Mecánica del Continuo - U

Mecánica del Continuo
Tarea 1 — Entrega 21 de marzo de 2014
Profesor: Rodrigo Soto
Departamento de Fı́sica, Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas, Universidad de Chile
1. Coeficientes de difusión
Busque en la bibliografı́a los coeficientes de difusión de:
a) Un átomo (Na, Cl u otro) disuelto en agua
b) Un ion hidrógeno en un sólido metálico cristalino
A partir de los datos anteriores, estime el tiempo necesarios para que
a) se homogenice una solución de sal en un litro de agua,
b) en un metal en contacto con una atmósfera de hidrógeno, el hidrógeno llegue a los bordes de grano.
2. Bomba atómica
Una bomba atómica puede ser entendida en términos de la evolución de los neutrones. Los neutrones provocan la reacción
n +U → 3n + X
donde X es una descripción genérica de otros átomos. De este modo por cada neutrón que reacciona, aparecen dos neutrones nuevos. Las reacciones tienen una tasa de ocurrencia κ y su número es proporcional a la densidad de neutrones.
Los neutrones, además, se describen por un proceso de difusión. De esta manera, la concentración de neutrones satisface
la siguiente ecuación de reacción-difusión
∂n
= D∇2 n + 2κn
∂t
donde D es el coeficiente de difusión de neutrones en uranio.
Considere un volumen de uranio eférico de radio R que tiene una superficie libre, de manera que todos los neutrones
escapan cuando llegan a la superficie.
a) Muestre que R(r) = A sin(λ r)/r + B cos(λ r)/r satisface ∇2 R = −λ 2 R.
b) Resuelva por separación de variables la ecuación de reación-difusión incluyendo las condiciones de borde apropiadas.
c) Muestre que si el radio de la esfera supera un tama no crı́tico, se produce una reacción en cadena. Determine dicho
radio.
3. Transporte pasivo de una fuente puntual
Una fuente puntual de masa ubicada en ~r0 , se puede modelar incluyendo un término S = Γδ (~r − ~r0 ) en la ecuación de
difusión.
Considere un sistema infinito con una fuente puntual y un viento que sopla uniforme en la dirección x̂, con intensidad V0 .
Determine para tiempos muy grandes, la solución estacionaria de la densidad. Grafı́quela.