PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 4. Espacios con Producto Interno SUBTEMA: ÁNGULO Y DISTANCIA Problema 1: En el espacio vectorial M de las matrices de mxn con elementos en R, se tiene el siguiente producto interno: ( A B ) = tr ( A B ) T ∀ A, B ∈ M ⎛ 1 0 −α ⎞ ⎛1 0 0⎞ Si A = ⎜ y B=⎜ ⎟ ⎟ . Determinar α ∈ R , tal que: ⎝ 0 0 −1 ⎠ ⎝0 1 0⎠ (a) La distancia entre A y B sea π (b) El ángulo entre A y B sea 3 3. = 60° . SOLUCIÓN: (a) La distancia se obtiene con: d ( A, B ) = A − B = B − A • De donde: ⎛ 1 0 −α ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ A− B = ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ 0 0 −1 ⎠ ⎝ 0 1 0 ⎠ ⎛ 0 0 −α ⎞ A− B = ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1 −1 ⎠ • Realizando el producto interno: ( A − B A − B ) = tr ⎡⎣( A − B) T ⎡⎛ 0 ⎢⎜ = tr ⎢⎜ 0 ⎢⎣⎜⎝ −α ( A − B) ⎤⎦ ⎤ 0⎞ 0 ⎞ ⎛0 0 ⎛ 0 0 −α ⎞ ⎥ ⎟ ⎜ 1 ⎟⎟ −1⎟ ⎜ ⎟ ⎥ = tr ⎜ 0 1 0 −1 −1 ⎠ ⎜ 0 1 α 2 + 1⎟ ⎥⎦ −1⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ∴ ( A − B A − B) = 0 +1+ α 2 +1 = α 2 + 2 • Por tanto: d ( A, B ) = α 2 + 2 • Tomando en cuenta la condición dada d ( A, B ) = 3 : d ( A, B ) = α 2 + 2 = 3 DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 4. Espacios con Producto Interno • Despejando el valor de α buscado: α2 + 2 = 3 α2 =1 ∴ α = ±1 ← Valor para el cual d ( A, B ) = 3 (b) El ángulo se obtiene con: cosθ = ( A B) A⋅ B • Calculando los productos internos necesarios: ⎡⎛ 1 ( A B ) = tr ⎢⎢⎜⎜ 0 ⎢⎣⎜⎝ −α ⎤ ⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎟ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎥ = tr ⎜ 0 0 0 ⎟ = 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎠⎥ ⎜ 0 −1 0 ⎟ −1⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎦ ⎡⎛ 1 ( A A) = tr ⎢⎢⎜⎜ 0 ⎢⎣⎜⎝ −α ⎤ ⎞ ⎛ 1 − 1 0 α ⎛ ⎞ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎥ = tr ⎜ 0 ⎠⎥ ⎜ −α −1⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎦ 0 0 0 0 −α ⎞ 0 ⎟⎟ = α 2 + 2 0 α 2 + 1⎟⎠ 0 0 ⎡⎛ 1 0 ⎞ ⎤ ⎛ 1 0 0⎞ ⎢⎜ ⎟ ⎛ 1 0 0 ⎞⎥ ( B B ) = tr ⎢⎜ 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟⎥ = tr ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ = 2 ⎠⎥ ⎜ 0 0 0⎟ ⎢⎣⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎦ → → A = α2 + 2 B = 2 • Sustituyendo valores en la expresión para determinar el ángulo: cosθ = 1 α2 + 2 ⋅ 2 = cos 60° = 1 2 • Despejando α: α2 + 2 ⋅ 2 = 2 ( (α 2 + 2)(2) = 2 ) 2 2α 2 + 4 = 4 2α 2 = 0 α2 = 0 ∴ α = 0 ← Valor para el cual cosθ = 60° DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 4. Espacios con Producto Interno Problema 2: Calcular la distancia y el ángulo entre los vectores z = (1 − i, −2i ) y w = ( 2i, 2 − i ) que pertenecen al espacio vectorial C 2 , respecto al producto interno usual definido por: ( z w) = z w + z w 1 1 2 ∀ z = ( z1 , z2 ) , w = ( w1 , w2 ) ∈ C 2 2 donde w1 y w2 son los conjugados de w1 y w2 , respectivamente. SOLUCIÓN: ( ) (a) La distancia se obtiene con: d z , w = z − w • De donde: z − w = (1 − i, −2i ) − ( 2i, 2 − i ) = (1 − 3i, −2 − i ) • Calculando se producto interno: ( z − w z − w) = ⎣⎡(1 − 3i, −2 − i ) (1 − 3i, −2 − i )⎦⎤ = (1 − 3i)(1 + 3i) + (−2 − i)(−2 + i) =1 + 3i − 3i − 9i 2 + 4 − 2i + 2i − i 2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15 → z − w = 15 • Por tanto: ( ) ∴ d z, w = 15 ← Distancia entre los vectores z y w (b) El ángulo se calcula, en este caso, con la expresión: cosθ ≅ ( ) R zw z ⋅ w • Calculando los productos internos necesarios: z w = ⎡⎣(1 − i, −2i ) ( 2i, 2 − i ) ⎤⎦ = (1 − i )(−2i ) + (−2i )(2 + i ) ( ) = −2i + 2i 2 − 4i − 2i 2 = −6i DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 4. Espacios con Producto Interno ( z z ) = ⎡⎣(1 − i, −2i ) (1 − i, −2i )⎤⎦ = (1 − i)(1 + i) + (−2i)(2i) = 1 + i − i − i 2 − 4i 2 = 1 + 1 + 4 = 6 → z = 6 ( w w) = ⎡⎣( 2i, 2 − i ) ( 2i, 2 − i )⎤⎦ = (2i)(−2i) + (2 − i)(2 + i) = −4i 2 + 4 + 2i − 2i − i 2 = 4 + 4 + 1 = 9 → w = 9 • Sustituyendo valores se llega a: 0 ≅0 6⋅ 9 ∴ θ ≅ 90° ← Ángulo entre los vectores z y w cosθ ≅ Problema 3: Sean F el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [-1,1] y el producto interno definido por: ( f g) = ∫ 1 −1 f (t ) ⋅ g (t )dt ∀ f ,g ∈F ⎧ f (t ) = 1 ⎪ Para las funciones ⎨ g (t ) = t determinar: (a) el ángulo entre f y h; y (b) la distancia ⎪h(t ) = 1 + t ⎩ entre g y h. SOLUCIÓN: (a) Ángulo entre f y h: cosθ = ( f h) f ⋅ h • Calculando los productos internos necesarios: DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 4. Espacios con Producto Interno 1 ⎡ t2 ⎤ ( f h ) = ∫−1 (1)(1 + t )dt = ∫−1 (1 + t )dt = ⎢t + 2 ⎥ = 1 + 12 − ⎛⎜ −1 + 12 ⎞⎟ = 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ −1 1 (f f)=∫ 1 1 −1 (1)(1)dt = ∫ 1 dt = [t ]−1 = 1 − ( −1) = 2 1 −1 → f = 2 1 ⎡ t3 ⎤ 1 ⎛ 1⎞ 2 h h (1 t )(1 t ) dt (1 2 t t ) dt t t = + + = + + = + + = 1 + 1 + − ⎜ −1 + 1 − ⎟ ( ) ∫−1 ⎢ ⎥ ∫−1 3 ⎦ −1 3 ⎝ 3⎠ ⎣ 1 = 2+ 1 2 8 = 3 3 → 2 8 3 h = • Sustituyendo valores en la expresión del ángulo: cosθ = 2 2⋅ 8 3 ∴ cosθ = 3 2 2 = 2 ⋅ 2⋅ 2 3 1 1 1 3 = = = 2 (2)(2) 4 1 2⋅ 3 3 3 = • Por tanto: ← Ángulo entre f y h (b) Distancia entre g y h: d ( g , h) = g − h • Realizando el producto interno: g − h = t − (1 + t ) = −1 ( g − h g − h) = ∫ 1 −1 (−1)(−1)dt = ∫ 1 −1 dt = [t ]−1 = 1 − ( −1) = 2 1 • Finalmente: ∴ d ( g , h) = g − h = 2 ← Distancia entre g y h DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta