Formas estructurales de los modelos multiecuacionales

Econometría II licenciatura ADE
Prof. Rafael de Arce
INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS MULTIECUACIONALES
Profesor Rafael de Arce Borda
rafael.dearce@uam.es
1. RAZÓN DE SER DE LOS MODELOS MULTIECUACIONALES
La economía es un fenómeno excesivamente complejo como para responder a los
planteamientos necesariamente simplistas de un estudioso de la misma, que si bien comienza
abordando los problemas uno a uno, es consciente de que, en casi todos los casos, estos
responden tanto a su particularidad concreta como la interacción entre todos los elementos y
agentes económicos inmersos.
Aunque hablar de modelos uniecuacionales para describir una situación económica es un paso
necesario para poder ir abordando el problema, es prácticamente imposible no recurrir a un
sistema más o menos complejo de varias ecuaciones para analizar y estimar una situación de la
forma más próxima a la realidad posible. Esta necesidad da lugar a los modelos
multiecuacionales que, como la propia palabra indica, son los que están compuestos por más de
una ecuación, interrelacionadas entre ellas.
En concreto, algunas circunstancias obligan necesariamente a la modelización multiecuacional
de un fenómeno económico. Valgan como ejemplo las siguientes:
a) En muchas ocasiones, la modelización de una variable que a su vez está compuesta por
varias, presenta variables explicativas que actúan con distinto signo en función de a qué
variable de las que componen la endógena nos estemos refiriendo.
Por ejemplo, si se intenta modelizar el PIB de un país y entre las variables explicativas
figuran los precios, es probable que la incidencia de estos, en lo que se refiere al
consumo privado, sea negativa; mientras que respecto a la inversión productiva puedan
ser un acicate (influencia positiva) para aumentar ésta y lograr unos mayores beneficios.
Intentar pues modelizar el PIB como agregado daría lugar a un signo “extraño” en la
variable precios, mezcla de la carga negativa que tendría para una de sus componentes
(el consumo privado) y la carga positiva que tendría para otra (la inversión privada).
Parece más lógico entonces intentar modelizar de forma separada cada una de las
componentes del PIB y luego agregarlas convenientemente.
b) Sin perder de vista el uso final que se le quiera dar a un modelo econométrico (análisis
estructural, simulación y/o predicción), es frecuente que la determinación de las
variables explicativas de una ecuación sea tanto o más difícil que la de la propia
endógena de ésta, por lo que puede ser recomendable modelizar una ecuación de
comportamiento para dichas explicativas.
c) En muchas ocasiones, las variables en economía sufren un proceso de retroalimentación
o de “círculo vicioso” (por ejemplo, la espiral precios-salarios descrita en todos los
libros de macroeconomía). En estos casos, una variable es explicada por otra y, a su
vez, esta última es explicada por la primera de un modo simultáneo o no. En particular,
el tratamiento de este tipo de espirales, con ciertos retardos en el efecto de una variable
sobre la otra, darán lugar a un tipo especial de modelos multiecucionales que se
conocen con el nombre de modelos VAR.
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2. TIPOS DE MODELOS MULTIECUACIONALES
La distinta relación existente entre las variables implicadas en las varias ecuaciones del modelo
multiecuacional da lugar a tres tipos de modelos:
-
Modelos Recursivos o de Cadena Causal: aquellos en los que, ordenadas
convenientemente las ecuaciones del modelo, la estimación de cada variable endógena
nos permite contar, a su vez, con todas las variables necesarias para la estimación de la
siguiente endógena y así sucesivamente. Por ejemplo:
y1i = α 0 + α1 x1i + α 2 x2i + α 2 y2i + u1i
y2i = β 0 + β1 x1i + β 2 x3i + β 3 y3i + u 2i
y3i = γ 0 + γ 1 x1i + γ 2 x3i + u3i
Donde, estimando ordenadamente (primero la ecuación tres, luego la dos y luego la
uno) en todo momento contaremos con todas las explicativas de cada ecuación para
realizar la estimación de un modo congruente (sin circularidades).
-
Modelos Simultáneos: aquellos en los que es necesaria la estimación de todas las
ecuaciones al mismo tiempo por existir relaciones cruzadas entre las explicativas. Por
ejemplo:
y1i = α 0 + α1 x1i + α 2 x2i + α 3 y2i + u1i
y2i = β 0 + β1 x1i + β 2 x3i + β 3 y3i + u2i
y3i = γ 0 + γ 1 x1i + γ 2 x3i + γ 3 y1i + u3i
Donde, para estimar la primera es necesario conocer la segunda y para estimar esta es
necesario conocer la tercera para lo que, a su vez, es necesario conocer la primera: en
definitiva hay que conocer los valores estimados de todas las endógenas a la vez.
-
Modelos Bloque-Recursivos: mezcla de los dos anteriores en la que hay un subconjunto
de ecuaciones de resolución simultánea que dan acceso posteriormente a la estimación
de otro conjunto recursivo o causal. Por ejemplo:
y1i = α 0 + α1 x1i + α 2 x2i + α 3 y2i + u1i
y2i = β 0 + β1 x1i + β 2 x3i + β 3 y1i + u2i
y3i = γ 0 + γ 1 x1i + γ 2 x3i + γ 3 y1i + u3i
Donde, para conocer la primera es necesaria la segunda y viceversa (bloque simultáneo) y una
vez conocidas estas dos se puede obtener la tercera directamente (parte causal).
De cara a posteriores demostraciones y para simplificar los cálculos, es conveniente escribir de
forma genérica y matricial cualquier modelo multiecuacional con “g” variables endógenas y “k”
variables exógenas donde, evidentemente, el número de explicativas en cada ecuación sería de
“k+g-1”1, lo que supondría que todas las variables están incluidas en todas las ecuaciones,
marco probablemente excesivo, pero sobre el que luego podremos plantear cualquier situación
más sencilla.
1
La razón del –1 estaría en que una variable no puede venir explicada por si misma, luego de las “g”
endógenas habría que deducir una.
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Si contamos con un modelo multiecuacional de estas características:
“g” variables endógenas
“k” variables exógenas2
“n” observaciones de cada variable
La escritura en forma de ecuaciones normales más amplia posible (la que puede recoger
cualquier caso), sería:
 y11 = γ 11 y11 + γ 12 y21 + ... + γ 1g y g1 + β11 x11 + β12 x21 + β13 x31 + ... + β1k xk 1 + u11 


 y12 = γ 11 y12 + γ 12 y 22 + ... + γ 1g y g 2 + β11 x12 + β12 x22 + β13 x32 + ... + β1k xk 2 + u12 


.......................

 y = γ y + γ y + ... + γ y + β x + β x + β x + ... + β x + u 
11 1n
12 2 n
1 g gn
11 1n
12 2 n
13 3 n
1k kn
1n 
 1n
 y 21 = γ 21 y11 + γ 22 y 21 + ... + γ 2 g y g1 + β 21 x11 + β 22 x21 + β 23 x31 + ... + β 2 k xk 1 + u 21 


 y 22 = γ 21 y12 + γ 22 y 22 + ... + γ 2 g y g 2 + β 21 x12 + β 22 x22 + β 23 x32 + ... + β 2 k xk 2 + u 22 


..........................

 y = γ y + γ y + ... + γ y + β x + β x + β x + ... + β x + u 
21 1n
22 2 n
2 g gn
21 1n
22 2 n
23 3 n
2 k kn
2n 
 2n
......................
 y h1 = γ h1 y11 + γ h 2 y 21 + ... + γ hg y g1 + β h1 x11 + β h 2 x21 + β h3 x31 + ... + β hk xk 1 + u h1 


 y h 2 = γ h1 y12 + γ h 2 y 22 + ... + γ hg y g 2 + β h1 x12 + β h 2 x22 + β h3 x32 + ... + β hk xk 2 + u h 2 


..........................

 y = γ y + γ y + ... + γ y + β x + β x + β x + ... + β x + u 
h1 1n
h2 2n
hg gn
h1 1n
h2 2n
h 3 3n
hk kn
hn 
 hn
..............................
 y g1 = γ g1 y11 + γ g 2 y21 + ... + γ gg y g1 + β g1 x11 + β g 2 x21 + β g 3 x31 + ... + β gk xk1 + u g1 


 y g 2 = γ g1 y12 + γ g 2 y 22 + ... + γ gg y g 2 + β g1 x12 + β g 2 x22 + β g 3 x32 + ... + β gk xk 2 + u g 2 


..........................

 y = γ y + γ y + ... + γ y + β x + β x + β x + ... + β x + u 
g 1 1n
g 2 2n
gg gn
g 1 1n
g 2 2n
g 3 3n
gk kn
gn 
 gn
Donde el primer subíndice de cada parámetro haría referencia a la ecuación de la endógena que
estamos tratando y el segundo subíndice a la variable a la que multiplica, utilizándose gamma
para los parámetros que “acompañan” a variables endógenas de otras ecuaciones (y’s) y betas
para los parámetros que acompañan a variables exógenas del modelo (x’s).
γ hj : parámetro de la ecuación “h-ésima” que multiplica a la variable explicativa y ji
β hj : parámetro de la ecuación “h-ésima” que multiplica a la variable explicativa x ji
Nótese que en esta escritura se ha mantenido el principio fundamental de los modelos
econométricos: la permanencia estructural. Esto quiere decir que la afectación en cada ecuación
de una explicativa permanece constante para cualquier observación de ésta. Es decir, para una
2
En el marco de los modelos multiecuacionales es fundamental diferenciar convenientemente entre
explicativas y exógenas, entendiendo que estas segundas son aquellas que no vienen en ningún caso
explicadas por una ecuación. Tan sólo actúan “en el lado derecho” de las ecuaciones. Al contrario, entre
las explicativas puede haber tanto exógenas, como endógenas de otras ecuaciones.
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ecuación cualquiera, por ejemplo la “h”, el parámetro γ hj es el mismo para cualquier
observación de y ji , en i=1....n. Por supuesto, lo mismo ocurre en la relación entre β hj y x ji .
El conjunto de todas estas ecuaciones, se podría escribir, en forma matricial, de la siguiente
forma:
 y11
y
 12
 ..

 y1n
 x11
x
+  12
 ..

 x1n
y g1   y11
y g 2   y12
=
..   ..
 
y gn   y1n
y21 ..
y22
..
..
..
y2 n
..
xk 1   β11

.. xk 2   β12

.. ..   ..

.. xkn   β1k
x21 ..
x22
..
x2 n
γ 11 γ 21
γ
γ 22
 12
..
 ..

γ 1g γ 2 g
β g1  u11 u21
β g1  u12 u22
+
..   ..
..
 
β g1  u1n u2 n
y g1 
yg 2 

.. 

y gn 
y21 ..
y22
..
..
..
y2 n
..
β 21 ..
β 22 ..
..
..
β 2k ..
.. γ g1 
.. γ g 2 

.. .. 

.. γ gg 
.. u g1 
.. u g 2 

.. .. 

.. u gn 
Donde la matriz de “gammas” correspondería a los parámetros de cada una de las variables
explicativas en una ecuación endógenas a su vez de otra luego, evidentemente, tendría valor
cero en todos los elementos de su diagonal principal ya que una variable no debe venir
explicada por ella misma.
A la expresión matricial anterior se la conoce como modelo conjunto para las “g” ecuaciones y
“n” observaciones o “Forma Estructural del Modelo”, escribiéndose de forma abreviada como:
Y = Y
( nxg )
Γ + X B +U
( nxg ) ( gxg )
( nxk ) ( kxg )
nxg
La existencia de algunos problemas para la estimación de los modelos multiecuacionales que
comentaremos más adelante, hace interesante escribir esta expresión de modo que todas las
variables explicadas aparezcan a la izquierda de la igualdad y sólo en función de explicativas
exógenas del modelo, evitándose así simultaneidades en la expresión anterior. Para hacer esto,
basta con despejar de la expresión anterior del siguiente modo:
Y − YΓ = XB + U
Y ( I − Γ) = XB + U
Si Γ * = ( I − Γ);
YΓ * = XB + U
−1
Y = XBΓ * + UΓ *
Si
−1
−1
−1
BΓ * = Π , UΓ * = V ;
Y = X Π+ V
( nxg )
( nxk ) ( kxg )
( nxg )
A esta última expresión se la conoce con el nombre de “Forma Matricial Reducida del Modelo”.
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De cara a posteriores demostraciones, es preciso caer en la cuenta que la matriz gamma
mayúscula asterisco estará compuesta por una diagonal principal de unos y por los parámetros
de la matriz gamma con signo contrario en el resto de los espacios de dicha matriz.
A modo de ejemplo, sirva la escritura matricial concreta del caso de un modelo simultáneo
como el anteriormente citado:
y1i = α 0 + α1 x1i + α 2 x2i + α 3 y2i + u1i
y2i = β 0 + β1 x1i + β 2 x3i + β 3 y3i + u2i
y3i = γ 0 + γ 1 x1i + γ 2 x3i + γ 3 y1i + u3i
que se podría escribir para el modelo conjunto y para la observación “i” como:
[ y1i
y2 i
y3i ] = [ y1i
y2 i
 0 0 γ 3
y3i ]α 3 0 0  + [x0i x1i


 0 β 3 0 
x2 i
α 0 β 0 γ 0 
α β γ 
x3i ] 1 1 1  + [u1i
α 2 0 0 


 0 β2 γ 2 
u2 i
u3i ]
Esta expresión respondería a la forma estructural del modelo; mientras que, para determinar la
forma reducida habría que escribir:
[ y1i
y2 i
y3i ] = [x0i x1i
x2 i
α 0 β 0 γ 0 
−1
α β γ   1 0 − γ 3 
x3i ] 1 1 1   − α 3 1 0  + [v1i

α 2 0 0  
β

0
−
1



3
 0 β2 γ 2 
v2 i
v3i ]