Series de Tiempo no Estacionarias

Econometrı́a de series de tiempo aplicada a
macroeconomı́a y finanzas
Series de Tiempo no Estacionarias
Carlos Capistrán Carmona
ITAM
Tendencias
Una tendencia es un movimiento persistente de largo plazo de
una variable a través del tiempo.
Una serie de tiempo fluctua alrededor de su tendencia.
Existen dos clases de tendencias:
I
I
Una tendencia determinı́stica es una función no aleatoria del
tiempo. Por ejemplo, puede ser lineal en el tiempo. Si la inflación se
incrementara 0.1 de punto porcentual cada trimestre, podrı́amos
escribir esta tendencia como 0.1t, t medido en trimestres.
Una tendecia estocástica es aleatoria y cambia con el tiempo. Por
ejemplo, una tendencia estocástica en la inflación podrı́a presentar
incrementos por un periodo largo de tiempo, seguido por un
periodo largo de reducciones.
Hay que tener cuidado al definir la tendecia. Si medimos la
temperatura entre las 6:00 am y las 12:00 pm, podemos pensar que
el proceso que genera la temperatura durante el dı́a tiene una
tendencia creciente.
Caminata aleatoria o “Random Walk”
El modelo más simple de una variable con una tendencia
estocástica es una caminata aleatoria.
Una serie de tiempo yt sigue una caminata aleatoria si el cambio
en yt es i.i.d., esto es, si:
yt = yt − 1 + ε t
ε t es i.i.d.
En general, es común referirse a una serie como caminanta
aleatoria si sigue un modelo como el anterior pero con
E [ε t | yt−1 , yt−2 , ...] = 0
La idea básica atrás de una caminata aleatoria es que el valor de
una serie mañana es el valor de hoy más un cambio impredecible
(la trayectoria de yt sigue “pasos” aleatorios).
E [yt | yt−1 , yt−2 , ...] = yt−1 . Si yt sigue una caminata aleatoria, el
mejor pronóstico del valor de mañana es el valor de hoy.
Si la serie tiene una tendecia a moverse, esta se conoce como
caminata aleatoria con tendencia (o “Random walk with drift”):
yt = α 0 + yt − 1 + ε t
Una caminata aleatoria no es estacionaria
Si yt sigue una caminata aleatoria, entonces no es estacionaria.
La varianza de una caminata aleatoria aumenta con el tiempo, por
lo que la distribución de yt cambia con el tiempo:
yt = yt−1 + ε t ,
var (yt ) = var (yt−1 ) + var (ε t ) ,
var (yt ) 6= var (yt−1 )
Otra forma de verlo es pensando que yt empieza en cero, es decir,
y0 = 0. Entonces, y1 = ε 1 , y2 = ε 1 + ε 2 , de tal forma que
yt = ε 1 + ε 2 + ... + ε t . Y por lo tanto,
var (yt ) = var (ε 1 + ε 2 + ... + ε t ) = tσε2 .
A pesar de que las autocorrelaciones poblacionales de una
caminata aleatoria no están definidas, las autocorrelaciones
muestrales tienden a ser cercanas a 1.
Tendencias estocásticas, modelos autorregresivos y
raı́ces unitarias
La caminata aleatoria es un caso especial de un AR(1) con α1 = 1.
Es decir, si α1 = 1, entonces yt tiene una tendencia estocástica y no
es estacionaria. En cambio, si |α1 | < 1, entonces yt es estacionaria.
Para el caso de un AR(p), la condición que se debe cumplir para
que sea estacionario es que las soluciones a la ecuación
1 − α1 z − α2 z2 − ... − αp zp = 0 tienen que ser mayores a 1 en valor
absoluto (i.e., las raı́ces del polinomio tienen que estar fuera del
cı́rculo unitario).
En el caso de un AR(1), la raı́z es z = α11 , por lo que la raı́z es
mayor a uno en valor absoluto si |α1 | < 1.
Si el AR(p) tiene una raı́z que es igual a 1, entonces la serie tiene
una raı́z unitaria y tiene una tendencia estocástica.
Problemas ocasionados por tendencias estocásticas
Si el regresor tiene una raı́z unitaria, el estimador de MCO de su
coeficiente y su estadı́stico t de MCO, pueden tener distribuciones
distintas a la normal, incluso en muestras grandes. Esto genera
por lo menos tres problemas especı́ficos:
1
2
3
El estimador del coeficiente del autorregresivo en un AR(1)
está sesgado hacia 0 si su verdadero valor es 1.
Los estadı́sticos t de los regresores con tendencias estocásticas
pueden tener una distribución diferente a la normal, incluso en
muestras grandes.
Dos series que son independientes podrı́an, con alta probabilidad,
parecer estar relacionadas si ambas tienen tendencias estocásticas
(regresión espuria).
Pruebas de raı́z unitaria en procesos autorregresivos
De manera informal, podemos detectar tendencias en series de
tiempo utilizando la gráfica de la serie contra el tiempo y el
correlograma. En particular, si la serie tiene una tendencia
estocástica, la primera autocorrelación es cercana a 1, por lo tanto,
una primera autocorrelación pequeña y una gráfica contra el
tiempo que no muestra una tendencia sugieren que la serie no
tiene una tendecia.
Un procedimiento más formal consiste en llevar a cabo una
prueba de raı́z unitaria. Una prueba muy usada, y una de las más
confiables, es la prueba de Dickey-Fuller (1979).
Pruebas de raı́z unitaria en procesos autorregresivos
La prueba de Dickey-Fuller para el AR(1)
Sea Xt un proceso AR(1):
Xt = ρXt−1 + ε t
Xt − Xt−1 = ρXt−1 − Xt−1 + ε t
∆Xt = (ρ − 1)Xt−1 + ε t
∆Xt = aXt−1 + ε t .
Si ρ = 1,entonces Xt sigue una caminata aleatoria (es no
estacionaria), por lo tanto:
H0 : a = 0 (i.e. raı́z unitaria)
Ha : a < 0 (i.e. serie estacionaria).
donde la hipótesis alternativa corresponde a estacionariedad.
Pruebas de raı́z unitaria en procesos autorregresivos
La prueba de Dickey-Fuller para el AR(1)
Existen tres formas de realizar la prueba:
∆Xt = aXt−1 + ε t
∆Xt = m + aXt−1 + ε t , (i.e., con constante)
∆Xt = m + αt + aXt−1 + ε t , (i.e., con constante y tendencia).
estas son distintas dependiendo de qué proceso estocástico se asuma
para la hipótesis alternativa.
La prueba esta basada en â o en tâ . Si el valor de tâ es muy grande,
entonces rechazamos la hipótesis nula de raiz unitaria. El
estadistico asociado a â, tâ , es conocido como “Estadı́stico
Dickey-Fuller”, el cual posee una distribución diferente a una t, y
por lo tanto posee diferentes valores crı́ticos.
El valor crı́tico correspondiente a la prueba con un constante, y un
nivel de significancia de 5% es −2.86, mientras que el
correspondiente a una normal serı́a −1.64.
Pruebas de raı́z unitaria en procesos autorregresivos
La prueba de Dickey-Fuller Aumentada
La prueba se puede aumentar para aplicarla a procesos AR(p), la
regresion de la ADF es:
∆Xt = (m+)aXt−1 (+ β 0 t) + β 1 ∆Xt−1 + ... + β k ∆Xt−k + ε t
H0
:
a = 0 (i.e. raı́z unitaria)
H1
:
a < 0 (i.e. serie estacionaria).
Se realiza la prueba de esta manera, por que en la DF, ε t podrı́a no
ser ruido blanco, lo que afectarı́a la distribución de b
a.
Se utiliza algun criterio de información, como BIC o AIC, para
seleccionar los k rezagos.
La Prueba de Dickey-Fuller Aumentada usa las mismas tablas que
la Prueba de Dickey-Fuller.
Cambios estructurales
Son otro tipo de no-estacionaridad que surge cuando la función
de regresion poblacional cambia durante la muestra.
Pueden surgir por cambios discretos en los coeficientes de la
regresión o por una evolución gradual de estos.
Cambios estructurales
Problemas causados por cambios estructurales
Si existe un cambio estructural en la muestra y estimamos una
regresión utilizando MCO, los estimadores usando toda la
muestra estimarán una regresión promedio (van a combinar los
dos periodos), lo que afectará negativamente la inferencia y los
pronósticos.
La magnitud del problema depende de donde ocurra el cambio
(en qué parte de la muestra).
Cambios estructurales
¿Cómo se modelan los cambios estructurales?
La manera más sencilla de modelar los cambios estructurales es
por medio de variables dicotómicas (i.e. variables dummy).
Supongamos un caso con la siguiente forma poblacional:
yt = α0 + ut en la cual exista un cambio estructural en el
parametro α0 en el tiempo τ. Definimos la variable dicotómica:
0, t = 0.....τ − 1
D=
1, t = τ.........T
Podemos entonces correr la regresión:
yt = α0 + γ0 D + ut
E [ yt
E [ yt
|
|
D = 0] = α0
D = 1] = α0 + γ0
Cambios estructurales
¿Cómo se modelan los cambios estructurales?
Si la forma poblacional fuera, yt = α0 + α1 xt + ut , y exisitiera un
cambio estructural en la misma fecha que afectara tanto al parámetro
α0 cómo al parámetro α1 ,la variable dicotómica se utiliza de la
siguiente manera:
yt = α0 + γ0 D + α1 xt + γ1 Dxt + ut
E [ yt
E [ yt
|
|
D = 0 ] = α 0 + α 1 xt
D = 1] = (α0 + γ0 ) + (α1 + γ1 ) xt
Cambios estructurales
Pruebas para detectar cambios estructurales
Si la fecha de cambio es conocida, se pueden utilizar variables
dummies para probar si existe el cambio estructural.
Por ejemplo, sea el modelo poblacional:
yt = α0 + α1 yt−1 + α2 xt + ut
ut ∼ iid(0, σ2 )
con fecha de cambio estructural conocida, τ.
Formamos la variable dicotómica:
0, t < τ
D=
1, t > τ
Incorporando la dummy a la forma poblacional anterior:
yt = α0 + γ0 Dt (τ ) + α1 yt−1 + γ1 Dt (τ )yt−1 + α2 xt + γ2 Dt (τ )xt + u
H0
:
γ0 = γ1 = γ2 = 0 → No existe cambio estructural en τ
H1
:
γi 6= 0 i = 1, 2, ó, 3 → Si existe cambio estructural en τ
Cambios estructurales
Pruebas para detectar cambios estructurales
A la prueba descrita anteriormente se le conoce como Prueba de
Chow.
Los supuestos para poder realizar la prueba de Chow son:
I
I
La fecha de cambio es conocida de manera exógena.
La varianza de los errores no cambia, en caso de existir cambios en
la varianza, no será posible detectar los cambios buscados.
Un punto importante de la prueba de Chow es que es flexible
como para poder buscar cambios estructurales en cualquier
subconjunto de los coeficientes de la regresion, es decir, se puede
probar la existencia de cambios estructurales únicamente en α0 ,
ó en α0 , α1 , ó en α0 , α1 , α2 , etc.
Cambios estructurales
Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida
En estos casos, suponemos que el cambio estructural ocurrió entre
una fecha τ0 y τ1 (τ0 podrı́a ser el inicio de la muestra y τ1 podrı́a
ser el final de la muestra).
Se calcula la prueba de Chow para cada una de las observaciones
entre τ0 y τ1 . Una vez que se tienen los n estadı́sticos F que se
derivan de las n pruebas de Chow, se realiza la prueba conocida
como QLR:
QLR = máx [F(τ0 ), F(τo + 1), ....., F(τ1 )]
Cambios estructurales
Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida
El estadı́stico QLR selecciona la F más grande. La fecha
correspondiente al estadı́stico F más grande, es la fecha de cambio
estimada.
Dado que el estadı́stico QLR es el máximo de muchos estadı́sticos
F, su distribución no es la de una F individual. Se necesita una
distribucion que depende del número de restricciones en las
pruebas conjuntas y de τ0 /T y τ1 /T. Las tablas con la distribución
del estadı́stico QLR se pueden encontrar en Andrews, D.W.K
(2003) Econométrica.
Cambios estructurales
Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida
Debido a que la distribución asintótica asume que τ0 y τ1 no están
en los extremos, lo que se hace para tener buenas estimaciones es
no utilizar el principio ni el final de la muestra.
Ası́ si se fija un triming de 15%, τ0 = 0.15T y τ1 = 0.75T, y por lo
tanto sólo se utilizarı́a el 70% de la muestra.
Bibliografı́a
Enders, Walter. 2010. Applied Econometric Time Series. 3a ed. New
Jersey:Wiley.
Hamilton, James D. 1994. Times Series Analysis. Princeton
University Press.
Hansen, B.E. 2001. The New Econometrics of Structural Change:
Dating Breaks in US Labor Productivity. The Journal of Economic
Perspectives, 15(4), 117-128.
Stock, James H. y Mark W. Watson. 2007. 2n edition. Introduction to
Econometrics. Pearson, Addison Wesley.