Solución de los Problemas del Capítulo 3 Enlace Químico y

Solución de los Problemas del Capítulo 3
1. Seleccione la respuesta correcta y explique por qué. Un electrón que
tiene un n=2 y m=0
a) Debe tener un ms=+1/2
b) Puede tener un l=2
c) Puede tener un l=0, ó 1
d) Debe tener un l=1
La respuesta correcta es la c) porque si n= 2, los posibles valores para l son 0
y 1. Cualquiera de los dos es posible, por tanto la respuesta d) es incorrecta
porque dice que l debe ser 1 y como m=0 no hay obligatoriedad en el valor de l,
siempre que sea 0 ó 1. Tampoco es correcta la respuesta a), ya que el estado
de espín podría ser de ms=+1/2 ó ms=-1/2 y por tanto la palabra “debe” hace
incorrecta la respuesta.
2. ¿Cuál o cuales de las siguientes proposiciones son correctas para un
electrón en un n=3 y m=2? Justifícalo
a) El electrón es un orbital d
Es correcta, ya que si n = 3, l puede valer 0, 1 y 2. Un valor de m=2,
por tanto, sólo puede provenir de un l=2, por tanto de un orbital d.
b) El electrón está en la tercera capa principal
Es correcto. n=1 es la primera capa; n=2 es la segunda capa, n=3 es la
tercera capa.
c) El electrón puede estar en un orbital p
No es correcto. Si estuviera en p, l =1 y m no podría ser nunca 2
d) El electrón puede tener un ms=+1/2
Correcto. El valor de ms puede ser +1/2 ó -1/2
3. En relación con las capas, subcapas y orbitales
a) ¿Qué nombre recibe la capa con n=3?
Capa M o Capa tercera
b) ¿cuántas subcapas se encuentran en este nivel?
3. Subcapa 3s, subcapa 3p y subcapa 3d
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c) ¿cuántos orbitales pueden tener los números cuánticos n=3 y
l=1?
3. 3p1, 3po y 3p-1.
Si los expresamos como orbitales reales: 3px, 3py y 3pz.
d) ¿cuántos orbitales pueden tener los números cuánticos n=3 y
m=1?
Dos. El que tenga l =1 y m =1, y el que tenga l =2 y m=1
e) ¿cuál es el número total de orbitales en el nivel 3?
9= n2
n
l
0
m
0
-1
0
+1
-2
-1
0
-1
-2
1
3
2
4. Para un electrón en un átomo hidrogenoide que está definido por un
valor de n=2 y de l=1. ¿Cuánto vale su energía en J? ¿Cuánto vale el
módulo de su momento angular orbital? ¿Cuánto puede valer la
componente Lz de su momento angular orbital? Nota: utilice la
bibliografía para obtener el valor de las constantes que necesite.
Para un átomo hidrogenoide la energía de sus estados sólo depende del
número cuántico n y no del l. Esta energía, es directamente proporcional a
Z2, inversamente proporcional a n2, siendo la constante de
proporcionalidad R, la constante de Rydberg.
R = 1,096776.
107
m-1
E(n) = - R Z2/n2
x 2,9979. 108 m.s-1 x 6,625.10-34 J.s = 21,78.10-19 J
E(n) = - 21,78.10-19 Z2/22 = - Z2.5,445. 10-19 J
Módulo del momento angular orbital del electrón:
|L|=
l (l + 1)
h
h
h
= 1(1 + 1)
= 2
2π
2π
2π
Componente Lz del momento angular orbital:
Son posibles tres posibles valores
Lz = 0
Lz = + 1
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h
2π
1
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Lz = − 1
h
2π
5. Determine el valor de r, como función de a0, para el que la
probabilidad de encontrar al electrón es cero, cuando está en un
orbital 3p en un átomo de hidrógeno. Realice la misma operación
para el ión Li2+
Puesto que necesitamos el valor de r que hace la función de probabilidad
(ψ2) nula. Sólo hemos de tener en cuenta la función radial, ya que en las
otras funciones angulares, el radio no está como variable y por tanto, tenga
éste el valor que tenga, el armónico esférico no se verá afectado.
Puesto que la función que da la probabilidad es la función de onda al
cuadrado y lo que necesitamos es saber donde ésta se anula, podemos
razonar igualmente sobre cuando la función de onda se anula (donde se
anule la función de onda también se anulará la probabilidad)
Función radial de un orbital 3p (R3,1):
8 ⎛Z⎞
⎜ ⎟
R3,1 =
27 6 ⎜⎝ a0 ⎟⎠
3/ 2
⎛ Zr Z 2 r 2 ⎞ − Zr / 3a0
⎜⎜ −
⎟e
2 ⎟
a
a
6
0 ⎠
⎝ 0
Calculemos los valores que pueden anular esta función
⎛ Z Z 2 r ⎞ − Zr / 3a0
r ⎜⎜ − 2 ⎟⎟e
=0
a
⎝ 0 6a 0 ⎠
i.
ii.
iii.
Si r=0 la función se anula
Si r= ∞ la función también se anula, ya que la exponencial se hace
cero
Si
⎛ Z Z 2r ⎞
⎜⎜ − 2 ⎟⎟ = 0 , la función también se anula.
⎝ a 0 6a 0 ⎠
Despejando r de esta última expresión: r =
1.
2.
6a 0
Z
En el hidrógeno Z=1, por tanto se anula en 0, 6a0,
En el Li2+, Z=3, por tanto se anula en 0, 2a0, ∞
∞
A medida que aumenta la carga del núcleo los orbitales se contraen
enormemente.
6. Represente en dos dimensiones la función Y(θ,φ) para un orbital py
en el plano xy
Si se ha de representar en el plano xy, el valor de θ=π/2 y por tanto
senθ=constante=1.
Analizaremos la variación del armónico esférico con la variación de φ.
Utilizaremos la coordenada r para representar el valor de la función
armónico esférico.
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Tabla de valores de la función: a.senφ
a = (3/4π)1/2
φ
0
10º
20º
30º
45º
60º
90º
120º
135º
150
senφ
0
0,174
0,324
0.5
0,707
0.866
1
0,866
0,707
0,5
φ
180º
190º
200º
210
225
240
270
300
315
330
360
senφ
0
-0,174
-0,324
-0,5
-0,707
-0,866
-1
-0,866
-0,707
-0,5
0
7. Determine en Å cual es el radio de máxima probabilidad para el
electrón en un orbital 1s del átomo de hidrógeno.
Para calcular el radio de máxima probabilidad, hemos de calcular el radio
de la superficie esférica que proporciona la máxima probabilidad de
encontrar al electrón en ella.
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Recordemos lo que significa la función densidad de probabilidad radial.
P = 4πr 2 Ψ12s
4π r2 = área de la esfera de radio r.
P= r2R(r)2
Para un orbital 1s esta función es:
⎛Z
P = r 4⎜⎜
⎝ a0
2
dP d 2 ⎛ Z
=
(r 4⎜⎜
dr dr
⎝ a0
3
⎞ − 2 Zr / a0
⎟⎟ e
⎠
3
⎞ − 2 Zr / a0
⎟⎟ e
)=0
⎠
Para ver cuando esta función es máxima en función del radio, debemos
operar para encontrar donde está ese máximo, es decir aplicar la derivada
primera e igualar a cero:
⎛Z
4⎜⎜
⎝ a0
⎞
⎟⎟
⎠
3
⎡ − 2 Zr / a0
2 2 Z − 2 Zr / a0 ⎤
−
2
re
r
e
⎢
⎥=0
a
0
⎣
⎦
descomponiendo en términos (sacando factores comunes)
⎛Z
4⎜⎜
⎝ a0
3
⎡
⎞
Z⎤
⎟⎟ 2r.e −2 Zr / a0 ⎢1 − r ⎥ = 0 ,
a0 ⎦
⎣
⎠
por tanto la igualdad se cumple si:
r=0; r=∞ ; r= a0/Z
Si calculamos la derivada segunda de la función y sustituimos los valores
anteriores encontrados, obtendremos un valor de la derivada segunda >0
para los dos primeros valores de r y <0 para el último valor.
Por tanto rmax= a0/Z. En el caso del H, este valor es a0, como puede
apreciarse en la figura.
Densidad de probabilidad radial para un orbital 1s.
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8. Teniendo en cuenta que los puntos de máximo y mínimo en las
funciones sen y cos coinciden con puntos de máximo para las
funciones sen2 y cos2, determinar, para el orbital dxy,
a) cuales son las direcciones de máxima probabilidad.
b) Cuales son los valores de θ y φ para los que la probabilidad se
anula
c) qué planos definen esos puntos en coordenadas cartesianas
Función angular de los orbitales dxy,
1/ 2
⎛ 5 ⎞
Y3, ±2 (d xy ) = ⎜
⎟
⎝ 4π ⎠
(sen θsen2ϕ )
2
a) Las direcciones de máxima probabilidad serán aquellas que hagan
que el valor de la función angular (exceptuando el término
constante) valga uno. Es decir: sen2θsen2φ = ±1, lo cual sólo es
cierto si sen2θ= ±1 y sen2φ = ±1.
Para que sen2θ= ±1, se debe cumplir que θ=π/2, lo cual sitúa el
plano de máxima probabilidad en el plano XY.
Para que sen2φ = ±1; 2φ = π/2 + kπ , siendo k un número entero o
cero;
o sea, φ = π/4 + kπ /2
• Si k=0 φ = π/4, es decir 45º, lo que coincide con la bisectriz del
primer cuadrante del plano XY de coordenadas cartesianas
• Si k=1 φ = π/4 + 1.π/2 = 3π/4 es decir 135º, lo que coincide con
la bisectriz del segundo cuadrante del plano XY de coordenadas
cartesianas.
• Si k=2 φ = π/4 + π = 5π/4 es decir 225º, lo que coincide con la
bisectriz del tercer cuadrante del plano XY de coordenadas
cartesianas.
• Si k=3 φ = π/4 + 3π/2 = 7π/4 es decir 315º, lo que coincide con
la bisectriz del cuarto cuadrante del plano XY de coordenadas
cartesianas.
b) Para que la función angular se anule, basta con que alguno de los
factores del producto se anule. Es decir,
sen2θ= 0, ó sen2φ = 0
2
• Para que sen θ= 0, el ángulo debe ser 0 o un número entero de
veces π. Como el ángulo θ sólo toma valores entre 0 y π, sólo
estos dos valores cumplen la condición.
Los valores de θ =0 definen los puntos sobre el eje positivo de las
Z. Los valores de θ = π definen los puntos sobre el eje negativo de
las Z. Así pues, el eje Z es un eje nodal.
• Para que sen2φ = 0, el ángulo debe ser 0 o un número entero de
veces π, por lo que: φ = 0 + (k/2) π
Si φ = 0, los puntos están sobre la parte positiva del eje X
Si φ = π/2, los puntos están sobre la parte positiva del eje Y
Si φ = π, los puntos están sobre la parte negativa del eje X
Si φ = 3π/2, los puntos están sobre la parte negativa del eje Y
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c) Conjugando los valores obtenidos para θ y para φ, nos queda que el
plano XZ es un plano nodal y el plano YZ es otro plano nodal.
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