ejercicios extra sobre particiones

Matemática Discreta
Segundo curso del Grado en Matemáticas, UAM
Curso 2010-2011
Ejercicios extra, 13 de octubre de 2010
Aquı́ tienes una tabla de los primeros valores de la función pk (n), el número de particiones
de n con exactamente k partes, generados aplicando la regla de recurrencia
pk (n) = pk−1 (n − 1) + pk (n − k)
junto con los valores “frontera” pn (n) = p1 (n) = 1.
k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 k=10 k=11 k=12 k=13
n=1
1
n=2
1
1
n=3
1
1
1
n=4
1
2
1
1
n=5
1
2
2
1
1
n=6
1
3
3
2
1
1
n=7
1
3
4
3
2
1
1
n=8
1
4
5
5
3
2
1
1
n=9
1
4
7
6
5
3
2
1
1
n = 10
1
5
8
9
7
5
3
2
1
1
n = 11
1
5
10 11 10
7
5
3
2
1
1
n = 12
1
6
12 15 13 11
7
5
3
2
1
1
n = 13
1
6
14 18 18 14 11
7
5
3
2
1
1
n = 14
1
7
16 23 23 20 15 11
7
5
3
2
1
k=14
1
• Sobre la función pk (n) en columnas.
1. Ya vimos en clase que p2 (n) = n/2. ¿Podrı́as dar una fórmula para p3 (n)?
2. Comprueba que, para k fijo, pk (n) es una función creciente de n.
Nota. En clase vimos la estimación general siguiente: para k fijo y n → ∞,
pk (n) ∼
nk−1
k! (k − 1)!
( el sı́mbolo an ∼ bn significa que lı́mn→∞ an /bn = 1).
• Sobre la función pk (n) en lı́neas paralelas al borde derecho (diagonales).
3. Prueba, con un argumento combinatorio directo, que
pn−2 (n) = 2 si n ≥ 4
y que
pn−3 (n) = 3
si n ≥ 6.
4. Prueba que, para j fijo, la función pn−j (n) es creciente para todo n y que es constante a
partir de un cierto valor de n.