Teoría de Particiones

Teorı́a de Particiones
Daniel López, Diva Martı́nez, Andrés Zuluaga
16 de noviembre de 2011
Resumen
El siguiente documento fue creado con el fin de resumir la exposición del profesor Jean Carlos Cortizzos sobre el tema ”Teorı́a de particiones”para el Seminario de Matemáticas (2 semestre de 2011) dirigido por
el profesor Leonardo Venegas Villamil. La finalidad del presente artı́culo
es dejar constancia de la charla y dar a los lectores una breve introducción a esta teorı́a. Vale aclarar que dados los recientes descubrimientos
en el tema y la poca divulgación sobre ellos, no los abarcaremos en este
resumen de una manera detallada.
Introducción
Para introducir el tema empezaremos dando un cuantos ejemplos sobre las
particiones de numeros, donde P(n) denota la cantidad de particiones de n.
P(3) = 3 que serán : (1+1+1),(1+2),(3)
P(5) = 7
P(7) = 15
P(11) = 56
P(19) = 490
P(25) = 1958
P(1000) = 24.061.467.864.032.622.473.692.149.727.991
1.
Función de Particiones
Desde hace ya varios años se viene estudiando la estructura de la cantidad
de particiones de un número, es decir: la fórmula de p(n). A través de los años
se han realizado grandes avances, entre los que se encuentra el método de Euler:
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Demostración. Para cada n, sea p(n) el número de particiones de n. Llamamos
función generatriz de la sucesión (p(n)) a la función:
P (x) = po + p1 x + p2 x2 + p3 x3 + p4 x4 + . . . .
Se identifica esta función como una descomposición de fracciones parciales
Se tiene que:
P (x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .)
= (1 + x2 + x4 + x6 + +x8 + . . .)
= (1 + x3 + x6 + x9 + +x1 2 + . . .)
= (1 + x4 + x8 + x1 2 + +x1 6 + . . .)
= (1 + x5 + x1 0 + x1 5 + +x2 0 + . . .)
Del mismo modo, la función generatriz de las particiones en partes impares
es:
I(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .)
= (1 + x3 + x6 + x9 + x1 2 + . . .)
= (1 + x5 + x1 0 + x1 5 + x2 0 + . . .)
= (1 + x7 + x1 4 + x2 1 + x2 8 + . . .)
Y la de las particiones en partes distintas es:
D(x) = (1 + x)(1 + x2 )(1 + x3 )(1 + x4 )(1 + x5 )
Esto da una descomposición en fracciones parciales (posibles gracias a la igualdad de I(x) = D(x)) de la forma:
1
(1 − x)(1 − x3 )(1 − x5 )(1 − x7 ) . . .
Que da como resultado el número de particiones de un número n.
2.
Recientes descubrimientos
En fechas más recientes ha sido posible conocer fórmulas más exactas que
han permitido calcular de manera más eficiente el número de particiones de un
número. Hecho que ha facilitado en gran medida el desarrollo de esta teorı́a y
su aplicación en otras areas.
Es por ello que partiendo de la fórmula asintótica para las particiones se ha
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logrado relacionar esta con la distribución que poseen los primos.
La fórmula es la siguiente:
√ 2n
1
√ ∆e 3
4n 3
De esto notamos un gran parecido con aquella ecuación (como se ha dicho antes)
que nos da cierta idea del número de primos presentes antes de un número dado:
x
logx
Es por ello que la teorı́a de particiones ha crecido y ha tenido una gran importancia al pasar de los años puesto que con ésta, se han logrado varios avances y
se han generado varias relaciones entre otros campos considerados muy importantes para la matemática moderna.
Referencias
[1] Santos, Francisco, Matemática Discreta Talleres divulgativos ”matemáticas
en acción”, 2004.
[2] Chamizo, Fernando et al, El método del circulo, 2006.
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