Medicion de perfil de flujo del RA4 por absorción

Obtención de un método para estimar el perfil de flujo neutrónico de
un reactor nuclear
Santiago Luna*
30 de mayo de 2012
Director: Ing. Aldo Marenzana.
Se agradece la colaboración de José Orso, técnico operador del RA-4.
Resumen
En el presente trabajo se expone el procedimiento mediante el cual se obtuvo un método para
estimar el perfil (o distribución) del flujo neutrónico producido en el núcleo de un reactor. Dicho
método se lo denominó Método de absorción, ya que consiste en introducir una muestra de material
absorbente en el canal central del reactor y llegar al estado crı́tico para distintas posiciones de la
muestra. El parámetro que mide el cambio en el flujo neutrónico a lo largo del canal central del
reactor, es la reactividad introducida por la muestra en cada posición, cuya medida está dada por
la altura de la barra de control con la que se llega a crı́tico. Las mediciones fueron realizadas en el
reactor nuclear RA-4.
1.
Introducción
Antes de explicar la obtención del método y su aplicación, es necesario exponer los conceptos
más importantes de la fı́sica de los reactores nucleres.
1.1.
Secciones eficaces microscópica y macroscópica
El concepto de secciones eficaces sirve para describir cuantitativamente la interacciones de los
neutrones con núcleos atómicos. Cuando se expone un material cualquiera a la acción de los neutrones, la velocidad con que se produce una reacción nuclear determinada, depende del número de
neutrones, de su velocidad y del número y naturaleza de los núcleos existentes en el material irradiado. La sección eficaz de un blanco, para una reacción neutrónica determinada, es una propiedad
del núcleo y de la energı́a del neutrón incidente.
Sea un haz uniforme y paralelo de I neutrones por cm2 que incide normalmente, durante cierto
tiempo, sobre una lámina fina de espesor δx cm, de un material que contiene N átomos — o
núcleos — por cm3 ; N δx será, entonces, el número de blancos por cm2 . Sea C el número de
procesos individuales, es decir, el númro de capturas neutrónicas que se producen por cm2 . Se
*
Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura. E-mail: santiagohluna@gmail.com
1
define la sección eficaz microscópica, σ, para una reacción determinada, como el número medio de
procesos individuales que tienen lugar por núcleo y por neutrón incidente, esto es,
σ=
C
cm2 /núcleo
(N δx)I
(1)
Como las secciones eficaces nucleares están comprendidas ordinariamente en el intervalo de 10−22
a 10−26 cm2 por núcleo, se acostumbra a expresarlas en unidades de 10−24 cm2 por núcleo, unidad
que se conoce como barn.
Dado que el material que constituye el blanco contiene N núcleos por cm3 , la cantidad N σ es
equivalente a la sección eficaz total por cm3 ; recibe el nombre de sección eficaz macroscópica del
material, para el proceso en cuestión. Representándola por el sı́mbolo Σ, se define, por consiguiente,
como
Σ = N σ cm−1 ,
(2)
y tiene unidades de longitud recı́proca.
Si el material bombardeado, de densidad % gramos por cm3 , está constituido por un elemento
de masa atómica A, entonces %/A es el número de átomos-gramo por cm3 . el número de núcleos
atómicos por cm3 se obtiene multiplicando por Na , el número de Avogadro, que es el número de
átomos – o núcleos – individuales por átomo-gramo; ası́,
N=
%
Na ,
A
Σ=
%Na
σ
A
luego la ecuación (2) se transforma en
1.2.
(3)
Velocidades de reacción neutrónicas
Considérese un haz de densidad neutrónica n, es decir, que contiene n neutrones por cm3 ; si
v es la velocidad de lo neutrones, el producto nv representa el número de neutrones que inciden
sobre 1 cm2 de blanco por segundo. Como σ cm2 es la superficie efectiva por núcleo individual,
para una reacción o reacciones determinadas, resulta que Σ es la superficie efectiva de todos los
núcleos por cm3 de blanco. Por consiguiente, el producto Σnv representa el número de interacciones
(entre neutrones y núcleos) por cm3 de material y por segundo. Como en cada interacción nuclear
interviene un neutrón, se puede escribir la Velocidad de interacción neutrónica, ϑ, como:
ϑ = Σnv neutrones/(cm3 s)
Éste es un resultado de gran importancia, puesto que expresa el número de neutrones por
segundo que intervienen en cualquier interacción — o interacciones — con un cm3 de materia, de
sección eficaz macroscópica Σ. Se escribe a veces en forma ligeramente distinta, introduciendo el
flujo neutrónico en lugar de la densidad neutrónica. Se define el flujo neutrónico como el producto
de la densidad neutrónica y la velocidad, es decir,
φ = nv,
que viene expresado en neutrones por cm2 y por segundo. Luego, se obtiene
ϑ = Σφ neutrones/(cm3 s)
2
(4)
1.3.
Balance neutrónico
En un reactor nuclear, por un lado se producen neutrones como consecuencia de reacciones de
fisión, mientras que, por otro lado, hay pérdida de neutrones por fuga —o escape— del sistema,
ası́ como por absorción en reacciones de fisión y otros procesos no seguidos de fisión. La forma
general de la ecuación de balance neutrónico es, por tanto,
∂n
= Producción − Escape − Absorción
∂t
(5)
siendo n la densidad neutrónica, es decir, neutrones por unidad de volumen, y ∂n/∂t su variación con
respecto al tiempo; los términos “producción”, “escape” y “absorción” se refieren, naturalmente, a
las velocidades de estos procesos por unidad de volumen del sistema. Cuando el sistema se encuentra
en estado estacionario, ∂n/∂t es igual a cero, por lo tanto la ecuación de balance neutrónico en
estado estacionario adopta la forma
Producción = Absorción + Escape
(6)
En un sistema crı́tico, la producción de neutrones por fisión equilibra exactamente las pérdidas
habidas por todos conceptos; la ecuación (6) es, por consiguiente, la forma más general de la
ecuación crı́tica de un reactor nuclear.
Conviene escribir la ecuación (5) de otra forma,
−Escape − Absorción + Producción =
∂n
,
∂t
(7)
Se puede demostrar que el primer término del lado derecho de esta ecuación es igual a D∇2 φ1 . El
segundo término se deduce de la ecuación (4) y vale, por consiguiente, Σa φ, siendo Σa la sección
esficaz macroscópica de absorción, para neutrones monoenergéticos —o térmicos—. Haciendo estas
sustituciones, la ecuación (7) se convierte en
D∇2 φ − Σa φ + S =
∂n
∂t
(8)
Designando por S, término correspondiente a la fuente, la producción de neutrones por cm3 y por
segundo. Esta expresión, fundamental en la teorı́a de reactores térmicos, se conoce generalmente
con el nombre de ecuación de difusión. Por la forma en que se ha deducido, resulta claro que sólo
se aplica estrictamente a neutrones monoenergéticos o térmicos.
En un medio multiplicador cualquiera, no necesariamente crı́tico, la distribución de flujo neutrónico puede representarse mediante la ecuación siguiente2 , con apropiadas condiciones en los
lı́mites,
∇2 φ + B 2 φ = 0.
(9)
siendo B 2 la denominada laplaciana del sistema, o buckling, que constituye una medida de la
curvatura de la distribución espacial del flujo neutrónico.
En virtud de la ecuación (9) se puede reemplazar ∇2 φ por −B 2 φ en la ecuación (8), con lo
cual se pueden agrupar los términos de escape y absorción en un sólo término que da la pérdida de
neutrones, que se va a designar por P , esto es,
P = Σa + D B 2 φ
(10)
Por otro lado, el término de producción de neutrones, en las condiciones supuestas, se puede
escribir como
S = νΣf φ
(11)
1
2
Véase [1], pág. 123.
Véase [1], págs. 171-173.
3
donde ν representa en número promedio de neutrones producidos por fisión, que para el caso del
235
U es cercano a 2,5; mientras que Σf es la sección eficaz de fisión. Luego, la ecuación (8) se escribe
como
∂n
=S−P
(12)
∂t
1.4.
Definición de parámetros cinéticos
A partir de la ecuación (12) se pueden definir parámetros que son de gran importancia. El
primero de ellos es la reactividad absoluta, ρ, que se define como:
ρ=
P
S−P
=1−
S
S
(13)
Esto es, si S < P , es decir si la velocidad de producción de neutrones es menor que la velocidad
con que éstos se pierden, lo que equivale a que ρ < 0, entonces se dice que el reactor está subcrı́tico.
Si S = P , es decir ρ = 0 (las velocidades de producción y pérdida son iguales), se dice que el
reactor está crı́tico. Por último, si S > P , es decir ρ > 0, se dice que el reactor está hipercrı́tico (la
velocidad de producción de neutrones es mayor que la de pérdida).
Los valores de reactividad suelen expresarse en dólares ($) como:
$=
ρ
β
(14)
donde β es la fracción efectiva de neutrones, que se define como el cociente entre el número de
neutrones retardados térmicos y el número total de neutrones térmicos, es decir instantáneos y
retardados. Esto es,
Nro. de neutrones retardados térmicos
β=
(15)
Nro. de neutrones (inst. + ret.) térmicos
Los neutrones instantáneos son los que se producen inmediatamente después de la fisión del
núcleo de uranio, en cambio, los neutrones retardados son los que se producen a partir del decaimiento de los productos de fisión, en cuyo caso se denominan precursores. Por ejemplo, es lo que
ocurre con el 87 Br (precursor), que es uno de los productos de la fisión, que por decaimiento β −
(emisión de un electrón) produce un núcleo de 87 Kr (emisor) en un estado exitado. Si la energı́a
de este estado exitado es mayor que la energı́a de ligadura del neutrón, éste emitirá un neutrón
(retardado) y el núcleo resultante de 86 Kr queda en un estado estable.
Los neutrones térmicos son aquellos que pasan por un proceso llamado moderación que consiste
en que parte de los neutrones producidos interactúen con los átomos de un medio, llamado moderador, para ası́ reducir la energı́a de dichos neutrones a la llamada energı́a térmica. La presencia de
los neutrones térmicos es fundamental para el control de los reactores nucleares3 .
Se define el tiempo medio entre reproducciones (Λ) como el tiempo promedio de vida de una
generación de neutrones. Como por cada generación nacen en promedio ν neutrones, entonces se
puede expresar Λ como el cociente entre el tiempo medio de fisiones, htf i, y ν, es decir:
Λ=
htf i
ν
(16)
Por último, se define el tiempo medio reducido entre reproducciones (Λ∗ ), como:
Λ∗ =
Λ
β
(17)
Cabe destacar que los valores de β y Λ son propios de cada reactor nuclear. En el caso del RA-4,
β = 0,0073 y Λ = 4,74 × 10−5 s.
3
Véase [2].
4
1.5.
Distribución del flujo neutrónico
A partir de la ecuación (9) se puede tener una idea de la distribución del flujo neutrónico de
un reactor desnudo con una dada configuración geométrica, aplicando las condiciones apropiadas
en la frontera. Para un reactor en forma de cilindro recto de altura H y radio R, se tiene que la
distribución del flujo neutrónico es:
π z 2,405 r
(18)
cos
φ(r, z) = φm J0
R
H
donde φm es el flujo máximo y J0 es la función de Bessel de orden cero que tiene su máximo en
r = 0. Siendo una función muy similar al coseno, se puede aproximar la expresión anterior con:
π r
π z φ(r, z) = φm cos
cos
(19)
2R
H
En la Figura 1 se muestra una gráfica que compara J0 (2,405u) y cos(πu/2), donde u = r/R:
Figura 1: Gráficas de las funciones que dan la distribución del flujo neutrónico en forma
teórica
1.6.
Efectos del reflector
El núcleo de los reactores está rodeado ordinariamente por un reflector, constituido por un
material que posea buenas propiedades dispersantes para neutrones. En los reactores térmicos, se
utilizan con este objeto agua pesada, berilio (o su óxido) y grafito. Como la misión del reflector no
es otra que devolver al núcleo del reactor gran parte de los neutrones que, de otro modo, se habrı́an
perdido por escape, resulta que el valor del flujo en las proximidades de las superficies lı́mites es
muy superior al que tendrı́a si no hubiera reflector (véase la Figura 2).
5
Figura 2: Distribuciones aproximadas del flujo de neutrones térmicos, en reactores desnudos
y con reflector.
2.
Fundamentos
El reactor nuclear en su conjunto es un todo mayor que la suma de sus partes. El mismo
está principlamente compuesto, además del núcleo, por barras de control, moderador, reflector,
blindaje de plomo (que recubre el núcleo) y blindaje biológico, que consite en una solución saturada
de ácido bórico en agua, entre otros. Todas estas partes, además de muestras introducidas en el
canal central, determinan la reactividad del reactor. A fin de poder controlar al mismo, es decir,
regular la población de neutrones, se cuenta con las ya mencionadas barras de control, las cuales
están hechas de un material absorbente de neutrones, como por ejemplo cadmio. Dado que el
núcleo del reactor produce neutrones a una velocidad constante (en estado crı́tico), la introducción
o extracción de las barras de control permite poner el reactor subcrı́tico, crı́tico o hipercrı́tico. Es
decir, introducir cierta cantidad de barra equivale a introducir reactividad negativa. Análogamente,
si se extrae cierta cantidad de barra de control, esto equivale a introducir reactividad positiva.
Considérese ahora el caso en que se introduce una muestra de material absorbente (por ejemplo, ácido bórico) en el canal central del reactor. La cantidad de neutrones que absorbe depende
de la cantidad de neutrones que incidan en la misma, como puede deducirse inmediatamente de
la expresión (y definición) de la velocidad de interacción neutrónica, en este caso, de absorción
(ecuación (4)). Dado que, como se ha visto anteriormente, el flujo neutrónico cambia a lo largo de
la dirección radial4 (véase la ec. (18)) en un reactor de forma cilı́ndrica, como es el caso del RA-4,
cabe esperar que la reactividad (negativa) introducida por dicha muestra varı́e con la posición de
la misma dentro del canal central. Esto sugiere que si el flujo neutrónico tiene un cierto valor en un
punto del canal central (estando el reactor en estado crı́tico), cuando la muestra se encuentra en ese
punto, dicho valor cambiará y será necesario quitar cierta cantidad de barra para volver a alcanzar
el estado crı́tico, puesto que la muestra introduce reactividad negativa. Además, la cantidad de
barra que deberá extraerse será mayor donde mayor sea el el valor del flujo neutrónico, es decir,
donde la muestra absorbe más neutrones. Todo esto vale, por supuesto, si el único cambio que se
produce es el desplazamiento de la muestra dentro del canal central.
En la Figura 3 se muestra la gráfica de la posición de la barra de control en función de la posición
de una muestra de ácido bórico dentro del canal central del reactor. La misma fue obtenida durante
los experimentos realizados en el RA-4. Más adelante se explicará el procedimiento.
Resulta tentador, a la luz de la información que brinda la Figura 3, sugerir una relación directa
entre el cambio relativo del flujo neutrónico y el cambio en la reactividad cuando la muestra se
encuentra en cierta posición, de forma tal que dicho cambio en la reactividad funcione como un
parámetro que mida el cambio en el flujo y, en virtud de que la muestra absorberá más neutrones
donde mayor sea el flujo, obtener una estimación de la distribución del flujo neutrónico en el reactor.
La relación entre el cambio en la reactividad y el cambio relativo del flujo neutrónico, mencionada
4
El canal central del RA-4 está dispuesto en esa dirección.
6
Figura 3: Gráfica de la posición de la barra de control versus la posición de la muestra de
ácido bórico dentro del canal central del RA-4.
anteriormente, puede deducirse de la definición de reactividad dada por la ecuación (13) como se
explica a continuación. Considerando que el único cambio que se produce es el desplazamiento de
la muestra dentro del canal central, para una dada posición, el cambio en la velocidad de absorción,
dada por la ecuación (10), respecto del estado sin la muestra en esa posición, es
P 0 = Σa + D B 2 φ + Σb ∆φ
(20)
Donde Σa + D B 2 φ es el término de la velocidad de absorción debida a todos las partes del
reactor sin la muestra y Σb ∆φ es la velocidad de absorción de la muestra en el punto donde se
encuentra la muestra. Σb es la sección eficaz mecroscópica del boro y ∆φ es el cambio en el flujo
neutrónico. Es decir que, P 0 da la velocidad de absorción debida a todas las partes del reactor más
la debida a la introducción de la muestra de boro. En virtud de lo anterior, puede pensarse que la
muestra de boro introduce cierta cantidad de reactividad negativa −∆ρ que produce el cambio en
el flujo neutrónico ∆φ. El término de producción permanece invariante y, por tanto, está dado por
la ecuación (11), independientemente de la muestra de boro. Si se reemplazan las ecuaciones (20)
y (11) en la ecuación (13) se obtiene:
Σa + D B 2 φ + Σb ∆φ
P
Σb ∆φ
ρ − ∆ρ = 1 −
=1− −
νΣf φ
S
νΣf φ
Comparando esta ecuacón con la ecuación (13), se concluye que el cambio producido por la
introducción de la muestra de boro es:
∆ρ =
Σb ∆φ
νΣf φ
Es decir,
νΣf
∆φ
=
∆ρ
φ
Σb
Donde φ es algún flujo de referencia.
7
(21)
La deducción de la ecuación (21) puede resultar poco convincente. Sin embargo, el argumento
más sólido no se encuentra en dicha deducción teórica, sino que se encuentra en la evidencia experimental que se muestra en la Figura 3 y que se explicó más arriba, esto es, que la muestra absorbe
más neutrones donde mayor es el flujo, es decir que es ahı́ donde introduce mayor reactividad negativa, la cual debe ser compensada extrayendo cierta cantidad de barra de control, cuya reactividad
asociada es igual a la reactividad negativa introducida por la muestra, ya que el desplazamiento de
la misma dentro del canal central es el único cambio que se realiza. Es por esto que, en lugar de la
ecuación (21), se propone como hipótesis de trabajo la expresión
∆φ
∝ ∆ρ
φ
(22)
Resta entonces conocer la reactividad por unidad de longitud asociada a la barra de control que
se utiliza para alcanzar el estado crı́tico, lo cual se conoce como calibración de las barras de control,
para tener una medida de la reactividad introducida por la muestra de boro, la cual, en virtud de
(22) da una idea del cambio relativo en el flujo. Los métodos utilizados para realizar dicha tarea se
conocen como método de Rod Drop integral y método del periodo, cuyos fundamentos se explican en
la sección de Apéndices. A continuación, se explican los procedimientos experimentales utilizados
en las mediciones.
3.
3.1.
Técnicas experimentales
Distribución del flujo neutrónico
El procedimiento seguido para realizar las mediciones correspondientes a la determinación del
perfil de flujo neutrónico es bastante sencillo. Lo más importante del mismo es, como se explicó anteriormente, que el desplazamiento de la muestra de ácido bórico sea el único cambio que se realiza.
Para lograr esto, se contó con varios trozos de barras cilı́ndricas de acrı́lico, las cuales se introdujeron en el canal central del reactor, de forma tal de rellenarlo totalmente. En una de dichas barras
se practicó un orificio de unos 6 mm. de diámetro, de forma perpendicular al eje de la misma, a
mitad de su longitud, el cual se llenó con 0,3 g de ácido bórico. En la Figura 4 se muestra un
diagrama de dicha barra con el orificio. Luego, se introdujeron las barras de acrı́lico de manera tal
que la muestra de ácido bórico, pudiera desplazarse a lo largo del núcleo del reactor y cerca de sus
bordes.
Las mediciones se comenzaron con la muestra de ácido bórico colocada a 3 cm del borde del
núcleo. Luego se llevó el reactor a crı́tico y se registró la altura de la barra de control 2, que es la que
se utilizó para alcanzar el estado crı́tico (la barra de control 1 se retiró totalmente). A continuación,
se hizo scram de barras, es decir, ambas barras se introdujeron bruscamente, para poner el reactor
en estado subcrı́tico de forma que sea seguro modificar la posición de la muestra. Luego, se hizo
desplazar la muestra 3 cm. hacia adentro del núcleo y se repitió el procedimiento anterior, esto es,
se llevó el reactor a crı́tico, se regisrtó la altura de la barra de control 2, etc. Estas acciones se
repitieron hasta que la muestra quedara a 6 cm del borde del núcleo y por fuera de éste.
3.2.
Reactividad asociada a la barra de control 2
El procedimiento para adquirir los datos necesarios para poder aplicar los métodos de Rod
Drop y del periodo, se realizó en una sola operación que constó de dos etapas: En la primera etapa,
alcanzado el estado crı́tico, se retiró 1 cm. de la barra de control 2 y se dejó evolucionar el sistema
durante un intervalo de tiempo hasta que el reactor llegó hasta cierto valor de la potencia. En
ese momento se introdujo la cantidad de barra de control 2 necesaria para alcanzar nuevamente el
estado crı́tico. A continuación, en la segunda etapa, se realizó scram sólo de la barra de control 2.
El registro de los valores de la señal proporcional al flujo en función del tiempo se muestra en la
Figura 5 (Lineal de marcha).
8
Orificio para la muestra de ácido bórico
Figura 4: Diagrama de la barra de acrı́lico utilizada para introducir la muestra de ácido
bórico en el canal central del reactor.
Los datos registrados se utilizaron para calcular la reactividad asociada a la barra de control 2
utilizando las ecuaciones (39) y (45).
Figura 5: Gráfica del registro del lineal de marcha del reactor donde se muestra el valor de
la señal proporcional al flujo en función del tiempo.
4.
Resultados
Se presentan, en primer lugar, los resultados correspondientes a la determinación de la reactividad por unidad de longitud asociada a la barra de control 2.
Los valores necesarios para aplicar el método de Rod Drop, es decir la ecuación (39), son:
El valor registrado de la señal proporcional al flujo, antes del scram, es N0 = 1,82 × 10−8 A.
El resultado de la integración numérica de N (t) desde el instante t0 = 2949 s a t∞ = 3200 s,
utilizando la regla del trapecio, es
Z ∞
N (t)dt = 4, 00516 × 10−7
0
Los valores de β y Λ, que son constantes propias del RA-4, son: β = 0,0073 y Λ = 4,74 × 10−5
s.
9
El valor de
P6
i=1
(βi /λi ) para el juego de constantes de Tuttle es:
6
X
βi
i=1
λi
≈ 0,0931 s
y para el juego de constantes de Keepin es:
6
X
βi
i=1
λi
≈ 0,0952 s
Con estos datos se obtuvieron dos valores de la reactividad (en dólares), uno correspondiente al
juego de constantes de Tuttle y otro al juego de constantes de Keepin y utilizando la ecuación antes
citada:
P6
N0 Λ + i=1 λβii
R∞
.
ρ0 = −
n(t) dt
0
El primero es $ ≈ 0,579 y el segundo es $ ≈ 0,592. Debe recordarse que $ = ρ/β. Estos datos dan la
reactividad total asociada a la barra de control 2 desde su posición inicial hasta estar completamente
introducida. Por lo tanto, la reactividad por unidad de longitud es $ ≈ 0,023, ya que la barra de
control, cuya longitud es de 25 cm, estaba totalmente extraı́da al momento de hacer el scram.
Con respecto al método del periodo, se utilizaron los datos registrados durante la operación
correspondiente a esta medición, los cuales se pueden ver graficados en la Figura 5. Dado que,
como se sabe, el crecimiento de la población neutrónica crece según una ley exponencial5 , esto es
n(t) = A0 et/T
se puede linelizar esta expresión tomando el logaritmo de n(t), con lo cual
ln n(t) = ln A0 +
t
T
Es decir, calculando el logaritmo de cada valor de la señal proporcional al flujo y haciendo una
regresión lineal, se obtiene el valor de la pendiente de la recta que es igual a 1/T . De esta forma se
obtuvo el valor del periodo del reactor, T ≈ 349,2 s. Luego, teniendo en cuenta que Λ∗ = Λ/β =
0,0065 s, se aplica la ecuación
6
Λ∗ X bi
+
$=
T
1 + λi T
i=1
que, para el juego de constantes de Tuttle, la reactividad dio $ ≈ 0,033 y, para el juego de constantes
de Keepin, resulta $ ≈ 0,034. Estos resultados dan la reactividad por centı́metro de barra de control
2, ya que, para esta medición, se extrajo un centı́metro de la misma.
A continuación se presentan los resultados de la estimación del perfil de flujo neutrónico. En
la Tabla 1 se muestran los valores obtenidos de la altura de la barra, la reactividad asociada y
los valores normalizados de la misma; y en la Figura 6 se muestra la gráfica de los valores de la
reactividad asociada en función de la posición de la muestra. Se considera, teniendo en cuenta los
resultados anteriores, que la reactividad asociada a la barra de control 2 es de 0,03 $/cm.
En virtud de los resultados expuestos anteriormente, se puede, entonces, establecer una relación
entre la reactividad y la longitud de barra extraı́da o introducida. Esto se puede expresar matemáticamente, a los propósitos de este trabajo, como
∆y
∝ ∆ρ
y
5
Véase la sección de apéndices, subsección “Método del periodo”.
10
Pos. de la muestra [cm]
−15
−12
−9
−6
−3
0
3
6
9
12
15
18
Altura de la BC2 [cm]
12, 8
13, 2
14, 3
15, 4
16, 4
16, 8
16, 5
15, 6
14, 6
13, 4
12, 9
12, 8
Reactividad asociada [$]
0, 384
0, 396
0, 429
0, 462
0, 492
0, 504
0, 495
0, 468
0, 438
0, 402
0, 387
0, 384
Reactividad normalizada
0, 762
0, 786
0, 851
0, 917
0, 976
1, 000
0, 982
0, 929
0, 869
0, 798
0, 768
0, 762
Tabla 1: Resultados de la altura de la barra de control 2 (BC2), su reactividad asociada y
la misma normalizada, en función de la posición de la muestra de ácido bórico.
donde ∆y es el cambio en la altura de la barra respecto de estado sin la muestra de ácido bórico e
y es alguna altura de referencia. Esto permite, por lo tanto, escribir
∆φ
∆y
∝
∝ ∆ρ
φ
y
(23)
Es decir, la altura de la barra de control es proporcional a la reactividad que ésta introduce (reactividad asociada a la barra) y, dado que la muestra de ácido bórico absorbe más neutrones donde
mayor es el flujo, para distintas posiciones de la misma dentro del canal central, introduce reactividad negativa que es proporcional al cambio relativo del flujo. Por lo tanto, la ecuación (23) expresa
el hecho de que donde la muestra introduce mayor reactividad negativa es donde más cambia el
flujo respecto del valor de referencia (constante), es decir, donde mayor es el valor del flujo, y esta
pérdida debe ser compensada quitando cierta cantidad de barra, lo que equivale a introducir la
reactividad positiva asociada a la barra, que es igual a la reactividad negativa, en valor absoluto,
introducida por la muestra, dado que el desplazamiento de la muestra es el único cambio que se
realiza.
A la luz de lo expuesto en el párrafo anterior, se puede decir que la gráfica de la Figura 6 es
justamente el perfil de flujo neutrónico del RA-4.
11
Figura 6: Gráfica de los valores de la reactividad asociada normalizada en función de la
posición de la muestra de ácido bórico.
5.
Discusión
Es necesario, en este punto de la exposición, hacer algunas disquisiciones de lo dicho hasta aquı́.
1. En la deducción de la ecuación (21) se obtuvo una “constante de proporcionalidad”, νΣf /Σb ,
entre el cambio relativo de flujo neutrónico, ∆φ/φ, y el cambio en la reactividad, ∆ρ. Podrı́a
cuestionarse el hecho de que no se intentó obtener, o más bien, corroborar el valor de dicha constante.
Esto no se hizo debido a dos motivos fundamentales: el primero es que no se puede asegurar que
sea esa la constante de proporcionalidad entre esas cantidades debido a la falta de rigurosidad en
la deducción de la ecuación (21). El segundo es que, dadas las dificultades técnicas que representa
obtener el valor del flujo en un punto del reactor, la determinación de dicha constante a partir de
una regresión lineal de los valores de cambio de flujo relativo y reactividad, u otro método, escapa al
alcance de este trabajo. Es por estos motivos que se insistió en el hecho de que la muestra de ácido
bórico absorbe más neutrones donde mayor es el flujo neutrónico, y por lo tanto, es donde introduce
mayor reactividad negativa, que debe ser compensada con la introducción de una cantidad igual
de reactividad positiva, en valor absoluto, a partir de la extracción de cierta cantidad de barra de
control; en virtud de lo cual, se utilizó la cantidad de barra extraı́da, o su reactividad asociada,
como parámetro para estimar el perfil de flujo neutrónico en el reactor.
2. Podrı́a objetarse también el hecho de que no se hizo un análisis de los errores en las mediciones.
La respuesta a esto es que la intención de este trabajo es la de obtener un método cualitativo para
estimar la distribución del flujo neutrónico en un reactor. La importancia de un método tal estriba en
que es mucho más directo que el método tradicional para determinar el perfil de fjujo, el cual consiste
en activar hojuelas de oro y luego medir su actividad, ya que la misma es proporcional al número
de neutrones que incidieron en la muestra. En cambio, con el método cualitativo aquı́ presentado,
denominado método de absorción, la estimación de la distribución del flujo neutrónico se obtiene
en una sola medición, moviendo la muestra de material absorbente a lo largo del canal central,
alcanzando el estado crı́tico para cada posición de la muestra y registrando el valor de la altura
de la barra de control con que se llega a crı́tico. Se puede ver fácilmente que es más engorroso
12
introducir hojuelas de oro en el reactor, luego sacarlas y medir su actividad que sólo mover una
muestra por el canal central y llegar a crı́tico cuando sólo se desea estimar el perfil de flujo.
3. Por los mismos motivos explicados anteriormente, se justifica que no se hayan medido los
valores de referencia mencionados a lo largo de este informe. Primero por las dificultades que esto
representa y, segundo, porque carece de importancia dado que se trata de un método cualitativo.
4. Otra objeción que puede surgir es a partir del hecho de que la relación entre la cantidad de
barra extraı́da y su reactividad asociada no es lineal, es decir, la reactividad por unidad de longitud
de barra de control no es constante a lo largo de la misma. La varición de la reactividad en función
del procentaje extraı́do de la barra de control 2 fue determinada para el RA-4 [3]. En la Tabla
2 y en la Figura 7 se muestran, respectivamente, los datos obtenidos en el trabajo citado y su
correspondiente gráfica. En el mismo, se concluye que la relación entre reactividad y porcentaje de
barra extraı́da está dada por un polinomio de tercer grado, que es el que ajusta los datos y que se
muestra en la Figura 7. Sin embargo, en los experimentos realizados para la obtención del método
que aquı́ se presenta, se trabajó entre los 12 y 17 cm de barra extraı́da. Teniendo en cuanta que la
barra de control 2 del RA-4 mide 25 cm en total, el rango en el que se trabajo representa entre el
48 % y el 68 %, aproximadamente, de barra extraı́da que, como se puede ver en la Figura 7, dicho
intervalo se puede aproximar bastante bien por una recta, sin incurrir en discrepancias demasiado
grandes.
Nro. de Extracción
0
1
2
3
4
% de BC2 extraı́da
0±4
40,3 ± 4
66,9 ± 4
84,7 ± 4
100 ± 4
Reactividad ($)
0
0,147 ± 0,001
0,374 ± 0,002
0,505 ± 0,002
0,613 ± 0,002
Tabla 2: Valores obtenidos de la reactividad asociada a la barra de control 2 (BC2) del
RA-4 en función del porcentaje extraı́do de la misma.
13
Figura 7: Gráfica de los datos de la Tabla 2.
5. En general resulta conveniente comparar los resultados obtenidos en forma experimental con
los resultados obtenidos por otros autores. El perfil de flujo neutrónico del RA-4 se determinó mediante el método de activación [4]. En la Figura 8 se muestra la gráfica de los valores del flujo
relativo normalizado en función de la posición de las muestras utilizadas, comparando los resultados obtenidos con el método de activación en [4] y el de absorción. En dicha Figura, se puede
apreciar en ambas mediciones, la misma asimetrı́a en la distribución del flujo neutrónico respecto
del eje de simetrı́a del núcleo del reactor, lo cual es llamativo. También puede notarse que los resultados discrepan más a medida que las respectivas muestras se alejan del núcleo del reactor; esto
puede deberse a que los métodos tienen “sensibilidades” distintas, esto es, no es lo mismo el valor
de actividad alcanzado por una hojuela de oro que el cambio en la reactividad producido por una
muestra de ácido bórico. Sin embargo, la forma de la distribución exhibida por los dos métodos es
esencialmente la misma.
14
Figura 8: Comparación de los resultados obtenidos con el métodos de activación (puntos
rojos) y el de absorción (puntos negros).
6.
Conclusión
A partir de los resultados experimentales, de sus fundamentos y de la comparación con los
resultados obtenidos por el método de activación [4], se concluye que el método de absorción es
apropiado cuando se desea estirmar el perfil de flujo de un reactor nuclear. Si bien no se pueden
extraer muchos resultados cuantitativos, dicha información puede ser suficiente en determinadas
ocasiones, al momento de trabajar con un reactor nuclear.
15
7.
Apéndices
Se van a exponer en esta sección algunos conceptos que, si bien son importantes para la fı́sica de
reactores nucleares y como fundamentos de algunos métodos experimentales (como el que se desarrollará a continuación), no fueron incluidos anteriormente debido a que no forman parte escencial
del trabajo realizado para obtener el método de absorción.
7.1.
Camino libre medio
El camino libre medio, λ se define como la distancia promedio que recorre un neutrón sin
interaccionar con núcleo alguno. Se puede demostrar que esta cantidad viene dada por ([1], [2]):
λ=
1
Σ
(24)
donde Σ es la sección eficaz macroscópica.
7.2.
Vida neutrónica
En un medio infinito6 , los neutrones térmicos solamente se pierden por absorción. La vida
térmica, Λ, se define como el camino libre medio de absorción, λa , dividido por la velocidad media,
v, de los neutrones térmicos, es decir [1],
`=
1
λa
=
v
vΣa
(25)
siendo Σa la sección eficaz macroscópica de absorción total, para neutrones térmicos.
7.3.
La fórmula de los cuatro factores.
Para deducir la fórmula de los cuatro factores para la multiplicación k 7 se supone que se tienen
inicialmente N neutrones térmicos en el reactor y se sigue su “historia”:
1. Una fracción f es absorbida en el combustible y el resto (1 − f ) es absorbido en otras partes
del sistema: moderador, estructuras, etc.
2. No todos los neutrones absorbidos en el combustible producen fisión; una parte se pierde en
captura radiativa. Si la fracción a produce fisión se tendrá af N fisiones como resultado de los
N neutrones iniciales.
3. Si ν es el número promedio de neutrones que se liberan en cada fisión, resultan hasta aquı́ νaf N
neutrones rápidos. Se suele usar η = νa como factor de fifiones térmicas. Nótese que η depende
únicamente del combustible.
4. Una pequeña fracción de neutrones rápidos puede inducir fisione en el 238 U. Esto puede ocurrir
para neutrones con enrgı́as E & 1 MeV. Si se llama a este factor, que es entre el 2 y el 3 %, el
número total de neutrones rápido producidos en el sistema es ηf N . es el factor de fisiones
rápidas.
5. Estos neutrones rápidos deben llegar a energı́as térmicas para inducir fisión en el 235 U. Sin
embargo una fracción (1 − LF ) escapará del sistema antes de llegar a la región de altas
resonancias de captura del 238 U, de modo que LF ηf N neutrones se enfrenta con la zona de
resonancias donde tiene alta probabilidad de ser capturados y no llegar a térmicos.
6
Núcleo de tamaño infinito comparado con las distancias involucradas en el problema considerado.
Se lo llama factor de multiplicación debido a que, si en un dado momento hay N neutrones, en la generación siguiente
habrá N 0 = kN neutrones.
7
16
6. Si se llama p a la probabilidad de escape a la captura resonante, la fracción de neutrones
que será moderado a energı́as inferiores a las resonantes resulta LF pηf N . Estos neutrones
están aún a energı́as un poco superiores a las térmicas. Es decir, mientras estos neutrones
interactuarán con el moderador para llegar a energı́as térmicas tienen aún cierta probabilidad
de fugarse del sistema. Se supondrá que esto esto ’a incluido en LF .
7. Algunos neutrones pueden fugarse cuando ya son térmicos y antes de ser absorbidos por el
combustible. Si se llama a esta fracción (1 − Lt ) se tendrán LF Lt pηf N neutrones listos para
iniciar un nuevo ciclo. Si se divide por N , el número de neutrones de partida, se tiene la
multiplicación del sistema:
k = LF Lt pηf
(26)
Y si el sistema es infinito, de modo que no hay fugas en ninguna parte del proceso,
k∞ = pηf
(27)
La expresión (27) es la multiplicación infinita y la (26) es la multiplicación efectiva que tiene
en cuenta la finitud del sistema real y la posibilidad de fugas.
7.4.
Ecuaciones cinéticas de un reactor desnudo: Teorı́a de un grupo
En el análisis que se va a realizar sobre el comportamiento de los reeactores en función del
tiempo, se utilizará la teorı́a de un grupo; dicho de otro modo, admitiremos que los procesos de
producción, difusión y absorción de neutrones tienen lugar con una sola energı́a.
En ausecia de una fuente primaria, un sistema que no sea crı́tico no puede alcanzar el régimen
de estado estacionario, dado que la densidad neutrónica varı́a con el tiempo; la ecuación de difusión
adopta, en este caso, la forma general de la ecuación (8), es decir:
dn
(28)
dt
en la que todas la magnitudes se refieren a neutrones de una sola energı́a. El término correspondiente
a la fuente es igual a k∞ Σa φ. Ahora bien, puesto que hay implicadas magnitudes que varı́an con
el tiempo, es preciso distinguir, entre los neutrones producidos por fisión, la contribución de los
neutrones instantáneos y la de los neutrones retardados.
Sea β la fracción de neutrones retardados; la fracción de neutrones instantáneos será 1 − β,
y la velocidad de producción de estos neutrones vendrá expresada por k∞ Σa φ(1 − β). ésta es la
contribución de neutrones instantáneos a la fuente de la ecuación (28). Los estudios experimentales
sobre la velocidad de emisión de los neutrones retardados han demostrado que estos neutrones
se distribuyen en seis grupos, cada uno de los cuales se caracteriza por decaer exponencialmente
con una velocidad bien definida [1]. En cada uno de estos seis grupos de neutrones retardados
(representado por el subı́ndice i) la velocidad de formación es igual a la velocidad de desintegración
radiactiva del precursor, es decir, λi Ci neutrones por cm3 y por segundo, siendo Ci la concentración
de estos precursores en un instante dado y λi 8 la constante de desintegración correspondiente.
Luego se extiende la sumación a todos los grupos. Esta suma representa, ası́, la fuente de neutrones
retardados. Esto es, la velocidad total de formación de neutrones retardados, ϑr , se escribe
D∇2 φ − Σa φ + S =
ϑr =
6
X
λi Ci neutrones/(cm2 )(s)
(29)
i=1
Introduciendo en la ecuación (28) ambas contribuciones a la fuente neutrónica, se obtiene como
resultado:
6
X
dn
D∇2 φ − Σa φ + k∞ Σa φ(1 − β) +
λi Ci =
(30)
dt
i=1
8
No confundir con el camino libre medio. La notación resulta desafortunada.
17
siendo n la densidad neutrónica. Tratándose de un reactor de tamaño finito, las variables φ (y, por
tanto, n) y Ci son funciones de las coodenadas espaciales y del tiempo; sin embargo, por lo general,
son variables separables, pudiendo reemplazarse ∇2 φ por −B 2 φ, a condición de que el sistema no
esté muy alejado de la criticidad. Llamando D/Σa = L2 y que, por definición, φ = nv, la ecuación
(30) se transforma en
6
X
dn
1 + L2 B 2
n+
λi Ci =
k∞ vΣa (1 − β) −
k∞
dt
i=1
(31)
Dentro de la teorı́a de un grupo, se deduce que el factor de multiplicación efectivo, k es igual a
k∞ /(1 + L2 B 2 ), y ası́, la ecuación (31) se convierte en
k∞ vΣa
1
1−
k
−β n+
6
X
λi Ci =
i=1
dn
dt
(32)
Según la ecuación (25), la vida de un neutrón en un medio infinito, Λ, es igual a 1/vΣa , de
donde se deduce que
1
`
=
= `∗
(33)
k∞ vΣa
k∞
ecuación que define el tiempo de generación de neutrones instantáneos. Esta magnitud depende
sólo de la composición y del tipo del reactor, puesto que viene determinada por k∞ , v y Σa , siendo
independiente de su tamaño. Ası́ pues, el factor k∞ vΣa de la ecuación (32) puede reemplazarse por
1/`∗ , que es una propiedad caracterı́stica del sistema. Se puede demostrar9 que
`∗ = Λ
La ecuación (32) puede simplificarse todavı́a más introduciendo la reactividad escrita como10
ρ=
k−1
1
=1− .
k
k
(34)
Con estas dos magnitudes, Λ∗ y ρ, la ecuación (32) se reduce a
6
X
dn
ρ−β
=
n
+
λi Ci
dt
`∗
i=1
(35)
Para resolver esta ecuación, es necesario conocer cómo varı́an con el tiempo la concentraciones,
Ci , de los precursores de neutrones retardados. la velocidad de formación del precursor del grupo
i es igual a βi k∞ Σa φ, siendo k∞ Σa φ la producción total de neutrones por fisión y βi la fracción
perteneciente al grupo retardado de orden i. No hay que olvidar, sin embargo, que la desintegración
radiactiva del precursor tiene lugar simultáneamente, con velocidad λi Ci , dado que la velocidad
neta de formación de precursores de neutrones retardados, en el grupo i, viene dada por
dCi
= βi k∞ Σa φ − λi Ci .
dt
(36)
Como φ = nv y k∞ vΣa = 1/`∗ , se deduce que
dCi
βi
= ∗ n − λi Ci
dt
`
(37)
Las ecuaciones diferenciales (35) y (37), ambas lineales y de primer orden, constituyen el fundamento de la cinética de reactores nucleares.
9
10
Véase [2], págs. 12 y 13.
Esta forma de escribir la reactividad es totalmente equivalente a la definición dada anteriormente.
18
7.5.
Fundamentos del método Rod Drop integral
Si se considera la inserción de reactividad negativa (ρ0 ) y constante en el instante t = 0,
partiendo de una condición de población constante (N0 ) y con precursores estables, de las ecuaciones
(35) y (37) se tiene,
6
X
ρ0 − β
d
n(t) =
n(t) +
λi Ci (t) (35)
dt
Λ
i=1
βi
d
Ci (t) = n(t) − λi Ci (t) (37)
dt
Λ
A continuación, sumando las 6 ecuaciones (37) con la ecuación (35), se tiene
6
6
X
X
d
ρ0 − β
d
βi
n(t) +
Ci (t) =
n(t) +
n(t),
dt
dt
Λ
Λ
i=1
i=1
(38)
pero
6
X
βi
i=1
Λ
n(t) =
βn(t)
Λ
Luego,
6
X
d
ρ0
d
n(t) +
Ci (t) = n(t)
dt
dt
Λ
i=1
Integrando esta ecucaión desde el instante de tiempo inicial hasta un tiempo lo suficientemente
grande como para considerar que el flujo es cero, se obtiene,
Z
∞
dn(t) +
0
6 Z
X
i=1
∞
dCi (t) =
0
ρ0
Λ
Z
∞
n(t) dt
0
Dado que tanto la población como los precursores evolucionan a partir de la estabilidad y que su
valor a tiempo infinito es nulo (debido a que se introdujo reactividad negativa):
−N0 −
6
X
i=1
Ci0 =
ρ0
Λ
Z
∞
n(t) dt , donde
0
6
X
i=1
Ci0 =
6
N0 X β i
.
Λ i=1 λi
Finalmente,
P6
N0 Λ + i=1
R∞
ρ0 = −
n(t) dt
0
βi
λi
(39)
Definiendo a bi = βi /β como la producción relativa de neutrones retardados, se han determinado
para el 235 U dos juegos de constantes, llamados de Tuttle y de Keepin, para los valores de bi y λi
de los grupos de precursores, los cuales se muestran en la Tabla 3.
En resumen, el método de Rod Drop consiste en alcanzar el estado crı́tico y luego efectuar
una inserción brusca de una de las barras de control (la misma con la que se llega a crı́tico),
procedimiento comunmente llamado scram de barra, lo cual introduce reactividad negativa en las
condiciones previstas en los fundamentos teóricos de este método. A continuación se deja evolucionar
el sistema hasta que la señal proporcional al flujo neutrónico pueda considerarse nula. Los datos
son registrados en una computadora y luego se utiliza algún programa de procesamiento de datos
para calcular numéricamente la integral en el denominador de la ecuación (39). Por último, se usa
dicha ecuacón para calcular la reactividad introducida por la barra.
19
Grupo de
precursores i
1
2
3
4
5
6
Tuttle
bi
λi
0,038 0,0127
0,213 0,0317
0.188 0,1150
0,407 0,3110
0,128 1,4000
0,026 3,8700
Keepin
bi
λi
0,033 0,0124
0,219 0.0305
0.196 0.1110
0,395 0,3010
0,115 1,1400
0,042 3,0100
Tabla 3: Juegos de constantes de precursores de neutrones retardados.
7.6.
Método del periodo
Considérese nuevamente las ecuaciones (35) y (37). Como las variables espaciales y temporales
son separables, es evidente que la solución de la ecuación (35) será de la forma:
n(t) = n0 eωt ,
(40)
siendo ω un parámetro a determinar, que tiene dimensiones de tiempo recı́proco. Por otra parte,
como Ci debe ser propocional a la densidad neutrónica, la solución de la ecuación (37) puede
escribirsse en forma análoga, es decir,
Ci (t) = Ci0 eωt
(41)
En estas dos últimas ecuaciones, n0 y Ci0 son la densidad neutrónica y la concentración de
precursores de neutrones retardados del grupo i, respectivamente, al tiempo t = 0; antes de este
instante, se supone que el reactor se encontraba en estado estacionario. En el instante t = 0, el
factor de multiplicación efectivo del reactor –o reactividad– experimenta un incremento brusco, con
lo que la densidad neutrónica comienza a variar con el tiempo.
De las ecuaciones (37), (40) y (41), se deduce que
Ci0 =
βi
n0 ,
Λ(ω + λi )
(42)
y combinando este resultado con las ecuaciones (40) y (41), la ecuación (35) se transforma en
ωΛ = ρ +
6 X
λi βi
− βi ,
ω + λi
i=1
expresión en la que β ha sido sustituida por la suma de los términos βi . Se deduce, por consiguiente,
que
6
X
ωβi
.
(43)
ρ = ωΛ +
ω + λi
i=1
La ecuación (43) es la ecuación caracterı́stica que relaciona el parámetro ω con las propiedades
de los materiales integrantes del reactor, representadas por las variables ρ, Λ, βi y λi . Se trata
de una ecuación algebraica de séptimo grado en ω, por lo que a cada valor de la reactividad, ρ,
corresponden siete valores de ω. Quiere decirse que la variación de la densidad neutrónica en función
del tiempo puede expresarsemediante una combinación lineal de siete términos de la forma (40), es
decir,
n(t) = A0 eω0 t + A1 eω1 t + . . . + A6 eω6 t
(44)
siendo ω0 , ω1 , . . ., ω6 las siete rao ’ices de la ecuación (43). A0 , A1 , etc., son constantes.
20
Para valores positivos de la reactividad, se obtienen seis raı́ces negativas y una positiva. En la
ecuación (44), puede tomarse, entonces, ω0 positiva y las demás negativas. Cada uno de los seis valores negativos de ω se corresponde numéricamente con una de las seis constantes de desintegración
λi de los precursores de neutrones retardados. Al aumentar t, es decir, al irse haciendo más grande
el tiempo transcurrido desde que se produjo la variación brusca de reactividad, todos los términos
de la ecuación (44) a partir del primero tienden rápidamente a cero, debido a los valores negativos de ω. En otras palabras, estos términos contribuyen de forma transitoria al flujo neutrónico;
pronto se hacen despreciables frente al primero que, por ser ω positiva, aumenta constantemente
en el tiempo. Ası́, transcurrido un intervalo de tiempo muy corto, la ecuación (44) queda reducida
solamente al primer término, es decir,
n(t) = A0 eω0 t
.
Se define el periodo del reactor,T como el intervalo de tiempo necesario para modificar la densidad neutrónica –o el flujo– en un factor e. Es decir, cuando t = T , n = n0 · e. Comparando con
la ecuación anterior, se tiene que
A0 = n 0
y
T =
1
ω0
Luego,
t
n(t) = n0 e T
En virtud de lo expuesto anteriormente, el método del periodo consiste, entonces, en determinar
el periodo del reactor por algún método, como el explicado en la sección de Resultados, y calcular la
reactividad introducida usando la ecuación (43) expresándola de una forma algo diferente teniendo
en cuenta que $ = ρ/β, Λ∗ = Λ/β, ω = ω0 = 1/T y bi = βi /β,
6
Λ∗ X bi
$=
+
T
1 + λi T
i=1
(45)
Referencias
[1] S. Glasstone y A. Sesonske, Ingenierı́a de Reactores Nucleares, Ed. Reverté, 1968
[2] L. Pecos, A. Gomez, L. Wentzeis y P. Bellino, Curso de cinética de reactores, Apunte del
Instituto de Tecnologı́a Nuclear Dan Beninson, UNSAM-CNEA. Año 2008.
[3] J. Orso, Cálculo de aproximación a crı́tico. Facultad de Ciencias Exactas, ingenierı́a y Agrimensura, UNR-CNEA.
[4] J. Signorelli y L. Barrios, Determinación del perfil de flujo neutrónico en el canal central del
reactor nuclear RA-4, trabajo práctico relizado por los autores durante su cursado en la carrera
de Licenciatura en Fı́sica de la Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura, UNR.
Año 1992.
21