremos
inicialmente que se derrite todo el hielo, entonces usando la ecuación 7.9 tenemos:
Tf =
−0, 52kg · 333kJ/kg + 0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C · 90o C
= 5, 22o C
0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C + 0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C
(7.13)
Si hubiésemos planteado el problema suponiendo que la masa de hielo no se derrite completamente, entonces usando la ecuación 7.12 para una temperatura inicial del té de 90o C, tenemos:
7.3. ECUACIÓN DE ESTADO - LEY DE LOS GASES IDEALES
m
=
m
=
0, 52kg · 4, 186kJ/kg o C · (0o C − 90o C)
333kJ/kg
0, 588kg
65
(7.14)
Si analizamos un poco este resultado, vemos que es contradictorio al supuesto que no se
derrite toda la masa de hielo. Además, la masa de hielo que se derrite es mayor que la inicial
(520 g), algo ilógico. Como conclusión, el sistema está en equilibrio a los 5, 22o C y se derrite
todo el hielo.
7.3.
Ecuación de Estado - Ley de los Gases Ideales
La ecuación de estado de un sistema da una relación fundamental entre las cantidades termodinámicas macroscópicas. Esta ecuación viene dada por:
pV = nRT
(7.15)
donde R = 8, 3145 J/mol · K y es llamada la contante universal de los gases. Esta constante es
idéntica para todos los gases.
Cuando la cantidad n es constante, podemos escribir a la ecuación 7.15 como:
pV
= constante
T
(7.16)
Ejemplo 25 Un cilindro aislado equipado con un émbolo, contiene oxı́geno a una temperatura
de 20o C y una presión de 15 atm en un volumen de 22 litros. Al descender el émbolo, disminuye
el volumen del gas a 16 litros y simultáneamente la temperatura se eleva a 25o C. Suponiendo que
el oxı́geno se comporta como un gas ideal bajo estas condiciones, ¿cuál es la presión final del gas?
Solución
Partiendo de la ecuación 7.16, dado que la cantidad de gas permanece sin cambio, tenemos
que:
pi Vi
Ti
=
pf
=
pf
=
pf Vf
Tf
pi · Vi · Tf
Ti · Vf
15atm · 22l · 20o C
= 21atm
25o C · 16l
(7.17)
66
CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA
7.4.
Trabajo efectuado sobre un gas ideal
Definición 23 Gas Ideal
Un gas ideal es un gas teórico compuesto de un conjunto de partı́culas puntuales con desplazamiento aleatorio que no interactúan entre sı́. El concepto de gas ideal es útil porque el mismo
se comporta según la ley de los gases ideales.
Un mol de un gas ideal ocupa 22,4 litros a 0o C de temperatura y 1 atmósfera de presión.
Consideremos, por ejemplo, un gas dentro de un cilindro. Las moléculas del gas chocan contra
las paredes cambiando la dirección de su velocidad. El efecto del gran número de colisiones que
tienen lugar en la unidad de tiempo, se puede representar por una fuerza F que actúa sobre toda
la superficie de la pared.
Si una de las paredes es un émbolo móvil de área A y éste se desplaza una cantidad ∆x, el
intercambio de energı́a del sistema con el exterior puede expresarse como el trabajo realizado por
la fuerza F a lo largo del desplazamiento ∆x (ver Capı́tulo 3). Por lo tanto, se puede escribir el
trabajo como:
W = F · ∆x
(7.18)
teniendo en cuenta que la presión es fuerza por unidad de área, y que el volumen es área por
distancia (en nuestro caso ∆x), entonces se puede reescribir el trabajo como:
Z
W = F · ∆x = −
pdV
(7.19)
El signo negativo de la fuerza entra porque la fuerza está en dirección opuesta al desplazamiento.
Trabajo efectuado a volumen constante
El trabajo efectuado es cero en cualquier proceso que el volumen permanesca constante.
W =0
(7.20)
Trabajo efectuado a presión constante
Cuando la presión es constante se puede demostrar que el trabajo realizado es el siguiente:
W = −p (Vf − Vi )
(7.21)
Trabajo efectuado a temperatura constante
En el caso de que la temperatura sea constante, el trabajo realizado será:
W = −nRT ln
Vf
Vi
(7.22)
7.5. CAPACIDAD CALORÍFICA DE UN GAS IDEAL
7.5.
67
Capacidad Calorı́fica de un gas ideal
Introduzcamos cierta energı́a como calor Q en un gas que está confinado dentro de un cilindro
equipado con un émbolo. El gas puede entonces (1) almacenar la energı́a en forma de energı́a
cinética al azar en sus moléclas, o bien (2) usar la energı́a para hacer un trabajo sobre el émbolo.
Capacidad Calorı́fica a volumen constante
Consideremos primero el caso en el que el émbolo está fijo, de modo que el volumen del gas
permanece constante y no se efectúa ningún trabajo externo. En este caso, la energı́a térmica Q
se transforma en energı́a cinética (o también llamada energı́a interna), es decir:
Q = ∆Eint
(7.23)
Llamemos Cv a la capacidad calorı́fica a volumen constante, y llamemos n a la cantidad de
moles que contiene el gas, entonces:
Cv =
∆Eint
Q
=
n∆T
n∆T
(7.24)
El valor que toma la capacidad calorı́fica dependerá de la cantidad de átomos que forman la
molécula, por lo que se puede demostrar:
Tipo de átomo
Monoatómico
Diatómico
Poliatómico
Valor de Cv
3/2 · R
5/2 · R
3·R
Capacidad Calorı́fica a presión constante
Cuando mantenemos constante la presión, existen dos tipo de contribuciones al cambio de
energı́a interna, (1) el calor transferido al gas, (2) el trabajo W realizado sobre el gas. Es decir:
Q = ∆Eint − W
(7.25)
Acá estamos considerando que el calor transferido desde el entorno es positivo y tiende a
incrementar la energı́a interna. Si el volumen disminuye (manteniendo la presión constante), el
trabajo efectuado sobre el gas por el entorno es positivo y tiende a incrementar la energı́a interna.
Si el volumen aumenta, el gas efectúa un trabajo sobre el entorno, lo cuál tiende a disminuir la
energı́a interna del gas.
El calor trasnferido en un proceso a presión constante puede escribirse como:
Q = nCp ∆T
(7.26)
donde Cp es la capacidad calorı́fica a presión constante. Puede demostrarse la siguiente igualdad:
Cp = Cv + R
(7.27)
68
CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA
Tipo de átomo
Monoatómico
Diatómico
Poliatómico
Valor de Cp
5/2 · R
7/2 · R
4·R
Ejemplo 26 Una familia entra en una cabaña de vacaciones de invierno que no ha sido calentada en un tiempo tan largo que la temperatura del interior es la misma que la temperatura del
exterior (0o C). La cabaña cuenta con una sala de 6 m por 4 m en la superficie y una altura de
3 m. La sala contiene un calefactor eléctrico de 2 kW. Suponiendo que la sala sea perfectamente
hermética y que todo el calor del calefactor es absorbido por el aire, no escapando nada a través
de las paredes o absorvido por el mobiliario, ¿cuánto tiempo después de que haya sido encendido
el calefactor se alcanzará la temperatura de 21o C? Suponer que el aire se comporta como un gas
diatómico ideal.
Solución
Primero calculamos el volumen de la sala:
V = 6m · 4m · 3m = 72m3 = 72000l
(7.28)
Sabiendo que un mol de un gas ideal ocupa 22,4 litros a 0o C y 1 atm, entonces, el número de
moles es:
n=
72000l
= 3214mol
22, 4l
(7.29)
Dado que estamos considerando que la sala es hermética, entonces el volumen es constante,
por lo que la absorción de calor es a volumen constante (recordando que el valor de Cv = 5/2·R =
20, 8J/mol · K), entonces:
Q = nCv ∆T = 3214mol · 20, 8J/mol · K21K
Q =
1, 4 × 106 J
(7.30)
Como el calefactor entrega una potencia de 2 kW, entonces:
Q
t
(7.31)
Q
1, 4 × 106 J
=
= 700s
P
2000W
(7.32)
P =
Despejando t,
t=
7.6.
Ejercicios
1. En cierta casa con energı́a solar, se almacena energı́a del sol en barriles de agua. En un
lapso de cinco dı́as nublados de invierno, se necesitaron 5,22 GJ para mantener el interior
7.6. EJERCICIOS
69
de la casa a 22o C. Suponiendo que el agua de los barriles estuiera a 50o C, ¿qué volumen
de agua se necesitó?
Respuesta: 44,5 m3
2. Si la masa del cuerpo es de 300 g, y el calor especı́fico del Cobre es de 0.092 cal/g◦ C.
Considerando que el cuerpo en principio se encontraba a 55 ◦ C y luego se estabilizó a 30◦ C
¿Cuál será la cantidad de calor cedida por el cuerpo?
Respuesta: -690 cal
3. Se colocan 250g de un material a 165o C en 500g de agua a 20o C que se encuentra en un
recipiente. La temperatura final a la que llega todo el sistema es de 40o C. ¿Cuál es el calor
especı́fico del material?
Respuesta: 0,32 cal/go C - Carbón Mineral
4. Suponga que un cuerpo se encuentra a 120o F. Calcular la temperatura en grados Celsius
y grados Kelvin.
5. En un recipiente aislado, se agregan 250 g de hielo a 0o C a 600 g de agua a 18o C. Calcular
la temperatura final del sistema y la cantidad de hielo que queda sin derretirse.
Respuesta: Quedan 135 g y el sistema está a 0o C
70
CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA
Capı́tulo 8
Electricidad
8.1.
Introducción
Los fenómenos electrostáticos, como escuchar chasquidos al sacarnos una prenda de vestir,
peinar varias veces nuestro cabello seco y luego acercarlo a pequeños trozos de papel, por ejemplo, se producen por la interacción de la carga eléctrica de un cuerpo con la de otro. La palabra
electricidad proviene del término élektron, palabra con que los griegos llamaban al ámbar.
Cuando un átomo, o un cuerpo, tiene la misma cantidad de cargas positivas (protones) y negativas (electrones) se dice que está eléctricamente neutro. Si se produce un desequilibrio entre
la cantidad de electrones y protones, se dice que está electrizado. El cuerpo que pierde electrones
queda con carga positiva y el que recibe electrones queda con carga negativa. Se llama carga
eléctrica (q) al exceso o déficit de electrones que posee un cuerpo respecto al estado neutro. La
carga neta corresponde a la suma algebraica de todas las cargas que posee un cuerpo.
La carga eléctrica permite cuantificar el estado de electrización de los cuerpos siendo su unidad
mı́nima la carga del electrón. Esto significa que la carga eléctrica q de un cuerpo está cuantizada
y se puede expresar como nq, en que n es un número entero (incluyendo el cero); sin embargo,
como la carga del electrón es muy pequeña, se utiliza un múltiplo de ella: el coulomb (C), que
es la carga obtenida al reunir 6, 24 × 1018 electrones. También se usan con mayor frecuencia los
submúltiplos del coulomb: el microcoulomb (µC) que equivale a 10−6 C.
Definición 24 (Carga eléctrica) La carga eléctrica es una propiedad fı́sica intrı́nseca de algunas partı́culas subatómicas que se manifiesta mediante fuerzas de atracción y repulsión entre
ellas. La materia cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos, siendo a
su vez, generadora de ellos. La denominada interacción electromagnética entre carga y campo
eléctrico es una de las cuatro interacciones fundamentales de la fı́sica. Las cargas del mismo
signo se repelen y las de signo contrario se atraen.
8.2.
Formas para electrizar un cuerpo
Al observar lo que sucede cuando frotamos con nuestra ropa una regla plástica y la acercamos
a las hojas de un cuaderno o al ?hilo? de agua que cae por una llave de agua, o cuando notamos
una chispa al tocar a una persona luego de caminar por una alfombra en un dı́a de verano, entre
71
72
CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD
otros ejemplos, podemos inferir que la materia se puede electrizar.
Un cuerpo eléctricamente neutro se electriza cuando gana o pierde electrones.
Existen tres formas básicas de modificar la carga neta de un cuerpo: electrización por frotamiento, contacto e inducción. En todos estos mecanismos siempre está presente el principio de
conservación de la carga, que nos dice que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, solamente
se transfiere de un cuerpo a otro.
1. Frotamiento. En la electrización por fricción, el cuerpo menos conductor saca electrones
de las capas exteriores de los átomos del otro cuerpo quedando cargado negativamente y
el que pierde electrones queda cargado positivamente.
2. Contacto. En la electrización por contacto, el que tiene exceso de electrones (carga -)
traspasa carga negativa al otro, o el que tiene carencia de ellos (carga +) atrae electrones
del otro cuerpo. Ambos quedan con igual tipo de carga.
3. Inducción. Al acercar un cuerpo cargado al conductor neutro, las cargas eléctricas se
mueven de tal manera que las de signo igual a las del cuerpo cargado se alejan en el
conductor y las de signo contrario se aproximan al cuerpo cargado, quedando el conductor
polarizado. Si se hace contacto con tierra en uno de los extremos polarizados, el cuerpo
adquiere carga del signo opuesto.
8.3.
Fuerza Eléctrica
Dos cargas eléctricas del mismo signo se repelen, mientras que si son de signos contrarios se
atraen. Esta fuerza eléctrica de atracción o repulsión, depende de las cargas eléctricas y de la
distancia entre ellas.
8.3.1.
Ley de Coulomb
Las primeras experiencias que permitieron cuantificar la fuerza eléctrica entre dos cargas se
deben al francés Charles Coulomb, en el año 1785. A partir de sus resultados, Coulomb enunció una ley que describe esta fuerza, de atracción o de repulsión, la que es conocida como ley de
Coulomb, y que es un principio fundamental de la electrostática.
Los experimentos de Coulomb y de sus contemporáneos demostraron que la fuerza eléctrica
ejercida por un cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto de sus magnitudes
e inversamente del cuadrado de su separación. En otras palabras,
F =K·
q1 q2
r2
(8.1)
donde K = 8,99 × 109 N m2 /C 2 . Nosotros nos detendremos en los casos unidimensionales.
Debemos tener en cuenta que el signo de las cargas nos indicará si la fuerza es de atracción
(cargas con distinto signo) o de repulsión (cargas con igual signo). El sentido y dirección de la
fuerza neta se infiere a partir del diagrama de fuerzas
8.3. FUERZA ELÉCTRICA
73
Ejemplo 27 Suponga que hay tres cargas q1 = −1, 2µC, q2 = 3, 7µC y q3 = −2, 3µC. Si q2
se encuentra a la derecha de q1 a una distancia de 15cm y un ángulo de cero grado, y q3 a la
izquierda de q1 a 10cm de distancia y un ángulo de 32 grados respecto a la vertical. Calcular la
fuerza eléctrica actuante sobre q1 .
Figura 8.1: Esquema de la distribución de las cargas
Solución
Comencemos calculando la fuerza que ejerce q2 sobre q1 , es decir:
F12
=
F12
=
8, 99 × 109 N m2 /C 2 · 1, 2 × 10−6 C · 3, 7 × 10−6 C
Kq1 q2
=
2
r12
(0, 15m)2
1, 77N
(8.2)
Estas dos cargas tienen signos opuestos, por lo que la fuerza es atractiva. Ahora, calculando
la fuerza que ejerce q3 sobre q1 , tenemos:
F13
=
F13
=
Kq1 q3
8, 99 × 109 N m2 /C 2 · 1, 2 × 10−6 C · 2, 3 × 10−6 C
=
2
r
(0, 10m)2
2, 48N
(8.3)
Teniendo en cuenta que las cargas tienen los mismos signos, entonces la fuerza es repulsiva.
Por otra parte, descomponiendo las fuerzas sobre los ejes cartesianos, tenemos:
F1x
= F12x + F13x = F12 + F13 sen θ
=
En el eje y se tiene:
1, 77N + 2, 48N sen 32o = 3, 08N
(8.4)
74
CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD
F1y
= F12y + F13y = 0 + F13 cos θ
0 − 2, 48N cos 32o = −2, 10N
=
(8.5)
Luego, sumando vectorialmente los resultados de ambas componentes, utilizando el teorema
de Pitágoras:
F1 =
q
2 + F2 =
F1x
1y
p
(3, 08N )2 + (−2, 10N )2 = 3, 73N
(8.6)
Por otro lado, se puede calcular, usando trigonometrı́a, el ángulo de la fuerza F1 :
tan α =
F1x
3, 08N
=
= −1, 466
F1y
−2, 10N
(8.7)
donde sacando el arcotangente de −1, 466 se obtiene un ángulo de −56o .
8.4.
Campo Eléctrico
Las cargas eléctricas generan en torno a ellas, un campo eléctrico de carácter vectorial que
disminuye con la distancia. Este campo produce una fuerza eléctrica sobre una carga que se
ubique en algún punto de él.
Fue Michael Faraday (1791-1867) quien introdujo la noción de campo en la Fı́sica para poder
explicar la interacción a distancia (interactuar sin tocarse) que ocurre entre cuerpos, como sucede
por ejemplo al aproximar dos imanes, y que Newton no pudo aclarar. En Fı́sica, el concepto de
campo señala un sector del espacio en el que a cada punto de él, se le puede asociar un vector o
una cantidad escalar.
Por ejemplo, la Tierra genera un campo gravitatorio en el espacio que la circunda ejerciendo
una fuerza (el peso, que es un vector) sobre los cuerpos situados en sus cercanı́as. Del mismo
modo, una partı́cula cargada Q, llamada carga generadora, produce un campo eléctrico a su
alrededor. Este campo se puede detectar si colocamos una pequeña carga de prueba +q0 puesta
en el punto del espacio donde se desea medir. En ese punto, la intensidad del campo eléctrico E
es igual a la fuerza eléctrica que experimenta la carga de prueba y tiene la misma dirección que
la fuerza, si q0 es positiva; por tanto:
E=K
Q
r2
(8.8)
El campo generado por una carga puntual Q disminuye con el cuadrado de la distancia desde la carga. Cualquier campo eléctrico que varı́e con la distancia se denomina campo eléctrico
variable y su intensidad solo depende de la carga generadora y de la distancia entre la carga y el
punto del espacio donde se calcula, independiente de que haya o no una carga de prueba en ese
punto.
8.4. CAMPO ELÉCTRICO
75
Por otra parte, combinando la Ley de Coulomb (8.1) y la ecuación (8.8), se puede escribir
que el campo eléctrico es igual a:
E=
F
q
(8.9)
La dirección del campo eléctrico, e incluso su magnitud, puede representarse mediante las
denominadas lı́neas de fuerza o de campo.
Las lı́neas de campo se representan según las siguientes reglas:
a. Siempre se dibujan desde las cargas positivas (o desde el infinito) hacia las negativas (o hacia
el infinito).
b. La dirección del campo eléctrico en un punto nos la indica la tangente de la lı́nea de campo
en ese punto.
c. El número de lı́neas es proporcional a la carga.
d. La densidad de lı́neas en un punto nos indica la magnitud del campo eléctrico en dicho punto.
e. Las lı́neas de campo nunca se cruzan.
f. A grandes distancias de un sistema de cargas, las lı́neas son radiales con el mismo espaciado,
como si procedieran de una sola carga puntual igual a la carga neta.
g. Debido a que el campo eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a
la carga, a medida que nos alejamos de la carga, el campo eléctrico se debilita y las lı́neas
se separan (el espaciado de las lı́neas de campo está relacionado con la intensidad del campo
eléctrico).
Figura 8.2: Lineas del campo eléctrico de una carga puntual
76
CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD
Figura 8.3: Lineas del campo eléctrico de dos cargas puntuales
8.5.
Energı́a potencial eléctrica
Para levantar un objeto desde el suelo hasta cierta altura es necesario efectuar un trabajo
sobre él para vencer la fuerza de gravedad debida al campo gravitacional terrestre. El objeto
en esa posición, adquiere energı́a potencial gravitatoria. Si levantamos un cuerpo del doble de
masa, la energı́a potencial será también el doble, si la masa es el triple, la energı́a requerida
será también el triple, y ası́ sucesivamente.
Lo mismo ocurre en el caso de las cargas eléctricas. Si se quiere mover una carga de prueba
q desde el infinito (región alejada donde el potencial eléctrico de la carga generadora es prácticamente nulo) hasta cierto punto dentro de un campo eléctrico generado por una carga Q, es
necesario ejercer una fuerza por un agente externo, y por tanto realizar un trabajo contra las
fuerzas eléctricas, por lo que la carga de prueba adquiere una cierta energı́a potencial eléctrica
(U ).
El trabajo W realizado para mover la carga de prueba corresponde al cambio de la energı́a
potencial eléctrica, experimentado por dicha carga. De hecho, si soltamos la carga q, acelerará alejándose de Q y transformando la energı́a potencial ganada en cinética.
Si definimos que en el infinito U = 0, tenemos que la energı́a potencial eléctrica que adquiere
una carga puntual q a una distancia r de una carga generadora Q es:
U =K
Qq
r
(8.10)
Como toda forma de energı́a, la unidad de la energı́a potencial eléctrica en el SI es el joule
(J) y será positiva cuando la fuerza sea repulsiva.
8.5.1.
Potencial Eléctrico
Si una carga eléctrica q situada en un punto de un campo eléctrico se duplica, triplica o aumenta n veces, la energı́a potencial eléctrica aumentará en la misma cantidad, respectivamente;
8.5. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
77
sin embargo, es más frecuente considerar, en dicho punto, el potencial eléctrico (V ), que corresponde a la energı́a potencial eléctrica por unidad de carga ya que este valor será el mismo,
independiente de la cantidad de cargas, o incluso si no hay cargas (es una propiedad del espacio).
Por lo tanto:
V =
Q
U
=K
q
r
(8.11)
El potencial eléctrico es una cantidad escalar, cuya unidad de medida es el volt, en honor
del fı́sico italiano Alessandro Volta (creador de la pila eléctrica) que corresponde a J/C. Por
ejemplo, un potencial de 220V significa que en ese punto una carga de 1C adquiere una energı́a
de 220J.
Ejemplo 28 Una placa conductora cargada positivamente crea en sus proximidades un campo
eléctrico uniforme E = 1000N/C, tal y como se muestra en la figura. Desde un punto de la
placa se lanza un electrón con velocidad 107 m/s formando un ángulo de 60o con dicha placa,
de forma que el electrón describirá una trayectoria como la indicada en la figura. (Datos: e =
−1, 6 × 10−19 C, me = 9, 1 × 10−31 kg)
1. En el punto A, el más alejado de la placa, ¿con qué velocidad se mueve el electrón? Respecto
al punto inicial, ¿cuánto ha variado su energı́a potencial electrostática? Calcula la distancia
d entre el punto A y la placa.
2. Determina la velocidad (módulo y orientación) del electrón cuando choca con la placa
(punto B).
Solución
Sobre el electrón está actuando una fuerza, vertical y hacia abajo, de módulo F = eE, siendo
e el valor de la carga del electrón. Usando la segunda ley de Newton, la aceleración, también
vertical y hacia abajo, del electrón vale:
ay =
eE
me
(8.12)
Si se toma como origen de coordenadas la posición inicial del electrón; entonces, la posición
del electrón, en cualquier instante, está dada por
x =
y
=
v0x t = v0 cos α · t
1
1 eE 2
v0y t − ay t2 = v0 sin α · t +
t
2
2 me
(8.13)
(8.14)
78
CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD
Esto es debido a que en el eje x se desarrolla un movimiento del tipo MRU y en el eje y
MRUV, donde sólo actúa la aceleración debida al campo eléctrico E. Las componentes de la
velocidad instantánea vienen dadas por:
vx
= v0x = v0 cos α
(8.15)
vy
eE
t
= v0y − ay t = v0 sin α +
me
(8.16)
En el punto A, la componente y de la velocidad (vy ) es nula, por lo tanto
vx = v0x = v0 cos α = 5 × 106 m/s
(8.17)
Para calcular la energı́a potencial electrostática tenemos que:
∆U = K
Qq
= ∆V q
r
(8.18)
donde:
∆V = Er
(8.19)
En este caso r = d, por lo que habrı́a que calcular primero la distancia d. Para ello se debe
usar la siguiente condición vy = 0, es decir:
vy
= v0 sin α +
eE
t=0
me
(8.20)
De esta ecuación despejamos el tiempo t y lo reemplazamos en la ecuación y, es decir:
−107 m/s · sin 60o · 9, 1 × 10−31 kg
−v0 sin α · me
=
= 4, 9 × 10−7 s
eE
−1, 6 × 10−19 C · 1000N/C
1 eE 2
= v0 sin α · t +
t = 21, 3m
2 me
t =
y
(8.21)
Luego, volviendo a la ecuación de la energı́a potencial electrostática:
∆U = E · d · e = −3, 4 × 10−15 J
(8.22)
Para calcular la velocidad del electrón cuando llega a la placa, debemos primero calcular el
tiempo que tarda el electrón en volver a la placa; por lo que se debe cumplir que y = 0, es decir:
y
= v0 sin α · t +
Despejando de esta ecuación t, se obtiene:
1 eE 2
t =0
2 me
(8.23)
8.5. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
t
=
t
=
79
0
2me v0 sin α
= 9, 9 × 10−7 s
eE
(8.24)
(8.25)
Las componentes de la velocidad en ese instante son:
vx
=
vy
=
v0 cos α = 5 × 106 m/s
eE
v0 sin α +
· t = −8, 7 × 106 m/s
me
(8.26)
(8.27)
Luego, con las componentes de cada eje se calcula el valor del modulo de la velocidad,
v=
q
vx2 + vy2 = 107 m/s
(8.28)
Este valor coincide con el de la velocidad inicial, esto es debido a que la energı́a mecánica se
conserva. Por último, el ángulo de la velocidad viene dado por:
β = arctan
vy
= −60o
vx
(8.29)
Ejemplo 29 Un electrón se deja en reposo en el origen de coordenadas donde actúa un campo
eléctrico uniforme de intensidad: E = 400 N/C. Determina la diferencia de potencial entre el
origen de coordenadas y el punto A(5,0) cm. Calcula la velocidad del electrón cuando pasa por
el citado punto A.
Solución
Al realizar un desplazamiento desde el origen de coordenadas hasta el punto A, el vector
campo eléctrico y el desplazamiento forman un ángulo de 180o . Aplicando la relación entre el
potencial y el campo, se tiene:
E cos α
∆V
∆V
∆r
400N/C · cos 180o · 0, 05m = 20V
= −
=
(8.30)
80
CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD
El punto A está a mayor potencial que el punto O, ya que el campo eléctrico tiene el sentido
del potencial decreciente. Si al origen de coordenadas se le asigna un potencial eléctrico igual a
cero voltios, el punto A está a un potencial de 20V .
Para calcular la velocidad del electrón, se hace uso de la ley de la conservación de la energı́a
mecánica,
UO + EcO
0+0
vA
= UA + EcA
1
2
= qe VA + me vA
2
r
−2qe VA
=
= 2, 65 × 106 m/s
me
(8.31)
Ejemplo 30 Dos pequeñas bolas, de 10 g de masa cada una de ellas, están suspendidas del
mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud cada uno. Si al cargar las bolitas con la
misma carga eléctrica, los hilos se separan formando un ángulo de 10o , determina el valor de la
carga eléctrica.
Solución
Sobre cada bola actúan su peso, la tensión del hilo y la fuerza eléctrica. Aplicando la condición
de equilibrio, se tiene que:
X
Fx
=
X
Fy
=
Dividiendo ambas ecuaciones:
Kq 2
r2
0 ⇒ Ty − P = 0 ⇒ T cos ϕ = mg
0 ⇒ Tx − Fe = 0 ⇒ T sin ϕ =
(8.32)
(8.33)
8.6. EJERCICIOS
81
tan ϕ =
Kq 2
⇒q=
mgr2
r
mgr2 tan ϕ
K
(8.34)
Si la longitud del hilo es igual a d y como cada bola se separa de la vertical un ángulo ϕ = 5o ,
la distancia entre ellas es: r = 2d · sin5o . Sustituyendo en la ecuación anterior:
r
q=
mg(2d · sin5o )2 tan ϕ
= 1, 7 × 10−7 C
K
(8.35)
8.6.
Ejercicios
1. Dos cargas puntuales de 5µC y −2µC se encuentran separadas a una distancia de 15 cm.
Haz un diagrama vectorial de fuerzas y calcula el módulo de la fuerza indicando si la fuerza
es atractiva o repulsiva.
2. Dos cargas puntuales se separan a una distancia tres veces mayor que la que tenı́an inicialmente. ¿Cómo cambia el módulo de la fuerza eléctrica entre ellas? Explica.
3. Determina el punto entre dos cargas puntuales de +2mC y +5mC en que el campo eléctrico
es nulo. Ambas cargas se encuentran a 1 m de distancia.
4. ¿Cuál debe ser la distancia entre dos cargas puntuales de q1 = 26, 3µC y otra de q2 =
−47, 1µC para que la fuerza eléctrica sea de 5, 66N ?
5. Una carga puntual de 3, 12×10−6 C se encuentra a una distancia de 12, 3cm de una segunda
carga puntual de −1, 48 × 10−6 C. Calcular la magnitud de la fuerza entre las cargas.
6. Determinar la intensidad de la fuerza eléctrica que actúa sobre q1 , suponiendo que q1 =
q2 = 21, 3µC y d = 1, 52m. Ahora suponga que se introduce una tercera carga q3 = 21, 3µC
y se coloca a una distancia de 1, 52m de q1 y q2 formando un triángulo equilátero. Calcular
la nueva fuerza que se ejerce sobre q1 .
7. Suponga que hay cuatro cargas que se distribuyen en los vértices de un cuadrado de 15, 2cm
de lado. Los vértices del lado izquierdo tienen una carga +q y +2q, y los vértices del lado
derecho −q y −2q, empezando por arriba en ambos casos. Suponiendo que q = 1, 13µC,
calcular la fuerza eléctrica resultante que opera sobre el ángulo inferior izquierdo.
8. La masa de un protón es 1, 67 × 10−27 kg y su carga eléctrica 1, 6 × 10−19 C. Compara
la fuerza de repulsión eléctrica entre dos protones situados en el vacı́o con la fuerza de
atracción gravitatoria que actúa entre ellos.
9. Un electrón que lleva una velocidad de 5 × 106 m/s accede perpendicularmente a un campo
eléctrico uniforme de intensidad E = 3000 N/C. Deduce la ecuación de la trayectoria que
describe el electrón. ¿Qué distancia recorre verticalmente el electrón después de trasladarse
horizontalmente 12 cm?
82
CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD
10. Una partı́cula cargada negativamente, con masa m = 8×10−20 kg y carga q = −2×10−18 C,
describe órbitas circulares alrededor de otra partı́cula mucho mayor, de masa M = 4 ×
10−12 kg y carga positiva Q = 3 × 10−10 C, a la que supondremos inmóvil. La partı́cula
pequeña emplea un tiempo t = 7, 65 × 10−10 s en dar una vuelta completa. No tendremos
en cuenta la atracción gravitatoria entre ambas partı́culas.
a) Calcula el radio de la órbita que describe la partı́cula pequeña.
b) Al no haber tenido en cuenta la fuerza gravitatoria, se puede pensar que estamos cometiendo cierto error. ¿Piensas que dicho error es despreciable? Razona numéricamente
tu respuesta.
Capı́tulo 9
Magnetismo
9.1.
Introducción
El magnetismo es un fenómeno fı́sico por el que los objetos ejercen fuerzas de atracción o
repulsión sobre otros materiales. Hay materiales que presentan propiedades magnéticas detectables fácilmente, como el nı́quel, el hierro o el cobalto, que pueden llegar a convertirse en un imán.
Cada electrón es, por su naturaleza, un pequeño imán. Ordinariamente, innumerables electrones de un material están orientados aleatoriamente en diferentes direcciones, pero en un imán
casi todos los electrones tienden a orientarse en la misma dirección, creando una fuerza magnética
grande o pequeña dependiendo del número de electrones que estén orientados.
Además del campo magnético intrı́nseco del electrón, algunas veces hay que contar también
con el campo magnético debido al movimiento orbital del electrón alrededor del núcleo. Este
efecto es análogo al campo generado por una corriente eléctrica que circula por una bobina.
De nuevo, en general el movimiento de los electrones no da lugar a un campo magnético en
el material, pero en ciertas condiciones los movimientos pueden alinearse y producir un campo
magnético total medible.
9.2.
Fuerza Magnética
Toda carga que se mueve en un campo magnético de inducción sufre la acción de una fuerza
cuyo módulo viene dado por la expresión:
→
−
→
−
−
F =q·→
v ×B
(9.1)
F = q · v · B sin φ
(9.2)
o bien:
donde q es la carga que se mueve en el campo magnético de inducción (B) con una velocidad
que forma un ángulo φ con el vector inducción magnética. La dirección viene dada por la regla
de la mano derecha (9.2). Sobre ella actúa una fuerza.
83
84
CAPÍTULO 9. MAGNETISMO
Figura 9.1: Regla de la mano derecha
Como se puede observar esa fuerza existe si la partı́cula en movimiento:
Está en el seno de un campo magnético (vector inducción magnética) B
Tiene carga q 6= 0, sea positiva o negativa.
Está en movimiento y su velocidad no tiene la misma dirección que el vector inducción
magnética.
Por otra parte la fuerza que se ejerce sobre esa carga en movimiento:
Es proporcional a la carga.
Es perpendicular a la velocidad y al vector inducción magnética.
Su módulo depende además del ángulo que forman el vector inducción magnética y el vector
velocidad.
9.2.1.
Ley de Lorentz
Según se ve en el tema de electricidad, la fuerza eléctrica sobre una carga puntual en reposo
viene dada por:
→
−
→
−
F =q·E
(9.3)
Sin embargo, si dicha carga se encuentra en movimiento, la experiencia muestra que se ve
sometida a una fuerza adicional. Esta fuerza es la que llamamos fuerza magnética. Por lo tanto,
la fuerza total sobre una carga puntual en movimiento es entonces:
→
−
→
− − →
−
F = q · (E + →
v × B)
(9.4)
Esta expresión, que es válida en general, tanto para situaciones estáticas como dinámicas, se
denomina Fuerza de Lorentz.
9.3. CAMPO MAGNÉTICO
9.3.
85
Campo Magnético
Se trata de un campo que ejerce fuerzas (denominadas magnéticas) sobre los materiales. Al
igual que el campo eléctrico también es un campo vectorial, pero que no produce ningún efecto
sobre cargas en reposo (como sı́ lo hace el campo eléctrico en dónde las acelera a través de la
fuerza eléctrica). Sin embargo el campo magnético tiene influencia sobre cargas eléctricas en
movimiento.
Si una carga en movimiento atraviesa un campo magnético, la misma sufre la acción de una
fuerza (denominada fuerza magnética). Esta fuerza no modifica el módulo de la velocidad pero
sı́ la trayectoria. Sobre un conductor por el cual circula electricidad y que se encuentra en un
campo también aparece una fuerza magnética.
El campo magnético está presente en los imanes; pero por otro lado, una corriente eléctrica
también genera un campo magnético. El campo magnético se denomina con la letra B y se mide
en Tesla ((N · s)/(C · m).
La fuerza magnética y el campo magnético son consecuencia de la existencia de los polos
magnéticos (polos Norte y Sur).
Al igual que en el campo eléctrico, existen lo que se llaman las lı́neas de campo magnético,
que permiten estimar en forma aproximada el campo magnético existente en un punto dado,
tomando en cuenta las siguientes caracterı́sticas:
Las lı́neas de campo magnéticos son siempre lazos cerrados que van de norte a sur por
fuera del imán y de sur a norte por dentro del imán
Las lı́neas magnéticos nunca se entrecruzan .
Las lı́neas magnéticas de imanes diferentes se atraen y se repelen entre sı́: las lı́neas del
mismo sentido se atraen y las de sentido opuesto se repelen
Figura 9.2: Lineas del campo magnético en un imán
86
CAPÍTULO 9. MAGNETISMO
Propiedades de los polos magnéticos.
Algunas propiedades son semejantes a las de las cargas eléctricas. Ası́:
Polos de distinto signo se atraen entre sı́, y polos del mismo signo se repelen.
La fuerza con que los polos interaccionan es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que los separa.
Sin embargo, existe una diferencia fundamental y es que, mientras que una carga eléctrica
positiva o negativa puede ser aislada, no pueden aislarse monopolos magnéticos. Al dividir
un imán por la mitad, cada una de las dos mitades se convierte en un nuevo imán, con sus
polos norte y sur correspondientes.
9.3.1.
El campo magnético terrestre
La Tierra posee un poderoso campo magnético, como si el planeta tuviera un enorme imán en
su interior cuyo polo sur estuviera cerca del polo norte geográfico y viceversa. Aunque los polos
magnéticos terrestres reciben el nombre de polo norte magnético (próximo al polo norte geográfico) y polo sur magnético (próximo al polo sur geográfico), su magnetismo real es el opuesto al
que indican sus nombres.
Las posiciones de los polos magnéticos no son constantes y muestran notables cambios de año
en año. Cada 960 años, las variaciones en el campo magnético de la Tierra incluyen el cambio
en la dirección del campo provocado por el desplazamiento de los polos. El campo magnético de
la Tierra tiene tendencia a trasladarse hacia el Oeste a razón de 19 a 24 km por año.
Figura 9.3: Lineas del campo magnético terrestre
9.3.2.
Flujo Magnético
El recorrido de las lı́neas de fuerza recibe el nombre de circuito magnético, y el número de
lı́neas de fuerza existentes en un circuito magnético se le conoce como flujo magnético. Estas
lı́neas nos dan una idea de:
9.4. DIFERENCIAS ENTRE EL CAMPO ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO
87
Dirección que tendrá el campo magnético. Las lı́neas de campo van desde el polo sur al
polo norte en el interior del imán y desde el polo norte hasta el polo sur por el exterior.
La intensidad del campo magnético, es inversamente proporcional al espacio entre las lı́neas
(a menos espacio más intensidad).
En un campo magnético uniforme, la densidad de flujo de campo magnético que atraviesa
una superficie plana y perpendicular a las lı́neas de fuerza valdrá:
B=
Φ
S
(9.5)
donde la letra griega Φ es el flujo magnético y su unidad es el Weber (W b = T /m2 ).
En el caso de que la superficie atravesada por el flujo magnético no sea perpendicular a la
dirección de este tendremos que:
Φ = B · S cos α
(9.6)
donde α es el ángulo que forma la superficie que atraviesa el flujo y el campo magnético.
9.4.
Diferencias entre el campo eléctrico y magnético
Podemos mencionar algunas diferencias entre los campos magnéticos y eléctricos y resumirlas
en:
La fuerza eléctrica siempre está en la dirección del campo eléctrico, mientras que la fuerza
magnética es perpendicular al campo magnético.
La fuerza eléctrica actúa sobre una partı́cula cargada independientemente de la velocidad
de la partı́cula, mientras que la fuerza magnética actúa solo cuando la partı́cula cargada se
encuentra en movimiento.
La fuerza eléctrica realiza trabajo al desplazar una partı́cula cargada, mientras que la
fuerza magnética asociada a un campo magnético estacionario no realiza trabajo cuando
una partı́cula se desplaza.
Cuando una carga se mueve con una velocidad v, el campo magnético aplicado solo puede
alterar la dirección del vector velocidad, pero no puede cambiar la rapidez de la partı́cula.
Las lineas del campo magnético son cerradas, mientras que lineas del campo eléctrico son
abiertas.
9.5.
Partı́culas que inciden perpendicularmente al campo
magnético
Sobre la partı́cula aparece una fuerza de valor constante y que es perpendicular a la velocidad
y al campo magnético. Al ser perpendicular a la velocidad, se constituye una fuerza centrı́peta
que originará una variación en la dirección de la velocidad pero no de su módulo. Por lo tanto,
88
CAPÍTULO 9. MAGNETISMO
la partı́cula describirá una movimiento circular uniforme.
Las cargas positivas giran en un sentido y las negativas en el sentido contrario. El radio de
la trayectoria circular que experimentan surge de igualar la segunda Ley de Newton y la fuerza
magnética, es decir:
m·a
F
=
F
= q · B · v sin φ
Sabiendo que φ = 90o , y que la aceleración es igual a la aceleración centrı́peta del movimiento
circular uniforme, entonces::
m·
v2
R
=
q·B·v
R
=
m·v
q·B
(9.7)
Ejemplo 31 Un electrón, de energı́a cinética 25kev (1eV = 1, 6 × 10−19 J), se mueve en una
órbita circular en el interior de un campo magnético, de 0, 2T . Calcular:
a. La velocidad del electrón
b. El radio de la órbita
c. El periodo del movimiento
Datos: me = 9, 1 × 10−31 kg , e = 1, 6 × 10−19 C
Solución
Teniendo en cuenta que la energı́a cinética es la única energı́a presente, y recordando que se
define como:
Ec
=
1
mv 2
2
Entonces, despejando la velocidad, tenemos:
v
r
2Ec
m
s
2 · 25000 · 1, 6 × 10−19 J
9, 1 × 10−31 kg
=
v
=
v
=
9, 37 × 107 m/s
(9.8)
Para calcular el radio de la órbita, tenemos que igualar la segunda Ley de Newton y la fuerza
magnética, por lo que tenemos:
F
= m·a
F
= q · B · v sin φ
9.6. EJERCICIOS
89
Teniendo en cuenta que φ = 90o , y que la aceleración es igual a la aceleración centrı́peta
(v /R) del movimiento circular uniforme, entonces se puede escribir:
2
v2
R
= q·B·v
(9.9)
m·v
q·B
9, 1 × 10−31 kg · 9, 37 × 107 m/s
1, 6 × 10−19 C · 0, 2T
2, 66 × 10−3 m
(9.10)
m·
Entonces, despejando R, tenemos:
R
=
R
=
R
=
Para calcular el perı́odo partimos de la ecuación (9.9), y teniendo en cuenta que la velocidad
en el movimiento circular puede ser escrita como:
v=
2πR
T
(9.11)
y reemplazando en la ecuación (9.9) para luego despejar T , tenemos:
T
=
T
=
T
=
2πm
qB
2π9, 1 × 10−31 kg
1, 6 × 10−19 C · 0, 2T
1, 78 × 10−10 s
(9.12)
9.6.
Ejercicios
1. Una partı́cula de masa m, carga positiva q y dotada de velocidad horizontal, penetra en
una v0 región del espacio donde hay un campo eléctrico y E un campo magnético B.
Ambos campos son mutuamente perpendiculares y a su vez perpendiculares a la velocidad
de la partı́cula. El campo magnético es perpendicular al papel, dirigido hacia adentro y
representado en la figura por ?x?, mientras que el campo eléctrico es paralelo al papel
y representado por lı́neas rectas. Observamos que la partı́cula no experimenta ninguna
desviación. Sin considerar efectos gravitatorios, calcula la expresión de la velocidad de la
partı́cula.
90
CAPÍTULO 9. MAGNETISMO
2. Dos isótopos de un elemento quı́mico, cargados con una sola carga positiva y con masas de
19, 91 × 10−27 kg y 21, 59 × 10?27 kg, respectivamente, se aceleran hasta una velocidad de
6,7 · 105 m/s. Seguidamente, entran en una región en la que existe un campo magnético
uniforme de 0,85 T y perpendicular a la velocidad de los iones. Determina la relación entre
los radios de las trayectorias que describen las partı́culas y la separación de los puntos de
incidencia de los isótopos cuando han recorrido una semicircunferencia.
Respuestas: R1 /R2 = 0, 922; Separación= 0, 0166m
3. Un chorro de iones es acelerado por una diferencia de potencial de 10000V , antes de penetrar
en un campo magnético de 1T . Si los iones describen una trayectoria circular de 5cm de
radio, determina su relación carga-masa.
Respuestas: q/m = 8 × 106 C/kg
4. Una partı́cula de carga q=- C y masa m= Kg entra con una velocidad V = Vi en una
región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme B = −0, 5T . El radio de
la trayectoria circular que describe es R = 0, 3m.
a. Dibujar la fuerza que ejerce el campo sobre la partı́cula en el instante inicial y la trayectoria que sigue esta. Calcular la velocidad V con la que entro a partir de la segunda
ley de Newton en el eje normal.
9.6. EJERCICIOS
91
b. Calcular el periodo del movimiento y la frecuencia angular ¿Cómo varı́an el radio de la
trayectoria y el periodo del movimiento si se duplica la velocidad de entrada?
Respuestas: V = 1, 4 × 107 m/s y T = 1, 34 × 10−7 s
5. Un electrón se acelera por la acción de una diferencia de potencial de 100V y, posteriormente, penetra en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 2T ,
perpendicular a la trayectoria del electrón. Calcula la velocidad del electrón a la entrada
del campo magnético. Halla el radio de la trayectoria que recorre el electrón en el interior
del campo magnético y el periodo del movimiento.
Respuestas: V = 6 × 106 m/s; R = 1, 8 × 10−5 m y T = 1, 8 × 10−11 s
6. Un protón tras ser acelerado por una diferencia de potencial de 25000V , penetra perpendicularmente en un campo magnético y describe una trayectoria circular de 40cm de radio.
Determinar:
a. La inducción magnética.
b. el radio de la trayectoria para un valor doble de la inducción magnética.
Datos: e = +1, 6 × 10−19 C , mp = 1, 67 × 10−27 kg
Respuestas: B = 5688, 43T y R = 0, 2m
7. En un campo magnético uniforme de valor 12T , que penetra perpendicularmente al plano
del papel, entra un electrón con velocidad v0 = 4 × 106 m/s perpendicular a B. Calcular:
a. La aceleración que adquiere el electrón.
b. El radio de la trayectoria que describe.
Respuestas: a = 8, 43 × 1018 m/s2 y R = 1, 89 × 10−6 m
92
CAPÍTULO 9. MAGNETISMO
Capı́tulo 10
Astronomı́a
10.1.
Historio del Calendario
El primer año de la era romana, denominado el Año de Rómulo, consistı́a en diez o doce
meses, según la bibliografı́a que se cite. El principio del año romano no era enero, como es en la
actualidad; era en marzo, y llegaba hasta diciembre.
Más tarde, se instauró el año de Numa, con doce meses y 355 dı́as. Este año fue creado
alrededor del 700 a. C. Aún de esta manera el año quedaba corto once dı́as respecto al año solar
(estacionario), por lo que Numa Pompilio ordenó que se le añadiera un mes cada dos años de 22
dı́as en el segundo y sexto años, y de 23 dı́as en el cuatro y octavo, haciendo un ciclo de ocho años.
En 45 a. C. Julio César encargó al astrónomo alejandrino Sosı́genes la elaboración de su calendario. Este fijó la duración del año en 365 dı́as y seis horas, cálculo asombrosamente exacto
dados los rudimentarios instrumentos de la época, ya que su margen de error fue sólo de 11
minutos y 9 segundos al año, es decir, menos de un segundo por dı́a, pero con el fin de evitar
complicaciones, se tomó de 365 dı́as de duración, añadiendo diez dı́as al año de 355 dı́as.
Julio César añadió un dı́a a julio, mes de su nacimiento. Augusto hizo lo mismo con agosto.
Ambos dı́as fueron retirados de febrero, que pasó a tener 28. Ante la disminución de este mes
con respecto a los otros, el dı́a añadido de los años bisiestos se le concedió a él.
Julio César estableció que el año comenzara el 1 de enero, dı́a en el que los funcionarios del
emperador asumı́an su cargo La imperfección del Calendario Juliano dio pie para que en el año
1582 el Papa Gregorio XIII encargara a Luis Lilio y al jesuita alemán Christopher Clavius la
reforma por la cual se creó el Calendario Gregoriano.
Esta reforma tuvo dos aspectos principales. Por una parte, dado que el equinoccio de primavera se habı́a adelantado 10 dı́as, se suprimieron estos para ajustar el ciclo de las estaciones.
Este ajuste se llevó a cabo el jueves 4 de octubre de 1582, por lo que el siguiente dı́a se consideró viernes 15 de octubre. Además para conseguir que este resultado pudiera mantenerse en el
futuro, se acordó que los años bisiestos cuyas dos últimas cifras fueran ceros no serı́an bisiestos,
excepto si sus dos primeras son divisibles por cuatro. Ası́ pues de los años 1600, 1700, 1800, 1900
y 2000, que en el calendario juliano son bisiestos, en el gregoriano lo son sólo el 1600 y el 2000,
de modo que cada cuatro siglos quedan suprimidos tres dı́as.
93
94
CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA
10.2.
Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el
movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Las tres leyes pueden ser enunciadas
de la siguiente manera:
1. Los planetas giran en órbitas elı́pticas, ocupando el Sol uno de los focos de la elipse.
2. Los vectores de posición de los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. La ley de
las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta
está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol
(perihelio). Matemáticamente:
r1 · v1 = r2 · v2
(10.1)
donde r es la distancia al Sol y v es la velocidad del cuerpo.
3. Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son proporcionales al cubo de los
semiejes mayores de sus órbitas.
T22
T12
=
a31
a32
(10.2)
donde T son los perı́odos orbitales y a es el valor del semieje mayor de la órbita.
Los elementos que comprenden una elipse son los siguientes:
Focos
Eje mayor (semieje mayor)
Eje menor (semieje menor)
Perihelio: punto de la elipse que se encuentra sobre el eje mayor y que se encuentra a la
menor distancia del foco que ocupa el cuerpo (Sol).
Afelio: punto de la elipse que se encuentra sobre el eje mayor y que se encuentra a la mayor
distancia del foco que ocupa el cuerpo (Sol).
Dado que el eje de rotación de la Tierra se encuentra inclinado respecto al eje de la órbita
alrededor del Sol (23,47o aproximadamente), hace que los rayos solares tengan distinto ángulo
de incidencia sobre la superficie de la Tierra, provocando las diferentes estaciones del año. En el
siguiente gráfico se presenta un esquema que explica éste fenómeno.
10.3.
Ley de Gravitación Universal
La leyenda dice que Newton descubrió el principio de gravitación universal reflexionando después de ver caer una manzana. La realidad es que Newton estudió concienzudamente los trabajos
de Galileo sobre la caı́da de los cuerpos y de Copérnico y Kepler sobre el movimiento planetario
antes de extraer sus propias conclusiones.
10.3. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
95
Figura 10.1: Elementos de una elipse
Figura 10.2: Esquema de la órbita de la Tierra alrededor del Sol
Copérnico habı́a establecido el modelo heliocéntrico que Galileo habı́a demostrado. Los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elı́pticas, muchas veces casi circulares.
Para que este movimiento se produzca hace falta una fuerza centrı́peta:
F =m·a
(10.3)
Pero la aceleración centrı́peta se puede escribir como:
v2
R
(10.4)
m · v2
R
(10.5)
ac =
Entonces:
F =
96
CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA
donde m es la masa del objeto, v es su velocidad y R el radio de la trayectoria.
De las leyes de Kepler, Newton dedujo las condiciones matemáticas que debı́a cumplir la fuerza gravitatoria. La tercera ley establecı́a una relación concreta entre los periodos y los semiejes
mayores de las órbitas que la fuerza gravitatoria debı́a cumplir.
Finalmente, la Ley de Gravitación de Newton es:
F =G
m1 · m2
R2
(10.6)
donde G = 6,67 × 10−11 N m2 kg −2 es la constante de gravitación universal
10.3.1.
Variación de la intensidad de la gravedad
Sabemos que el peso de un cuerpo es P = mg donde m es la masa del cuerpo y g es la
intensidad de la gravedad, es decir la fuerza con que la Tierra atrae a un kilogramo de masa. En
caı́da libre en el vacı́o esta intensidad es idéntica a la aceleración del movimiento. Para Galileo,
que estudiaba caı́das a pequeñas alturas, g es una constante Si en la expresión de la fuerza que
un cuerpo de masa M ejerce sobre otro de masa m, calculamos la fuerza por unidad de masa,
obtenemos:
g=
G MR·m
F
M
2
=
=G 2
m
m
R
(10.7)
Donde vemos que g ya no es una constante, sino que depende de la distancia al centro del
planeta.
10.3.2.
La masa de los planetas
Las nuevas leyes en la Fı́sica no sólo explican hechos observados sino que muchas veces pueden
aplicarse para obtener nuevos conocimientos no previstos al principio.
El principio de gravitación, por ejemplo, nos permite calcular la masa de un astro si sabemos
los efectos que produce sobre otro.
Por ejemplo, podemos calcular la masa de un planeta sabiendo la intensidad de la gravedad
en la superficie y su radio.
F =
m · v2
M ·m
=G
R
R2
(10.8)
Suponiendo que la órbita de los planetas es circular, entonces la velocidad v = 2πR/T ,
entonces se puede escribir:
M=
4π 2 R3
GT 2
(10.9)
10.4. DISTANCIAS EN ASTRONOMÍA
10.3.3.
97
Movimiento de los satélites
Cuando lanzamos al cielo un satélite artificial, su comportamiento en órbita es similar al de
los planetas respecto al Sol. Partiendo de la siguiente ecuación:
M ·m
m · v2
=G
R
R2
(10.10)
y luego simplificando y despejando v tenemos
r
vorbital =
G
M
R
(10.11)
Esta velocidad es llamada la velocidad orbital. Por otra parte, se puede demostrar que para
que un satélite escape de su órbita la velocidad orbital debe ser igual o superior a la siguiente
velocidad:
r
vescape =
10.4.
2G
M
R
(10.12)
Distancias en Astronomı́a
Vamos a empezar definiendo el concepto de paralaje. La distancia entre nuestro Sol y las
estrellas se determina por medio de un efecto que se denomina paralaje. Supongamos que en
una época del año, por ejemplo en diciembre, observamos una estrella cercana. Respecto de las
estrellas lejanas, que podemos considerar como fijas, vamos a observar la posición de esa estrella,
proyectada en la dirección A. Seis meses después, en junio, al encontrarse la Tierra en el otro
extremo, si se observa la misma estrella la vamos a ver proyectada sobre el fondo de estrellas, en
la posición B. en esta configuración tenemos un triángulo rectángulo, con vértices en el Sol, La
Tierra y la estrella. El ángulo se denomina paralaje.
Hay distintas unidades de medida que se usan en astronomı́a. Estas dependen fundamentalmente de la distancia a la cuál se encuentran los astros en el universo. Vamos a mencionar
algunas de las principales unidades:
Unidad Astronómica: equivale a la distancia entre el Sol y la Tierra, unos 150 millones
de km. Es muy usada en el Sistema Solar, o para distancias algo mayores al Sistema Solar.
Año Luz: 10 billones de kilómetros. El año-luz es equivalente a la distancia recorrida por
la luz en un año a 300 mil km./s o sea 86400 s (dı́a) x 365 x 300.000 km/seg. = casi 10
billones km.
Parsec: 3,26 a.l. (3,26 años luz, algo más de 32 billones de kilómetros). Equivale a la
distancia de un objeto que tiene una paralaje de 1 segundo de arco.
10.5.
Magnitudes
Cuando miramos al cielo en una noche clara vemos estrellas. Vistas desde la Tierra, unas parecen brillantes y otras muy débiles. Algunas de estas estrellas débiles son intrı́nsecamente muy
98
CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA
Figura 10.3: Método de la paralaje para la determinación de distancias a las estrellas.
brillantes, pero están muy lejos. Algunas de las estrellas más brillantes del cielo son estrellas muy
débiles que simplemente se encuentran muy próximas a nosotros. Cuando observamos, estamos
forzamos a hacerlo desde la Tierra o en sus proximidades, y podemos sólo medir la intensidad
de la luz que nos llega.
Desafortunadamente esto no nos dice de manera directa nada acerca de las propiedades internas de una estrella. Si queremos saber más acerca de la estrella, su tamaño o su brillo interno/
fı́sico, por ejemplo, necesitamos conocer su distancia a la Tierra.
Históricamente, las estrellas visibles a simple vista fueron ordenadas en seis clases diferentes
de brillo, llamadas magnitudes. Este sistema fue originariamente concebido por el astrónomo
griego Hiparco en torno al año 120 AC y está aún en uso hoy en dı́a en una forma ligeramente
revisada. Hiparco decidió que las estrellas más brillantes tendrı́an magnitud 1, y las más débiles
magnitud 6.
Sin embargo, incluso los astrónomos de hoy en dı́a usan aún una forma ligeramente revisada
del sistema de magnitudes de Hiparco llamado de magnitudes aparentes. La definición moderna
de magnitud fue elegida de manera que las medidas de las magnitudes ya en uso no tuvieran que
ser cambiadas. Los astrónomos usan dos tipos diferentes de magnitudes: magnitudes aparentes
y magnitudes absolutas.
10.5.1.
Magnitud Aparente
La magnitud aparente, m, de una estrella mide el brillo de una estrella observado desde la
Tierra o cerca de ella. En lugar de definir la magnitud aparente a partir del número de fotones de
10.6. UNIVERSO, GALAXIAS Y ESTRELLAS
99
luz que observamos, se define respecto a la magnitud e intensidad de una estrella de referencia.
Esto significa que un astrónomo puede medir las magnitudes de las estrellas comparando las
medidas con ciertas estrellas estándar que ya han sido medidas de forma absoluta (en contraposición a las medidas relativas).
La magnitud aparente, m, viene dada por:
m = mref − 2, 5 log10 (I/Iref )
(10.13)
donde mref es la magnitud aparente de la estrella de referencia, I es la intensidad medida procedente de la estrella y Iref es la intensidad de la luz procedente de la estrella de referencia.
El factor de escala 2,5 nos equipara la definición moderna con las magnitudes aparentes más
antiguas y más subjetivas.
Para comparar, la magnitud aparente de la Luna llena es aproximadamente -12,7, la magnitud
de Venus puede ser tan alta como -4 y el Sol tiene una magnitud de aproximadamente -26,5.
10.5.2.
Magnitud Absoluta
Ahora tenemos una definición apropiada para la magnitud aparente. Es una herramienta útil
para los astrónomos, pero no nos dice nada acerca de las propiedades intrı́nsecas de una estrella.
Necesitamos establecer una propiedad común que podamos usar para comparar diferentes estrellas y para realizar análisis estadı́sticos. Esta propiedad es la magnitud absoluta.
La magnitud absoluta, M , se define como la magnitud relativa que tendrı́a una estrella si fuera colocada a 10 parsecs del Sol (para más información sobre parsecs ver la sección Herramientas
Matemáticas) del Sol.
Ya que hay muy pocas estrellas que estén exactamente a 10 parsecs, podemos usar una
ecuación que nos permitirá calcular la magnitud absoluta para estrellas a diferentes distancias:
la ecuación de distancia. La ecuación, naturalmente, también funciona en sentido contrario ?
puede calcularse la distancia dada la magnitud absoluta.
M = m + 5 − 5 log10 (D)
(10.14)
Esta ecuación establece la conexión entre la magnitud aparente, m, la magnitud absoluta, M
y la distancia, D, medida en parsec.
10.6.
Universo, Galaxias y Estrellas
En 1928 Hubble comprobó algo asombroso, salvo las galaxias de nuestro grupo local, todas
presentan un claro efecto Doppler de desplazamiento al rojo proporcional a la distancia de cada
galaxia hasta la nuestra.
Descomponiendo la luz blanca con un prisma o una red de difracción se observa el arco iris.
Se ha dispersado la luz según su frecuencia: mayor en el color azul y menor en el rojo.
100
CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA
Si dispersamos de esta forma la luz de una estrella o de una galaxia, se observan unas lı́neas
negras en el espectro. Corresponden a la absorción de energı́a luminosa por sustancias que rodean
la fuente luminosa. Estas rayas son caracterı́sticas de los diversos elementos y moléculas y nos
han permitido identificar los componentes de los astros.
En las galaxias distantes Hubble observó claramente el desplazamiento al rojo que indica que
se alejan de nosotros. Más aún, la cuantı́a del desplazamiento al rojo es aproximadamente proporcional a la distancia a que se encuentra la galaxia, que es tanto como decir que la velocidad
con que se alejan de nosotros es proporcional a esa distancia.
Este fenómeno dio pie a la idea de un Universo en expansión a partir de un estado primitivo
de tamaño puntual, densidad infinita y temperatura extremada. El descubrimiento posterior de
una radiación de fondo, procedente de esa era inicial y las fotos obtenidas desde satélites espaciales que muestran un Universo más denso, confirman el modelo del Big Bang.
En el último decenio los astrofı́sicos han encontrado huellas de una nueva fuerza fundamental de repulsión entre cuerpos que actuarı́a a grandes distancias y serı́a responsable de que la
expansión universal se esté acelerando.
10.6.1.
Galaxias
Una galaxia es un sistema conformado por materia visible en forma de estrellas, gas y polvo
interestelar, rodeadas por lo que se conoce como halo de materia oscura. Podemos enunciar
ası́ una definición de estos conjuntos y analizar cada frase:
Las galaxias son los agregados de materia gravitacionalmente reunida más grandes del Universo.
materia: estrellas, gas, polvo, agujeros negros, materia oscura,
gravitacionalmente reunida: conforman un conjunto definido de materia en cierto volumen
del Universo
más grandes del Universo: tamaños entre 10000 y 200000 años luz con una masa de 1000
a 500000 millones de masas solares en forma de materia visible y otra cantidad mayor de
materia oscura.
De acuerdo a su morfologı́a, las galaxias se clasifican en:
Elı́pticas
Espirales
Irregulares
10.6.2.
Estrellas
Las estrellas se forman a partir del colapso gravitatorio de las nubes moleculares distribuidas
en la galaxia que forma parte, las cuales están formadas principalmente por gas y polvo. Al
contraerse, aumenta su temperatura, hasta que está lo suficientemente elevada como para que
comiencen a tener lugar algunas reacciones termonucleares; como consecuencia la proto-estrella
comienza a irradiar.
10.6. UNIVERSO, GALAXIAS Y ESTRELLAS
101
La evolución de una estrella pasa por distintas etapas. Suponiendo que se dan las condiciones
necesarias para que comience la etapa de vida de una estrella, entonces:
Etapa de Pre-Secuencia Principal: Las estrellas se forman a partir del colapso gravitatorio de las nubes moleculares distribuidas en la galaxia que forma parte, las cuales
están formadas principalmente por gas y polvo. Al contraerse, aumenta su temperatura,
hasta que está lo suficientemente elevada como para que comiencen a tener lugar algunas
reacciones termonucleares; como consecuencia la proto-estrella comienza a irradiar. Cuando la presión de radiación logra contrarrestar la contracción gravitatoria (peso de las capas
superiores), la estrella llega a la secuencia principal.
Etapa de Secuencia Principal: En esta etapa la estrella pasa la mayor parte de su vida,
transformando núcleos de átomos de H en núcleos de He en la zona central de la misma a
través de las reacciones termonucleares. Solo el 0,7 % del H quemado se convierte en energı́a
nuclear, por lo cual la estrella prácticamente no altera su masa durante mucho tiempo. Sin
embargo, en su región central la composición quı́mica comienza gradualmente a modificarse
a medida que el He se va acumulando en el centro de la estrella.
Etapa de Gigante o Supergigante Roja: Cuando la estrella ha consumido el 10 % de
su masa de H, se produce una crisis provocada por la acumulación de núcleos de He en el
núcleo. La combustión del H continúa en un área brillante que rodea al núcleo. La estrella
crece en tamaño y aumenta su brillo, pero la temperatura de las capas externas cada vez
más alejadas del núcleo disminuye. La estrella se enfrı́a, enrojece y envejece. Esta fase recibe
el nombre de gigante o supergigante roja, según el tamaño de la misma. Cuando la estrella
ha consumido aproximadamente el 40 % de su masa de H se produce una nueva crisis.
El núcleo estelar compuesto de He se contrae por efecto de la gravedad produciendo un
aumento de la temperatura en esa región; en esta circunstancia el He comienza a fusionarse,
produciendo carbono y oxigeno mediante el proceso llamado “triple alfa”. A medida que la
temperatura nuclear crece se producen distintos elementos quı́micos. Las estrellas de baja
masa producen elementos pesados hasta formar un núcleo de Carbono. Las de alta masa
continúan produciendo elementos más pesados hasta formar un núcleo de Fe. Las etapas
finales de las estrellas van a depender de la masa de estos núcleos.
Etapas finales: Hacen falta valores grandes de densidades para llegar a los llamados “estados de degeneración” de la materia. Para la degeneración de electrones se requerirá de una
densidad aproximada de 106 g/cm3 (1000 kg/cm3 ) mientras que para la de los neutrones
hará falta mucha más aún, aproximadamente 1014 g/cm3 100.000 Toneladas/cm3 . Estos
valores, que parecen increı́bles, se alcanzan en los núcleos de las estrellas. El lı́mite de Chandrasekhar establece el valor de la masa más allá de la cual la presión del gas electrónico
degenerado no es capaz de contrarrestar la fuerza de gravedad, que ocurre principalmente
a zona central de la estrellas en evolución. Dicha masa lı́mite es aproximadamente 1,4 veces
la masa del Sol (M = 1, 4MSol ).
Si la estrella llega a la fase en la que se agota su energı́a nuclear con una masa mayor que
1, 4MSol , la presión del gas de electrones no podrá sostener el colapso. Éste generará una
onda de choque y las capas exteriores se expanden. También se eyectan elementos pesados
al medio interestelar. El fenómeno conjunto de la explosión y la eyección de material estelar
se denomina supernova.
102
CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA
Si luego de la fase de gigante roja el objeto central tenı́a una masa M tal que 1, 4MSol <
M < 4, 3MSol finalizará como una estrella de neutrones. En cambio, si su masa M >
4,3MSol lo hará como Agujero Negro. En cambio, si luego de la etapa gigante roja el núcleo
de la estrella se encuentra dentro del lı́mite de Chandrasekhar, el objeto final resultante
será una enana blanca. Éste será la etapa final de nuestro Sol.
Figura 10.4: Etapas de la evolución estelar.
10.7.
Ejercicios
1. Mercurio tiene una velocidad de 60 km/s cuando pasa por el perihelio a 46 millones de
kilómetros del Sol. Debemos calcular:
i. Velocidad en el afelio, a 70 millones de kilómetros del Sol.
ii. Semieje mayor de su órbita.
2. El semieje mayor de la órbita de Marte es de 225 millones de km y su periodo es de 1,9
años. Sabiendo que la órbita de Júpiter es casi circular, ¿cuánto valdrá su radio si el periodo
es de 11,9 años?
3. Un satélite geoestacionario (siempre sobre el mismo punto del planeta) está a 36000 km
sobre la superficie de la Tierra. ¿Qué periodo tiene otro situado a 3600 km de altura? Radio
aproximado de la Tierra: 6400 km.
4. Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150
millones de kilómetros de radio.
5. La Luna tiene aproximadamente 1/80 de la masa terrestre, mientras que el Sol es aproximadamente 330.000 veces más masivo que nuestro planeta. Por otro lado, la Luna está a
unos 380.000 km de la Tierra y el Sol a 150 millones de km Comparemos la fuerza que
estos dos astros ejercen sobre nuestro planeta.
10.7. EJERCICIOS
103
6. Sabiendo que el radio de la Tierra es de unos 6400 km y que la gravedad superficial es de
9,8 m/s2 , debemos calcular a qué altura sobre la superficie la gravedad será g= 8,2 m/s2
7. Io es un satélite de Júpiter que gira alrededor del planeta en órbitas casi circulares de
422.000 km de radio con un periodo de 42,5 horas. Determinar la masa de Júpiter.
8. En la pelı́cula Gravity, ganadora de siete Óscar en 2014, dos astronautas (Sandra Bullock
y George Clooney) reparan el telescopio espacial Hubble, que se mueve en una órbita a
593 km sobre el nivel del mar. Para evitar el impacto con los desechos de un satélite, los
astronautas se propulsan hacia la Estación Espacial Internacional, que órbita a una altura
de 415 km sobre el nivel del mar. Aunque en la realidad no es ası́, suponemos que las dos
órbitas están en el mismo plano, según muestra la ficción de la pelı́cula. Calcular:
a. El valor de la gravedad terrestre en el telescopio Hubble.
b. Los periodos orbitales (en minutos) del telescopio Hubble y de la Estación Espacial.
9. Un avión de pasajeros vuela a 8 km de altura a una velocidad de 900 km/h. La masa total
del avión, contando combustible, equipaje y pasajeros, es de 300000 kg. Calcular:
a. El valor de la gravedad terrestre en el avión.
b. La fuerza gravitatoria que ejerce el avión sobre la Tierra
10. El radio del Sol es de 696000 km y su masa vale 1, 99 × 1030 kg.
Calcular:
a. El valor de la gravedad en la superficie solar.
b. Si el radio de la órbita de Neptuno alrededor del Sol es 30 veces mayor que el de la
órbita terrestre, ¿cuál es el perı́odo orbital de Neptuno, en años?
11. El Sol gira alrededor del centro de la galaxia, situado a 30.000 años-luz en unos 200 millones
de años. Los cientı́ficos han demostrado que ese movimiento depende tan solo de la masa de
la galaxia más cercana al centro que el propio Sol. Intentemos calcular esa masa galáctica.
12. Un satélite de comunicaciones está en órbita circular geoestacionaria. Debemos calcular su
altura sobre la superficie terrestre, recordando que el radio de la Tierra es unos 6400 km y
la masa del planeta es aproximadamente 6 × 1024 kg
13. La velocidad de escape de la Tierra es 11,3 km/s ¿Cuál será la velocidad de escape del
planeta Júpiter , cuya masa es unas 300 veces la terrestre y un radio 11 veces mayor que
el de la Tierra?
14. Un agujero negro es un cuerpo tan denso que la velocidad de escape es mayor que la de
la luz (300.000 km/s). Para estudiarlos es precisa la teorı́a de la Relatividad; no obstante,
calculemos que diámetro tendrı́a desde el punto de vista clásico un agujero negro con la
masa de la Tierra (6 × 1024 kg).
15. La estrella α-Orionis (Betelgeuse) tiene una magnitud aparente de m = 0,45 y una magnitud
absoluta M = -5,14. Encuentra la distancia a Betelgeuse.
16. α-Lyrae (Vega), con una magnitud absoluta de 0,58, está a una distancia de 7,76 parsec.
Calcula la magnitud aparente de Vega.
104
CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA
17. α-Cygni (Deneb) es la estrella superior izquierda del Triángulo del Verano y es la estrella
más brillante de la constelación del Cisne. Su magnitud aparente es 1,25 y la distancia es
de 993 parsec. Calcula la magnitud absoluta.
18. La estrella α-Canis Majoris (Sirio) es la estrella más brillante del cielo. Está a una distancia
de 2,64 parsecs y su magnitud aparente es -1,44. Calcula la magnitud absoluta de Sirio.
19. La estrella A tiene una magnitud absoluta +5 y la estrella B una magnitud absoluta +10.
¿Cuál afirmación es correcta?
a. A es más luminosa que B.
b. B es más luminosa que A.
c. A está más cercana que B.
d. B está más cercana que A.
20. Para dos estrellas A y B se tiene: mA =5, MA =4, mB =10, MA =11. ¿Cuál afirmación es
correcta?
a. A está más cercana que B.
b. B está más cercana que A.
c. A y B se encuentra a igual distancia de la Tierra.
d. No pueden determinarse las distancias a partir de la información proporcionada.
21. Dos estrellas tienen la misma magnitud absoluta. Una está 20 veces más lejos que la otra.
¿Cuál es la diferencia entre las magnitudes aparentes?
22. Una estrella está a 20 pc del Sol y tiene una magnitud aparente +2. ¿Cuál es su magnitud
absoluta?
23. Una estrella tiene una magnitud aparente +9 y una magnitud absoluta +4. ¿A qué distancia
se encuentra?
24. Una estrella cuya magnitud aparente es 12 está ubicada a una distancia de 50 años-luz.
¿Cuál es su magnitud absoluta?
25. Plutón tiene una masa de 1, 29 × 1022 kg, un radio de 1151 km y el radio medio de su órbita
alrededor del Sol es de 5, 9 × 109 km.
a. Calcule g en la superficie de Plutón.
b. Su satélite Caronte tiene una masa de 1, 52 × 1021 kg y está a 19640 kilómetros de él.
Obtenga la fuerza de atracción gravitatoria entre Plutón y Caronte.
c. Calcule cuántos años tarda Plutón en completar una vuelta alrededor del Sol.
26. El planeta Júpiter posee un radio 11 veces mayor que el de la Tierra y una masa 318 veces
mayor que la de ésta. Calcular:
a. El peso en Júpiter de un astronauta que en la Tierra pesa 800 N.
b. La masa del astronauta en Júpiter
c. La relación entre las velocidades de escape desde la superficie de Júpiter y desde la de
la Tierra
Capı́tulo 11
Matemática Avanzada
11.1.
Lı́mite
11.1.1.
Punto de Acumulación
Definición 25 (Punto de Acumulación) El concepto de punto de acumulación de un conjunto en un espacio captura la noción informal de punto que está arbitrariamente próximo al
conjunto sin pertenecer necesariamente a él.
Ejemplo 32 El intervalo (0,1) tiene como puntos de acumulación a todos los puntos del intervalo [0,1].
Ejemplo 33 Los números naturales no tienen puntos de acumulación.
11.1.2.
Lı́mite
Definición 26 (Lı́mite) Una función f tiene un lı́mite L en el punto c, significa que el valor
de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c,
independientemente de lo que ocurra en c.
La representación numérica del concepto de lı́mite se manifiesta en el cálculo de tablas de
valores de la función dada tomando valores tan próximos al punto cómo se quiera y estudiando
la tendencia de las imágenes correspondientes.
Ejemplo 34 A continuación se presenta un ejemplo para el cálculo del lı́mite de la función
f (x) = x2 + 1 cuando x → 1 y cuando x → 0.
105
106
CAPÍTULO 11. MATEMÁTICA AVANZADA
f (x) = x2 + 1
5
3.25
2.0201
2.002001
2
1.99980001
1.998001
1.25
1.01
1.000001
1
x
2
1.5
1.01
1.001
1
0.9999
0.999
0.5
0.1
0.001
0
Ejemplo 35 La población de un estado viene dada, en millones de habitantes, por la función:
P (t) =
20(t − 1)
+ 40
4 + (t − 1)2
(11.1)
donde t es el tiempo en años. Calcular la población cuando el lı́mite de t tiende a infinito.
Ejemplo 36 Luis y Marı́a tienen una piscina en su jardı́n y al llegar el verano necesitan cambiar
el agua de la piscina. Abren el desagu?e y la piscina se comienza a vaciar según la función:
√
v(t) =
t+3−2
t−1
(11.2)
donde t es el tiempo de vaciado en horas y v(t) es el volumen de agua expresado en m3 . Averigua
hacia donde se aproxima el volumen de la piscina cuando el tiempo se aproxima a 1 hora.
11.2.
Derivada
Vamos a estudiar los desplazamiento que realiza un móvil en determinados intervalos de
tiempo. Un móvil es un objeto que se mueve, y que puede ser un auto, una bicicleta, un barco o
cualquier otra cosa.
Para realizar el estudio del movimiento necesitamos establecer una referencia, un punto fijo
del cual podamos medir distancias y tiempos (observador). Empecemos a hacer mediciones y
observamos que al cabo de 2 segundos el móvil ha recorrido 4 metros. Luego, observamos que al
cabo de 10 segundos el móvil se desplazó 20 metros. Podrı́amos representar el resultado diciendo
que en el intervalo de tiempo t2 − t1 = 10 − 2 segundos, se ha recorrido la siguiente distancia
x2 − x1 = 20 − 4 en metros.
Estas letras se simbolizan mediante la letra griega ∆ de la siguiente manera:
11.2. DERIVADA
107
∆x
= x2 − x1
(11.3)
∆t
= t2 − t1
(11.4)
Estas diferencias suelen llamarse incrementos.
Si seguimos haciendo mediciones y observaciones que siempre el recorrido es el doble al tiempo
empleado en el mismo, podremos concluir que:
∆x = 2 · ∆t
(11.5)
O que es lo mismo:
∆x
=2
(11.6)
∆t
Este cociente entre estos incrementos es lo que se denomina velocidad del móvil, que en este
caso es 2 m/s. En particular, dado que ante cualquier intervalo de tiempo la velocidad es la
misma, estamos en presencia de un movimiento del tipo MRU.
Cuando estamos midiendo la velocidad en un dado intervalo de tiempo, en realidad lo que
estamos calculando es la velocidad media de ese intervalo de tiempo. La velocidad en un punto es lo que se denomina velocidad instantánea. Ocurre que si la velocidad es constante, la
velocidad media coincide con la velocidad instantánea. Es fácil ver que la velocidad es diferente
según el ángulo que dicha recta forme con el eje horizontal en el gráfico espacio-tiempo. Más aún,
cuanto mayor es el ángulo, mayor es la velocidad.
El asunto empieza a complicarse cuando la relación entre el incremento del espacio y el incremento del tiempo nos es constante. Es decir, cuando el gráfico espacio-tiempo no es una función
lineal, tal como sucede en en la figura 11.1.
Figura 11.1: Función cuadrática que representa el movimiento de un móvil en el espacio-tiempo
108
CAPÍTULO 11. MATEMÁTICA AVANZADA
En este caso la velocidad media del móvil varı́a según el intervalo de tiempo que se esté analizando. Lo que todavı́a no podemos calcular es la velocidad instantánea del móvil para un dado
tiempo, por ejemplo para t = 1, 5 segundos. Aunque podrı́amos considerar un intervalo muy
pequeño en torno a t = 1, 5 y obtener ası́ un valor aproximado de dicha velocidad. Cuanto menor
sea el intervalo mejor será la aproximación.
Lo que decimos es que el cociente de los incrementos ∆x/∆t se aproxima mejor a lo que
decimos velocidad instantánea cuando es más pequeño es el incremento ∆t, como consecuencia,
la velocidad instantánea se definirá como:
v = lı́m
∆t→0
∆x
∆t
(11.7)
Definición 27 (Derivada) La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que
cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el lı́mite de la rapidez
de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la
variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada
de una cierta función en un punto dado.
Vamos ahora a abandonar los móviles y a plantear el asunto en término geométricos. Dando
valores a x se obtienen los correspondientes valores de y, como puede observarse en la figura 11.1.
Figura 11.2: Representación gráfica de la función y = −x2 + 4x
Por otro lado, recordemos que la ecuación de una recta tiene la forma y = mx + b. Vamos a
calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (1, 3) y Q(2, 4). Sustituyendo dichos
puntos en la ecuación de la recta nos queda:
3
=
m+b
(11.8)
4
=
2m + b
(11.9)
11.2. DERIVADA
109
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos permitirá obtener los valores de m y b.
Despejando m de la primera ecuación tenemos que m = 3 − b, y sustituyéndola en la segunda,
4 = 2(3 − b) + b = 6 − 2b + b = 6 − b; con lo que b = 6 − 4 = 2. Sustituyendo este valor de b en
la primera nos da 3 = m + b, con lo que m = 1.
En definitiva, la ecuación de la recta es y = x + 2 (ver figura 11.2).
Recordemos que en la ecuación y = mx + b, m es lo que se llama la pendiente de la recta
y representa el ángulo que ésta forma con el eje de abscisas, o más exactamente, la tangente
trigonométrica de dicho ángulo, al que podemos llamar α. De manera que m = tan α.
En la recta cuya ecuación acabamos de calcular, se tiene que la pendiente vale 1 (m = 1), es
decir, que tan α = 1, por lo que α = 45o .
11.2.1.
Ecuación de la tangente
El problema que nos planteamos ahora, y que trajo de cabeza a decenas de matemáticos ilustres durante siglos, es cómo hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en uno cualquiera
de sus puntos.
Volvamos a la curva y = −x2 + 4x que hemos estado utilizando hasta ahora, y tratemos
de encontrar la ecuación de la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = 1. Hemos
visto que encontrar la recta que pasa por los puntos P (1, 3) y Q(2, 4) no representaba ningún
problema. Hagamos ahora retroceder el punto x = 2 hacia la izquierda, de manera que el punto
Q que está sobre la curva se vaya aproximando a P (ver figura 11.3).
Figura 11.3: Representación gráfica de la función y = −x2 + 4x para distintas rectas tangentes.
Observamos cómo la pendiente de las sucesivas rectas que obtenemos va aumentando. ¿Qué sucederá en el momento en que el punto Q alcance la posición del punto P ? Pues que la recta que
110
CAPÍTULO 11. MATEMÁTICA AVANZADA
se estaba moviendo y que cortaba a la curva en dos puntos la cortará en uno solo, es decir, que
se habrá convertido en la recta tangente.
Lo que debemos hacer ahora es ver cómo evolucionan las pendientes de las rectas hasta convertirse en la pendiente de la recta tangente, y lo vamos a hacer en el caso más general para un
punto P (x, y) cualquiera de la curva.
Figura 11.4: Representación gráfica de la función y = −x2 + 4x. Tangente trigonométrica.
Vemos que los ángulos α (pendiente de la recta) y α’ son iguales. Recordemos que la pendiente
es la tangente trigonométrica de dicho ángulo.
Reparemos un momento en una cuestión que se puede prestar a confusión, que es la del empleo del término tangente en dos acepciones diferentes: una es la tangente a la curva, en la que
hablamos de una recta y es una acepción puramente geométrica; la otra es la tangente de un
ángulo, cuando nos referimos a la pendiente, y ésta es una acepción trigonométrica.
Volvamos a la figura y calculemos el valor de la tangente trigonométrica (ver figura 11.4). Es
decir:
tan α = tan α0 =
QO
(y + ∆y) − y
∆y
=
=
PO
(x + ∆x) − x
∆x
(11.10)
De forma que las pendientes de todas las rectas que cortan a la curva en los puntos P y Q
pueden venir dadas por el cociente incremental. Pero, ¿qué significa que el punto Q retrocede
hacia el P ?, pues que ∆x va haciéndose cada vez más pequeño, luego el valor de la pendiente
que buscamos estará en el lı́mite en que dicho valor sea 0:
f 0 (x) = m = lı́m
∆→0
∆y
∆x
(11.11)
11.2. DERIVADA
111
que es precisamente la definición de derivada de una función en un punto y que se representa
colocando un apóstrofo en la letra f que utilizamos para representar la función.
11.2.2.
Máximos y Mı́nimos
Cuando la pendiente m de una recta es positiva, el ángulo que ésta forma con el eje horizontal
está comprendido entre 0o y 90o , cuando es negativa, entre 90o y 180o (ver figura 11.5).
Figura 11.5: Máximos y mı́nimos. Rectas tangentes.
Hemos visto la relación que guardaba dicha pendiente con la derivada a una curva en uno de
sus puntos. Por lo tanto, cuando la derivada de una función en un punto sea positiva significa
que las rectas tangentes se inclinan hacia la derecha, que es tanto como afirmar que la curva
“sube”, es decir, que es creciente. Recı́procamente, en aquellos intervalos en los que la derivada
sea negativa, la curva será descendiente.
Figura 11.6: Máximos y mı́nimos. Recta tangente en el punto O.
En un punto tal como O, la derivada es cero, por lo que el ángulo que forma la tangente a la
curva en ese punto con la horizontal también vale 0. Ésta es una condición necesaria (no siempre
suficiente) para que en dicho punto exista un máximo local (ver figura 11.6).
Evidentemente, todo lo dicho es válido para la presencia de un mı́nimo local.
112
CAPÍTULO 11. MATEMÁTICA AVANZADA
11.2.3.
Derivada de un polinomio y una constante
Vamos a ver dos casos especiales de derivadas, el de una función polinómica o exponencial y
el de una constante.
La derivada de una potencia o función potencial (polinomio), es igual al exponente por la
base elevada al exponente menos uno, es decir:
f (x)
0
f (x)
= axn
= n · ax
(11.12)
n−1
(11.13)
En en el caso de una función constante, la derivada siempre toma el valor cero, es decir:
11.2.4.
f (x)
= K
(11.14)
f 0 (x)
=
(11.15)
0
Regla de la Derivada de una Suma y Resta de funciones
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas
funciones. Es decir:
f 0 (x) = g 0 (x) ± h0 (x)
(11.16)
Ejemplo 37 Calcular la derivada de la siguiente función:
f (x) = 3x2 − 5x + 2
(11.17)
Aplicando la regla de derivación de un polinomio y la regla de suma de funciones, tenemos
que la derivada es:
f 0 (x)
0
f (x)
=
2 · 3x2−1 − 1 · 5x1−1 + 0
(11.18)
=
6x − 5
(11.19)
11.2.5.
Aplicación a la cinemática
Recordemos algunas definiciones:
Definición 28 (Velocidad Instantánea) Se define como velocidad instantánea a la derivada
de la función del espacio del objeto o móvil. Por lo tanto,
v = x0 (t)
(11.20)
Definición 29 (Aceleración Instantánea) Se define como aceleración instantánea a la derivada de la función de la velocidad del objeto o móvil. Por lo tanto,
a = v 0 (t)
(11.21)
11.2. DERIVADA
113
Definición 30 (Velocidad Media)
v=
∆x
∆t
(11.22)
a=
∆v
∆t
(11.23)
Definición 31 (Aceleración Media)
Ejemplo 38 Un móvil sigue una trayectoria en el espacio según la siguiente ecuación:
x(t) = 5t3 − 2t2 + 7t + 15
(11.24)
donde x representa el espacio medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Calcular:
a. La velocidad y aceleración instantánea a los 7 y 10 segundos
b. La velocidad y aceleración media en ese intervalo de tiempo
c. Velocidad máxima / mı́nima
Para calcular la velocidad instantánea vamos a sacar la derivada de la función del espacio,
v(t)
= x0 (t) = 3 · 5t3−1 − 2 · 2t2−1 + 1 · 7t1−1 + 0
v(t)
=
15t2 − 4t + 7
(11.25)
(11.26)
Luego evaluamos la velocidad instantánea en t igual a 7 y 10 segundos:
v(t)
v(t)
=
=
15 · 72 − 4 · 7 + 7 = 714m/s
2
15 · 10 − 4 · 10 + 7 = 1467m/s
(11.27)
(11.28)
Para la aceleración instantánea tenemos que derivar la función de la velocidad v(t) = 15t2 −
4t + 7, es decir:
a(t)
=
v 0 (t) = 2 · 15t2−1 − 1 · 4t1−1 + 0
(11.29)
a(t)
=
30t − 4
(11.30)
Ahora, evaluando la función de la aceleración en 7 y 10 segundos tenemos:
a(t)
a(t)
=
=
30 · 7 − 4 = 206m/s2
(11.31)
2
30 · 10 − 4 = 296m/s
(11.32)
Para calcular la velocidad media se debe aplicar la definición anterior, es decir:
v=
∆x
x2 − x1
=
∆t
t2 − t1
(11.33)
114
CAPÍTULO 11. MATEMÁTICA AVANZADA
donde x2 y x1 son los espacios recorridos en 10 y 7 segundos respectivamente. Es decir:
x(t = 10s)
=
5 · 103 − 2 · 102 + 7 · 10 + 15 = 4885m
(11.34)
x(t = 7s)
=
5 · 73 − 2 · 72 + 7 · 7 + 15 = 1681m
(11.35)
Por lo tanto, la velocidad media es igual a:
v=
x2 − x1
4885m − 1681m
∆x
=
=
= 1068m/s
∆t
t2 − t1
10s − 7s
(11.36)
De forma similar, la aceleración media nos queda:
a=
∆v
v2 − v1
1467m/s − 714m/s
=
=
= 251m/s2
∆t
t2 − t1
10s − 7s
(11.37)
Por último, para calcular la velocidad máxima o mı́nima, debemos calcular las raı́ces de la
derivada de la velocidad, es decir:
v 0 (t)
=
t =
30t − 4 = 0
4
= 0, 133s
30
(11.38)
(11.39)
Esta raı́z nos dice en que momento se produce la máxima o mı́nima velocidad. Ahora bien,
reemplazando ese valor en la función de la velocidad instantánea, podemos calcular el valor de la
velocidad máxima/mı́nima:
v(t)
v(t)
=
=
15t2 − 4t + 7
(11.40)
2
15 · 0, 133 − 4 · 0, 133 + 7 = 6, 73m/s
(11.41)
Para determinar si es un máximo o un mı́nimo hay que calcular la derivada de la derivada
(derivada segunda), evaluar la función en el punto calculado anteriormente, y si es positivo el
resultado es un mı́nimo; y si es negativo un máximo. Calculemos la derivada segunda:
v 0 (t)
=
30t − 4 = 0
(11.42)
v 00 (t)
=
30 > 0
(11.43)
Como la derivada segunda es siempre mayor que cero, entonces el resultado de la velocidad
igual a 6, 73m/s es la velocidad mı́nima que tiene el móvil durante toda la trayectoria que recorre.
11.3.
Ejercicios
1. Una empresa tiene capacidad de producir como máximo 15.000 unidades al mes de cierto
producto. El costo total de producción Ct en miles de dólares por mes responde a la
expresión
11.3. EJERCICIOS
115
Ct (q) =
1 3 15 2
q − q + 36q + 81
3
2
(11.44)
donde q es el número de unidades producidas en miles de unidades por mes. Determina la
producción mensual de la empresa que minimiza el costo total de producción y calcula ese
costo.
2. El costo total C de construcción de un edificio de n pisos está expresado por:
C(n) = 2n2 + 300n + 320
(11.45)
Calcula el número de pisos a construir para que el costo total sea mı́nimo (el resultado
deberá ser un número entero).
3. El Ministerio de Transporte con el fin de determinar la variación de la velocidad del flujo
de vehı́culos que provenientes del Este regresan a Montevideo los dı́as domingos entre las
17:00 horas y las 22:00 horas, ha efectuado mediciones que indican que la velocidad del
tránsito a la entrada de la capital en ese lapso esta dada aproximadamente por la expresión:
V (t) =
5
1180
80 t3
( − t2 + 4t) +
9 3
2
27
km/h
(11.46)
¿En qué momento entre las 17:00 horas y las 22:00 horas el tránsito es más rápido y en
qué momento es más lento?
4. La velocidad (en m/s) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dado
en función del tiempo, t, y se representa por la siguiente ecuación:
v(t) = −0, 00055t · (t − 300)
(11.47)
Calcular: ¿Cuál es ésta velocidad? ¿en qué tiempo la alcanza?
5. Calcular los siguientes lı́mites:
i.
2x2 + 5x − 3
x→∞
3x2
(11.48)
3x3 − 2x
x→0 4x2 − x
(11.49)
x3 + 5x − 3
x→∞
x4
(11.50)
7x2 − 2x + 15
x→∞
3x2 − x
(11.51)
lı́m
ii.
lı́m
iii.
lı́m
iv.
lı́m
116
CAPÍTULO 11. MATEMÁTICA AVANZADA
6. La siguiente función de espacio representa el recorrido en función del tiempo que realiza
un ciclista:
x(t) = 0, 12 · t4 − t3 + 2 · t2 + 5 · t + 0,1
(11.52)
donde x(t) es el espacio recorrido en el tiempo t medido en km, y t es el tiempo medido en
horas.
Calcular:
i. El espacio recorrido a las 3 y 12 horas
ii. La velocidad y aceleración instantánea a las 3 y 12 horas
7. Un persona quiere emprender una aventura en auto. Para ello recorre Argentina de Norte
a Sur, cuya función de espacio es la siguiente:
x(t) = −3 × 10−6 t5 + 0,00105833t4 − 0,12985t3 + 6,0105t2
(11.53)
donde x(t) es el espacio recorrido en el tiempo t medido en km, y t es el tiempo medido en
horas.
Calcular:
i. El espacio recorrido a las 24 y 60 horas
ii. La velocidad y aceleración instantánea a las 24 y 60 horas
iii. La velocidad y aceleración media entre las 24 y 60 horas
Bibliografı́a
[1] Fı́sica I, Resnick and Halliday Vol 1
[2] Aportes para la Enseñanza de la Astronomı́a en el Secundario, Observatorio Astronómico de
Córdoba Universidad Nacional de Córdoba
[3] La Astronomı́a y su Enseñanza en la Educación Secundaria, Observatorio Astronómico de
Córdoba Universidad Nacional de Córdoba
[4] Asimov http://www.asimov.com.ar
117