Problema 1 Se quiere llevar a cabo una programa de recuperación de una especie vegetal endémica de una zona que está en vías de extinción. Dicha especie se ditribuye en tres genotipos : AA, Aa y aa. Se lleva a cabo un programa de fertilización de modo que, cada planta es fertilizada con otra del mismo genotipo. Obtenga el modelo matricial que expresa la distribución del número de ejemplares con cada genotipo en las sucesivas generaciones. ¿Qué ocurrirá a largo plazo? Solución Sean p 1 k :el número de ejemplares del genotipo AA en la k-ésima etapa de fertilización p 2 k :el número de ejemplares del genotipo Aa en la k-ésima etapa de fertilización p 3 k :el número de ejemplares del genotipo aa en la k-ésima etapa de fertilización Puesto que fertilizamos con plantas de iguales genotipos la distribución es AA AA AA AA AA AA Aa Aa AA Aa Aa aa aa aa aa aa aa aa Luego los ejemplares AA se duplican como consecuencia de la fertilización entre ellos en la etapa anterior y una cuarta parte de los fertilizados entre los del genotipo Aa. Los del genotipo Aa sólo aparecen en la fertilización entre los de este genotipo y salen tantos como los de la etapa previa. Los del genotipo aa se duplican como consecuencia de la fertilización entre los de su mismo genotipo y una cuarta parte de los del genotipo Aa. Las ecuaciones a que dan lugar son p 1 k 2p 1 k − 1 0. 25p 2 k − 1 p 2 k p 2 k − 1 p 3 k 0. 25p 2 k − 1 2p 3 k − 1 o bien escrito matricialmente p 1 k p 2 k p 3 k 2 0. 25 0 p 1 k − 1 0 0 p 2 k − 1 0 0. 25 2 p 3 k − 1 1 Sabemos que p 1 k p 2 k C 1 k1 v 1 C 2 k2 v 2 C 3 k3 v 3 p 3 k donde 1 , 2 y 3 son los valores propios de A y v 1 ,v 2 y v 3 los correspondientes 2 0. 25 0 vectores propios asociados ,con A 0 1 así pues pasamos a 0 0 0. 25 2 calcular los valores propios y vectores propios asociados de A. p − 2 2 − 1 −0. 24 1 Donde 1 2, 2 1 y 3 2 y v 1 0 , v2 0 0 y v3 0. 9 0 1 respectivamente. Sustituídos en la expresión p 1 k p 2 k p 3 k −0. 24 1 C12 k 0 0 C21 k 0. 9 0 C32 0 Conclusión: p 1 k crece en cada generación (casi se duplica) p 2 k se estabiliza. p 3 k crece en cada generación al igual que los de AA 0 k 0 1