Relatividad Especial Manel Bosch Aguilera Noviembre 2010 1. Postulados 4. Dinámica Relativista i. Todas las leyes fı́sicas, mecánicas o electromagnéticas, son las mismas en todos los sistemas de referencia inceriales. ii. La velocidad de la luz es una constante c en todos los sistemas de referencia inerciales. “Todas las leyes fı́sicas tienen que ser invariantes por una transformación de Lorentz.” Espacio de Minkowsky: (x, y, z, ict) = (x, y, z, τ ) −ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 + (dτ )2 2. Transformación de Lorentz γ(v) = q x0 = γ(x − vt); “Una rotación en el espacio de Minkowsky es una transformación de Lorentz.” 1 1− v 2 c y 0 = y; Definiciones: Cuadrivector posición: z 0 = z; r = (rx , ry , rz , rτ ) = (x, y, z, τ ) → − v t0 = γ t − 2 x c Tiempo propio: 1 dt0 = ds = dt c 3. Cinemática relativista Efectos relativistas: a) Contracción de longitudes: r 1− v2 c2 Cuadrivector velocidad: r L = L0 v2 1 − 2 < L0 c d− r u = → → − dt0 b) Dilatación de tiempos: T0 T =q 1− v2 c2 i. |→ u |2 = −c2 − d→ u − ii. → u · − dt0 = 0 > T0 Ley relativista de la dinámica: determinadas por su masa invariante o masa en reposo m (es un invariante relativista). c) Relatividad de la simultaneidad: t0a − t0b = γ v (xa − xb ) c2 a) Cuadrimomento d ) Ley relativista de la adición de velocidades: vx 0 + v vx = 1 + vxc0 2+v p = m→ u; − → − pα = γ(mvα ) α ∈ {x, y, z}; pτ = γimc p~ = γm~v e) Efecto Doppler Relativista: b) Acción externa r νO = νE c+v ; c−v r νO = νE c−v c+v dp → − = (K , K , K , K ) K = x y z τ → − dt0 f ) Invariancia del intervalo relativista (Kx , Ky , Kz ): ∆s = p c2 (tb − ta )2 − [(xb − xa )2 + (yb − ya )2 + (zb − za )2 ] ∆s = ∆s0 Kα = Kτ dpα 1 =q dt0 1− v2 c2 d mvx q 2 dt 1− v c2 p → Fτ = Kτ 1 − v 2 /c2 i d Fτ = F~ ·~v → F~ ·~v = c dt mc2 p 1 − v 2 /c2 ! = dE dt c) Energı́a cinética relativista E=p mc2 1 ≈ mc2 + mv 2 = E0 +Ec 2 2 2 1 − v /c mc2 −mc2 T =p 1 − v 2 /c2 d ) Algunas relaciones y expresiones útiles pτ = p imc 1− v 2 /c2 =i E c px + i Ec pτ E − i vc px0 = p pτ 0 = p 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 p p~ E = p~2 c2 + m2 c4 ~v = c2 E