CÁLCULO VECTORIAL

CÁLCULO VECTORIAL
Notas de clase
Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo
-
TEMA III
INTEGRALES DE LÍNEA
En el curso de Cálculo Integral se estudió la integral definida de una función
, como el límite de las sumas de Riemann
-
Si la curva
es cerrada no simple, entonces se recorre en sentido
positivo si la región encerrada está siempre a la izquierda con respecto
a la trayectoria.
Una región
es simplemente conexa 4, si no contiene "agujeros" y
está delimitada por una curva cerrada simple.
,
cuando todos los
tiende a cero 1 , y ahora se estudiará el concepto de integral de línea, el cual es una
generalización de la integral vista en Cálculo ]Integral.
Con el fin de que la generalización sea más clara, es necesario introducir los
siguientes términos.
Supóngase una curva
y que
y
respectivamente, entonces:
-
-
1
cuya función vectorial es
son los vectores de posición de los puntos
;
y
La curva
es suave 2 si
es continua y distinta de
en el
intervalo
.
La curva es suave parte por parte o a trozos 3 si puede expresarse
como la unión de un número finito de curvas suaves.
La curva es cerrada si
y
son el mismo punto.
La curva es una curva cerrada simple, si es cerrada y no se cruza a
si misma, i.e.,
y
para
en el
intervalo
.
Si la curva
no es cerrada, entonces los valores crecientes de
indican el sentido positivo de la curva.
Si la curva
es cerrada simple, entonces se recorre en sentido
positivo si sigue el sentido contrario al de las manecillas del reloj.
El intervalo
se divide en subintervalos de longitudes
, y en cada subintervalo se selecciona un número
2
También llamada lisa o simple.
3
También llamado suave por partes, suave por trozos o seccionalmente
diferenciable.
.
Figura 3.1
Considérese ahora una función escalar
4
Dado un conjunto
en
, si dos puntos
y pueden unirse mediante una
curva cuyos puntos también pertenecen a entonces el conjunto se llama
conexo. Si el segmento es una recta, entonces se llama convexo.
Si un conjunto conexo tiene la propiedad de que todos los puntos encerrados
por una curva cerrada cualquiera que esté contenida en , también están
contenidos en , entonces se llama simplemente conexo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
que represente
CÁLCULO VECTORIAL
una superficie en el espacio, y una función vectorial
que represente una
curva en el plano, tal como se muestra en la siguiente figura.
2
Obsérvese que si
es no negativa, entonces la integral de línea representa
geométricamente el área de la superficie del cilindro vertical que se forma siguiendo la
curva , por arriba del plano
y por debajo de la superficie
.
Definición 3.1
Sea
una función escalar de variable vectorial
, definida en una región que contiene una curva
5
suave y rectificable , entonces la integral de línea de
Figura 3.2
en
subarcos de longitudes
son los
pertenece al
,
de acuerdo con la partición
En forma práctica, la integral de línea no se calcula a través de las sumas de
Riemann, se calcula convirtiéndola en una integral definida y empleando fórmulas de
integración.
Si la función es continua entonces el límite de las sumas de Riemann existe
y es independiente de la parametrización utilizada para la curva , siempre y cuando
están orientadas en la misma dirección.
,
se selecciona un punto
en cada subarco, y se denota
a la norma de
partición (longitud del subarco más largo), entonces, al tomar el límite de las sumas de
Riemann cuando la norma tiende a cero se tiene la integral de línea de a lo largo de
y de
a
es:
5
con longitud de arco finita.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
es
siempre y cuando el límite exista.
Donde
está definida en el intervalo
,
y
vectores de posición de los puntos
y
respectivamente y la curva
dominio de .
Si se divide la curva
sobre
INTEGRALES DE LÍNEA
Teorema 3.1 Propiedades de las integrales de línea respecto a la longitud
de arco
3
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.1
Obtener
, si
y
es la curva trazada por la
función vectorial
,
Las integrales de línea tienen las siguientes propiedades:
donde
1)
es una constante
Resolución
De los datos del ejemplo se tiene
2)
3)
Inversión de la orientación
Al ir de un punto
a un punto
de una curva, se tiene que
y sustituyendo en la fórmula de la propiedad 6
donde
inverso
representa a la misma curva que
pero en sentido
4)
El valor de la integral de línea
es independiente
5)
de la parametrización utilizada.
Si la curva es suave por partes, entonces la integral
se obtiene descomponiendo la curva
suaves
El tejado de un edificio tiene una altura sobre el suelo dada por
Si la curva
y una de las paredes sigue un camino dado por
superficie de la pared si
.
Resolución
y calculando las integrales para cada
está definida por la función vectorial
, entonces:
,
Parametrizando;
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
,
en curvas
una de esas curvas
6)
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.2
. Obtener el área de la
CÁLCULO VECTORIAL
4
,
Área
Para resolver la integral, si
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
y
Obsérvese
, sustituyendo :
que
la
integral
, cuando
de
línea
se
reduce
a
, que es la expresión para calcular la longitud de
arco vista en el capítulo anterior.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.4
Demostrar que la integral de línea de
a lo largo de la trayectoria
,
, dada en coordenadas polares es:
Área
unidades cuadradas.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Las integrales de línea de la forma
si se sabe que la longitud de arco en coordenadas curvilíneas ortogonales puede
expresarse como
.
se generalizan para funciones de
más de dos variables, aunque claro, la interpretación ya no puede ser la de área bajo una
superficie. Una de las principales aplicaciones de este tipo de integrales es en la
obtención de la masa de un alambre (descrito por
) cuya densidad está dada por la
función escalar
.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.3
Calcular la integral de línea
donde
Resolución
Puesto que los factores de escala para las coordenadas polares son
y
entonces la diferencial de la longitud de arco en coordenadas polares es:
,
y al sustituirla en la integral de línea se tiene:
multiplicando y dividiendo por
y escribiendo a
en función de
y
lo que finalmente se simplifica en:
Resolución
Q.E.D.
Puesto que
, se tiene que:
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
INTEGRALES DE LÍNEA
Una de las principales causa de error al evaluar una integral de línea a lo largo
de una trayectoria, consiste en distinguir si la curva es suave o suave por partes. Puesto
que no siempre una curva suave por partes se representa a través de una función con
varias reglas de correspondencia. Para ejemplificar lo anterior considérese el siguiente
ejemplo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.5
Evaluar
, donde
es la trayectoria cuya parametrización es
e interpretar geométricamente el resultado.
Resolución
a
, entonces debe cuidarse el hecho de que
5
al ser un módulo,
siempre es positivo, por lo que la integral que debe resolverse es:
Las integrales de línea (o curvilíneas) que hasta aquí se han realizado son
integrales de funciones escalares con respecto a la longitud de arco; sin embargo, no son
las únicas integrales de línea que existen. Otro tipo de integrales de línea son las
integrales de campos vectoriales a lo largo de una trayectoria, éstas tienen su principal
aplicación en la mecánica, en la obtención del trabajo realizado sobre un cuerpo que se
mueve en un campo vectorial de fuerzas.
Antes de introducir la definición matemática de trabajo es necesario recordar
el concepto de trabajo realizado por una fuerza. Una fuerza realiza trabajo cuando
desplaza un cuerpo una cierta distancia. Considérese el caso más simple mostrado en la
figura, en donde el cuerpo
es
desplazado una distancia , del punto
al punto , por la fuerza horizontal
trabajo
realizado en este ejemplo es fuerza por distancia, i.e.
. El
. . . (3.1)
El resultado representa el área del cilindro que se forma debajo de la superficie
por encima del plano
y siguiendo la recta
desde el punto
punto
considerando ambos lados de la superficie.
al
Ahora bien, si la fuerza
forma un ángulo
como se muestra en la siguiente figura,
con respecto a la horizontal,
el trabajo realizado por la fuerza
de
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Debe observarse que la función vectorial
describe la recta de identidad del punto
al origen y luego, nuevamente al punto
, por lo que en realidad es una curva suave por partes. Si se decide integrar de
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
al mover el cuerpo
a
es
. . . (3.2)
CÁLCULO VECTORIAL
puesto que solamente efectúan trabajo las fuerzas que tienen la misma dirección del
desplazamiento, es decir, la única fuerza que realiza trabajo es la componente horizontal
, que es precisamente
.
Obsérvese que para un desplazamiento diferencial, la distancia
reemplazada por
en la expresión (3.2) obteniéndose una diferencial de trabajo
donde
de
es el vector tangente unitaria a la curva
Si la curva
en cualquier punto.
está definida por la función vectorial
es
. . . (3.6)
. . . (3.3)
y recordando que
que puede expresarse como
visto en el capítulo anterior se tiene
. . . (3.7)
. . . (3.4)
entonces
. . . (3.8)
Donde
es módulo de la fuerza
es módulo
desplazamiento
es el ángulo entre
y si el campo es
de
la
diferencial
de
y
. . . (3.9)
entonces de (3.3) y (3.4)
Por lo que, de la definición del producto punto, la expresión (3.4) se transforma
en
e integrando en ambos miembros desde el punto
trayectoria se tiene
hasta el punto
. . . (3.5)
a lo largo de la
Forma diferencial de la integral de línea
Por otro lado, de (3.1)
Definición 3.2
Sea una curva suave orientada en la dirección del movimiento de unas
partículas en un campo de fuerzas , entonces el trabajo realizado por
el campo de fuerzas al desplazar una partícula a lo largo de es
La expresión
. . . (3.10)
entonces de (3.4) y (3.5)
es una forma vectorial de la integral de línea de un
campo vectorial a lo largo de una trayectoria, que también puede escribirse como
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
Forma paramétrica de la integral de línea
6
INTEGRALES DE LÍNEA
Resolución
Empleando la forma paramétrica de la integral de línea, se tiene que
Teorema 3.2 Propiedades de las integrales de línea
. . . (a)
Las integrales de línea tienen las siguientes propiedades:
donde
1)
7
es una constante
de la parametrización de la curva
se tiene
2)
3)
Inversión de la orientación.
Al ir de un punto
a un punto
de una curva, se tiene que
por lo que
donde
inverso
representa a la misma curva que
pero en sentido
y
4)
El valor de la integral de línea
es independiente de
5)
la parametrización utilizada.
Si la curva es suave por partes, entonces la integral
se obtiene descomponiendo la curva
suaves
,
,
sustituyendo en (a)
en curvas
y calculando las integrales para cada
una de esas curvas
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Si la integral de línea se realiza a lo largo de una curva cerrada, entonces se
Antes de resolver problemas físicos que involucren a las integrales de línea, se
muestran ejemplos donde se indica la forma de evaluar dichas integrales.
utiliza el símbolo
, de manera que la integral se escribe
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.6
Evaluar
donde curva
está dada por
Ejemplo 3.7
Considérese a
integral
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
como el contorno del cuadrado unitario con vértices en
y
orientado en sentido positivo. Calcular la
CÁLCULO VECTORIAL
8
. . . (a)
Resolución
La trayectoria es:
al sustituir las expresiones anteriores en (a) y (b) se tiene
dividiendo la curva
en los segmentos
,
,
y
indicados en la figura
se tiene que
Finalmente, la integral de línea a lo largo de la trayectoria cerrada es:
... (b)
Por otro lado, una parametrización de
, está dada por
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Debe recordarse que la integral de línea no depende de la parametrización, por
lo tanto, es posible utilizar alguna otra y obtener el mismo resultado.
de donde
Cuando se desea parametrizar un segmento recta, cuyos puntos inicial y final
son conocidos, entonces la siguiente fórmula es de utilidad
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
INTEGRALES DE LÍNEA
9
el cálculo de la integral.
Fórmula 3.1
Sea un segmento de recta que va del punto
la parametrización para el intervalo
al punto
, entonces
está dada por:
,
Considérese para el mismo ejemplo la parametrización del cuadrado unitario
dada por las reglas
Las integrales de línea también pueden valuarse a partir de su forma diferencial
y sin utilizar alguna parametrización, para observar esto, considérese el campo del
ejemplo anterior
y la misma trayectoria.
Entonces la integral de línea
se puede obtener mediante
Para esta parametrización se tiene
... (3.11)
por lo que:
Para :
Que es el mismo resultado obtenido anteriormente.
La ecuación cartesiana es
entonces
Pueden proponerse parametrizaciones tales como:
Para
Para
,
:
La ecuación es
,
Obsérvese que el sentido en el que se recorre
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
,
:
La ecuación es
Sin embargo, puede observarse que la dificultad al obtener las integrales
depende de la parametrización utilizada, por lo que al resolver una integral de línea
mediante un parámetro
, debe buscarse aquella regla de correspondencia que facilite
, de donde
es de
a
, por lo
CÁLCULO VECTORIAL
que:
Para
b)
;
c)
;
10
:
La ecuación
En este caso
,
va de
a
.
Finalmente sustituyendo en (3.11)
Se obtiene el mismo resultado.
Como anteriormente se mencionó, la integral de línea
no depende
de la parametrización, pero sí depende de el campo
y de la trayectoria determinada
por . Para visualizar que la integral de línea puede depender de la trayectoria,
considérese el siguiente ejemplo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.8
Evaluar
del punto
al punto
a) a lo largo de la recta que une dichos puntos;
b) a lo largo de la parábola
;
c) a lo largo de la curva
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
En este ejemplo, el resultado de la integral de línea, al valuarla de un punto a
otro, depende de la trayectoria; sin embargo, existen algunos casos en lo que esto no
sucede. Para observar esta diferencia, considérese el siguiente ejemplo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.9
Evaluar
del punto
a) a lo largo de la recta que une dichos puntos;
b) a lo largo de la parábola
;
c) a lo largo de la curva
Resolución
a)
.
,
.
Resolución
a)
;
b)
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
;
al punto
INTEGRALES DE LÍNEA
c)
11
;
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Puede observarse que el resultado de la integral no depende de la trayectoria.
La razón por la que sucede esto es que el campo tiene un característica especial: el
campo es conservativo. Más adelante se estudiarán estos campos.
Resolución
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.10
Obtener el trabajo realizado por una fuerza constante
que actúa
sobre una partícula que se desplaza en una trayectoria en sentido opuesto al del
reloj y alrededor de un círculo de radio 3 y centro en el origen.
Resolución
Sea
La curva
es la intersección del plano
y el cilindro
utilizando la parametrización
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.11
Evaluar
,
entonces
donde
y
de la curva en el primer octante de la intersección del plano
del punto
al punto
es la porción
y el cilindro
.
CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA
TRAYECTORIA
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Para cualquier trayectoria entre los puntos
línea
es igual a
y
, el valor de la integral de
, i.e., la integral no depende de la trayectoria. Al analizar el rotacional del
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
,
CÁLCULO VECTORIAL
12
campo, se observa que:
Teorema 3.4
Si el campo
es continuo en una región conexa abierta, entonces las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
a)
b)
el campo es irrotacional.
es el gradiente de una función escalar:
La integral
, donde
.
es una curva suave por partes
definida en el dominio de , sólo depende del punto inicial y
final de la trayectoria de .
Teorema 3.3
c)
Si el campo vectorial
es continuo en una región conexa abierta,
entonces el valor de la integral de línea
La integral
es una curva cerrada suave
por partes definida en el dominio de
d)
es independiente de la trayectoria si y sólo si
conservativo.
, donde
e)
es un campo
, es igual a cero.
es una diferencial exacta.
.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Un campo vectorial
escalar , es decir,
siguiente suposición:
es conservativo cuando
. Para determinar si
es el gradiente de una función
es conservativo, considérese la
Ejemplo 3.12
Evaluar
Si es conservativo, entonces existe una función escalar
es decir:
tal que
,
cuyos vértices son
donde
,
y
es el triángulo
.
Resolución
y de las propiedades del rotacional, se sabe que:
por lo que:
Es decir, si el campo
es conservativo entonces su rotacional vale cero vector.
El hecho de que el campo
sea el gradiente de una función escalar, lleva a
otras afirmaciones equivalentes, las cuales se enuncian en el siguiente teorema:
Puesto que el campo es conservativo y la trayectoria cerrada, la integral de
línea es igual a cero.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
INTEGRALES DE LÍNEA
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
cerrada y el campo
teniéndose
13
es conservativo, entonces puede escribirse en forma diferencial,
Ejemplo 3.13
Supóngase que una curva
está descrita por la función vectorial
. Sean la aceleración, la velocidad y la rapidez
y
, respectivamente. Aplicando la segunda ley de Newton
para
es una diferencial exacta, i.e., existe una función
donde
la cual
,
,
demostrar que, en ausencia de fricción, el trabajo realizado por al mover una
partícula de masa constante
desde un punto
en
hasta un punto
en
es igual al cambio de energía cinética:
Ayuda: Recuérdese que
y al sustituir en la integral se tiene
, lo que lleva a
La expresión anterior se conce con el nombre de teorema fundamental de las
integrales de línea.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.14
Obtener el trabajo necesario para mover una partícula material desde el punto
al punto
, a lo largo de cualquier trayectoria, bajo el campo
Resolución
Puesto que
Resolución
entonces
Si por simplicidad se considera la diferencial como
o bien el campo como
Entonces, para obtener la función potencial
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A los campos para los cuales su rotacional es igual a cero vector se les llama
conservativos porque en ellos se cumple la ley de la conservación de la energía, la cual
indica que, en un campo conservativo la suma de las energías cinética y potencial de un
cuerpo se mantiene constante de punto a punto.
Cuando el campo es conservativo y por lo tanto admite función potencial, se
puede obtener ésta y emplearla para calcular el valor de la integral de línea.
Si se desea obtener el valor de
, donde
es una trayectoria no
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
para
CÁLCULO VECTORIAL
La función
para la cual
14
es la expresión dada en el enunciado es
Por lo tanto, el trabajo pedido es
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.16
unidades de trabajo.
Dado
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
En ocasiones, simplemente se pregunta si una expresión es o no diferencial
exacta, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
.
a) Determinar todos los valores de
conservativo.
b) Determinar los únicos valores de
al punto
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.15
,
,
,
,
para que el campo
para que
sea igual a
sea
, del punto
(
).
Resolución
Sea la expresión
a)
Determinar si es una diferencial exacta y, de ser posible, obtener la función
cuya diferencial es la expresión dada.
Resolución
Para que sea diferencial exacta, debe cumplirse que
Para que sea conservativo
y
Si
b)
,
y por igualdad de vectores
,
el campo
es conservativo.
Se obtiene primero la función potencial
o bien:
Entonces:
,
,
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.17
de donde
a)
Determinar los valores
y
para que el campo de fuerzas dado por
sea un campo conservativo.
b)
Por lo que sí es una diferencial exacta.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
Se quiere desplazar una partícula a través del campo y a lo largo de
un segmento del eje equis. Determinar el punto
contenido en dicho
eje para el cual el trabajo realizado por el campo al desplazar una
partícula del origen
a ese punto es
.
INTEGRALES DE LÍNEA
Resolución
15
Se tiene que
Y puesto que
potencial es precisamente
, el campo
es conservativo y su función
, por lo que el trabajo está dado por:
a)
unidades de trabajo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
De donde
b)
Las integrales de línea pueden calcularse cuando el campo y la trayectoria están
dados en otros sistemas coordenadas. Cuando el campo es conservativo, se puede
obtener la función potencial y emplearla para calcular el valor de la integral, pero debe
recordarse que si el campo vectorial es
y
. . . (3.12)
Para esta trayectoria:
y la función escalar es
, la relación entre ellos es:
pero
. . . (3.13)
El punto pedido es:
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.18
Obtener el trabajo realizado por el campo al desplazar una partícula de masa
unitaria a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura, desde el punto
h a sta
el
p u n to
,s i
el
cam p o
es
,
y deben de igualarse (3.12) y (3.13) para obtener la función potencial.
Para verificar que el campo es conservativo debe calcularse el rotacional, según
la expresión:
donde
.
y obtenerse
.
Cuando el campo no es conservativo, es posible evaluar la integral de línea
recordando que en coordenadas curvilíneas
por lo que la integral de línea queda:
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Resolución
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
edición.- México, 1995.
Ejemplo 3.19
Determinar el trabajo realizado por el campo vectorial
al desplazar a una partícula desde el punto
a lo largo de la trayectoria dada por la curva
El campo
hasta el punto
16
,
Research & Education Association.- Advanced Calculus problem solver.- United States
of America, 1991.
Cálculo con Geometría Analítica.- Zill, Dennis G.- Grupo Editorial Iberoamérica.Primera edición.- México, 1987.
está definido en coordenadas polares.
Resolución
La parametrización de la trayectoria está dada por:
,
,
de donde
Cálculo con Geometría Analítica.- Swokowski, Earl W .- Grupo Editorial Iberoamérica.Segunda edición.- México, 1988.
El Cálculo con Geometría Analítica.- Leithold, Louis.- HARLA.- Sexta edición.México, 1992.
Cálculo, Tomo 2.- Smith, Robert T. y M inton, Roland B.- Segunda edición.-McGrawHill.- Madrid, 2002.
Por lo que:
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
BIBLIOGRAFÍA
Cálculo, Conceptos y Contextos.- Stewart, James.- Editorial Thomson.- Tercera
Edición.- México, 2006.
Cálculo Vectorial.- Marsden, Jerrold E. y Tromba, Anthony J.- Pearson Addison-W esley
, S.A.- Quinta edición.- Madrid, 2004.
Análisis Vectorial.- Davis, Harry F. y Snider, Arthur David.- McGraw-Hill.- Primera
edición.- México, 1992.
Cálculo y G eometría Analítica.- Larson, Roland P. , Hostetler, Robert P. y Edwards,
Bruce H. -McGraw-Hill.-Octava edición.- China, 2006.
Cálculo Vectorial.- Pita Ruiz, Claudio.- Prentice Hall Hispanoamérica S.A.- Primera
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.