PROBLEMA A.2. En el espacio se dan las rectas =−− =− =+− =+ 2 3 2 :

Matemáticas II
Junio 2011
PROBLEMA A.2. En el espacio se dan las rectas
x + z = 2
2 x − y = 3
r:
y
s:
2 x − y + z = 0
x − y − z = 2
Obtener razonadamente:
a) Un punto y un vector director de cada recta. (3 puntos)
b) La posición relativa de las rectas r y s. (4 puntos)
c) Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. (3 puntos)
Solución:
a) Calculemos las ecuaciones paramétricas de las rectas resolviendo los sistemas que las definen,
+z=2
x
r:
2 x − y + z = 0
Como
1 0
= −1 ≠ 0, resolvemos usando x e y como incógnitas principales.
2 −1
= 2− z
x

2 x − y = − z
Sustituyendo el valor de x en la 2ª ecuación:
2 ( 2 – z ) – y = – z; 4 – 2 z – y = – z; – y = – 4 + 2 z – z; – y = – 4 + z; y = 4 – z
x = 2 − λ
Pr = ( 2, 4, 0 )

luego r :  y = 4 − λ λ ∈ ℜ y un punto y un vector director de la recta r serán: →
vr = ( − 1, − 1, 1 )
z = λ

2 x − y = 3
s:
x − y − z = 2
Como
−1 0
= 1 ≠ 0, resolvemos usando z e y como incógnitas principales.
−1 −1
= 3 − 2x
− y

− y − z = 2 − x
De la 1ª ecuación: y = – 3 + 2 x
Sustituyendo el valor de y en la 2ª ecuación:
– ( – 3 + 2 x ) – z = 2 – x; 3 – 2 x – z = 2 – x; – z = 2 – x – 3 + 2 x; – z = – 1 + x; z = 1 – x
x = µ
Ps = ( 0, − 3, 1 )

luego r :  y = −3 + 2µ µ ∈ ℜ y un punto y un vector director de la recta s serán: →
vs = ( 1, 2, − 1 )
z = 1 − µ

b) Estudiamos la posición relativa de las rectas r y s a partir del sistema que se obtiene al igualar sus ecuaciones
paramétricas,
2 − λ = µ
 − λ − µ = −2
λ + µ = 2



4 − λ = −3 + 2µ → − λ − 2µ = −7 → λ + 2µ = 7
λ = 1 − µ
λ + µ = 1
λ + µ = 1



La 1ª y la 3ª ecuaciones son incompatibles, por lo tanto r y s son paralelas o se cruzan.
Veamos si los vectores directores de las rectas son paralelos,
 − 1 − 1


Estudiemos el rango de la matriz formada por los vectores directores:  − 1 − 2 
 1
1

1 = 1 ≠ 0 → ran( A) ≥ 1 



−1 − 2
 → ran( A) = 2 , los vectores no son paralelos.
= −1 + 2 = 1 ≠ 0 
1
1


Por lo tanto, las rectas r y s se cruzan.
Pr ∈ π
→
c) Buscamos un plano π / r ⊂ π
y π // s , por lo tanto del plano π conocemos vr es director de π
→
vs es director de π
Por lo tanto, las ecuaciones del plano π serán:
x = 2 − λ + µ

Ecuación paramétrica: π :  y = 4 − λ + 2µ λ , µ ∈ ℜ
z = λ − µ

Ecuación general:
x−2
y−4
−1
1
−1
2
( x − 2)
z
1 =0
−1
−1
1
2
−1
− ( y − 4)
−1
1
1
−1
+z
( x − 2) (−1) − ( y − 4) 0 + z (−1) = 0
− x + 2 − z = 0; x + z = 2
π: x + z = 2
−1 −1
1
2
=0