Lógica de Predicados 1. Traduce las siguientes formulas a frases en lenguaje natural asumiendo la interpretación con dominio D=”los animales del bosque”, p(x)=”x es un insecto”, q(x)=”x es un mamífero”, r(x,y)=”x es mas grande que y”, s(x,y)=”x es amigo de y”. (a) ∀x (p(x) → ∃y (q(y) ∧ r(y,x))). (b) ∀x∀y((p(x) ∧ q(y)) → s(x,y)). Respuesta: (a) para cualquier insecto existe un mamífero mas grande (b) todos los insectos son amigos de todos los mamíferos 2. Traduce las siguientes frases a formulas de lógica de predicados: (c) “hay alguien que es amigo de todo mundo” (d) “todo mundo tiene (por lo menos) un amigo” Respuesta: (c) ∃x∀y (amigo(x,y)) (d) ∀x∃y (amigo(x,y)) 3. Considera la siguiente fórmula en lógica de predicados: ∀x∀y (p(x,x) ∧ q(y,y))) (a) da una interpretación I1 para la cual la formula es verdadera y rescribe la formula usando la interpretación (b) da una interpretación I2 para la cual la formula es falsa y rescribe la formula usando la interpretación Respuesta: (a) D={1,2,3}, p(x,y) es x=y, q(x.y) es x=y (b) D={1,2,3}, p(x,y) es x=y, q(x.y) es x<y 4. Usando tableaux semánticos determina si las siguientes fórmulas son validas o no. Si alguna no lo es da una interpretación para la cual la formula es verdadera y una interpretación para la cual la formula es falsa. (a) ∀x p(a,x) (b) ∀x ( p(x) ∨ q(x) ) → ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ) (c) ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ) → ∀x ( p(x) ∨ q(x) ) Respuesta: (a) ¬∀x p(a,x) | p(a,b) | O Formula es verdadera si I1:D={1,2}, p(x,y) es x≤y, a=1 Formula es falsa si I2: D={1,2}, p(x,y) es x=y, a=1 (b) ¬(∀x ( p(x) ∨ q(x) ) → ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) )) | ∀x ( p(x) ∨ q(x) ) , ¬ ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ) | ∀x ( p(x) ∨ q(x) ) , ¬∀x p(x) , ¬∀x q(x) | ∀x ( p(x) ∨ q(x) ) , ¬∀x p(x) , ¬q(a) | ∀x ( p(x) ∨ q(x) ) , ¬p(b) , ¬q(a) | p(a) ∨ q(a), p(b) ∨ q(b), ¬p(b) , ¬q(a) / \ p(a), p(b) ∨ q(b), ¬p(b) , ¬q(a) q(a), p(b) ∨ q(b), ¬p(b) , ¬q(a) / \ / \ p(a), p(b),¬p(b),¬q(a) p(a), q(b), ¬p(b), ¬q(a) q(a), p(b), ¬p(b), ¬q(a) q(a), q(b), ¬p(b) , ¬q(a) | | | | X O X X I1: D=personas en Barcelona, p(x)= x es hombre, q(x)=x es mujer I2: D=personas en Barcelona, p(x)= x es hombre, q(x)=x es hombre (c) ¬ (( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ) → ∀x ( p(x) ∨ q(x) )) | ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) , ¬∀x ( p(x) ∨ q(x) ) | ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) , ¬ (p(a) ∨ q(a)) | ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) , ¬p(a), ¬q(a) / \ ∀x p(x), ¬p(a), ¬q(a) ∀x q(x), ¬p(a), ¬q(a) | | p(a), ¬p(a), ¬q(a) a(a), ¬p(a), ¬q(a) | | X X