Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo A

CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO
“LIC. JESÚS REYES HEROLES”
ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS III
G E O M É T R Í A
GUÍA
ANALÍTICA
GEOMETRÍA
CICLO ESCOLAR – TERCER SEMESTRE
A N A L Í T I C A
GUÍA EXAMEN EXTRAORDIANRIO ENERO 2012
TURNO MATUTINO
Elaboró: Arq. Daniel Constantino Sosa.
1
Geometría analítica
CONTENIDO DE LA GUIA
• Localización de parejas de coordenadas en el plano cartesiano
• Distancia entre dos puntos
• Punto medio de un segmento determinado
• Triángulo:
a)
b)
c)
d)
Demostrar si es un triángulo: ▪ rectángulo ▪ equilátero
Calcular área del triángulo “ método determinantes “
Calcular perímetro de un triángulo
Calcular ángulos internos del triángulo
• Recta:
a) Ecuación de la recta conocidos dos puntos
b) Ecuación de la recta conocido un punto y su pendiente
c) Intersección de dos rectas - dadas las ecuaciones
Intersección de dos rectas - dados sus puntos de coordenadas
d) Ecuación de la recta de la forma punto pendiente
e) Ecuación general de la recta
e) Distancia de un punto a una recta
f) Rectas perpendiculares
g) Pendiente y ángulo de Inclinación de una recta
• Circunferencia:
a)
b)
c)
d)
Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
Ecuación general de la circunferencia
Pasar de la ecuación general de la circunferencia a la ordinaria
Hallar la ecuación gral. de la circunferencia que pasa por tres puntos
• Recta y Circunferencia:
a) Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro
es la intersección de las rectas
b) Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro
C ( h, k ) y que es tangente a la recta
• Parábola:
a) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de
simetría paralelo al eje de coordenadas “x “
b) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de
simetría paralelo al eje de coordenadas “ y “
c) Hallar los elementos (vértice, foco, directriz y lado recto )
“dada la ecuación general “ , o dado el foco y la directriz
• Elipse:
a) Ecuación general con centro en el origen ,dado un foco y
la longitud del eje menor
b) Ecuación general con centro en el origen ,dado un vértice y
la distancia focal
c) Hallar los elementos (los focos, vértices, excentricidad y longitud
del lado recto) “dada la ecuación general “
Nota: los temas indicados en la guía que no se encuentren ejemplificados en
la misma, el alumno tendrá que investigarlos.
2
• Investigar: a) Sistema de Ejes de Coordenadas Rectangulares Cartesianas
b)Teorema de Pitágoras
c) Distancia entre dos puntos
d) Método de Determinantes
• Demostrar que el triángulo cuyos vértices: son : A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ) y C ( 7, 9 )
representan un triángulo rectángulo
• Localiza los puntos A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ) ,y C ( 7,9 ) en un sistema de ejes de
coordenadas y calcula el perímetro del triángulo resultante.
Formula:
d  (x 2  x1 )2  (y 2  y1 )2
• Localiza los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Calcular el área del triangulo
formado por los vértices ABC. ( utiliza el método de Determinantes).
Ejemplo.
DETERMINANTE:
4 -5 1
1
A=
2
-3 -2 1
5 3 1
1
[ ( - 8 - 9 - 25 ) – ( 15 + 12 - 10 ) ]
2
1
= [ (- 42 - 15 - 12 + 10 ) ]
2
1
=
(- 59 )
2
 59
=
2
=
=  29.5
A = 29.5 u2
Resuelve los siguientes ejercicios
• Localizar los puntos y calcular el área de cada triangulo de los siguientes ejercicios
1.-
A (-6, -5 ), B ( 8, 2 ) y C ( 5, - 6 ).
2.-
A ( 2, -3 ), B ( - 6, 3 ) y C ( - 4, -1).
( UTILIZA EL METODO DE DETERMINANTES PARA EL ÁREA – EN LOS EJERCICIOS PROPUESTOS )
3
• Localización de puntos en el plano cartesiano. ( ORDENADA Y ABCISA).
EJERCICIOS
Localiza las siguientes parejas de coordenadas en el plano cartesiano, cada
ejercicio en un plano Cartesiano. Únelos y forma el triángulo ABC
1.- A ( 3, 5 ), B ( - 7, -4 ), C ( - 5, 6 ).
2.- A ( -2, -3 ), B ( - 5, 8 ), C ( 7 ,- 2 ).
EJEMPLO:
Localizar los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Únelos y obtiene el triangulo
ABC
y
C (5,3)
x
B(-3,-2)
A(4,-5)
• Distancia entre dos puntos.
“CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”
EJERCICIOS
Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos:
1.-
P ( - 5, 6 ) , Q ( 4, 0 ).
2.-
R ( - 5, 6 ) , S ( 4, 0 ).
3.-
T ( - 5, 6 ) , U ( 4, 0 ).
4.-
V ( - 5, 6 ) , W( 4, 0 ).
4
EJEMPLO:
Hallar la distancia entre
los puntos A ( 2, -5 ), B ( -2,- 3 ).
Formula:
d  (x 2  x1 )2  (y 2  y1)2
(x1, y1) = ( 2,- 5)
y
(x2, y2) = (- 2,- 3)
d=√
d=√
, d = 4.472 unidades
• Punto medio de un segmento determinado.
“CALCULAR PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS”.
EJERCICIOS.
Hallar las coordenadas del punto medio que divide al segmento:
1.-
A ( - 3, - 2 ) , B ( -2 , 0 ).
2.-
C ( 9, -10) , D ( -4 , 7 ).
3.-
E ( -12,-10) , F ( 1 , 0 ).
4.-
G ( -12, 14) , H ( -2, 3 ).
EJEMPLO:
¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento A ( 5, 3 ), B ( 1,- 1 )?
Formula:
x=
x=
=3,
,
y=
y=
=1
5
• Recta – Pendiente conocidos dos puntos.
“APLICAR LA FORMULA DE PENDIENTE ”.
EJERCICIOS
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
1.-
A ( - 1, 1 ) , B ( 2 , 1 ).
2.-
C ( - 3, 1 ) , D ( 4 , 2 ).
3.-
E ( 5 , -1 ) , F ( 2 ,- 4 ).
4.-
G ( 1 , 0 ) , H ( -1 , 2 ).
EJEMPLO:
¿Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 1 , -1 ) y ( -3, 2 )?
Formula:
,
m=
m=
=
= - 0.75
• Recta – Ecuación general conocidos dos puntos.
“APLICAR ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS”.
EJERCICIOS
Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:
1.-
P ( 0, -2 ) y Q ( -3,1 ).
2.-
R ( 2, -1 ) y S ( 7, 6 ).
3.-
T ( 2,- 5 ) y U ( - 2,-3).
4.-
V ( - 6,-1) y W( -5,-2 ).
EJEMPLO:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-2,1) y P2 (0,3).
Formula:
y - y1 =
-
(x - x1) ;
y –1=1(x+2) ;
y - 1 = x +2 ,
y - y1 =
y = x +2+ 1 ,
( x - ( -2))
x–y+3 = 0
6
• Recta – Ecuación general conocidos un punto y la pendiente.
“APLICAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO Y SU PENDIENTE”.
EJERCICIOS
Hallar la ecuación general de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente m,
1.-
P ( -2, -1 )
y
m = -3
2.-
R ( 3, 4 )
y
m=
3.-
T ( 1,- 2 )
y
m=
4.-
V ( - ,-1)
y
m = -1
EJEMPLO :
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (-3,-1) y pendiente m = - 2
Formula:
y - y1 = m (x - x1)
y – ( -1 ) = - 2 ( x - (- 3))
y+1 = -2(x+3)
,
y+1 =-2x-6
,
2x + y + 7 = 0
• Recta – Intersección de dos rectas.
“APLICAR METODO - ECUACIÓNES SIMULTANEAS”.
EJERCICIOS
Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas.
1.- 2x - 3y + 1 = 0
y
3x + 5y - 2 = 0
2.- 3x + y - 4 = 0
y
x - 3y + 8 = 0
3.- 5x + 3y + 4 = 0
y
6x - 2y - 1 = 0
EJEMPLO :
Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y - 5 = 0 y 3x - 4y +5
x + 2y – 5 = 0
x = - 2y + 5 , sustituyendo “x” en ec. 2
igualando en ec. 1
3 (- 2y + 5 ) - 4y + 5 = 0 ; - 6y + 15 – 4y + 5 = 0
- 6y - 4y = - 15 – 5
;
- 10y = - 20
,
y=
,
y=2
Sustituyendo en ecuación 1 el valor obtenido
x + 2( 2 ) - 5 = 0
x-1=0
,
x=1
por lo tanto
( 1, 2 ).
7
• Recta – Perpendicularidad.
“APLICAR CONDICIÓN DE RECTAS PERPENDICULARES PUNTO MEDIO”.
EJERCICIOS
Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento
indicado y es perpendicular a la recta :
1.-
A ( 1, 4 ) , B ( -3 , -5 ).
y
recta
3x – 4y – 7 = 0
2.-
C ( - 7,- 9 ) , D ( 1 , 0 ).
y
recta
8x + 7y – 10 = 0
3.-
E ( 8, - 10) , F ( -2 , -4 ).
y
recta
x + 9y + 2 = 0
4.-
G ( - 6,11 ) , H ( -6 ,11 ).
y
recta
6x – 2y + 10 = 0
EJEMPLO :
Encontrar la ecuación general de la recta l1 que pasa por el punto medio del
segmento A (2,-4), B (-3,6) y es perpendicular a la recta 5x - 5y – 5 = 0
FORMULA
x=
x=
,
y=
1
23
=
= - 0.05
2
2
y=
46
2
=
=1 ,
2
2
Para la pendiente
Pm ( -0.05 ,1 )
Para la pendiente de ml1
5x - 5y - 5 = 0
Ax + By + C = 0
m=
Para encontrar la ecuación de
l1
FORMULA
,
m=
=1 ,
y- y1 = m ( x - x1 ) , sustituyendo
y + 0.5 = - x + 1
,
x + y+ 0.5 -1 = 0
┴
m
l1 = -1
y + 0.5 = - 1 ( x -1)
,
1x + y - 0.5 = 0
8
• Ecuación de la circunferencia
“APLICAR – ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y DISTANCIA
ENTRE DOS PUNTOS”
EJERCICIOS.
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y pasa por el punto
indicado.
1.-
Centro ( 0,
2)
y
punto
Q ( -3,-6 ).
2.-
Centro ( -4, -6 )
y
punto
S ( 10, -1).
3.-
Centro ( -5, 5 )
y
punto
U ( - 2,- 4).
4.-
Centro ( 8, - 9 )
y
punto
W ( 1 , 7 ).
EJEMPLO :
Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( 0,1 ) y pasa por el
punto P1 (- 1,- 2 ).
Formula:
d  (x 2  x1 )2  (y 2  y1 )2
,
( x – h )2 + ( y – k )2 = r2
Ecuación de la circunferencia
PARA ENCONTRAR EL RADIO
(x1, y1) = ( 0, 1)
r =√
y
,
(x2, y2) = ( -1,-2 )
r =√
,
r = 3.162 unidades
PARA ENCONTRAR LA EC. GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
( x – 0 )² + ( y – 1 )² = ( 3.162 )²
x² +y² - 2y +1 = 10
, x² +y² - 2y +1 -10 = 0 ,
x² +y² - 2y - 9 = 0
9
• Ecuación de la circunferencia
“APLICAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN”
EJERCICIOS.
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y radio indicado:
1.- Centro ( 0, -2 )
y
r = 2
2.- Centro ( -6, -4 )
y
r =3
3.- Centro ( 5, - 5 )
y
r = 8
4.- Centro ( -9, 8 )
y
r =
EJEMPLO :
Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( -5,3 ) y radio r = 4
Formula:
( x – h )2 + ( y - k )2 = r2
( x – (- 5))2 + ( y - 3 )2 = 42
( x + 5 )2 + ( y - 3 )2 = 16
x² +10x +25 + y² - 6y + 9 = 16
x² +y² + 10x - 6y + 25+ 9 – 16 = 0
x² +y² + 10x - 6y + 18 = 0
10
• Recta - Angulo entre dos rectas - Intersección de rectas
“Aplicar Pendiente, ángulo de inclinación y ecuaciones simultaneas”
EJEMPLO.
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos (- 2,1) y ( 0,5)
(x1, y1) = (-2,1 )
m=
;
y
m=
(x2, y2) = (0, 5)
=2 ; m=2
α = arc tan 2 ; α = 63° 26’ 05”
EJERCICIO
1.- Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos (4,7) y (-3,-7)
EJEMPLO.
Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m1 = - 3 y m2= - 5
Formula:
tan θ =
,
tan θ =
;
tan θ =
=
θ = 7° 07’ 30”
EJERCICIO
1.- Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m1 = 9 y m2 = -8
EJEMPLO.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-2,1) y P2 (0,3)
y - y1 =
y 2 -y
x2 - x
(x - x1) ;
y - y1 =
y – 1 = 1 ( x + 2 ) ; y - 1 = x +2 ,
( x - ( -2))
y = x +2+ 1
x–y+3 = 0
EJERCICIOS
1.-
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(-10,-3) y P2(5,-4)
2.-
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 ( 0,-5 ) y P2( 7,6 )
11
EJEMPLO.
Cuál es la pendiente de la recta 2x + 5y - 1 = 0 ? ¿Cuáles son sus
intersecciones con los ejes?
m=m=-
;
;
A = 2 ; B = 5 y C = -1
a=-
=
;
b=-
La intersección con los ejes es:
(
)
(
)
EJERCICIO.
1.-
¿Cuál es la pendiente de la recta 7x + 12y - 10 = 0 ? ¿ Cuáles son sus
intersecciones con los ejes?
EJEMPLO.
1.- Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y - 5 = 0 y 3x - 4y + 5= 0
“APLICAR ECUACIONES SIMULTANEAS “
x + 2y – 5 = 0
3x – 4y +5 = 0
Despejando e igualando en ecuación 1
Sustituyendo en ecuación 2
- 6y - 4y = - 15 – 5
,
,
x = - 2y + 5
3(- 2y +5) - 4y + 5 = 0
;
- 10y = - 20
,
;
- 6y + 15 – 4y + 5 = 0
y =
,
y=2
Sustituyendo en ecuación 1 el valor obtenido
x + 2( 2 ) - 5 = 0
x-1= 0
, x=1,
Por lo que el punto de intersección es Pi
( 1, 2 )
EJERCICIOS.
1.-Hallar el punto de intersección de las rectas: 3x - 2y + 5 = 0 y 3x - 6y + 5 = 0
2.-Hallar el punto de intersección de las rectas: 7x +12y -10 = 0 y 4x – 4 y+ 9 = 0
3.-Hallar el punto de intersección de las rectas: x - 3y +15 = 0
y 7x - y + 2 = 0
12
• ANGULO ENTRE DOS RECTAS
EJEMPLO
Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo A (-3,2), B (5,4) y C (2,-5)
Graficar.
Formula :
mAB =
m=
42
=
53
2
= 0.25
8
mBC =
54
9
=
= 3
3
25
mAC =
52
7
=
= - 1.4
23
5
Tan de β =
3  0.25
= 1.571 ,
1  3(0.25)
Tan de α =
0.25  1.4
= 2.538 ,
1  (0.25)(1.4)
β = 57° 31´18¨
α = 68° 29´42¨
3  1.4
= - 1.375 µ = |- 53° 58´21¨| , µ = 53° 58´21¨
1  3(1.4)
La suma de los ángulos α +β + µ = 179°59´ 21¨
Tan de µ =
EJEMPLO
Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son:
A (1,1), B (6,4), y C (3,-7). Graficar.
mAB =
4 1
3
= = 0.6
6 1
5
mBC =
74
 11
=
= 3.666
36
3
mAC =
 7 1
8
=
= -4
3 1
2
4. 6
0.6  4
=
= - 3.285 ,
β = - 73° 04´08”
1  (0.6)(4)  1.4
β = (180° - 73° 04´08” ), Por lo tanto β = 06° 55´ 52”
Tan de β =
Donde
13
Continua ejercicio de pag. 13
Tan de α =
3.066
3.666  0.6
=
= 0.958 ,
1  (3.666)(0.6) 3.199
Tan de µ =
7.666
3.666  4
=
= - 0.560 , µ = | - 29° 17´32¨ |
1  (3.666)(4)  13.669
La suma de los ángulos
α = 43° 46´ 16”
α +β + µ = 179°59´44¨
ANGULO ENTRE DOS RECTAS
EJEMPLO.
Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3),
B (-2,2) C (-4,4). Graficar
mAB =
23
1
=
= 0.142
25 7
mAC =
43
1
=
= - 0.111
45
9
mBC =
42
2
=
= -1
42
2
Tan de β =
Tan de α =
Tan de µ =
0.142  0.111
= 0.257 , β = 14°24´47¨
1  (0.111)(0.142)
0.142  1
= 1.331
1  (1)(0.142)
 0.111  1
= 0.800
1  (0.111)(1)
La suma de los ángulos
,
α = 126°55´05¨
,
µ = 38°39´35¨
α + β + µ = 179° 59´27¨
EJERCICIOS.
1.- Calcula los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son : A (-5,-3), B (9,-6),
y C (1,-9). Graficar
2.- Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3),
B (-2,2) C (-4,4). Graficar
14
• Rectas perpendiculares
“Aplicar Ecuación general recta – Punto medio – Rectas perpendiculares”
EJEMPLO.
Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del
segmento A (2,-4) B (-3,6) y es perpendicular a la recta 5x - 5y – 5 = 0
FORMULA
x=
x=
,
y=
2  3 1
=
= - 0.05
2
2
y=
46
2
=
=1 ,
2
2
Pm ( -0.05 ,1 )
l
Para la pendiente
Para la pendiente de m 1
5x - 5y -5 = 0
Ax + By +C = 0
Para
m=
=1 , ┴
, m=
m
l1 = -1
l1
y - y1 = m (x-x1)
y + 0.5 = - 1(x -1)
y + 0.5 = - x + 1
,
x + y+ 0.5 -1 = 0
,
1x + y - 0.5 = 0
EJERCICIOS.
1.- Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del
segmento A (-3,8), B (5,-2) y es perpendicular a la recta 9x - 2y - 10 = 0
2.- Encontrar la ecuación general de la recta que para por el punto medio del
segmento A (0,5), B (-3,-1) y es perpendicular a la recta x + y + 7 = 0
15
• Ecuación de la circunferencia
“APLICAR ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA - DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”
EJEMPLO.
Encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por tres puntos.
A (0,5), B (-3,-1) y C (6,- 2). Encontrar el centro y radio de la circunferencia
Para A ( 0,5 )
(0)2 + (5)2 - 0D + 5E + F = 0
0D + 5E+ F= - 25
Ec.1
Para B ( -3,-1 )
(-3)2 + (-1)2 - 3D - 1E + F = 0
- 3D - 1E + F = - 10
Ec.2
Para C ( 6,- 2 )
(6)2 + (-2)2 + 6D - 2E + F = 0
6D - 2E + F = - 40
Ec.3
Tomando Ec.1 y Ec.2
-1( 0D + 5E + F = - 25 )
-3D - 1E + F = - 10
Tomando Ec.2 y Ec.3
-1(-3D - 1E + F = -10 )
6D - 2E + F = - 40
Tomando Ec.4 y Ec.5
9(-3D - 6E = 15 )
3( 9D - 1E = -30 )
- 0D - 5E – F =+ 25
- 3D - 1E + F = - 10
-3D - 6E
= 15
Ec.4
3D + 1E - F = +10
6D - 2E + F = - 40
9D - 1E
= -30
Ec.5
- 27D - 54E = 135
- 27D - 3E = - 90
- 57E = 45
45
= - 0.789 ,
 57
Sustituyendo el valor de E en la Ec.4
-3D - 6E = 15
-3D – 6 (- 0.789 ) = 15
-3D + 4.734 = 15
-3D = 10.266
E=
E = - 0.789
10.266
= -3.422
D= -3.422
3
Sustituyendo E y D en la Ec.1
0D + 5E + F = - 25
5(- 0.789 ) + F= - 25 , -3.945 + F = - 25 , F = - 25 + 3.945 ; F= - 21.055
D=
16
Sustituyendo valores D, E y F en la ecuación general de la circunferencia.
x2 + y2 - 3.422 x - 0.789 y - 21.055 = 0
Ecuación general
Para encontrar el centro y el valor del radio
( x2 - 3.422 x ) + ( y2 - 0.789 y ) = 21.055
( x2 - 3.422 x + 2.927 ) + ( y2 - 0.789 y + 0.155 ) = 21.055 + 2.927 + 0.155
( x - 1.711 )2 + (y - 0.394 )2 = 24.137
( x – h )2 + ( y + k )2 = r2 ,
C ( 1.711 , 0.394 )
,
r = 4.912
• Parábola.
“ECUACIÓN DE LA PARABOLA ”
EJEMPLOS.
Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo v (2,-1) y cuyo f (1,-1). Hallar
la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto.
h= 2
k= -1
p= -1
FORMULA.
Si F ( h + p, k ), ( y – k )² = 4p ( x – h )
( y + 1)² = 4( -1 ) ( x – 2 )
y² + 2y+ 1 = - 4( x - 2)
y² + 2y +1 = - 4x + 8 ,
h+p=1
2+p=1
p=1-2
p= - 1
y² = - 2y - 4x + 7
LR= | 4 ( - 1 )|
LR= | -4 |
LR= 4
DIRECTRIZ
x=h–p
x = 2 - ( - 1) = 3
LR = І 4p І
LR = 4
Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del
vértice la directriz y del lado recto. y² = - 2y – 4x + 7
y² = - 2y – 4x +7
( y² + 2y ) = - 4x + 7
( y² + 2y + 1) = - 4x + 7 +1
( y + 1)² = - 4x + 8
17
Continua de la pag. 17
( y + 1)² = - 4 ( x – 2 )
( y – k )² = 4p ( x – h ) ,
v ( h, k )
v ( 2,-1)
vértice
h=2
k=-1
p=-1
DIRECTRIZ
4
= -1 ,
4
(h + p, k)
p=
por lo tanto
f
foco
f ( 2 -1, -1),
x=h–p
foco
p = -1
f (1, -1)
LR = І 4p І
x = 2 - ( - 1) = 3
LR
=4
• Parábola
EJEMPLO.
Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (-2,-2) y cuyo
foco f (-1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado
recto.
FORMULA.
h=-2
k=-2
p=1
( y – k )² = 4p ( x - h)
Si F ( h + p, k ),
h + p=-1
-2 + p = - 1
p=-1+2,
por lo tanto
p =1
( y + 2)² = 4(1) ( x + 2 )
y² + 4y + 4 = 4 ( x+ 8),
y² + 4y + 4 = 4x + 8
y² + 4y - 4x - 4 = 0 ,
y² = - 4y - 4x + 4
LR= | 4 (1) |, LR= 4
directriz
x=-2-1=-3
EJERCICIOS.
1.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (2,-1) y cuyo
foco f (1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto.
2.- Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del
vértice la directriz y del lado recto. y² = - 2y – 4x + 7
3.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo foco f (2,-1) y cuya
directriz y = - 9
18
Elipse.
EJEMPLO.
Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas
f (2, 0) y longitud del eje menor igual a 6.
.
= 1 , a2 = b2 + c2 ,
FORMULA
c=2,
2b = 6
La longitud del eje es
f ( c,0 )
por lo tanto
b=3
de modo que
a2 = 9 + 4
=1
Por lo tanto la ecuación es:
Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice con
coordenadas v (0, - 4) y distancia focal igual a 2.
.
= 1 , a2 = b2 + c2 ,
FORMULA
v ( 0,- a ), La distancia focal es 2c
c = 1 ,De las ordenadas de los vértices a = 4 , de modo que b2 = a2 – c2
b2 = 16 – 1,
b=√
=1
Por lo tanto la ecuación es:
EJERCICIOS.
1.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas
f (0,-6) y longitud del eje menor igual a 6.
2.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, longitud del eje mayor
igual a 18 y foco f( 0,3) y longitud del eje menor igual a 12
Elipse.
EJEMPLO
Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse.
25x2 + 16y2 – 400 = 0
.
= 1, a2 = 25 y b2 = 16
c = 3,
foco
la excentricidad
f ( 0, 3 )
℮=
y
,℮=
= 1 , a2 = b2 + c2 , LR =
FORMULA
por lo tanto
f´ (0, -3 ),
a = 5, b = 4
los vértices son
1 , El lado recto LR =
entonces c
v ( 0,5 )
y
=√
v´ (0,-5 ),
=
19
EJERCICIOS.
1.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse.
25x2 + 9y2 – 225 = 0
2.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse.
9x2 + 5y2 – 45 = 0
3.-
Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse.
x2 + 3y2 – 3 = 0
Bibliográfia.
Geometría analítica
Solís Rodolfo
Tercera reimpresión
Editorial: Lumaza
México 1994
Num. Pág. 197
Geometría y Trigonometría
Dr. J. A. Baldor
Primera edición
Publicación Cultural
Num. Pág. 405
Algebra
A. Baldor
Publicación Cultural
Edición 1983
Núm. Pág. 198
Consulta matemático
Lic. L. Galdós
Editorial: cultural
Nap. 994
Matemáticas 3
Eduardo Basurto Hidalgo
Editorial PEARSON
Primera edición 2010
Núm. Pág. 195
20