Ejemplo – Minimizar Costo

Ejemplo – Minimizar Costo
Para aplicar la programación lineal en la elaboración de las raciones para vacas lecheras,
partimos de una ración hipotética en la cual intervienen los siguientes datos:
- Dos alimentos : un Concentrado (X1) y un Forraje (X2)
- Tres nutrientes :
Proteína Cruda PC
Energía Neta de lactancia ENI
Fibra Cruda FC
- El precio por Kilogramo de cada uno de los alimentos
- Necesidades nutritivas de las vacas lecheras.
ALIMENTOS
VARIABLES
PC
ENl
FC
PRECIO
( gr )
( Mcal )
( gr )
($)
concentrado
X1
120
2.0
100
100
forraje
X2
200
1.3
280
50
NECESIDADES
PC ( gr )
Enl ( Mcal )
MAXIMO
MINIMO
FC ( gr )
2000
1500
16.5
1300
Nuestro propósito es el de optimizar una ración de Mínimo Costo, aplicando la
programación lineal por el método gráfico. El modelo de programación lineal es el
siguiente:
(1) MIN 110 X1 + 50 X2
SUJETO A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES
(2) 120 X1 + 200 X2 >= 1500
(3) 2.0 X1 + 1.3 X2 >= 16.5
(4) 100 X1 + 280 X2 <= 2000
(5) 100 X1 + 280 X2 >= 1300
La ecuación (1) corresponde a la FUNCION OBJETIVO, que se trata de Minimizar, la
restricción (2) es de la Proteina Cruda PC, que como mínimo debe tener 1500 gramos, la
restricción (3) es de la Energía Neta de lactancia ENI, que como mínimo debe tener 16.5
Mcal., la restricción (4) es de la Fibra Cruda, FCmax que como máximo debe tener 2000
Métodos Matemáticos para la toma de Decisiones.
LSC. Roberto García Blanco.
gramos, la restricción (5) es también de la Fibra Cruda FCmin, pero en este caso debe
tener un mínimo de 1300 gramos.
Se va a determinar por graficación, cuantos Kilogramos de Concentrado (X1) y cuantos
Kilogramos de Forraje (X2) se calcularan para que la ración sea al mínimo costo posible y
cubra los requerimientos nutritivos.
Para pensar en una interpretación geométrica de nuestro problema, se transforman las
inecuaciones 2, 3, 4 y 5 como ecuaciones :
120 X1 + 200 X2 = 1500
2.0 X1 + 1.3 X2 = 16.5
100 X1 + 280 X2 = 2000
100 X1 + 280 X2 = 1300
Se trazan las gráficas de dichas ecuaciones, que no son otra cosa que líneas rectas, en
los ejes cartesianos, tomando coma eje de las Xs el Concentrado (X1) y en el eje de las
Ys el Forraje (X2).
Métodos Matemáticos para la toma de Decisiones.
LSC. Roberto García Blanco.
Punto Coordenada X
Coordenada Y
Valor F
O
0
0
0
A
0
7.5
375
B
12.5
0
1375
C
5.53278688525
4.18032786885
817.62295082
D
1.47058823529
6.61764705882
492.647058824
E
11.7647058824 0.441176470588 1316.17647059
F
0
12.6923076923
634.615384615
G
8.25
0
907.5
H
4.6976744186
5.46511627907
790
I
6.81395348837
2.20930232558
860
J
0
7.14285714286
357.142857143
K
20
0
2200
L
0
4.64285714286
232.142857143
M
13
0
1430
Sustituyendo los valores de estos puntos en la ecuación del COSTO.
110 X1 + 50 X2
Para el Punto H (4.7 , 5.47)
110(4.7) + 50(5.47) = 790.5
Que son los valores para el MINIMO COSTO.
LA SOLUCION ES :
CONCENTRADO
FORRAJE
(X1) = 4.70 Kg.
(X2) = 5.47 Kg.
MINIMO COSTO = $ 790.50
APORTE DE NUTRIENTES POR LA RACION :
Métodos Matemáticos para la toma de Decisiones.
LSC. Roberto García Blanco.
Proteina Cruda PC 120(4.7) + 200(5.47) = 1658 gr., que es poco más del mínimo
impuesta por la restricción de 1500 gr.
Energía Neta de lactancia ENI 2.0(4.7) + 1.3(5.47) = 16.5 Mcal., que es el mínimo
requerido e impuesto por la restricción.
Fibra Cruda FC 100(4.7) + 280(5.47) = 2000 gr., que es límite máximo requerido e
impuesto por la restricción 1300 - 2000 gr.
Métodos Matemáticos para la toma de Decisiones.
LSC. Roberto García Blanco.