ANEXO A. MODELO DE LONGITUD DE MEZCLA PARA EL FLUJO TURBULENTO A.1 Flujo Turbulento y Viscosidad de Vórtice Si el número de Reynolds es suficientemente alto, virtualmente cada tipo de flujo será turbulento. La turbulencia se encuentra en la atmósfera, en el océano, en el flujo alrededor de aviones y misiles, en la mayoría de flujos en tuberías, en estuarios y ríos, y en las estelas de vehículos en movimiento. Tal turbulencia se genera principalmente por efectos de fricción en las paredes sólidas o por la interacción de las corrientes que se mueven sobre tale paredes con diferentes velocidades. Varios autores han sugerido que lo mejor que se puede hacer, ante la dificultad de definir con precisión la turbulencia, es listar las características del flujo turbulento, ver Street et al., 1996. Tales características se listan como : • Irregularidad o aleatoriedad en tiempo y espacio. • Difusividad o mezclado rápido. • Altos números de Reynolds. • Fluctuaciones de vorticidad tridimensionales. • Disipación de la energía cinética de la turbulencia debido a esfuerzos viscosos. • La turbulencia es un fenómeno continuo aún a las escalas menores. • La turbulencia es una característica del flujo de fluidos, y no una propiedad intrínseca de los fluidos. Para analizar la turbulencia es conveniente concentrarse en las partículas del fluido. Las partículas viajan aleatoriamente moviendo masas de fluido de variados tamaños llamados remolinos; esto causa que en cualquier punto del flujo, haya una rápida e irregular pulsación de la velocidad alrededor de un valor medio bien definido. En general, la 195 intensidad de la turbulencia se incrementa con la velocidad, y la escala aumenta con las dimensiones de las fronteras. Esto último puede verse como que los remolinos turbulentos serán mayores en un canal grande que en un tubo pequeño para la misma velocidad. De hecho, el mayor tamaño esperado del remolino es igual a la longitud característica del flujo, esto es, en un tubo, el radio del mismo, en un canal el ancho o profundidad, el espesor de la capa límite, etc. Esfuerzos cortantes en un flujo turbulento paralelo simple pueden visualizarse al considerar dos puntos adyacentes en una sección transversal del flujo (ver figura A.1). En uno de tales puntos sea la velocidad media temporal u, y en el otro, u + Δu. Si la pequeña distancia transversal es lm, se infiere un gradiente de velocidad du/dy (de la velocidad media). Si u y u + Δu se toman como las velocidades medias de las capas de flujo, la velocidad turbulenta u’ representa el movimiento transversal observado de las pequeñas masas de fluido entre capas, tales masas se transfieren en una dirección o en la otra. Sin embargo, antes de la transferencia tales masas fluidas tienen velocidades (u y u + Δu) y después de la transferencia quedan con velocidades u + Δu y u, respectivamente; esto significa que su momentum se intercambia durante el proceso de transferencia. El primer intento por expresar el esfuerzo turbulento en forma matemática fue hecho por Boussinesq, que siguió el patrón de la ecuación del flujo laminar y escribió Figura A.1. Longitud de mezcla. 196 τ = ε ∂u ∂y (A.1) donde la viscosidad de remolino (o de vórtice), ε, era una propiedad del flujo (y no del fluido mismo) que depende principalmente de la estructura de la turbulencia. Esta expresión para el flujo turbulento se usa frecuentemente hoy a causa de la comparación entre μ y ε aunque no es teóricamente satisfactoria sí es satisfactoria en la aplicación a muchos problemas ingenieriles. Ahora, la ecuación se escribe usualmente como τ = (μ + ε ) ∂u ∂y (A.2) para cubrir la situación combinada de ambas, la acción viscosa y la acción turbulenta, en un flujo. Según sea el flujo completamente turbulento o laminar se elimina la viscosidad opuesta para la descripción adecuada del flujo Tomando las fluctuaciones aleatorias de velocidad del fluido como u’ y v’, respectivamente, normal y paralela a la dirección del movimiento medio general, Reynolds confirmó que tales componentes aleatorias de velocidad causan un esfuerzo cortante medio efectivo en flujo turbulento y mostró que tales esfuerzos podrían escribirse como τ = − ρ u ′v ′ (A.3) en donde u ′v ′ es el valor medio del producto u ′v ′ . Términos de la forma ρ u′v ′ se llaman hoy esfuerzos de Reynolds. Prandtl consiguió relacionar las velocidades de turbulencia con las características generales del flujo proponiendo que las pequeñas agregaciones de las partículas del fluido se transportan por la turbulencia una cierta distancia media lm, desde las regiones de una velocidad a otras y así haciendo sufrir cambios en las velocidades 197 generales de movimiento. Prandtl llamó la distancia lm longitud de mezcla y sugirió que el cambio en la velocidad Δu, incurrida por una partícula de fluido moviéndose a través de la distancia lm era proporcional a u’ y v’, esto es, lmdu/dy ∝ u’ y lmdu/dy ∝ v’. A partir de esto él sugirió τ = − ρ u ′v ′ = ρ lm 2 ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ 2 (A.4) como una ecuación valida para la descripción del esfuerzo cortante en flujo turbulento. Así pues la viscosidad de remolino se puede expresar como ⎛ du ⎞ ε = ρlm ⎜ ⎟ ⎝ dy ⎠ 2 2 (A.5) En el caso de flujo cerca a una pared de borde, la turbulencia es fuertemente influida por la pared, u’ y v’ deben ser cero en la pared. Intuitivamente se puede proponer que la longitud de mezcla varíe con la distancia a la pared y, de acuerdo con la figura A.1, esto produce lm= ky (A.6) La constante k es la llamada constante de Von Kármán la cual ha sido determinada a partir de datos experimentales (aunque como se sabe hoy en día ésta realmente no es constante, la discusión de este aspecto está fuera de las pretensiones de este trabajo). El valor nominal que se acepta es 0.41. Incorporando la suposición anterior entonces el esfuerzo de Reynolds puede expresarse como τ = ρk 2 ⎛ ∂u ⎞ y2⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ 2 = ρk 2 y 2 du ⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ dy ⎝ dy ⎠ 198 (A.7) A parte de la ecuación A.6, Von Kármán propuso otra expresión para regiones lejos de las paredes sólidas donde lm probablemente dependería mayormente de las variaciones locales de la velocidad, esto es, du / dy , d 2 u / dy 2 , etc. Eligiendo la cantidad más simple con las dimensiones de longitud formada por estas derivadas, él propuso lm = k ⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dy ⎠ (A.8) d 2u dy 2 donde k es una constante experimental. Puede mostrarse que la constante k en la ecuaciones A.6 y A.8 es la misma (ver Li - Lam, 1964). Estas fórmulas para lm no se entienden físicamente correctas. Por ejemplo, uno espera que la longitud de mezcla en flujo en un tubo debería ser influenciada por el tamaño del tubo, pero como se ve, el tamaño no está incluido en estas fórmulas. Por el centro del tubo donde la mezcla es más intensa, con du/dy = 0, la ecuación 8 sugiere que lm = 0 !. A pesar de todo esto, tales fórmulas se han usado exitosamente para predecir la distribución de la velocidad media. El valor de k debe determinarse experimentalmente, pero se supone que es esencialmente el mismo flujos turbulento paralelos. En cuanto a esto, por ejemplo autores como Lambert y Sellin, 1996, toman k = 0.6 (que ellos llaman coeficiente de longitud de mezcla Cml) para todos los cálculos de los perfiles de velocidades promediadas verticalmente a lo ancho de la sección transversal de los canales compuestos, que es lo que nos interesa en el presente estudio. Uno de los objetivos del presente trabajo fue la discusión acerca de tal valor constante e igual a 0.6 y que a nuestro modo de ver no siempre ha de ser 0.6 (o 0.41). La elección de tal valor corre por cuenta del modelista y es, en general, propia de cada problema particular a tratar. 199 Otros autores proponen la toma de otras expresiones para el coeficiente de longitud de mezcla. Jia y Wang, 1999, proponen en su artículo trabajar con dos modelos de viscosidad de vórtice. Primero, el coeficiente de viscosidad de remolino ε se calcula usando la comúnmente aceptada fórmula de viscosidad de remolino parabólica integrada verticalmente ε= Axy 6 kU *h (A.9) donde U* es la velocidad de cizalladura; h es la profundidad local del agua; k = 0.41. Axy es un valor ajustable de la viscosidad de remolino, su valor por defecto es la unidad. El segundo modelo de la viscosidad de vórtice es el modelo de longitud de mezcla promediado verticalmente 2 ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂ U ⎞ ⎛ ∂u ⎞ 2⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ 2 ε = lm 2 2 2 (A.10) donde, 1 z⎞ 1 ⎛ lm = ∫ kz ⎜ 1 − ⎟ dz = kh ∫ λ (1 − λ ) dλ ≈ 0.257 kh ⎝ h⎠ h 0 (A.11) El gradiente de velocidad integrado verticalmente se obtiene a partir de ∂U U = Cm * ∂z kh (A.12) 200 Este término se introduce para dar cuenta del efecto de turbulencia que se genera por la superficie del fondo. Cm es un coeficiente al que se le asigna el valor de 2.34375. Otro problema importante y que muchas veces se desprecia o se pasa por alto es el relacionado con ambos, la longitud de mezcla y los modelos parabólicos, es el efecto de pared. En la región muy cercana a la pared, el efecto de humedecimiento en la pared es significativo. Las distancias desde los nodos (en modelación 2D) a la pared deben emplearse como longitud de escala en cambio de la profundidad local z desde el fondo del lecho. La distancia normal desde la pared dp se usa para el cálculo de la longitud de mezcla en la región dp/h< 0.3245; también se usa para el cálculo del perfil parabólico en el rango dp/h < 0.21. Los números 0.3245 y 0.21 son las respectivas distancias relativas en que la longitud de mezcla y la función parabólica son iguales a sus respectivos valores promediados verticalmente. Esta aproximación elimina la posibilidad de predecir viscosidades de remolino cerca de la pared. Si dw es la distancia desde un punto del fluido a la pared, entonces para el cálculo de la longitud de mezcla y la viscosidad de remolino promediada verticalmente se procede como sigue lm = kd w 1 − dw h para dw < 0.3245h (A.13) lm = 0.267 kh ε = khU * dw ⎛ dw ⎞ ⎜1 − ⎟ h ⎝ h⎠ para para dw > 0.3245h dw < 0.21h (A.14) ε = khU* / 6 para dw > 0.21h 201 Los componentes del esfuerzo cortante de fondo se obtienen a partir de 1 8 1 8 τ ox = ρfuU y τ oy = ρfvU (A.15) Un método alternativo es emplear la fórmula de Manning para evaluar los esfuerzos cortantes τ ox = 1 1 ρn 2 uU y τ ox = 1/ 3 ρn 2 vU 1/ 3 h h (A.16) donde el coeficiente de Manning n es una constante local para una condición de fondo fija, que no cambia con las condiciones de flujo. La ecuación A.16 es más eficiente que (A.15), según se ha podido establecer. Para aplicaciones generales el segundo método usarse, pero en casos con datos de rugosidad precisos la primera aproximación se recomienda. Cuando se consideran ríos con fondo y banca flojas, es importante que la altura de rugosidad ks y el n de Manning usados para el cálculo del esfuerzo cortante deben incluir ambos, el tamaño del grano y los efectos de resistencia de la forma del lecho. Los puntos antes señalados son importantes en cuanto tienen que ver con el modelo de longitud de mezcla utilizado por Lambert y Sellin, 1996, así como nos da argumentos para decidir qué tipo de fórmulas de rugosidad utilizar, trátese de las fórmula de Manning o fórmulas que tienen en cuenta el coeficiente f de Darcy – Weisbach. Nuestro objetivo en este anexo ha sido presentar al lector interesado algunas de las más recientes y prometedoras metodologías para enfrentar el problema de la modelación de los flujos turbulentos usando el concepto de la longitud de mezcla 202 Este modelo lo utilizan en forma simplificada (ecuación A.6) Lambert y Sellin, 1996, y sí proporciona resultados aceptables en el cálculo de la curva de calibración de caudales en canales compuestos pero necesita refinarse con el objeto de extender su uso no sólo a casos relativamente simples como los expuestos por tales autores, canales compuestos con llanuras de inundación y canal principal plenamente identificables con formas regulares, sino también a canales cuya geometría sea irregular además de contar con rugosidad compuesta. En este sentido el autor recomienda aplicar y explorar el modelo de Lambert y Sellin, 1996 en trabajos futuros, cambiando el coeficiente Cml = 0.6 que ellos utilizan y aún el coeficiente de longitud de mezcla lm por otras expresiones que sean variables en el ancho de la sección y que dependan de la profundidad de flujo y la distancia a las paredes del canal tal y como se propone en las ecuaciones A.11, A.13 y A.14. La esperanza que se tiene es que efectivamente, se logren mejoras en el campo de la predicción no solo en cuanto a las curvas de calibración de caudales sino en otros campos relacionados con los flujos a superficie libre dentro de los que se cuenta el cálculo de perfiles de flujo. A.2 Obtención de la ecuación de movimiento 2.4 Recordemos la figura 2.2 y de la cual extraemos un elemento infinitesimal de volumen como el que se muestra en la figura A.2. Figura A.2. Volumen de control usado para determinar las fuerzas que actúan en uno de los elementos verticales que se muestran en la figura 2.2. 203 Contamos en la dirección del flujo con flujo uniforme. Por equilibrio de fuerzas en dirección x podemos escribir entonces la siguiente ecuación ρdVo lg senθ − τ o 1 + sy2 dydx − τ yx zdx + (τ yx + ∂τ yx ∂z dy ) dx ( z + dy ) = 0 ∂y ∂y (A.17) donde dVol es el diferencial de volumen del elemento, y puede expresarse como 1 ∂z dVol = zdxd + dxdy 2 y despreciamos el término dy2 para obtener que dVol = zdxdy. ∂y 2 Así entonces podemos reescribir la ecuación A.17 como zdydxρg senθ − B*τ o dydx − τ yx zdx + τ yx zdx + τ yx dx ∂τ yx ∂τ yx ∂z ∂z dy + zdydx + dydx dy = 0 ∂y ∂y ∂y ∂y Reuniendo términos semejantes y despreciando de nuevo términos de segundo orden dy2, llegamos a zdydxρg sen θ − B*τ o dydx + τ yx ∂τ yx ∂z dxdy + zdydx = 0 ∂y ∂y (A.18) Ahora, al reemplazar senθ por So que es la pendiente longitudinal del canal y al dividir todos los términos de la ecuación A.18 por dxdy obtenemos finalmente gzSo − B*τ o ρ + 1 ∂ τ yx z = 0 ρ ∂y ( ) (A.19) que es precisamente la ecuación 2.4 que queríamos demostrar. 204