Lógica de Predicados 1

Lógica de Predicados 1
rafael ramirez
rafael@iua.upf.es
Ocata 320
Porqué Lógica de Predicados
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La logica proposicional maneja bien afirmaciones
compuestas de no, y, o, si…entonces
En situaciones con un conjunto finito (pequeño) de
elementos, esto es suficiente para hablar de existe,
todo, para todo.
Ejemplo: si tenemos 3 estudiantes A, B y C, tomando
p=“A tiene ojos cafes”, q=“B tiene ojos cafes”, r=“C tiene ojos cafes”
la afirmacion “existe un estudiante con ojos cafes” se
puede representar por p ∨ q ∨ r
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Porqué Lógica de Predicados
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En situaciones con conjuntos infinitos (muy grandes)
requríamos formulas infinitas, p.e. “cada persona es
hombre o mujer” se traduciría como:
(p0∨q0)∧ (p1∨q1)∧ (p2∨p2)∧…
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Que pasa si queremos representar el argumento:
Todos los hombres son mortales,
Socrates es un hombre,
Por lo tanto, Socrates es mortal.
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Lógica de Predicados
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La logica de predicados (tambien llamada logica de primer
orden) es una extension de la logica proposicional que usa
variables para los objetos.
Si usamos x para representar a algun humano, la afirmacion
“cada persona es hombre o mujer” se puede representar como
∀x(H(x)∨M(x)) donde H(x)= “x es hombre”, M(x)= “x es mujer”
Estas variables se pueden combinar con símbolos de función
para representar objetos nuevos y con símbolos de predicado
para describir ralaciones entre objetos.
Ejemplo: si s(x) representa “el padre de x”, y
M(x,y) representa “x es menor que y”, entonces
“toda persona es menor que su padre” se representa
por ∀x M(x,s(x))
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Ejercicio
Traduce:
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Ejercicios
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Ejercicio P4-#3a “no todas las aves pueden volar”
Ejercicio P4-#3b “todos los hombres son mortales. Socrates es
un hombre. Por lo tanto Socrates es mortal.”
Ejercicio P4-#3c “Existe un hermano de Ana que le gusta a
Blanca”
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Ejercicios
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Ejercicio P4-#3a “no todas las aves pueden volar”
¬(∀x (B(x) → F(x)))
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Ejercicio P4-#3b “todos los hombres son mortales. Socrates es
un hombre. Por lo tanto Socrates es mortal.”
∀x (H(x) → M(x)) , H(s) | M(s)
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Ejercicio P4-#3c “Existe un hermano de Ana que le gusta a
Blanca”
∃x (H(x,a) ∧ L(x,b))
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Correctez y completez
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Extenderemos los conceptos de interpretacion semántica╞ y
de deduccion natural ├ a la logica de predicados.
Obtenemos similares teoremas de correctez y completez:
A1, A2, … An ╞ B si y solo si A1, A2, … An ├ B
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Alfabeto de la logica de 1er orden
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Símbolos de puntuación
“(“ “,” “)”
Variables
x, y, z, x1, x2, … , u, v
Constantes
a, b, c, a1, …
Símbolos de función
f, g, f1,…
Simbolos de predicado
p, q, r, p1,…
Conectivos
Los mismos que logica proposicional + ∀, ∃
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Términos y fórmulas atómicas
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TERMINOS
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Las variables y constantes son terminos
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Si f es una función de n argumentos y t1,…,tn son terminos,
entonces f(t1,…,tn) es un término.
FORMULAS ATOMICAS
Si p es un predicado con n argumentos y t1,…,tn son terminos,
entonces p(t1,…,tn) es una fórmula atómica.
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Términos y fórmulas atómicas
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FORMULAS DE PRIMER ORDEN
Una fórmula atómica es una fórmula (de 1er orden)
Si A y B son fórmulas entonces
A→B, ¬A, A∨B, A∧B, ∀xA, ∃xA
son fórmulas
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Algunas definiciones
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El alcance de un cuantificador es la formula a la cual
se aplica.
Una ocurrencia de una variable esta acotada si esta
dentro del alcance de un cuantificador ∀x
Si no lo esta entonces la variable esta libre
Una formula esta cerrada si no tiene ninguna
ocurrencia libre de variables
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Interpretaciones
Una interpretación I para una formula A es:
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Un dominio D (un conjunto no vacío)
Una relacion en el dominio D para cada símbolo de
predicado en A
Una funciones en el dominio D para vada símbolo de
funcion en A
Un elemento de D para cada constante en A
En caso de que la formula sea abierta, un elemento de D
para cada variable libre de A
Nota que en el caso proposicional solo hay variables (p,q,…) y
nuestro dominio D es el conjunto {T,F}
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Modelos
Sea A una formula cerrada
Definicion: A es verdad en I, o I es una modelo de A, si
v(A) = T bajo I. Notacion: I╞ A
Si A = ∀x p(a,x)
I1: D=N, p= ≤, a=1
I2: D=N, p= ≤, a=0
I3: D=Z, p= ≤, a=0
I1╞ A
No I2╞ A
No I3╞ A
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Satisfacibilidad
Definicion: Una formula A es satisfacible si para alguna
interpretación I, I╞ A
Definicion: Una formula A es válida (notación ╞ A) si para
toda interpretación I, I╞ A
∀x p(a,x) satisfacible y es falsifiable
Que tal ∀x p(x) → p(a) ?
Que tal ∃x p(x) → p(a) ?
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Fórmulas válidas (1)
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Fórmulas válidas (2)
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Tableaux semánticos
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Tableaux semánticos
Ejercicio: Determinar con un tableau semántico si la
siguientes fórmulas son válidas o no
∀x ( p(x) ∨ q(x) ) → ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) )
∀x A(x) → ¬∃x¬A(x)
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