Análisis y Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales

“Análisis y Solución de
Ecuaciones Diferenciales lineales
en el dominio del tiempo y en la
frecuencia (Laplace).”
Doctor Francisco Palomera Palacios
Departamento de Mecatrónica y Automatización,
ITESM, Campus Monterrey
fpalomera@itesm mx
fpalomera@itesm.mx
Motivación
• Análisis y estudio intuitivo del comportamiento
de
sistemas
representados
ecuaciones
diferenciales lineales c.c.c.
c c c a través de la
transformada de Laplace.
• Simulación e interpretación gráfica de una
respuesta transitoria y en estado estacionario.
• Analogía de sistemas físicos (analogía de
comportamientos de sistemas de diferente
naturaleza)
Contenido
• Relación causa-efecto en sistemas físicos.
• Ecuación Diferencial lineal de Primer Orden c.c.c.
ccc e
interpretación de sus parámetros.
• Función de Transferencia y Respuesta para una
ecuación diferencial lineal c.c.c.
• Polos y ceros de una función F(s).
• Evaluación de una función respuesta: y(0) y y(∞) en el
dominio de la frecuencia.
• Analogía
g de sistemas físicos
• Representación de sistemas cuyo comportamiento de
respuesta transitoria es similar.
• Conclusiones.
C
• Ejercicios.
Modelación de Sistemas Dinámicos utilizando
Ecuaciones Diferenciales lineales c.c.c
c
c.c.c.
c c.
-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)
- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)
- Sistema térmico (temperatura en un horno)
Sistemas
Físicos
-Sistema
Sistema Eléctrico (velocidad de motores)
- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Económico ( inflación)
- Sistema de producción (rates de producción entre máquinas)
Sistema Físico
u(t)
a modelar
F
Función
ió forzante
f
t
Relación causal
y(t)
p
del sistema
Respuesta
o función subsidiaria
Relación causa
causa--efecto a ser modelada por
una ecuación
ió diferencial
dif
i l
Flujo de
Temperatura: y(t)
Combustible:
Horno
u(t): función de
entrada o
forzante
Función Respuesta o subsidiaria
Relación causal
τ
dy(t)
+ y(t) = K u(t)
dt
Temperatura
p
2
y (t )
dy (t )
d
+b
+ y (t ) = Ku (t )
a
dt
2
dt
Flujo de gas
Para obtener una ecuación diferencial,
podemos
d
utilizar:
tili
• Leyes físicas
físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,
rigen la relación causal entre las variables de interés.
• Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria
del sistema ante una función forzante conocida).
• Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan
un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.
• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para
procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales y
generar un modelo matemático deseado.
…
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con
coeficientes
fi i t constantes
t t
Modelo:
dy(t)
τ
+ y(t) = K u(t)
dt
Donde:
y(t) : función respuesta o subsidiaria del sistema,
u(t) : señal de entrada al sistema
(τ :Tao ): constante de tiempo (cuyo valor es una
medida de la velocidad de la respuesta del sistema. A
menor valor de TAO el sistema es más rápido en
responder). Un valor de: τ =10 segundos, es tres
veces más rápida que un valor de τ = 30 segundos.)
K: g
ganancia en estado estacionario ((es una medida
de la sensibilidad del sistema. Un valor de K= 3 es
dos veces más sensible que un valor de K= 1.5)
Ejemplos de ecuaciones
dif
diferenciales
i l
dy(t)
6
+ y(t) = 2.4 u(t).......( 1 )
dt
dy(t)
4
+ y(t)
( ) = 1.2 u(t)....
( ) ...(2)
dt
dy(t)
y( )
2
+ y(t)
(t) = 0.6 u(t)....
(t) ...(( 3 )
dt
¿Cuál ecuación diferencial representa al sistema con la
respuesta más rápida? Justifique
¿Cuál es la ecuación diferencial que representa al sistema más
sensible a un cambio de entrada? Justifique
Ejemplos de ecuaciones
dif
diferenciales
i l de
d Primer
Pi
Orden
Od
dy(t)
+ y(t) = 2.4 u(t).......(1)
dt
dy(t)
4
+ y(t) = 1.2 u(t).......(2)
dt
dy(t)
2
+ y(t) = 0.6 u(t).......(3)
dt
6
dy(t)
+ y(t) = 2.4 [2 + e− 2t Cos 4t ]...(1a )
dt
d ()
dy(t)
4
+ y(t) = 1.2 [2 + e− 2t Cos 4t ]....(2a )
dt
dy(t)
+ y(t) = 0.6 [2 + e− 2t Cos 4t ]....(3a )
2
dt
6
Respuesta ante una entrada escalón
Respuesta ante una entrada: escalón y una
senoidal
senoidal.
u(t)
(t) = 2 + 2 sen 0
0.5t
5t
La transformada de Laplace en la
modelación,, estudio y solución de
las ecuaciones diferenciales
diferenciales.
Relación entre f(t) y su equivalente F(s).
∞
∫0
L { f(t)}
f(t) e
-st
dt
F(s)
f(t)
Plano Complejo: s = σ + jω
jω: Eje Imaginario
tiempo
Ejemplos
L {e
-6t
4
L {2 Sen4t}=2
s
L {5 e
-3t
3t
σ : Eje real
1
}=
s+6
2 +16
=
8
2
s +16
2
10
10
Sen2t}=5
=
=
2
2
2
2
(s+3) + 2
s + 6s + 9 + 4 s + 6s +13
Principales funciones en el dominio de la
frecuencia: G(s)
( ) y Y((s))
Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos
expresiones son de gran interés:
1) Y(S):
La función respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la
función
u c ó forzante)
o a te)
0
=
.
i
.
c
s
G
2
︶ ︵︶
=
Y(s)
U(s) ; Función de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y
no se sustituye la función forzante.
Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:
K(s + a)...
Kn(s)
=
;
(s + b)(s + c)... d (s)
n(s) = 0;ceros : (o)
d(s) = 0; polos : (X)
K : ganancia
jw
x
o o x
x
σ
Funciones de transferencia y
R
Respuesta
t
Función
F
ió de
d
Transferencia: G(s)
Función
F
ió Respuesta:
R
t
Y(s)
Las condiciones
iniciales se consideran
idé ti
idénticas
a cero.
No se sustituye la
expresión
ió equivalente
i l t
de la transformada de
la señal de entrada
entrada.
Se sustituyen las
condiciones iniciales
d d
dadas.
Se sustituye la
expresión
ió equivalente
i l t
de la transformada de
la señal de entrada
entrada.
Polos
o os y Ceros
Ce os de u
una
a función
u c ó F(s)
(s)
2.4
G ((ss ) =
6s + 1
Ceros Finitos: no tiene
P l finitos:
Polos
fi it
( = -1/6)
(s
1/6)
⎡
⎤
⎢ 72
72ss + 4.8 ⎥
Y ( s) = ⎢
1 ⎥
⎢ 36 s ( s + ) ⎥
6 ⎦
⎣
Ceros Finitos: s = - 4.8/72;
P l fi
Polos
finitos:
it
s=0
0, -1/6
1/6
Información de los Polos Finitos de
G( )
G(s)
Información de los Polos Finitos de
Y( )
Y(s):
i) Indicará si la respuesta del sistema
reproducirá la forma de la señal
de entrada en estado
estacionario (polos o raíces con
σ < 0).
i) Señales que forman a la función
respuesta o subsidiaria (a través
de su expansión en fracciones
parciales),
ii) Comportamientos que agregará a
ii) Forma de la señal en estado
la respuesta del sistema ante
estacionario (polos dominantes).
cualquier entrada (misma información
l
d λ)
G(s) y Y(s)
Para la ecuación diferencial
Obtener: a) G(s) y,, b) Y(s)
dy ((tt )
10
+ y (t ) = 1.2u (t );
dt
y (0) = 0.8 u. de i. ;
u (t ) = 2 u. de i., para t ≥ 0
Solución:
dyy (t )
+ y (t )} = L {1.2 u (t )}
dt
10 sY ( s ) − 10 y (0) + Y ( s ) = 1.2 U ( s );
Y ( s )[10 s + 1] − 10 y (0) = 1.2 U ( s );
Y ( s)
1 .2
0.12
=
: Función de Transferencia
= G( s) =
U ( s ) c.i.= 0
10 s + 1 s + 0.1
L {10
jw
σ
X
|
-0.1
dy (t )
+ y (t )} = L {1.2u (t )}
dt
10 sY ( s ) − 10 y (0) + Y ( s ) = 1.2U ( s);
L {10
⎛2⎞
Y ( s )[10 s + 1] − 10(0.8) = 1.2⎜ ⎟;
⎝s⎠
8 s + 2 .4
⎛2⎞
Y ( s )[10 s + 1] = 1.2⎜ ⎟ + 8 =
s
⎝s⎠
8s + 2.4 0.8( s + 0.3)
: Función Respuesta
Y (s) =
=
s (10 s + 1)
s ( s + 0.1)
jw
o
X
-0.3 -0.1
X
0
σ
Obtención del valor inicial y final de y(t) a partir
de Y(s)
8s + 2.4 0.8( s + 0.3)
=
: Función Respuesta
Y (s) =
s (10 s + 1)
s ( s + 0.1)
o
jw
X
-0.3 -0.1
a
b
2.4
1.6
Y ( s) = +
=
−
s s + 0.1
s s + 0.1
X
σ
0
Polo dominante
Teorema del valor inicial :
s →∞
s →∞
0.8( s + 0.3)
0.8( s + 0.3)
0.8
= lim
= lim
=
s ( s + 0.1)
s →∞
( s + 0.1)
s →∞ 1
8
.
0
y (0) = lim s.Y ( s ) = lim s.
2.4
0.8
Teorema del valor final :
s →0
s →0
2
y (∞) = lim s.Y ( s ) = lim s.
0.8( s + 0.3)
0.8( s + 0.3) (0.8)(0.3)
= lim
=
= .4
0.1
s ( s + 0.1)
s →0
( s + 0.1)
t
Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)
Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento.
Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada
por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y(∞)
dy (t )
+ y (t ) = 0; y (0) = 80°C
dt
200 sY ( s ) − 200 y (0) + Y ( s ) = 0;
Y ( s)[200s + 1] = 1600
1600
Y ( s) =
200s + 1
200
Teorema del valor inicial:
Teorema del valor final:
80 ºC
Valor mínimo
, ºC
y (0) = lim sY ( s ) = lim s
s →∞
s →∞
1600
1600
=
= 80
200 s + 1 200
y (∞) = lim sY ( s ) = lim s
s →0
t
s →0
1600
=0
200 s + 1
Análisis en el dominio de la Frecuencia
(L l
(Laplace)
)
A partir de una ecuación diferencial lineal con coeficientes
constantes nos interesa analizar mediante la transformada de
constantes,
Laplace
i) Si la respuesta del sistema podrá reproducir la forma de la señal
de entrada [Función
Función de Transferencia
Transferencia],
ii) Formas de respuesta que agregará el sistema ante cualquier
entrada [[Función
Función de Transferencia],
Transferencia],
iii) Diferentes funciones que forman la función respuesta [Función
Respuesta (expansión en fracciones parciales)]
iv) La forma de la respuesta en estado estacionario [Función
Respuesta]
dy ((tt )
6
+ y (t ) = 2.4 u (t )
y (t )
Funciones
u c o es de ttransferencia
a s e e c a y Respuesta
espuesta
Ejemplo 2: Dada una ecuación diferencial obtener:
i) Su función de transferencia, G(s),
6 y´ + y (t ) = 2.4 u (t )
c. i. : y (0) = 1.4;
ii) Su función respuesta, Y(s).
u (t ) = 2, t ≥ 0 : función escalón
Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados :
L{6 y´(t )} + L{ y (t )} = L{2.4u (t )}
6sY ( s ) − 6 y (0) + Y ( s ) = 2.4U ( s)
Y ( s )[6s + 1] = 2.4U ( s )
G (s) =
Y (s)
2 .4
=
: Función de Transferencia
U (s) 6s + 1
Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados :
L{6 y´(t )} + L{ y (t )} = L{2.4u (t )}
6 sY ( s ) − 6 y (0) + Y ( s ) = 2.4U ( s )
⎡ 2 ⎤ 4.8
Y ( s )[6 s + 1] − 12 = 2.4 ⎢ ⎥ =
⎣ s ⎦ 6s
⎡
⎤
⎡ 72s + 4.8 ⎤ ⎢ 72 s + 4.8 ⎥
4.8 ⎤
⎡
Y ( s ) = ⎢12 +
/(6 s + 1) = ⎢
⎥ : Función Respuesta o subsidiaria
⎥=⎢
6 s ⎥⎦
⎣
⎣ 6 s (6 s + 1) ⎦ ⎢ 36 s ( s + 1 ) ⎥
⎢⎣
6 ⎦⎥
Sistemas de Primer Orden y Analogías
R
p(t): señal que regula
el caudal hacia el tanque.
i(t):
vi(t):
( ) fuente
f
de voltaje
C
vo(t)
qi(t): Caudal de entrada
vi(t): fuente de voltaje
vo(t):
( ) voltaje
l j de
d salida
lid
h(t): altura del tanque
qo(t): Caudal de salida
C: Capacitancia [Farads]
Rh: resistencia Hidráulica
A:
área del tanque
R: Resistencia [Ohms]
dvo(t)
R.C
+ vo(t) = vi(t)
dt
dvo( t )
τ
+ vo( t)) = vi(t
()
dt
ddy ((tt )
τ
+ y (t ) = K u (t )
dt
dq0(t) + q (t) = q (t)
i
0
dt
dq0(t) + q (t) = qi(t)
τ
0
dt
R.A
K: ganancia en estado estacionario
τ:
Constante de tiempo
Analogía de Sistemas por la forma de su
respuesta
t ttransitoria.
it i
Prubas de Nivel de Glucosa
Dos personas asisten al mismo evento social. Los dos realizaron el
mismo consumo de calorías. Al salir del lugar, les piden realizarse
una análisis
á
del grado de glucosa en la sangre.
Escenario Dos jóvenes asisten a una misma prueba experimental
Escenario:
sobre intolerancia a la glucosa. A los dos les dieron el mismo
consumos de agua limonada (muy
(
concentrada y dulce).
) S
Se les
midió el grado de glucosa en 4 muestras (cada 30 minutos)
Respuesta Transitoria
2
5
5
Y (s)
K
= Gi ( s) =
; G1 ( s ) =
; G 2 ( s) =
; G3 ( s) =
τ s +1
10 s + 1
4s + 1
4s + 1
U ( s)
Valor de la respuesta y(t) = c(t) cada vez que
t
transcurre
un ti
tiempo t = τ.
Y ( s) =
AK
AK / τ
a
b
=
= +
s (τs + 1) s ( s + 1 ) s s + 1
τ
t⎤
⎡
− ⎥
⎢
y (t ) = AK 1 −
τ
⎢
⎥
⎣
⎦
e
τ
Modelación de una ecuación diferencial
mediante Diagrama a bloques.
bloques
p(t): señal que regula
el caudal hacia el tanque.
qi(t): Caudal de entrada
Caudal de
entrada
h(t): altura del tanque
qo(t): Caudal de salida
Caudal de
salida
Caudal
=
Acumulado
qi (t) − q0 (t) = qacum (t) = Av(t) = A
dh(t)
...... (1)
dt
Rh: resistencia Hidráulica
A:
área del tanque
q0 (t) =
h(t)
..... (2)
Rh
Q i(s) − Q o(s) = A s H(s), (c. i. = 0);
Qi(s) +
Qi(s)
( ) – Qo(s)
( )
1
As
Qo(s)
Q 0(s) =
H(s)
1
Rh
H(s)
Rh
Qo(s)
Simulación del sistema hidráulico utilizando
l herramienta
la
h
i t computacional
t i
l Matlab
M tl b-Simulink
MatlabSi
li k
Quedo a sus órdenes
• Francisco Palomera Palacios, PhD
• fpalomera@itesm.mx
• Departamento de Mecatrónica y
Automatización Campus Monterrey
Automatización,
Dos Tanques
qi (t ) − q01 (t ) − q02 (t ) = q acum (t ) = A
q01 (t ) =
q02 (t ) =
h(t )
Rh1
dh(t )
dt
Qi ( s) − Q01 ( s) − Q02 ( s ) = Qacum ( s) = A s H ( s )
p(t)
;
Q01 ( s) =
qi(t)
h(t )
Rh 2
Rh2
h(t)
q02(t)
V1
Q01(s)
( )
A
Rh1
Q02 ( s) =
q01(t)
V2
1
Rh1
-
Qi(s)
Qi((s)) – Q01((s)) – Q02((s))
+
-
Q02(s)
1
Rh2
1
As
H(s)
H ( s)
Rh1
H (s)
Rh 2
;
Ejercicio 1:
•
Para la función
10 s 2 + 2 s + 40
Y (s) =
s ( s + 2)( s + 5)
Obtenga:
1) Su expansión en fracciones parciales sin
calcular el valor de los coeficientes.
2)) ¿
¿A qué
q función en el tiempo
p corresponde
p
cada
uno de los término de la expansión realizada
en el inciso anterior? Graficar cada una de
ellas de manera individual
3) Obtenga el valor de y(0) y de y(∞) a partir de la
función Y(s).
Ejercicio 2: Parámetros de una ecuación
dif
diferencial
i l lilineall d
de primer
i
orden
d
dy(t)
+ 2 y(t) = 8 u(t).......(1)
dt
dy(t)
0.1
+ y(t) = 1.1 u(t).....((2)
dt
dy(t)
+ 2 y(t) = 2 u(t).....(3)
10
dt
4.2
a) Calcule el valor de la constante de tiempo y de la ganancia en estado
para cada ecuación diferencial.
estacionario p
b) Indique cuál es el sistema con velocidad de respuesta más lenta.
Justifique.
c) Indique que valor de la respuesta (o función subsidiaria) alcanzará un
mayor valor en estado estacionario ante una entrada escalón de magnitud
3.
Gráficas de Simulación
(t
(tanque_1entrada_2salidas)
1 t d 2 lid )
Qi(t): Flujo de entrada
h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque
Flujo de salida q02(t)
Flujo de salida q02(t)
Modelaciòn y simulación del sistema de
dos tanques mediante SIMULINK.
Sistema Físico:Llenado de un tanque
Nivel: h(t);
Caudal de
entrada
p(t): señal que regula
el caudal hacia el tanque.
Tanque
Salida qo(t)
Salida,
qi(t)
Relación causal
qi(t): Caudal de entrada
h(t): altura del tanque
qo(t): Caudal de salida
Rh: resistencia Hidráulica
A:
área del tanque
Caudal de
Parámtros (τ y K)
• τ ( Resistencia * Capacitancia): [segundos]
• Resistencia: oposición al flujo de
corriente eléctrica
eléctrica, calor,
calor aire,
aire caudal
caudal,…
• Capacitancia: almacenamiento de materia o
energía
í (carga
(
eléctrica,
lé t i
flfluido,
id calor,…)
l
)
• K (ganancia en estado estacionario)
[incremento de la respuesta/incremento de
la señal de entrada]