capítulo viii - Biblioteca Central

CAPÍTULO VIII
95
SEMEJANZA Y HOMOTECIA
SEMEJANZA Es una transformación del conjunto S de los puntos del plano
(espacio) tal que, si A, B y C tienen por imágenes A', B' y C ' :
A' B' A' C ' B' C '
=
=
=K
AB
AC
BC
Corolarios
= razón de semejanza
ˆ ' C ' y ABˆ C son iguales.
a) Los ángulos A' B
b)
La semejanza conserva las alineaciones (si A, B y
C están en una recta, A', B’ y C' están en otra
recta).
c)
Dos triángulos homólogos son semejantes (en el
modo ya definido).
Construcción de figuras semejantes en el plano
Se necesitan 2 pares de puntos homó logos AA' y BB'; cualquier punto C del
objeto da lugar a un triángulo ABC, cuyo homólogo A'B'C' es semejante y por tanto
puede ser construido y se puede hallar C'. Ahora bien, A'B'C' puede hacerse de 2
modos diferentes : o que tenga el mismo sentido de giro que ABC, o que tenga
sentido opue sto: En el primer caso se ten drá una semejanza directa; en el segundo
caso, se tiene una semejanza inversa:
96
Figuras semejantes en el espacio
En el espacio, la semejanza conserva la alineación de puntos, igual que
en el plano; pero además, puntos coplanarios del objeto (situados en un mismo
plano) tienen imágenes también coplanarias.
La semejanza puede ser también directa o inversa, según se conserve o se
invierta el sentido de giro de las figuras en la transformación.
Teorema VIII -1
Los perímetros de dos figuras semejantes están entre sí en la misma razón
de semejanza.
Demostración (para el plano):
Si una figura poligonal cerrada ABCD, … tiene como ima gen A’B'C'D'…:
A'B' = K x AB
B'C' = K x BC
.....................
p' = p x K
p'
=K
p
Teorema VIII -2
Las áreas de dos figuras semejantes son proporcionales al cuadrado de su
razón de semejanza.
Explicación: sean dos triángulos de razón de semejanza 3. Quiere decir que
los lados de la imagen son el triple de los lados homólogos. El área de la imagen
es = 9 veces las del objeto
97
Demostración: sean dos rectángulos semejantes ABCD y A'B'C'D
A' B'
=K
AB
C 'D '
=K
CD
A'B' x C'D' = Área S' = K2 AB x CD
o sea S' = K2 S
S'
= K2
S
quedando demostrado para el rectángulo.
Podemos generalizarlo a dos figuras del plano cualesquiera que sean
semejantes:
Llenando las dos figuras con rectángulos homólogos, suficien temente
estrechos para que llenen las dos áreas, tenemos:
98
S' = sup. del rectángulo 1' = S 1 x K 2
S' 2 = S 2 x K2
.........................
S' n = S n x K 2
sumando
2
S' = S x K
Con el mismo tipo de razonamiento puede demostrarse que el teorema se
cumple también en superficies de figuras seme jantes en el espacio.
Teorema VIII-2 (Sólo para figuras semejantes en el espacio)
Los volúmenes de figuras semejantes son proporcionales al, cubo de su razón de
semejanza.
Dem.:
Sean dos paralelepípedos rectos rectangulares semejantes:
a' b' c'
= = =k
a b c
Multiplicando:
a' = a k
b' = b k
c' = c k
a'b'c' = a b c x k 3
V' = v x k3
99
quedando demostrado el teorema para ese caso particular.
Supongamos ahora dos figuras sólidas semejantes, con razón K.
Podemos llenar las dos con paralelepípedos semejantes, suficientemente
estrechos para que llenen todo el volumen.
Llamando V 1,
pípedos objeto
V 2 ... V n a los volúmenes de los paralele
y
V'1,
V '2... V 'n los de sus homólogos.
100
HOMOTECIA EN EL PLANO
Es una transformación del conjunto S de los puntos del plano sobre si
mismo de modo que, siendo P y P' puntos homólogos: OP' = K x OP en valor
y signo, siendo O un punto fijo llamado centro de homotecia, y
k una
constante (positiva o negativa) llamada razón de homotecia.
Si K > O la homotecia se llama positiva;si K < O, se llama negativa.
Dicho de otro modo:
a)
b)
Puntos homólogos (homotéticos en e s t e caso) están alineados
con O.
La razón de distancias de O a la imagen y objeto es constante k
K >,O indica que objeto e imagen es tán en la misma semirrecta
respecto a O.
Corolarios:
a) Cuando K = 1 la homotecia coincide con la
identidad. Cuando K = -1, coincide con la simetría
central respecto a O.
b) Si una figura f ' es homotética de otra - f
= con centro O y razón de homotecia K, - f = es
también hemotética de f’ con el mismo centro de la
hemotecia O y con razón de homotecia 1/K.
c) Si K = 1, el único punto doble es el centro de
homotecia.
101
Los teoremas siguientes se refieren a homotecias de K = 1:
HOMOTETICA DE UNA RECTA
TEOREMA V I I I - 4. La figura homotética de una recta que no pasa por el centro de
homotecia, es otra recta paralela a la primera.
Dem.:
Sean A, B y C tres puntos objeto y A' B' y C' sus imágenes en la homotecia de
centro O y razón K.
OA'
OB '
=K=
o sea los triángulos OAB y OA'B' son semejantes; AB es
OA
OB
OA'
OC '
paralela a A'B'
=K =
OA
OC
AC es paralela de A'C', o sea A'B' y A'C' coinciden.
TEOREMA VIII -5 Una recta que pasa por el centro de homo tecia, es doble.
Porque el homotético de un punto cualquiera de ella está en la misma
recta.
Corolario: Si K = 1, las únicas rectas dobles son las que pasan por el centro
de homotecia.
102
HOMOTÉTICO DE UN SEGMENTO
TEOREMA VIII -6 La figura homotética de un segmento AB es otra segmento
A' B' tal que
A' B'
=K
AB
y además
A' B' es paralelo a AB, si la recta AB no pasa por O.
Dem.:
A' B' OA'
=
= K
AB OA
HOMO TÉTICA DE UNA CIRCUNFERENCIA.
TEOREMA VIII 7 La figura homotética de una circunferencia es otra
circunferencia. Los centros son homotéticos entre sí, y la razón de los radios es el
módulo de la razón de homotecia.
Dem.:
103
Sea una circunferencia
m . Hallamos A', homotético de A, con centro O y
razón K.
OA'
= K
OA
Unimos A con
m , centro de la circunferencia m , y encontramos M'
homotético de M.
A'M '
= K
AM
A l variar la posición de A sobre M, AM = r = constante, luego A'M' = r K =
constante, lo que indica que A' está siempre en una circunferencia de radio r / K/ y
centro M'.
TEOREMA VIII -8 Dos circunferencias cualesquiera de radios diferentes son
siempre homotéticas entre sí, en una homotecia positiva y en otra negativa; la
razón de los radios es el módulo de la razón de homotecia.
Dem.:
Trazamos el radio M1A de una y los radios paralelos M 2A' y M 2A" de la otra.
Unimos A con A' y con A"; AA' y AA" cortan a M1M2 en O1 y O2.
104
m1 es homotética de m2 con homotecia positiva de centro O 1 y razón
r1
r2
según lo visto en el Teorema VIII - 7
Por la misma razón, m1 es homotética de m 2 con centro O2 y razón
r1
r2
Corolarios:
a)
b)
c)
Si dos circunferencias tienen tangentes exteriores
comunes, se cortan en su centro de homotecia
positiva.
Si dos circunferencias tienen tangentes interiores
comunes, se cortan en su centro de homotecia
negativa.
Dos circunferencias del mismo radio, son homotéticas
sólo con una homotecia negativa.
HOMOTECIA Y SEMEJANZA
TEOREMA VIII- 9 figuras homotétic as entre sí, son también sem ejantes con
semejanza directa, pero no recíprocamente. La razón de s emejanza es el módulo de
su razón de homotecia.
Dem.: Evidentemente, en figuras hemotéticas se cumple que
A' B' A' C' B' C '
=
=
=K
AB
AC
BC
propiedad que sirvió para definir la semejanza.
Por otra parte, dos triángulos semejantes que no tienen lados homólogos
paralelos, no pueden ser homotéticos.
Por fin, la homotecia, tanto positiva como negativa, es siempre una
transformación directa
quedando demostrado el teorema.
105
PRODUCTO DE HOMOTECIA S
TEOREMA VIII -10 El producto de 2 homotecias del mismo centro y razones K1 y
K2 es otra homotecia del mismo centro y razón K1 K2
Dem.:
OA'
OA' '
OA' '
= K1
= K2
= K1K2
OA
OA'
OA
y además O, A y A" están alineados.
TEOREMA VIII -11 El producto de dos homotecias de centros O1y O2 y razones
de homotecia K1 y K2 respectivamente, cuando K1 K2 = 1, es otra homotecia de
centro O alineado con O1 y O2, y razón de homotecia K = K1 K2.
Dem.:
Lo demostraremos para el caso que K1 y K2 son positivos.
106
Sea un punto M de la recta O1 O2 M' su homotético en la primera homotecia,
y sea M" el homotético de M' en la segunda homotecia.
Un punto cualquiera A se transforma en A' con la homo tecia primera, y éste a la
vez se transforma en A" con la homo tecia segunda.
Si K1 y K2 son positivas, A, A' y A" están en un mismo semiplano respecto de
O1 O2.
M ' A'
= K1
MA
M ' ' A' '
= K2
M ' A'
M ' ' A' '
= K1K 2 ≠ 1
MA
al ser M'' A" de distinta longitud que MA, la recta AA" corta a O1O2 en O, que
está fuera del intervalo O1 O2.
OM ' ' OA' ' A' ' M ' '
=
=
= K1K2
OM
OA
AM
El punto O tiene una razón de distancias a M" y M que es fija, luego es únic o
e independiente de A.
Por consiguiente: A y A" están alineados con O; y
OA' '
= K1K2 = K ;
OA
se trata pues de una homotecia, quedando demostrado el teorema.
El lector puede fácilmente generalizarlo al caso en que K1 y K 2 no sean
ambos positivos.
Corolario:
Dadas tres ci rcunferencias de radios diferentes, los 6
centros de hemoteci a entre cada dos están alineados
así:
−
los 3
−
cada 2 centros de homotecia negativa están alineados con
un centro de homotecia positiva.
centros de homotecia positiva están alineados.
107
OBTENCIÓN MECÁ NICA DE FIGURAS SEMEJANTES Y HOMOTÉTICAS
El Compás de Reducción
Es un doble compás cuya relación de longitudes de brazos se puede regular
mediante un tornillo. Una vez fijado dicho tornillo, amplía o reduce segmentos en
una razón fija:
108
El Pantógrafo
Es un paralelogramo articulado con dos lados prolongados:
P se fija al papel de forma que pueda girar pero no trasladarse.
L recorre una figura, S recor re la homotética.
Las articulaciones en B, A, L, y C se pueden cambiar de sitio a
voluntad, sobre sus respectivas varillas, usando los agujeros equidistantes que esas
varillas tienen.
Se arma el pantógrafo de forma que
PB BL
=
PA AS
; si se cumple esa proporci ón, los puntos P, L y S están
siempre alineados y además
PS PA
=
=K
PL PB
109
HOMOTECIA EN EL ESPACIO
Se define en forma similar a la homo tecia plana.
La homotecia en el espacio es también una semejanza directa: por tanto
transforma puntos alineados en puntos alineados; puntos coplanarios en puntos
coplanarios; conserva también los ángulos, etc.
Muchos teoremas de la homotecia en el espacio se pueden comparar
con teoremas semejantes de la homotecia plana:
p. e.; "la figura homotética de una esfera es otra esfera; los centros son
homotéticos entre sí y los radios están en la razón de homotecia, teorema
análogo al VIII - 7.
ÁNGULO SÓLIDO
Una de las aplicaciones de interés de la homotecia, es el concepto de
ángulo sólido y forma de medirlo. Dado que en literatura técnica se supone ya
materia conocida, vamos a exponerlo aquí.
Ángulo poliedro Es la parte de espacio limitada por varios ángulos no
coplanarios, con vértice común y lados compartidos (cada lado es común a dos
ángulos).
A los ángulos se les llama caras y a los lados aristas del ángulo poliedro.
Al vértice de los ángulos se le llama vértice del ángulo poliedro.
Dado que cualquier ángulo poliedro separa o limita el espacio en dos
partes, hay que definir en cada aplicación la parte que se considera.
110
Ángulo poliedro convexo es aquel que queda en el mismo semiespacio
respecto a los planos de las caras. Á ngulo poliedro cóncavo, en cambio, es
aquel en que prolongando alguna de las caras, parte del ángulo Poliedro
queda en un semiespacio y parte en el otro.
E n el ángulo poliedro mostrado en la figura, parte del espacio "interior"
será, pues, un ángulo poliedro convexo.
Un ángulo poliedro de 3 caras se llama triedro.
Cabe considerar también como ángulo poliedro al formado por infinitas
semirrectas casi extremo común y que se apoyan sobre una curva cerrada, o
sea una superficie cónica y equivale a un ángulo poliedro de infinitas caras
INTERSECCIÓ N DE UN ÁNGULO POLIEDRO CON LA SUPERFICIE DE UNA
ESFERA
TEOREMA VIII – 12 Si un ángulo poliedro se corta por la superficie de una
esfera con centro en el vértice y radio R, la superficie intersección es
proporcional a R2. ( FIG. VIII – 18)
111
Si se corta el ángulo poliedro por dos esferas de radios R1 y R2, las superficies
S2 y S1 son homotéticas; por tanto son proporcionales al cuadrado de su razón de
homotecia.
S 2 R22
=
S1 R12
S1 S2
=
R12 R22
Corolario: Si se corta el ángulo poliedro por una esfera de radio 1 y centro en
V, el área interceptada es
Ω=
S1 S2
=
R12 R22
El valor de
poliedro:
Ω se usa para medir la cantidad de espacio que abarca un ángulo
Ω=
S
=
R2
medida del ángulo sólido del ángulo poliedro,
expresada en estereorradianes.
Un estereorradián es pues, el ángulo sólido de un ángulo poliedro que
intercepta 1 unidad de superf icie sobre una esfera de centro en su vértice y radio la
unidad de longitud (nótese que dicha esfera tiene una superficie total de 4π =12.57
unidades de superficie).
Así por ejemplo, un triedro trirrectángulo convexo:
Al ser cortado por una esfera, tendría una intersección
112
de
1
8
S=
de la superficie esférica:
4π .R 2 π .R2
=
8
2
Ω=
π .R 2 π
=
2R2 2
estereorradianes .
Es fácil comprobar que un ángulo poliedro que abarcara todo el espacio
mediría 4 π estereorradianes .
EJERCICIOS
CAPÍTULO VII I
113
Ejercicios resueltos
VIII-1. Dadas dos rectas a y b que se cortan en un punto O inaccesible y un punto P, trazar
la recta PO.
Resolución:
Suponiendo el problema resuelto:
Aplicando una homotecia de centro O, P puede transformarse en un punto Q
cualquiera de PO. Un triángulo PMN se transforma en QM'N' de lados paralelos
al primero.
Construcción:
114
Trazamos un triángulo cualquiera PMN (M sobre a; N sobre b); trazamos
M'N' paralela a MN; M'Q paralela a MP; N'Q paralela a NP; obtenemos Q que
unido con P da la recta buscada.
VIII -2.
Dadas 2 rectas a y b y un punto P, trazar una circunferencia x tangente a a y
b y que pase por P.
Resolución:
Supongamos el problema resuelto:
Una homotecia de centro O transformaría x en x', también tangente a a y b.
El punto P quedaría transformado en P', sobre la misma recta PO; a y b son
dobles. Podemos trazar x' y luego invertir la homotecia para obtener x.
Aplicación:
Construimos x' arbitrariamente (centro en X', en la bisectriz de a y b; radio,
distancia de X' a a).
115
La imagen de P puede ser P' 1 ó P ' 2.
En el primer caso, (P' 1 imagen de P), P' 1X' debe ser para lelo a PX1, lo que
permite determinar X1 y construir la solución X1.
Si consideráramos P '2 como imagen de P, obtendríamos otra solución.
VIII -4.
Construir un triángulo conociendo a, b y que m b es perpendicular a m a.
Resolución:
Supongamos resuelto el problema:
116
G está en una circunferencia de diámetro MB, a la que llamamos S.
A está en una circunferencia de centro C y radio b, (primer lugar geométrico).
A está: alineado con M y G; y tal que MA/MG = 3 luego es homotético de G
con razón 3 y centro M. Luego está en S', homotética de S (centro M, razón 3 ) ;
(segundo lugar geomé trico).
Aplicación:
Datos:
Colocamos a en posición; sus extremos son B y C; su punto medio M. Traz amos
el primer lugar geométrico.
N es el centro de S; N', a triple distancia, será el centro de S'.
Obtenemos A y queda resuelto el problema.
117
VIII-5.
Dada una circunferencia y un punto P en su interior, trazar por P una cuerda
de extremos A y B, tales que
PA
= − 2.
PB
Resolución:
Suponiendo el problema resuelto:
Se observa que una homotecia de centro P y razón -2 transporta B a A.
A tiene que estar en c (primer lugar geométrico). A tiene que estar también en c'
(homotética de c con centro P y razón -2; segundo lugar geométrico).
Aplicación:
118
Como la intersección de c y c' consta de 2 puntos, hay 2 soluciones.
Ejercicios propuestos
Vlll – 6 Se trazan dos radios de una circunferencia Trácese una cuerda que quede
dividida por ellos y por la circunferencia en 3 partes iguales.
VIII – 7
Dadas dos circunferencias secantes, trazar por uno de sus puntos de intersección
una recta que corte a las circunferencias según cuerdas iguales.
Vlll - 8.
Dados dos triángulos ABC y MNP, inscribir en el primero un triángulo de lados
paralelos a los del segundo.
VIII - 9
Dadas dos circunferencias de centros C1 y C2 y radios r 1 y r 2 (r1 > r 2), averiguar a
qué distancia de C2 está:
a) el centro de homotecia positiva.
b) Ídem, negativa.
(R: a)
C1C2 X
r2
r1 − r2
;
b) C1C2 X
r2
r1 + r2