Serie 6

Algebra Moderna II, 2008-II
Michael Barot
Fecha de entrega: 09/05/2008
Serie 6
1jSea E/C una extensión de Galois. Sean H1 , H2 dos subgrupos de G(E, c)
y D1 , D2 los campos intermedios que les corresponde. ¿Cómo se relacionan D1 y D2 con H1 ∩ H2 ? Conversamente, ¿cómo se relacionan H1 y
H2 con D1 ∩ D2 ?
√
, 3 2). Calcula los campos intermedios de Q ⊂ E.
¿Cuáles campos son conjugados?, ¿cuáles son normales?
√
2jSea E = Q( −1−
2
−3
3jDemuestra el siguiente resultado:
Proposición. Para cada primo p y cada m ≥ 1 existe un polinomio irreducible f ∈ Fp [X] de grado m. Cada polinomio con estas caracterı́sticas
m
divide a Xp − X.
(a) Muestra que si f ∈ Fp [X] es irreducible de grado m entonces Fp [X]/(f )
es isomorfo a Fq con q = pm .
i
(b) Sea ρ ∈ Fq una raı́z de f . Demuestra que ρp también es raı́z de f .
i
(c) Demuestra que existe i tal que ρp = ρ y entonces Fp (ρ) ⊆ Fpi .
i
(d) Demuestra que el mı́nimo i tal que ρp = ρ es i = m y concluye de
m
ello que f divide a Xp − X.
(e) Explica por qué Fq contiene una (q − 1)-ésima raı́z primitiva σ.
(f ) Demuestra que hay un único homomorfismo de anillos ϕ : Fp [X] →
Fq con ϕ(X) = σ y que ϕ es suprayectivo.
(g) Sabemos que Fp [X] es un dominio de ideales principales y por lo
tanto el núcleo de ϕ es de la forma (f ) para algún polinomio f .
¿Por qué f es irreducible y de grado m?
http://www.matem.unam.mx/barot/cursos/2008-2.html