CAPÍTULO1: LaTeoríadelaRela4vidad Bibliogra:a Textosderepaso 1) Capítulo39de“FísicaVol.2C”(6ªedición)deTipleryMosca,EditorialReverté. 2) Capítulos1y2de“ModernPhysics”(5thediGon)deTipleryLlewellyn,W.H.Freeman. 3) Capítulo1y2de“ModernPhysics”(3rdediGon)deR.A.Serway,C.J.MosesandC.A. Moyer,Thomson/BrookCole(2005). Textosconelniveldeestecurso 1) “Rela%vidadEspecial”,A.P.French,EditorialReverté. 2) Capítulo15de“MecánicaClásica”,JohnR.Taylor,editorialReverté. 3) Capítulo7de“ClassicalMechanics”(3rdediGon),HerbertGoldstein,CharlesPooley JohnSaYo,editorialAddisonWesley. 4) Capítulo14de“ClassicalDynamicsofPar9clesandSystems"(5thediGon),StephenT. ThorntonandJerryB.Marion,editorialThomsonBrooks/Cole. Índice del capítulo 1 1.1 Relatividad newtoniana. 1.2 Los postulados de la relatividad especial. 1.3 Las transformaciones de Lorentz. 1.4 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud. 1.5 El efecto Doppler relativista. 1.6 Transformación de las velocidades y aceleraciones. 1.7 Paradojas relativistas. 1.8 Cuadrivectores y espacio-tiempo. 1.9 Diagramas de Minkowski y causalidad. Índice del capítulo 1 1.10 Tiempo propio y velocidad propia. 1.11 Momento lineal relativista. 1.12 Energía relativista. 1.13 Cuadrivector energía-momento. 1.14 Algunas consecuencias de los principios de conservación. 1.15 Colisiones relativistas. 1.16 El concepto de fuerza en mecánica relativista. 1.17 Formulación lagrangiana de la relatividad especial. 1.18 Introducción a la relatividad general. 1.1 Relatividad newtoniana LamecánicaclásicaseresumeenlasleyesdeNewton.Lasegundadeellasnosdice: ! ! ! dv F = m = ma dt [2ª ley de Newton] dondeaeslaaceleracióndelamasamcuandosobreellaseejerceunafuerzaF.Esta ecuaciónconGeneasuvezalaprimeraley,oleydeinercia.SiF=0,entonesv=cte. LasleyesdeNewtontansólosonválidasenlossistemasdereferenciainerciales,es decir,enaquellosenlosquesecumplelaleydeinercia.EstasleyesGenenlamisma formaencualquiersistemadereferenciaquesemuevaconvelocidadconstantecon respectoaunsistemainercial. Figura 1.1: Las leyes de Newton son iguales para todos los observadores inerciales. En este ejemplo, las leyes serán las mismas para un observador en el interior de un vagón (S’) que se mueve con velocidad constante arbitraria como para un observado parado con respecto a las vías (S). 1.1 Relatividad newtoniana MatemáGcamente,elhechodelasleyesdeNewtontenganlamismaformaen todoslossistemasdereferenciaseexpresamediantelainvarianciadedichasleyes bajolastransformacionesdeGalileo: xʹ = x − vt ; yʹ = y; z ʹ = z Lasvelocidadessetransforman: uʹx = u x − v, uʹy = u y , uʹz = u z Estoimplicalainvarianciadela segundaleydeNewton: aʹx = a x ⇒ Fxʹ = Fx Figura 1.2: Un sistema inercial S está ligado a la tierra (o palmera) y otro sistema S’ está ligado al ciclista que se mueve con una velocidad constate v con respecto a S. Cualquiersistemadereferenciaquesemuevaconvelocidadconstanteconrespectoa unsistemadereferenciainercialtambiénesunsistemadereferenciainercial.Dicho deotromodo,lasleyesdeNewtonsoninvariantesbajolastransformacionesde Galileo. 1.1 Relatividad newtoniana Eléterylavelocidaddelaluz:lavelocidaddeunaondadependedelas propiedadesdelmedioenelquesepropagaynodelavelocidaddelfocoemisorde onda.Porejemplo,lavelocidaddelsonidorespectoalaireenreposodependedela temperaturadelaire.LaluzyotrasondaselectromagnéGcas(radio,rayosX,etc.)se propaganatravésdelvacíoconunavelocidadc=3x108m/s,predichaporlas ecuacionesdeMaxwell.Pero,¿respectoaquéserefiereestavelocidad?Elmedioque sepropusoparalapropagacióndelaluzsellamóéterysesupusoqueeléterestaba extendidoportodoelespacio.SesupusoquelavelocidaddelaluzrelaGvaaléterera lavelocidadpredicha(c)porlasecuacionesdeMaxwellylavelocidaddecualquier objetorelaGvaaléterseconsiderócomosuvelocidadabsoluta. AlbertMichelsonyEdwardMorley(1887)decidieronmedirlavelocidaddelaGerra conrespectoalétermedianteuningeniosoexperimentoenlacuallavelocidaddela luzconrespectoalaGerrasecomparabaendoshacesluminosos,unoenladirección delmovimientodelaGerrarelaGvoalsolyotroperpendicularaladireccióndel movimientoterrestre.Losexperimentosnomostraronningunadiferencia,poniendo demanifiestoqueelmovimientodelaGerraconrespectoaléternopuedeser detectado.Losdetallesdeesteexperimentopuedenencontrarse,porejemplo,enel capítulo1dellibro“ModernPhysics”deTipleryLlewellyn. 1.1 Relatividad newtoniana ElexperimentodeMichelsonandMorley(1887): (a) (b) Figura 1.3: (a) Esquema de la disposición del interferómetro de Michelson. (b) Fundamento del experimento de Michelson-Morley en función del “viento de éter”. Conclusióndelexperimento:ElmovimientodelaGerraconrespectoaléternopuedeser detectado. 1.2 Los postulados de la relatividad especial En1905AlbertEinsteinpublicóunarlculosobrelaelectrodinámicadeloscuerposen movimiento.Enestearlculopostulabaqueelmovimientoabsolutonopodríamedirse medianteningúnexperimento.Esdecir,eléternoexisla.SuteoríadelarelaGvidad puedededucirsededospostulados: Postulado1.Lasleyesdelansicasonlasmismasentodoslossistemasdereferencia inerciales. Postulado2.Lavelocidaddelaluzesindependientedelmovimientodelafuente.Es decir,todoobservadormideelmismovalorcparalavelocidaddelaluz. (a) (b) Figura 1.4: (a) Foco luminoso en reposo S y observador en reposo R1, con un segundo observador R2 moviéndose hacia el foco con velocidad v. (b) En el sistema de referencia en el que está en reposo el observador R2, el foco luminoso S y el observador R1 se mueven hacia la derecha con velocidad v. Si no puede detectarse el movimiento absoluto, los dos puntos de vista son equivalentes. Como la velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente, el observador R2 mide el mismo valor para dicha velocidad que el observador R1. 1.2 Los postulados de la relatividad especial Rela4vidaddelasimultaneidad: “Dossucesos(oeventos)separadosespacialmentequeaparecencomo simultáneosenunsistemadereferencianoson,engeneral,simultáneosen otrosistemadereferenciainercialquesemueveconrespectoalprimero”. Corolario:“relojessincronizadosenunsistemadereferencia,noloestán,en general,enotrosistemainercialquesemueveconrespectoalprimero”. Figura 1.5: Dos rayos golpean la parte delantera y trasera del tren (S’) cuando este se mueve con respecto al andén (S) con una velocidad v. (a) Los golpes son simultáneos en S, alcanzando al observador en C, situado a medio camino entre los eventos, al mismo tiempo de acuerdo con su reloj, como se muestra en (c). En S’ el flash de la parte delantera es medido por el reloj en C’, situado en el medio del tren, antes que el de la parte delantera del tren (b y c). De este modo, el observador en C’ concluye que los golpes no fueron simultáneos. (a) (b) (c) (d) 1.3 Las transformaciones de Lorentz Figura 1.6: Sistemas de referencia S y S’ moviéndose con velocidad relativa v. En ambos sistemas existen observadores con reglas y relojes que son idénticos cuando se comparan en reposo. LastransformacionesdecoordenadascompaGblesconlospostuladosdelarelaGvidad especialsonlastransformacionesdeLorentzqueadoptanlasiguienteforma: xʹ = γ ( x − vt ), yʹ = y, z ʹ = z x = γ ( xʹ + vt ʹ), y = yʹ, z = z ʹ ⎛ vx ⎞ 1 ʹ t = γ ⎜ t − 2 ⎟ donde γ = ⎝ c ⎠ 1− v2 / c2 vxʹ ⎞ ⎛ ʹ t = γ ⎜t + 2 ⎟ c ⎠ ⎝ Ejemplo1.1:Lallegadadedosmuonesprocedentesderayoscósmicossedetectaen ellaboratorio,unoenelinstantetayposiciónxayelotroen(tb,xb).¿Cuálesel intervalodeGempoentreesosdossucesosenunsistemaS´quesemuevecon velocidadvalolargodelejexconrespectoalsistemadellaboratorio? 1.3 Las transformaciones de Lorentz LastransformacionesdeLorentzsepuedenexpresardeformamatricial: ⎛ ⎜ x ′ = Λ̂x ⇒ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ct ′ x′ y′ z′ ⎞ ⎛ γ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −γβ ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠ ⎜ 0 ⎝ 0 0 ⎞⎛ ⎟⎜ 0 0 ⎟⎜ 1 0 ⎟⎜ ⎟ 0 1 ⎠ ⎜⎝ −γβ γ 0 0 PropiedadesdelamatrizdeLorentz: Λ̂ T (v) = Λ̂(v); AlternaGvamente: ⎛ cosh φ ⎜ −senhφ Λ̂ = ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ −senhφ cosh φ 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ z ⎟⎠ ct x y donde β = v / c γ = det Λ̂(v) = 1; 0 0 ⎞ ⎟ 0 0 ⎟ 1 0 ⎟ ⎟ 0 1 ⎠ 1 1− β2 Λ̂ −1 (v) = Λ̂(−v) donde γ ≡ coshφ Ejemplo1.2:DemostrarquelacanGdadesuninvarianteLorentz, (ct)2 − x 2 − y 2 − z 2 esdecir,queadoptaelmismovalorentodoslossistemasdereferencia. 1.4 Dilatación del tiempo Dilatacióndel4empo:ElGempotranscurridoentredossucesosqueocurrenenel mismolugarenunsistemadereferenciasedenominaGempopropioτ.Elintervalode GempoΔtmedidoencualquierotrosistemadereferenciaessiempremayorqueelGempo propio.EstecrecimientosedenominadilatacióndelGempo.Conayudadelejemplodela figura1.7ylospostuladosdelarelaGvidadespecialsedemuestrafácilmenteque: Δt = (a) Δt ′ 1 − v /c Espejo (b) 2 2 = γΔt′ (Δt′ = τ = tiempo propio) Espejo (c) Figura 1.7: (a) El observador A´ y el espejo están dentro de una nave espacial en el sistema S´. El tiempo que tarda el destello luminoso en llegar al espejo y regresar, según la medida realizada por A´, resulta ser 2D/c. (b) En el sistema S, la nave se está moviendo hacia la derecha con velocidad v. Si la velocidad de la luz es la misma en ambos sistemas, el tiempo que tarda la luz en llegar al espejo y regresar es más largo que 2D/c en S porque la distancia recorrida es mayor que 2D. (c) Triángulo rectángulo que sirve para calcular el tiempo Δt en el sistema S. 1.4 Contracción de la longitud Ejemplo1.3:LosastronautasdeunanaveespacialquesealejadelaGerraav=0.6c interrumpensuconexiónconelcontrolespacial,diciendoquevanadormirunasiesta de1horayqueluegovolveránallamar.¿Cuálesladuracióndesusiestasegúnse mideenlaGerra?Solución:1.25h. Contraccióndelalongitud:Lalongituddeunobjetomedidaenelsistemade referenciaenquedichoobjetoseencuentraenrepososedenominasulongitudpropia Lp.Enunsistemadereferenciaenelqueelobjetoseestámoviendo,lalongitudmedidaL esmáspequeñaquesulongitudpropia.Estefenómenoseconocecomocontracciónde Lorentz.ConayudadelastransformacionesdeLorentzsedemuestrafácilmenteque: L = L p 1 − v 2 /c 2 = L p /γ < L p Ejemplo1.4:UnareglaGeneunalongitudpropiade1mysemueveenunadimensión alolargodesulongitudconvelocidadrelaGvavrespectoaunobservador.Éstemide lalongituddelareglaysuresultadoes0.914m.¿Cuáleslavelocidadv? Solución:0.406c. 1.4 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud UnejemplointeresantededilatacióndelGempoodecontraccióndelalongitudlo proporcionalaaparicióndelosmuonescomoradiaciónsecundariaderayoscósmicos. LosmuonessedesintegrandeacuerdoconlaleyestadísGcadelaradioacGvidad: − t /τ N ( t ) = N e 0 endondeN0eselnúmeroinicialdemuonesent=0,N(t)eselnúmeroquequedaenel instantetyτeslavidamediadelosmuones(τ=2µs).Puestoquelosmuonessecrean agranalturaenlaatmósfera,pocosdeestosmuonesdeberíanalcanzarelniveldelmar. Sinembargo,estoesposiblegraciasaladilatacióndelGempo. (a) (b) Figura 1.8: Aunque los muones se crean a una gran altura de la atmósfera y la vida media es sólo de unos 2 µs cuando están en reposo, muchos aparecen en la superficie de la tierra. (a) En el sistema de referencia terrestre un muón típico que se mueve a 0.9978c tiene una vida media de 30 µs y recorre 9000 m en este tiempo. (b) En el sistema de referencia del muón, la distancia recorrida por la tierra es de sólo 600 m durante los 2 µs de vida media del muón. 1.5 El efecto Doppler relativista ParalaluzuotrasondaselectromagnéGcasenelvacíonopodemosdisGnguirentrelos movimientosdelafuenteyelreceptor.Porlotanto,lasexpresionesclásicasnopueden aplicarsealaluz.Larazónesqueensudeducciónunosuponequelosintervalosde Gempomedidosenlossistemasdereferenciadelafuenteyelreceptorsonlosmismos. Figura 1.9: Una fuente luminosa se acerca a un observador A y se aleja de un observador B con una velocidad v. Larelaciónentrelafrecuenciadelafuentef0(llamadafrecuenciapropia)yla frecuenciafmediaporunobservadorqueseacercaalafuenteconunvelocidadves: f= Paravelocidadespequeñas: 1+ β f0 1− β f ≈ 1+ β f0 donde β = v / c (v << c) “corrimientoalazul” 1.5 El efecto Doppler relativista Larelaciónentrelafrecuenciadelafuentef0(llamadafrecuenciapropia)yla frecuenciafmediaporunobservadorquesealejadelafuenteconunvelocidadves: f = Paravelocidadespequeñas: 1− β f0 1+ β f ≈ 1− β f0 donde β = v / c “corrimientoalrojo” (v << c) Ejemplo1.6:LalongituddeondamáslargaemiGdaporelhidrógenoenlaseriede BalmerGeneunvalordeλ0=656nm.Enlaluzprocedentedeunagalaxialejana,el valormedidoesλ=1458nm.Hallarlavelocidaddealejamientodedichagalaxiacon respectoalaGerra.Solución:0.664c. Ejemplo1.7:Elsolrotaalrededordesuejeunavezcada254días.ElsolGeneunradio de7x108m.CalcularelefectoDoppler(corrimientodelafrecuencia)queseobserva entrelosbordesizquierdoyderechodelsolcercadelecuadorparalaluzdelongitud deondaλ0=550nm(luzamarilla).¿Laluzsecorrealrojooalazul? Solución:(f-f0)/f0=10-5. 1.5 El efecto Doppler relativista LaleydeHubble:En1929E.P.Hubbleestableciómediantemedidasdel corrimientoalrojoquetodaslasgalaxiassealejandenosotrosconunavelocidadv queesproporcionalaladistanciaralaqueseencuentran: v = H 0r ConstantedeHubble: H 0 = 67.80 ± 0.77 km/(s ⋅ Mpc) = 20.80 ± 0.24 km/(s ⋅ años-luz) Figura 1.10: La ley de Hubble nos dice que la velocidad de recesión de las galaxias es proporcional a la distancia a la que se encuentran. Figura 1.11: El corrimiento al rojo de las líneas de absorción para el Ca, H y K para cinco galaxias situadas a diferentes distancias de nosotros. 1.6 Transformación de las velocidades Sepuedehallarlaformaenlaquesetransformanlasvelocidadesdeunsistemade referenciainercialaotroderivandolasecuacionesdetransformacióndeLorentz. uy uz ux − v u′x = , u′y = , u′z = ⎛ vux ⎞ ⎛ vux ⎞ vu 1 − 2x γ ⎜1 − 2 ⎟ γ ⎜1 − 2 ⎟ c ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠ u′y u′z u′x + v ux = , uy = , uz = ⎛ vu′x ⎞ ⎛ vu′x ⎞ vu′ 1+ 2x γ ⎜1+ 2 ⎟ γ ⎜1+ 2 ⎟ c ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠ Enellímitedevelocidadespequeñas,estastransformacionessereducenalaadición develocidadesclásica: u ʹ = u − v, u ʹ = u , u ʹ = u x x y y z z Ejemplo1.8:SupongamosquedosrayoscósmicosseaproximanalaGerradesde ladosopuestos.LasvelocidadesrelaGvasalaGerrasonv1=0.6cyv2=-0.8c.¿Cuálesla velocidaddelaGerrarelaGvaacadaprotón?¿Cuáleslavelocidaddecadaprotón relaGvaalotro? Ejemplo1.9:UnfotónsemuevealolargodelejexenelsistemaS´convelocidadu´x= c.¿CuáleslavelocidadenelsistemaS?Solución:c. 1.6 Transformación de las aceleraciones Sepuedenhallarlascorrespondientestransformacionesdelasaceleracionesusandola leydeadicióndevelocidadesylastransformacionesdeLorentz: ay′ (vuy′ / c 2 )ax′ ax′ ax = 3 ; ay = 2 − 3, vu′ ⎞ vu′ ⎞ vu′ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ γ 3 ⎜ 1 + 2x ⎟ γ 2 ⎜ 1 + 2x ⎟ γ 2 ⎜ 1 + 2x ⎟ ⎝ ⎝ ⎝ c ⎠ c ⎠ c ⎠ az = az′ vu′ ⎞ ⎛ γ 2 ⎜ 1 + 2x ⎟ ⎝ c ⎠ 2 − (vuz′ / c 2 )ax′ vu′ ⎞ ⎛ γ 2 ⎜ 1 + 2x ⎟ ⎝ c ⎠ 3 Contrariamentealoqueocurreenlamecánicanewtoniana,enrelaGvidadespeciallas aceleracionescambiandeunsistemadereferenciainercialaotro,esdecir,noson invariantes. Ejemplo1.10:UnastronautaexperimentaunaaceleraciónconGnuagensusistema enreposoinstantáneo.SipartedelreposodesdelaTierra,¿quédistanciaharecorrido alcabodeunGempoterrestret?¿Cuántotardaenalcanzarunavelocidadc/2?¿Es posiblequesuperelavelocidaddelaluzalcabodeunciertoGempo? 1.7 Paradojas relativistas Laparadojadelosgemelos:HomeroyUlisessongemelosidénGcos.Ulises realizaunviajeaunavelocidadmuyelevadahaciaunplanetamásalládelsistema solaryvuelvealaGerramientrasqueHomeropermaneceenella.Cuandosereunen denuevo,¿cuáldelosdosgemelosesmásviejo,osonambosdelamismaedad?La respuestacorrectaesqueHomero,elgemeloquepermanecióensucasa,esmás viejo.¿Sabríasexplicarporqué? Figura 1.12: Paradoja de los gemelos. La tierra y un planeta lejano están fijos en el sistema S. Ulises vuela en el sistema S´ hacia el planeta y luego regresa a la tierra en S´´. Su gemelo Homero permanece en la tierra. Cuando Ulises regresa es más joven que su gemelo. Los papeles que desempeñan los gemelos no son simétricos. Homero permanece en un sistema de referencia inercial, pero Ulises ha de acelerar si quiere volver a casa. 1.7 Paradojas relativistas Laparadojadelapér4gayelpajar:UncorredorllevaconsigounapérGgade10 mdelargoysedirigehacialapuertaabiertadeunpajarde5mdelargo.Ungranjero estádepiecercadelpajardemaneraquepuedevertantolapuertadelpajarcomola partetraseradelmismo.ElcorredorentraenelpajarllevandolapérGgaconuna velocidadv,yenelinstanteenelqueelgranjerovequelapérGgaestá completamentedentrodelpajarcierraestapuertaydeestemodo,haconseguido introducirunapérGgade10menunpajarde5m.(Lavelocidadmínimapararealizar estaoperaciónesv=0.866c.) Laparadojasurgecuandolasituaciónes vistadesdeelpuntodevistadelcorredor. ParaéllapérGgaGenesulongitudpropiade 10myelpajarGeneunalongitud (contraída)de2.5m.¿Cómoesposible introducirunapérGgade10menunpajar 2.5m?¿Sabríasresolverestaparadoja? Figura 1.13: Paradoja de la pértiga y el pajar. 1.8 Cuadrivectores y espacio-tiempo Rotacionesentresdimensiones: ⎛ R11 ⎛ x ⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ! ! ! ! x = ⎜ y ⎟ ; x ′ = ⎜ y′ ⎟ ⇒ x ′ = R̂x donde R̂ = ⎜ R21 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ′ ⎟⎠ ⎜ R ⎝ 31 R12 R22 R32 R13 ⎞ ⎟ R23 ⎟ R33 ⎟⎠ Lasrotacionesdejaninvarianteslaslongitudes: ! ! ! ! x ⋅ x = x 2 + y 2 + z 2 = ( x ′ )2 + ( y ′ )2 + ( z ′ )2 = x ′ ⋅ x ′ ParaellolasmatricesderotaciónGenenqueserortogonales: R̂ −1 = R̂T ! Unvectortridimensionalsedefinecomounconjuntodetresnúmeros a = (a1, a2 , a3 )T quesetransformanbajorotacionescomolascoordenadas: 3 ! ! a ′ = R̂a ⇒ ai′ = Rij a j j=1 Lasrotacionesconversanelproductoescalardedosvectores: ! ! ! ! ! ! a ⋅ b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 ⇒ a ⋅ b = a ′ ⋅ b′ Cualquierleynsicaqueestéexpresadacomounaigualentrevectorestridimensionaleses demaneraautomáGcaunaleyinvariantebajorotaciones. ∑ 1.8 Cuadrivectores y espacio-tiempo Cuadrivectoresenelespacio-4empo: ⎛ ⎜ x=⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ; x′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎝ z ⎟⎠ ct x y ct ′ x′ y′ z′ ⎛ γ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ x ′ = Λ̂x donde Λ̂ = ⎜ −γβ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ 0 −γβ γ 0 0 0 0 ⎞ ⎟ 0 0 ⎟ 1 0 ⎟ ⎟ 0 1 ⎠ LastransformacionesdeLorentzdejaninvarianteslacanGdad(móduloalcuadradodel vectordeposicióncuadridimensional): x ⋅ x = (ct)2 − x 2 − y 2 − z 2 = (ct ′ )2 − ( x ′ )2 − ( y′ )2 − ( z ′ )2 = x ′ ⋅ x ′ Paraescribirelmódulodelvectordeposicióncuadridimensionalennotaciónmatricial introducirlamétrica: ⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ Ĝ = ⎜ ⎟ 0 0 −1 0 ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 −1 ⎟⎠ Conestamatriztenemosque: x ⋅ x = x T Ĝx 1.8 Cuadrivectores y espacio-tiempo Paradejarinvarianteelmódulodelvectordeposición,lamatrizdeLorentzdebe saGsfacer: Λ̂ T Ĝ Λ̂ = Ĝ Uncuadrivector(ovectorenelespacio-Gempocuadridimensional)sedefinecomoun conjuntodecuatronúmerosquesetransformanbajouncambiode a = (a0 , a1, a2 , a3 )T sistemadereferenciacomolascomponentesdelvectordeposicióncuadridimensional: 3 a ′ = Λ̂a ⇒ ai′ = Λ ij a j j=0 LastransformacionesdeLorentzdejaninvarianteelproductoescalardecuadrivectores: a ⋅ b = a T Ĝb = a0 b0 − a1b1 − a2 b2 − a3b3 ⇒ a ⋅ b = a ′ ⋅ b ′ Cualquierleynsicaqueestéexpresadacomounaigualentrecuadrivectoresesdemanera automáGcaesunaleyinvariantebajotransformacionesdeLorentz:. ∑ p = q ⇒ p′ = q′ 1.9 Diagramas de Minkowski y causalidad Lastrayectoriasdeunaparlculasepuedenrepresentarendiagramasespacio-Gempoo diagramasdeMinkowskicomoeldelafigura1.14. Figura 1.14: Diagrama espacio-temporal o diagrama de Minkowski que muestra la posición de una partícula en una dimensión en diversos instantes. La trayectoria que muestra la historia completa de la partícula se llama ínea de mundo de la partícula. Un evento E tiene coordenadas (x,t) en el sistema S y coordenadas (x’,t’) en S’. 1.9 Diagramas de Minkowski y causalidad Sedefineelintervaloespacio-temporalcomolacanGdaddadapor (Δs)2 = (cΔt)2 − (Δx)2 − (Δy)2 − (Δz)2 EstacanGdadeselanólogodeladistanciaenlamecánicaclásicayesfácildemostrarque esuninvarianteLorentz,esdecir,Geneelmismovalorentodoslossistemasdereferencia inerciales. 2 2 (Δs) = (Δs′ ) Figura 1.15: Dos eventos E1 y E2 con coordenadas (x1,t1) y (x2,t2) en el sistema S. 1.9 Diagramas de Minkowski y causalidad LosdiagramasdeMinkowskisirvenparaclasificarlosintervalosespacio-temporales. Ø IntervalosGpoGempo: (Δs)2 > 0 LoseventosdeesteGpodeintervalos puedeestarcausalmenteligados. Ø IntervalosGpoluz: (Δs)2 = 0 Ø IntervalosGpoespacio: (Δs)2 < 0 LoseventosdeesteGpodeintervalos nopuedentenerrelacióncausal. Figura 1.16: Clasificación del espacio-tiempo unidimensional en regiones de pasado, futuro y en otras partes. Una partícula con una línea de mundo que pase por O no puede alcanzar regiones marcadas como “en otras partes". 1.10 Tiempo propio y velocidad propia Tiempopropio:elGempomedidoporunrelojenreposomomentáneoconun parlcula,conocidocomoGempopropio,esunainvarianteLorentz.DichoGempo vienedadoporlafórmuladeladilatacióndeGempo: c 2 dτ 2 = cdt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 ⇒ dτ = dt 1 − u 2 / c 2 = dt γ (u) Velocidadpropia: ! T ! T dx ⎛ dt dx ⎞ d x !T ⎛ ⎞ η≡ = ⎜ c , ⎟ = ⎜ cγ , γ ⎟⎠ = γ ( c, u ) ⎝ ⎠ ⎝ dτ dτ dτ dt LavelocidadpropiaesuncuadrivectorysumóduloesuninvarianteLorentz: η ⋅ η Lavelocidadpropiasetransformacomocualquiercuadrivectorenuncambiode sistemadereferencia: vη1 ⎞ ⎛ η0′ = γ ⎜ η0 − ⎟⎠ ; η1′ = γ ⎝ c vη0 ⎞ ⎛ ⎜⎝ η1 − ⎟⎠ ; η2′ = η2 ; η3′ = η3 c donde η = (η0 ,η1 ,η2 ,η3 )T = γ (c,u x ,u y ,uz )T y γ = 1 / 1− v 2 / c 2 = c2 1.11 Momento lineal relativista Conservaciónno-rela4vistadelmomentolineal:esinstrucGvorevisaralgunasdelas ideasacercadelaconservaciónno-relaGvistadelmomentolineal.Consideremoslacolisión delafigura1.17desdeelpuntodevistadedossistemasdereferenciaquesemuevenuno conrespectoalotroconvelocidadv. md ! m ! ! a vaʹ ma md ! vd va ʹ (antes) me (después) vd (después) ! ve ! vb (a) S mb (antes) me ! vbʹ ! veʹ Figura 1.17 (b) S ʹ mb SupongamosqueseconservaelmomentoenS´: ʹ + mb vbx ʹ = md vdx ʹ + me vex ʹ ma vax ʹ + mb vby ʹ = md vdy ʹ + me vey ʹ ma vay LaconservacióndelacomponenteydelmomentoenS´,juntoconlatransformación norelaGvistanosllevaalaconservacióndedichacanGdadensistemaS: ʹ = vay , vby ʹ = vby , etc. vay ma vay + mb vby = md vdy + me vey 1.11 Momento lineal relativista Ahoraexploramoslaconservacióndelmomentoenladirecciónx.UGlizandola transformacióndelavelocidadenladirecciónx:v´ax=vax–v,etc.,esfácildemostrarque paraquesaGsfagalaconservacióndelmomentolinealenladirecciónxsedebecumplir: ma vax + mb vbx = md vdx + me vex ma + mb = md + me (conservacióndelmomento) (conservacióndelamasa) EstoquieredecirquesilaconservacióndelmomentolinealdebeserunaleynorelaGvista válida,esdecir,unaleyválidaentodoslossistemasdereferenciainerciales,nosóloel momentodebeconservarseenunacolisión,sinoquetambiénlasumadelasmasasantes ydespuésdelchoquedebeserlamisma(conservacióndelamasa).Esterazonamiento nosmuestraquelaleydeconservacióndelamasasepuedededuciraparGrdela conservacióndelmomentoydelprincipioderelaGvidad. ¿Cómoescogemosunaexpresiónparaelmomentorela4vista?:Lasfórmulasdeadición delasvelocidadesqueresultanadecuadascuandoéstassongrandes,sededucendelas transformacionesdeLorentzynodelastransformacionesdeGalileoquehemosuGlizado antes.EnestesenGdo,seríasorprendentequelaexpresiónclásicadelmomentolineal, masaporvelocidad,pasarasinningunamodificaciónalamecánicarelaGvista. 1.11 Momento lineal relativista Para“adivinar”lanuevaexpresióndelmomentovamosaanalizarunacolisiónrasante entreunobjetoquesemueverápidamenteyotrodeigualmasaquesemuevecon pequeñavelocidad(verfigura1.18). Figura 1.18: (a) En esta colisión, un objeto se acerca por la parte de arriba con una gran velocidad u y se hace rebotar simétricamente con otro objeto de igual masa que se acerca desde abajo verticalmente con velocidad v. Dado que el choque es simétrico, el segundo objeto rebota hacia abajo con velocidad –v. (b) El mismo choque visto en S´, que se mueve con velocidad ucosθ hacia la derecha con respecto a S. ElanálisisdeestacolisiónsugierequeelmomentolinealrelaGvistadeunaparlculade masamquesemueveconunavelocidaduvienedadopor ! p= ! mu 1− u 2 / c2 [Momento lineal relativista] Nótesequeparavelocidadesbajasestaexpresiónsereducealaclásicap=mu. 1.11 Momento lineal relativista Conservacióndelmomentorela4vista:vamosacomprobarqueelmomentorelaGvista seconservaenunacolisiónentodoslossistemasinerciales,siseconservaenalguno. Consideremosdenuevoelchoquedelafigura1.17ysupongamosqueseconservael momentoenladirecciónyenS´: p′ay + p′by = p′dy + p′ey ⇒ ma v′ay 1 − v′ /c 2 a 2 mb v′by + 1 − v′ /c 2 b md v′dy = 2 1 − v′ /c 2 d 2 + me v′ey 1 − v′e2 /c 2 Ahoradebemoscomprobarqueestonosllevaalaconservacióndelmomentoenel sistemaS.ParaellodebemosescribirlasvelocidadesenelsistemaS´enfunciónde lasvelocidadesenS. Ejemplo1.11:Demostrarque: v′iy 1 − v′i /c 2 2 = v iy 1 − v /c 2 i (i = a,b,d,e). 2 Conelresultadodelejemplo1.11estrivialmostrarqueelmomentolinealenla direcciónytambiénseconservaenS: ma v ay 1 − v /c 2 a 2 + mb v by 1 − v /c 2 b 2 = md v dy 1 − v /c 2 d 2 + me v ey 1 − v e2 /c 2 1.12 Energía relativista Unavezdeducidalaconservacióndelmomentolineal,vamosaanalizarcomodos observadoresdescribiríanlaconservacióndelmomentoalolargodeladireccióndesu movimientorelaGvo,ladirecciónxenlafigura1.17.ElobservadorenS´escribiríala conservacióndelmomentoenladirecciónxcomosigue: p′ax + p′bx = p′dx + p′ex ⇒ ma v′ax 1 − v′a2 /c 2 + mb v′bx 1 − v′b2 /c 2 = md v′dx 1 − v′d2 /c 2 + me v′ex 1 − v′e2 /c 2 UGlizandolatransformaciónrelaGvistadelasvelocidades(versección1.6): ⎛ ⎞ v v ax ⎜ ⎟, etc. donde γ = 1/ 1 − v 2 /c 2 = γ − ⎜ 1 − v 2 /c 2 2 2 ⎟ 1 − v′a2 /c 2 1 − v /c ⎝ ⎠ a a v′ax Deestomodopodemosescribir: ⎛ mv ⎞ m v m v m v a ax b bx d dx e ex ⎟ γ ⎜⎜ + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟ 1 − v b /c 1 − v d /c 1 − v e /c ⎠ ⎝ 1 − v a /c ⎛ ⎞ m m m m a b d e ⎟=0 −γv⎜⎜ + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟ 1 − v b /c 1 − v d /c 1 − v e /c ⎠ ⎝ 1 − v a /c 1.12 Energía relativista Laprimeralíneadelaecuaciónanterioresigualaceroporlaconservacióndela componentexdelmomentolinealenelsistemadereferenciaS´.Sinembargo,siel momentodebeconservarseenambossistemasdereferencia,laexpresiónquefigura enelsegundoparéntesisdebesertambiénigualacero.Estosignificaque ma 1 − va2 / c 2 mb + md = 1 − vb2 / c 2 2 1 − vd2 / c 2 + me 1 − ve2 / c 2 2 m / 1− v / c Enotraspalabras,lacanGdadsumadaatodaslasparlculasdebe conservarse.EstacanGdadsereducealamasadelaparlculaparavelocidadesbajas. Porestarazón,aestacanGdadselasuelellamar“masa”deunparlculaen movimiento: M≡ m 2 1− v / c 2 = masa en movimiento; m = masa en reposo SimulGplicamoslamasaenmovimientoporc2obtenemosunaenergíaquese conservaenlacolisión: 2 E= mc 2 1− v / c 2 = Mc 2 [Energía relativista] 1.12 Energía relativista SihacemosundesarrollodeTaylordelaenergíarelaGvistaparapequeñasvelocidades: 1 2 E ≈ mc + mv + ! 2 2 Energíaenreposo EnergíacinéGca Hoyendíaescostumbredarlamasadeunaparlculaenunidadesdeenergía.Casitodas lastablasdeparlculaselementalesdanlasmasasenMeV,esdecir,laenergíaqueun electrónadquierecuandoesaceleradoporunadiferenciadepotencialde1millónde volGos.Así,elprotónGeneunamasademp=1.673x10-27kg: m p c 2 = (1.673 ×10-27 kg) × (2.998 ×108 m/s) 2 = 938 MeV ⇒ m p = 938 MeV/c 2 me = 0.511 MeV/c 2 (masa en reposo del electrón) Relaciónentrelaenergíayelmomentolineal: E 2 = p 2 c 2 + (mc 2 ) 2 Paraparlculassinmasa(m=0): E = pc 1.12 Energía relativista Ejemplo1.12:Unaparlculademasa2MeV/c2yenergíacinéGca3MeVchocacontrauna parlculaenreposodemasa4MeV/c2.Despuésdelchoquelasdosparlculasquedanunidas. Hallar(a)elmomentolinealinicialdelsistema,(b)lavelocidadfinaldelsistemadedosparlculas y(c)lamasadedichosistema. Solución:(a)4.58MeV/c,(b)0.509cy(c)7.75MeV/c2. Ejemplo1.13:Unmesónπ+(tambiénllamadopion)esunaparlcularesponsabledelafuerza nuclearfuerteentreprotonesyneutrones.Seobservaqueunmesóndecaeenreposo convirGéndoseenunanGmuónµ+ yunneutrinoν.ComoelneutrinonoGenecargayGenemuy pocamasa,nodejatrazaenunacámaradeburbujas.(Unacámaradeburbujasesunacámara llenadehidrógenolíquidoquemuestraelpasodelasparlculascargadascreandounaseriede pequeñasburbujas.)Sinembargo,latrazadelmuónesvisiblecuandopierdeenergíacinéGcay separa.Silamasadelmuónesde106MeV/c2ysuenergíacinéGcasemideyresultaser4.6 MeV(porlalongituddesutraza),encontrarlamasadelπ+. Solución:140MeV/c2. 1.13 El cuadrimomento Laenergíayelmomentolinealsepuedencombinarparaformaruncuadrivectorenergíamomentoocuadrimomento: T T E E ! ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p = ⎜ , px , py , pz ⎟ = ⎜ , p⎟ = mη ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ E2 2 2 2 ElmódulodelcuadrimomentoesuninvarianteLorentz: p ⋅ p = 2 − p = m c c Elcuadrimomentosetransformadeunsistemadereferenciaaotrocomocualquier cuadrivector: E ′ = γ (E − vpx ); px′ = γ ( px − vE / c 2 ); py′ = py ; pz′ = pz E = γ ( E ′ + vpx′ ); px = γ ( px′ + vE ′ / c 2 ); py = py′ ; pz = pz′ Ejemplo1.14:Usarlasecuacionesdetransformaciónenergía-momentoparaderivarlas expresionesquedescribenelefectoDopplerrelaGvista.Usarparaellolarelaciónde EinsteinquenosdicequelaenergíadeunfotónvienedadaporE=hf,dondehesla constantedePlanckyflafrecuenciadelfotón. 1.14 Algunas consecuencias Procesosinelás4cosen:sicanuclear:Unadelasprediccionesmássorprendentes delarelaGvidadeslanoconservacióndelamasa.Lansicanuclearproporcionaejemplos deestehecho.Porejemplo,elSolproduceenergíamedianteelprocesodefusión nuclearconocidocomocadenaprotón-protón.Enestareacción,deformanetacuatro protonesseconviertenenunnúcleode4He.Lamasaenreposodelos4núcleos dehidrógenoesiguala4×938.3MeV/c2=3.7532GeV/c2,mientrasquelamasaen reposodelnúcleode4Heesiguala3.7284GeV/c2.Deestemodo,enestareacción defusiónlamasaenrepososereduceen≈25MeV/c2,loquesetraduceenunaenergía liberadaqueeslaquefinalmentenosllegahastalaGerra. Lacreaciónyaniquilacióndepargculas:Quizásunadelasposibilidadesmás notablesentretodaslasquesugierelaequivalenciamasa-energíaeslacreaciónde parlculasnuevas,sisedisponedeunacanGdadadecuadadeenergía.Paracrearuna parlculademasaenreposomsenecesitaráunaenergíadealmenosmc2.EnlaprácGca debeemplearseunaenergíasuperioraésta,yenmuchoscasosunaenergíamuchísimo mayor. Figura 1.19: Creación de un par electrón-positrón. 1.14 Algunas consecuencias Absorcióndefotones:supongamosqueunaparlcula(unátomoounnúcleo) conunamasaenreposomesalcanzadaporunfotóndeenergíaQ,elcuales completamenteabsorbido.¿CuálserálamasaenmovimientodelaparlculaM´ despuésdelaabsorciónycuálserásuvelocidad? mc 2 + Q = M ʹc 2 (conservación de la energía) Q = M ʹv (conservación del momento) c M ʹ = m + Q / c2; v / c = Q mc 2 + Q Emisióndefotones:Consideremosunátomoenreposoconunamasamque emiteunfotóndeenergíaQ.Debidoalretrocesodelátomo,laenergíadelfotón(y portantosufrecuencia)sereduceencomparaciónconlaquetendríaenausenciade retroceso: ⎛ Q0 ⎞ ⎟ Q = Q0 ⎜⎜1 − 2 ⎟ ⎝ 2M 0c ⎠ donde Q0 = ( M 0 − M 0ʹ )c 2 es la diferencia de energías en reposo del átomo antes y después de la emisión. 1.14 Algunas consecuencias ElefectoCompton:detodoslosfenómenosqueponendemanifiestolas propiedadescorpuscularesdelosfotones,elefectoComptonesquizáselmásdirecto. Consisteenelchoquedeunfotónconunelectrónlibre.Enelchoqueelfotónpierde energíayportanto,sulongituddeondadisminuye.ElestudiosistemáGcodeeste fenómenollevadoacaboporA.H.Compton(1919-1923)conelempleodefotonesde rayosX,levalióelpremioNobelen1927. ! E , pe mc 2 + Q0 = E + Q (conservación de la energía) nˆ0 Q0 Q ! = n̂ + p e c c (conservación del momento) SuponiendoquelaenergíacuánGcaesQ,la longituddeondavienedadapor hc Q = hf = λ Lalongituddeondafinalvienedadapor: λ − λ0 = h (1 − cos θ ) mc Q0 , nˆ0 λ0 = hc Q0 λ= hc Q Q, nˆ Figura 1.20: La dispersión de la luz por un electrón puede considerarse como el choque de un fotón de momento lineal h/λ0y un electrón en reposo. El fotón dispersado posee menos energía y por lo tanto mayor longitud de onda. 1.15 Colisiones relativistas Ejemplo1.15:UnaparlcularelaGvistaconmasama,energíaEayvelocidadvachocacon otraparlculaenreposoydemasamb.Silasdosmasassefusionanenunasoladespuésde lacolisión,¿cuáleslamasamylavelocidadvdelaparlculacompuesta? Ejemplo1.16:ConsideremosunacolisiónfrontalentreunproyecGlconmasamayvelocidad vayunobjeGvoestacionarioconmasamb.Supongamosademásquelasdosparlculasse muevendespuésdelacolisiónalolargodeladirecciónenlaqueincideelproyecGl. Calcularlavelocidadfinalvbdelaparlculab. Energíaumbralenreaccionesde:sicadepargculas: Reacción: proyecGl a + b → d + ⋅⋅⋅ + g blanco(estáGco) Parlculasresultantesenlacolisión Laenergíatotalmínimaquedebetenerlaparlculaaparaqueseproduzcaestareacción vienedadapor: Eamin = (∑ m f )2 − ma2 − mb2 2mb c2 ∑m f = md + ⋅⋅⋅ + mg 1.16 Fuerza relativista Elconceptodefuerzaenmecánicarela4vistasedefinehabitualmentecomo: ! ! dp d ! F= = γ mu dt dt ConestadefiniciónsesaGsfaceelteoremadelamecánicanewtonianaquerelacionael trabajodelafuerzatotalconelcambioenlaenergíacinéGca: ( ) ! ! dK = F ⋅ dx Ejemplo1.17:Unaparlculacargadasemuevealolargodeunalínearectaenuncampo elétricouniformeEconvelocidadv.Sielmovimientoyelcampoeléctricoestánenla direcciónx,demostrarqueelmódulodelaaceleracióndelacargaqestádadapor dv qE ⎛ v 2 ⎞ a= = 1− 2 ⎟ ⎜ dt m ⎝ c ⎠ 3/2 Ejemplo1.18:RecordemosquelafuerzamagnéGcaejercidasobreunacargaqen movimientoconvelocidadvenuncampomagnéGcoBesigualaq(v xB).Siunaparlcula cargadasemueveenunaórbitacircularconunavelocidadconstantevenpresenciadeun campomagnéGcoconstante,calcularquelafrecuenciaangulardesumovimientoorbital. 1.16 Fuerza relativista Ejemplo1.19:Demostrarqueelmomentolinealdeunaparlculaconcargaemoviéndose enuncírculoderadioRenuncampomagnéGcoB estádadoporp=300BR,dondep estáenMeV/c,BenteslasyRenmetros. Ejemplo1.20:ElkaónK0esunmesónneutroquesedesintegraendospionescargados. LospionesGenencargasopuestasymasasidénGcaseigualesa140MeV/c2.Supongamos queelK0sedesintegraenreposoenunacámaradeburbujasenpresenciadeuncampo magnéGcode2.0T(verFig.1.21).Sielradiodecurvaturadelospioneses34.4cm, calcularlosmomentoslinealesylasvelocidadesdelospionesylamasadelmesónK0. Figura 1.21: Ejemplo 1.20. 1.16 Fuerza relativista Energíapotencial: ! ! F = −∇U( x) ⇒ K + U = constante (conservacióndela energíatotal) Cuadrifuerza:sepuededefinirunacuadrivectorfuerzacomosigue: ! dp K= = K0, K dτ ( ) T ! " T ! T ! ⎛ F ⋅u ⎞ ⎛ 1 dE dp ⎞ =γ ⎜ , ⎟ =γ ⎜ , F⎟ ⎝ c dt dt ⎠ ⎝ c ⎠ Ejemplo1.21:(a)DemostrarquelasleyesdetransformaciónrelaGvistasdelas componentesdelafuerzatridimensionalvienendadaspor ! ! 2 Fy / γ F /γ Fx − (v / c )( F ⋅ u) Fx′ = ; Fy′ = ; Fz′ = z vux vux vux 1− 2 1− 2 1− 2 c c c dondeueslavelocidaddelaparlculaensistemadereferenciaSyveslavelocidad relaGvadelsistemaS’conrespectoaS(alolargodelejex). (b)ParGcularizarestasrelacionesalcasoenelqueelsistemaSeselsistemaenreposo instantáneoconlaparlcula. 1.17 Formulación lagrangiana ∫ t2 d ⎛ ∂L ⎞ ∂L − =0 PrincipiodeHamilton: δ S = δ L dt = 0 ⇒ ⎜ ⎟ t1 dt ⎝ ∂vi ⎠ ∂xi L = −mc 2 1 − β 2 −U β = v/c Lagrangiano: ∂U Ecuacionesdemovimiento: d ⎛ mvi ⎞ = Fi ⎜ ⎟ =− dt ⎝ 1 − β 2 ⎠ ∂xi Formalismohamiltoniano: ∂L mc 2 2 pi = ; H = ∑ q!i pi − L ⇒ H = + U = K + U + mc =E 2 ∂q!i 1− β i Ejemplo1.22:Usarlaformulaciónlagrangianaparaderivarlaecuacióndemovimientode unaparlcularelaGvistasomeGdaaunafuerzaconstante. 1.18 Introducción a la relatividad general Elprincipiodeequivalencia: “Uncampogravitatoriohomogéneoescompletamenteequivalenteaunsistema dereferenciauniformementeacelerado”.Estoesunaconsecuenciadelaigualdad entrelamasainercialylamasagravitatoria. (a) (b) Planeta Figura 1.22: Los resultados de los experimentos en un sistema de referencia uniformemente acelerado (a) no pueden distinguirse de los realizados en un campo gravitatorio uniforme (b) si la aceleración a y el campo gravitatorio g tienen el mismo módulo. 1.18 Introducción a la relatividad general Desviacióndelaluzenuncampogravitatorio:unadelasconsecuenciasdel principiodeequivalenciaeselhechodequelaluztambiénseveafectadaporun campogravitatorio.Laideasepuedeentenderconayudadelafigura1.23. Hazde luz Figura 1.23: (a) Haz de luz moviéndose en línea recta a través de un compartimento que experimenta una aceleración uniforme. La posición del haz se muestra a intervalos iguales de tiempo t1, t2, t3 y t4. (b) En el sistema de referencia del compartimento la luz describe una trayectoria parabólica como lo haría una pelota si fuera lanzada horizontalmente. Para mayor claridad, los desplazamientos verticales en (a) y (b) están muy exagerados. 1.18 Introducción a la relatividad general Desviacióndelaluzenuncampogravitatorio:Einsteincalculóensuarlculo original(1916)elángulodedeflexiónα quesufreunhazdeluzprocedentedeuna estrellaalpasarporlasinmediacionesdelsol: Posiciónaparente delaestrella 4GM α= Rc 2 Estrella Trayectoriadela luz dondeR=esladistanciamínimaalcentrodelsol,M eslamasadelsol(M=1.99x1030kg)yGesla constantedegravitaciónuniversal.Suponiendoque elrayopasajustoporlasuperficiedelsol,entonces R=6.96x108m,locualdaα=1.75segundosde arco. Estapredicciónfuecomprobadaen1919porel astrónomobritánicoEddington. Trayectoria aparentedelaluz Sol Tierra Figura 1.24: Desviación (muy exagerada) de un haz de luz debido a la atracción gravitatoria del sol. 1.18 Introducción a la relatividad general Lentesgravitatorias:Einsteinpredijoen 1936quelaimagendeobjetoslejanos(como galaxias)podríaserdistorsionadayamplificadaal pasarlaluzatravésdeobjetos(comoestrellaso galaxias)queactuaríandeformasemejantea unalenteópGca. Figura 1.25: Lentes gravitatorias que curvan la luz procedente de objetos distantes. Las flechas naranjas indican la posición aparente de los objetos, mientras que las blancas indican el camino que la luz ha seguido realmente. Figura 1.26: “Anillos de Einstein” captados por el telescopio Hubble. Galaxias elípticas situadas a unos 2000-4000 millones de años-luz actúan como lentes gravitatorias deformando la imagen de otras galaxias situadas a una distancia dos veces más grande. 1.18 Introducción a la relatividad general Corrimientoalrojogravitacional:otraprediccióndelateoríadelarelaGvidad generaleselcorrimientodelafrecuenciadeunhazdeluzquesepropagaenun campogravitatorio.Esfácildemostrarquelafrecuenciaf0deunaradiaciónemiGdaen uncampogravitatorioconstante(verfigura1.27)sereduceaunaalturahaunvalorf dadopor: ( f 0 − f ) v gh ≈ = 2 f0 c c Enlaecuaciónanteriorelmiembro deladerechaesigualala diferenciadepotencialgravitatorio Δφ = ghentreAyBdivididoporc2. Figura 1.27: (a) Sistema de referencia S en reposo en el campo gravitatorio de un planeta. (b) Nave espacial S´, lejos de cualquier masa, que acelera con a = -g. 1.18 Introducción a la relatividad general ElátomoemisorenelejemploanteriorpuedeserconsideradocomounrelojenAy elobservadorenBconcluiráqueelrelojenAvamáslentoqueunrelojenB.YaqueA estáalpotencialgravitatoriomásbajo,podemosconcluirquelosrelojesvantanto másdespaciocuantomenorseaelpotencial. EnelcasomásgeneraldeunamasaesféricaM,elcambiodepotencialgravitatorio entrelasuperficieaunadistanciaRdelcentroyunpuntoenelinfinitoestádadopor: GM GM dr = R r2 R Δφ = ∫ ∞ yelcorrespondientecambiodelafrecuenciaes Δf / f0 = ( f0 − f ) / f0 = GM / Rc 2 f / f 0 = 1 − GM / Rc 2 “Corrimientoalrojo gravitacional” Figura 1.28: Corrimiento al rojo de un haz luminoso cuando se “Corrimientoalazul mueve hacia arriba en un campo gravitacional” gravitatorio. Silaluzsemuevehacialazonadebajopotencial: f / f 0 = 1 + GM / Rc 2 1.18 Introducción a la relatividad general Agujerosnegros:en1939J.R.OppenheimeryH.Snyderpredijeronquesila densidaddeunobjetocomounaestrellaessuficientementegrande,laatracción gravitatoriaserátangrandequenadapuedeescapardesusuperficie,nisiquierala luz.Aesteobjetoseleconocecomoagujeronegro.Siconsideramosunaestrella esféricademasaM,elradiocríGcopordebajodelcualsecomportacomoagujero negrovienedadopor 2GM RS = 2 c Esteradioparaunobjetodelamasadel solseríadelordende3km.EnlosúlGmos añossehanidenGficadonumerosos agujerosnegrosysecreequehayunoen elcentrodelavíaLáctea. Figura 1.29: Un disco de polvo de 3700 años-luz de diámetro rodea a un agujero negro situado en el centro de la galaxia elíptica NGC 7052 y que tiene una de masa de 300 millones de veces la del sol. (radio de Schwarzschild) 1.18 Introducción a la relatividad general Ondasgravitacionales:lateoríadelarelaGvidadgeneralpredicelaexistenciade ondasgravitacionales.AligualqueunacargaeléctricageneraondaselectromagnéGcas, unamasaaceleradadeberíagenerarondasgravitacionalesquesepropagaríanala velocidaddelaluz.Estasondassondistorsionesdeespacio-Gempoquesepropagan. Hastahaceunosdíastansóloexislaevidencia indirectadelaexistenciadeondasgravitacionales. En1974R.A.HulseyJ.H.Taylordescubrieronel primerpulsarbinario,esdecir,unpardeestrellas deneutronesorbitandounaalrededordelaotra, unadelascualesestabaemiGendopulsosde radiaciónelectromagnéGca.Enunpreciso experimento,demostraronqueeldecrecimientoen elperiodoorbitaldelparestabaenbuenacuerdo conlasprediccionesdelarelaGvidadgeneralpara elritmodepérdidadeenergíagravitacionala travésdelaemisióndeondasgravitacionales. Figura 1.30: El sistema binario PSR 1913+16 pierde energía debido a la emisión de ondas gravitacionales. El gráfico compara el cambio en el tiempo de revolución calculado (línea continua) y medido (puntos). 1.18 Introducción a la relatividad general Ondasgravitacionales:eldía11defebrero(2016)seanunciólaprimeraobservación deondasgravitacionalesporpartedelobservatorioLIGO(LaserInterferometer GravitaGonal-waveObservatory).Laseñalseatribuyóalafusióndedosagujerosnegros conmasas29y36veceslamasadelSol[B.P.Abbo€etal.PRL116,061102(2016)]. Figura 1.31: Simulación numérica de las ondas gravitacionales emitidas por la caída y fusión de dos agujeros negros. Los contornos de colores alrededor de cada agujero negro representan la amplitud de la radiación gravitacional; las líneas azules representan las órbitas de los agujeros negros y las flechas verdes sus espines. Figura 1.32: Esquema de funcionamiento de LIGO. [ImágenestomadasdeE.BerG,Physics9,17 (2016)]