Matemáticas II Junio 2007 Problema 2.1. Dadas las dos rectas r y s, que se cortan, de ecuaciones r: x − 1 2 y − 1 2z − 3 = = 2 −6 6 y s: x − 3 2y + 3 z −1 = = −2 2 4 , se pide calcular: a) El punto P de corte de las rectas r y s. (1,1 puntos). b) Un vector direccional de r y otro de s , (0,5 puntos), y el ángulo α que forman las rectas r y s en el punto de corte P. (0,6 puntos). c) La ecuación implícita a x + b y + c z + d = 0 del plano π que contiene a las rectas r y s (1,1 puntos). Solución: a) Escribimos las ecuaciones paramétricas de r y s. r: x − 1 2 y − 1 2z − 3 = = 2 −6 6 1 3 y− z− x −1 2= 2 r: = 2 3 −3 s: s: x = 1 + 2λ 1 → r : y = − 3λ λ ∈ ℜ 2 3 z = 2 + 3λ x − 3 2y + 3 z −1 = = −2 2 4 x−3 = −2 x = 3 − 2µ 3 2 = z −1 → s : y = − 3 + µ 2 4 2 z = 1 + 4 µ y+ µ ∈ℜ Punto de corte entre r y s, 1 + 2λ = 3 − 2 µ 3 1 − 3λ = − + µ 2 2 3 2 + 3λ = 1 + 4 µ 2λ + 2 µ = 2 → − 3λ − µ = −2 1 3λ − 4 µ = − 2 Como en la matriz de coeficiente el menor El determinante de la matriz ampliada de este sistema es 2 2 − 3 −1 2λ + 2 µ = 2 2λ + 2 µ = 2 → 2 x 2 ª − 6λ − 2 µ = − 4 − 3λ − µ = −2 − 4λ = − 2 → λ = 1 x = 1 + 2 2 = 2 1 1 y = − 3 = −1 2 2 3 1 z = 2 + 3 2 = 3 → P(2, − 1, 3) −2 1 = −4 2 2 2 − 3 − 1 − 2 = 1 + 24 − 12 + 6 − 16 − 3 = 0 3 − 4 −1 2 = −2 + 6 = 4 ≠ 0 Las rectas se cortan en, El punto de corte será, 2 el sistema tiene solución única. b) vr = (2, − 3, − 3) y vs = (−2, 1, 4 ) ∧ siendo α = (r , s ) → cos α = vr . vs (2, − 3, − 3) . (−2, 1, 4 ) = 2 2 + ( − 3) 2 + 3 2 vr vs = 5 = 22 21 5 462 luego α = 76´548...º ≈ 76´55 º c) punto P(2, − 1, 3) vr = (2, − 3, − 3) Del plano π conocemos vectores directores vs = (−2, 1, 4) la ecuación del plano será, x−2 2 −2 y +1 − 3 z −3 3 ( x − 2) 1 =0 4 −3 1 3 4 − ( y + 1) 2 −2 3 4 + ( z − 3) 2 −2 −3 1 =0 ( x − 2)(−12 − 3) − ( y + 1)(8 + 6) + ( z − 3)(2 − 6) = 0 − 15( x − 2) − 14( y + 1) − 4( z − 3) = 0 − 15 x + 30 − 14 y − 14 − 4 z + 12 = 0 − 15 x − 14 y − 4 z + 28 = 0 15 x + 14 y + 4 z − 28 = 0 esta es la ecuación del plano π (−2) 2 + 12 + 4 2 = − 4 − 3 + 12 4+9+9 4 + 1 + 16 =