PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales TEMA: VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS Problema 1: Sea M 2 el espacio vectorial real de las matrices de 2x2 con elementos reales y el operador lineal S : M 2 → M 2 definido por: S ( A ) = AT Determinar: (a) Los valores característicos de S. (b) Los espacios característicos correspondientes a cada uno de los valores característicos de S, sus dimensiones y una de sus bases. SOLUCIÓN: (a) • Se determina primero la matriz asociada M(S) = A, calculando las imágenes de los ⎧⎪ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎫ vectores de la base Bcanonica de M 2 = ⎨ ⎢ ⎥ , ⎢ 0 0 ⎥ , ⎢ 1 0 ⎥ , ⎢ 0 1 ⎥ ⎬ del dominio 0 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭ ⎩⎪ ⎣ ⎧⎪ ⎡ a b ⎤ ⎪⎫ M 2 = ⎨⎢ a,b,c,d ∈ R ⎬: ⎥ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣c d ⎦ ⎡1 S⎢ ⎣0 ⎡0 S⎢ ⎣1 ⎡ S⎢ ⎣ ⎡ S⎢ ⎣ 0⎤ ⎡ 1 0⎤ = 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦ 0⎤ ⎡ 0 1⎤ = 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦ 0 1⎤ ⎡ 0 = 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎤ ⎡ 0 = 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 M (S ) 0⎤ 1 ⎥⎦ ⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 ⎤ 0 0 1 0 ⎥⎥ = A 0 1 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 1⎦ 0⎤ 1 ⎥⎦ • Se determina la matriz A − λI : ⎡ ⎢ A − λI = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥ −λ⎢ ⎢ 0 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 1⎦ ⎣ DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 1 0 0 0 ⎤ 0 0 1 0 ⎥⎥ = 0 1 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 1⎦ 1 de 4 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1-λ 0 0 0 ⎤ 0 -λ 1 0 ⎥⎥ 0 1 -λ 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 1-λ ⎦ COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales • Se calcula det ( A − λI ) = 0 : 0 ⎤ ⎡ -λ 1 ⎢ det ( A − λI ) = (1-λ ) ⎢ 1 -λ 0 ⎥⎥ = (1-λ ) ⎡⎣ (λ 2 )(1-λ ) − (1-λ ) ⎤⎦ = (1-λ )(1-λ )(λ 2 − 1) = 0 ⎢⎣ 0 0 1-λ ⎥⎦ • Resolviendo la ecuación anterior, se obtienen los valores característicos del operador lineal S: λ = 1 y λ = -1 (b) • Los espacios característicos se determinan con la expresión ( A − λI ) v = 0 , para cada valor característico obtenido anteriormente. ⎡0 0 0 ⎢0 −1 1 para λ = 1 se tiene la matriz A − λI = ⎢ • Es decir, ⎢0 1 −1 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ 0 ⎥⎥ . 0⎥ ⎥ 0⎦ • Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( A − λI ) v = 0 , donde ⎡a b⎤ v=⎢ ⎥ ∈M2 : c d ⎣ ⎦ a b c d 64 4 744 8 ⎡0 0 0 0 ⎤ ⎡0 0 0 0 ⎤ ⎡ 0 1 -1 0⎤ ⎢0 -1 1 0 ⎥ ⎢0 1 -1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ≈ ⎢ ⎥ ≈ ⎢0 0 0 0⎥ ⎢0 1 -1 0 ⎥ ⎢0 0 0 0⎥ ⎢0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 0 ⎦ ⎣0 0 0 0 ⎦ ⎣0 0 0 0⎦ • Del sistema de ecuaciones equivalente final, se obtiene: b −c = 0; 0a = 0 ; 0d = 0 • De donde: b = c ; a = a ; d = d . ⎤ ⎤ original se transforma en v = ⎡⎢ • Por lo que, el vector v = ⎡⎢ ⎥ ⎥. ⎣c d ⎦ ⎣b d ⎦ a b DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM a b 2 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales • Finalmente se obtiene que: ⎧⎪ ⎡ a b ⎤ ⎫⎪ E ( λ = 1) = ⎨ ⎢ a , b , d ∈ R ⎬ → Espacio característico para λ = 1 ⎥ ⎪⎩ ⎣ b d ⎦ ⎪⎭ ⎧ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎫ Bcanonica de E ( λ = 1) = ⎨ ⎢ ⎥,⎢ ⎥,⎢ ⎥ ⎬ → Base canónica ⎩ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎭ dim E ( λ = 1) = 3 → Dimensión • Ahora bien, para el otro valor característico λ = -1 se tiene la matriz: ⎡2 ⎢0 A − λI = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 1 1 0 0 1 1 0 0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 2⎦ • Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( A − λI ) v = 0 , donde ⎡a b⎤ v=⎢ ⎥ ∈M2 : c d ⎣ ⎦ ⎡2 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 1 1 0 0 1 1 0 0⎤ ⎡1 ⎥ ⎢0 0⎥ ≈ ⎢ ⎢0 0⎥ ⎥ ⎢ 2⎦ ⎣0 0 1 0 0 a b c d 64 4 744 8 0 0⎤ ⎡1 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎢0 1 1 0⎥ 1 0⎥ ⎥ ≈ ⎢ ⎢0 0 0 1⎥ 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1⎦ ⎣0 0 0 0⎦ • Del sistema de ecuaciones equivalente final, se obtiene: a = 0 ; b + c = 0 ; d =0 b = −c 0 −c ⎤ ⎤ • Por lo que, el vector v = ⎡⎢ original se transforma en v = ⎡⎢ ⎥ ⎥. ⎣c d ⎦ ⎣c 0 ⎦ a b DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 3 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales • Finalmente se obtiene que: ⎧⎪ ⎡0 −c ⎤ ⎫⎪ E ( λ = −1) = ⎨ ⎢ c ∈ R ⎬ → Espacio característico para λ = −1 ⎥ ⎩⎪ ⎣ c 0 ⎦ ⎭⎪ ⎧ ⎡0 −1⎤ ⎫ Bcanonica de E ( λ = −1) = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ → Base canónica ⎩ ⎣1 0 ⎦ ⎭ dim E ( λ = −1) = 1 → Dimensión DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 4 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta