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Tema 3. TRABAJO Y ENERGÍA
Física, J.W. Kane, M. M. Sternheim, Reverté, 1989
Tema 3
Trabajo y Energía
Trabajo, energía y potencia
TS 6.12 La carrera
Cap.6
Cap. 6, pp 129-139
Cap. 6, pp 156-157
1
2.1 INTRODUCCIÓN: TRABAJO Y ENERGÍA
• Conservación de la energía (principio matemático): hay cierta
cantidad que llamaremos energía, que no cambia en los múltiples
cambios que ocurren en la naturaleza.
Significa que hay una cantidad numérica asociada a todo sistema físico que no
cambia cuando sobre el sistema ocurren cambios. No es una descripción de un
mecanismo o de algo concreto. Ciertamente es un hecho raro que podamos calcular
cierto número, y que cuando terminemos de observar que la Naturaleza hace sus
trucos y calculamos el número otra vez, éste sea el mismo.
Es algo así como el alfil en un cuadrado negro, que después de cierto número
de movimientos, cuyos detalles son desconocidos, queda en el mismo color
de cuadrado. La ley de la conservación de la energía es una ley de esta
naturaleza, “Siempre que se mueve el alfil por un tablero de ajedrez, éste
acaba en un cuadrado negro".
Richard Feyman.
2
2.1 INTRODUCCIÓN: DEFINICIONES DE ENERGÍA
La energía es una magnitud física escalar que sirve de
medida general a las distintas formas de movimiento de la
materia que se estudian en física.
La energía es un número, que nos dice cómo reacciona el
sistema físico frente a las posibles trasformaciones de su
estado de movimiento.
Lo que se conserva es la energía total (mecánica, eléctrica, térmica, etc),
aunque cada una de ellas por separado no se conserve. En la Naturaleza se
produce un intercambio de energía de un tipo a otro, manteniéndose
constante su suma.
3
2.1 INTRODUCCIÓN: DEFINICIÓN DE TRABAJO
La definición de trabajo es más precisa. Realizamos trabajo
ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras éste se
desplaza de un lugar a otro, lo que provoca un cambio en su
estado dinámico.
Un sistema físico realiza un trabajo sobre el exterior (W<0), o el exterior
realiza un trabajo sobre el medio (W>0), cuando el sistema está
transformando el estado dinámico del exterior, o el exterior está
trasformando el estado dinámico del sistema, venciendo las fuerzas que se
oponen a dicha transformación.
La energía es la capacidad de realizar
trabajo
4
2.1 INTRODUCCIÓN: Relación Leyes de Newton-Trabajo y energía
• Los conceptos de trabajo y energía se basan en las
leyes de Newton, no son principios nuevos de la
dinámica.
• La utilidad de los conceptos de trabajo y energía
residen en que permiten facilitar la resolución de
problemas dinámicos, especialmente en los casos en
que la resultante de fuerzas sobre el sistema no es
constante, y la integración de la segunda ley de
Newton puede llegar a ser muy complicada.
• El uso de los principios de energía y trabajo, nos dan
directamente la velocidad del sistema sin tener que
integrar la aceleración.
5
2.2 TRABAJO DE UNA FUERZA
Se define el trabajo de una fuerza sobre una partícula de masa m,
como el producto de la componente de la fuerza por el módulo
del desplazamiento.
rr
W = F·s = Fs cos φ
Unidades: Julio (J)
La componente normal (F⊥) de la fuerza afecta a
la dirección del movimiento, pero no a la
velocidad. La componente tangencial (Ft) cambia
el módulo de la velocidad, pero no su dirección.
Sólo esta componente realiza trabajo sobre la
partícula
6
2.2.1 SIGNIFICADO FÍSICO DEL TRABAJO
Cuando atrapamos una pelota, la pelota y la mano se mueven juntas, la pelota ejerce una
fuerza sobre la mano, Fpm en la dirección del desplazamiento (el trabajo realizado por la
pelota sobre la mano es positivo). Por la tercera ley de Newton, Fmp = -Fpm. Esta fuerza,
que detiene la pelota, actúa opuesta al movimiento, por lo tanto el trabajo es negativo.
Cuando un cuerpo realiza trabajo negativo sobre otro, éste realiza un trabajo
igual y positivo sobre el primero.
Si levantamos un libro, ejercemos una fuerza hacia arriba sobre el libro, y éste se desplaza
hacia arriba (W>0). En cambio, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre el libro
es negativo, porque esta fuerza se opone al movimiento.
1 Joule es el trabajo que realiza una fuerza de 1
Newton cuando se desplaza 1 metro. Como 1 N son
más o menos 0,1 kilogramos fuerza, si elevamos
algo que pese 100 gramos a 1 m de altura, el W
realizado es 1 Joule.
En la práctica al levantar una calculadora a una altura de 1
metro, estás haciendo un trabajo aproximado de 1 Joule.
7
2.2.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRABAJO
El trabajo de una fuerza a lo largo de una curva C, es el área que forma la
componente tangencial de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la
partícula, en la representación gráfica de dicha componente, frente al
desplazamiento a lo largo de dicha curva, entre la posición inicial y final.
Fuerza no constante
(es necesario integrar)
Fuerza constante
b
r r
W = ∫ F ·d r
a
8
3.1 Una fuerza que actúa sobre una partícula material dotada de movimiento
unidimensional, varía con la distancia al origen (x), como indica la figura.
Obtener el trabajo efectuado por la fuerza en el desplazamiento desde xi =0
hasta xf = 6m.
Calculamos el trabajo total como la suma
de las dos áreas A1 y A2, siendo
F (N)
5
A1 = ( 5 N )·( 4m ) = 20 J
A1
A2
4
1
A2 = ( 5 N )·( 2m ) = 5 J
2
6
X(m)
El trabajo total será W = A1 + A2 = 25 J
9
3.2 Un hombre aplica una fuerza de 600 N sobre un mueble y lo desplaza 2 m.
Calcular el trabajo realizado por la fuerza en los tres casos siguientes: (a)
Fuerza y desplazamiento son paralelos, (b) forman un ángulo recto y (c) sus
sentidos son opuestos.
F
F
F
s
s
s
φ=0
φ = 90º
φ = 180º
cosφ = 1
cosφ = 0
cosφ = −1
W = 600 · 2= 1200 J
El hombre realiza
trabajo sobre el mueble
W=0
El trabajo es nulo
W = 600·2·(− 1) = −1200 J
El mueble realiza
trabajo sobre el hombre
10
3.3 Un niño arrastra un coche de juguete con una fuerza de 10 N que forma un
ángulo de 20º con la horizontal. Si el coche avanza 6 m ¿Cuánto trabajo ha
hecho el niño?
F
φ
Aplicando la definición de trabajo
r
W = F·sr = Fs cosφ
Sustituyendo los valores numéricos
W = 10·6 ·cos20
W = 56.4 J
11
3.4 Una chica arrastra una caja que pesa 40 N una distancia de 10 m sobre el
suelo con velocidad constante. ¿Cuánto trabajo realiza si el coeficiente de
rozamiento cinético vale 0.2?
En este caso es la fuerza de rozamiento la que realiza un trabajo sobre la caja.
Como se encuentra sobre una superficie horizontal, se cumple que
Fr = µN = µ mg
El trabajo realizado por la fuerza cuando
se ha desplazado una cierta distancia es W = Fr s cosφ
Teniendo en cuenta que la fuerza y el desplazamiento son
paralelos y sustituyendo los valores numéricos, se obtiene
v
N
Fr
mg
W = 80 J
12
2.3 ENERGÍA CINÉTICA
“Teorema de las fuerzas vivas o teorema del trabajo y la
energía”
Si sobre un sistema físico actúan fuerzas, por la segunda ley de
Newton la resultante de dichas fuerzas causa una variación del
estado de movimiento (aceleración) del sistema. Esta resultante
produce un trabajo que hace variar su energía cinética.
“El trabajo neto realizado sobre una partícula material por la
resultante de las fuerzas que actúan sobre la misma, es igual al
cambio de energía cinética sufrido por la partícula”.
1
1
WT = mv 2f − mvi2 = ∆Ec
2
2
Si se realiza trabajo sobre un objeto, su energía cinética aumenta. Si un
objeto realiza trabajo sobre un agente externo, su energía cinética disminuye
13
Demostración
Sea F la fuerza neta que actúa sobre una partícula a lo largo del eje positivo de las X
A partir de la segunda ley de Newton
F= m a
Suponemos:
Aceleración constante
La rapidez cambia de vi a vf
Mientras, la partícula se desplaza de xi a xf
v 2f = vi2 + 2 a ∆x
a=
(
1 2
v f − vi2
2 ∆x
)
Energía cinética
Sustituyendo la aceleración en la segunda
ley de Newton y multiplicando por ∆x
1
1
F∆x = mv 2f − mvi2
2
2
Trabajo desarrollado por
la fuerza
Trabajo y energía tienen las
mismas dimensiones y unidades
1
1
WT = mv 2f − mvi2 = ∆Ec
2
2
14
2.4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS
Energía potencial: asociada con la
posición o configuración del sistema, no
con su movimiento.
Almacenamiento de la
energía y una medida del
potencial o la posibilidad de
efectuar trabajo
Definición: Una fuerza es conservativa, si el trabajo
realizado por la fuerza al actuar sobre una partícula
material que se mueve entre dos puntos del espacio
euclídeo, a lo largo de una trayectoria cualesquiera, es
independiente de la misma.
Conversión bidireccional entre energía cinética y potencial
15
2.4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS
Propiedades del trabajo desarrollado por las fuerzas conservativas
Siempre puede expresarse como diferencia entre los
valores inicial y final de una función potencial.
Es independiente de la trayectoria seguida y depende sólo
de los puntos inicial y final.
Si la trayectoria es cerrada, el trabajo es cero.
Si las únicas fuerzas que actúan son conservativas, la
energía mecánica total se conserva.
∆ E m = ∆ E c + ∆ E p = cte
16
2.4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS
Sea F una fuerza conservativa (fuerza que un campo de fuerzas
realiza sobre una partícula de masa m).
La circulación de la misma a lo largo de cualquier trayectoria, es una función
escalar de variable vectorial, que sólo depende del valor de la misma en los
puntos P1 de partida y P2 de llegada relativos a la curva C.
Esa función se denomina energía potencial
Interpretación física: el trabajo realizado por la fuerza de campo
es igual a la disminución de energía potencial.
P2
r r r
r
Wc = F( r )·d r = −[Ep(P2 ) − Ep(P1 )] = − ∆Ep( r )
∫
P1
17
2.4.1 ENERGÍA POTENCIAL. EJEMPLOS
Energía potencial gravitatoria
Elección de origen de potenciales: Ep(z=0)=0.
Tomamos energía potencial nula en la superficie de la tierra.
E p ( zr ) = mgz
Energía potencial de una muelle
Elección de origen de potenciales, Ep(x=0)=0.
Tomamos energía potencial nula para el muelle en reposo.
1 2
r
E p( x ) = k x
2
18
2.5 FUERZAS NO CONSERVATIVAS
Las fuerza no conservativas se consideran de tipo disipativo. Esto es, el
trabajo desarrollado por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada no es
nulo. Si un coche con los frenos bloqueados derrapa con rapidez (y energía cinética) decreciente,
esta energía cinética perdida no se puede recuperar invirtiendo el movimiento(la energía mecánica
no se conserva).
Aplicando el teorema del trabajo y la energía, la energía cinética inicial y
final no son iguales. Esa variación de energía se disipa en forma de calor.
Un ejemplo tipo de fuerzas no conservativas son las fuerzas de rozamiento
(W<0). Supongamos un coche que se desliza por una rampa con rozamiento. Dicha fuerza
siempre realiza un trabajo negativo, ya sea de subida o de bajada porque se opone al movimiento
No hay función energía potencial para la fuerza de rozamiento.
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2.6 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
El trabajo total realizado sobre una partícula coincide con el
cambio en la energía cinética que experimenta, de forma que
Wtotal = ∆E c
WNC = ∆E c + ∆E p
Wtotal = WC + WNC = − ∆E p + WNC
Si el trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo, la energía mecánica
total del sistema se conserva.
[
] [
WNC = ∆E m = E m (2) − E m (1) = E c ( 2) + E p (2) − E c (1) + E p (1)
]
∫
r r
WNC = FNC ( r )·d r
C
20
2.7 EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
METODOLOGÍA:
Dibujar el diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre la
partícula.
Distinguir entre fuerzas conservativas y no conservativas
Elegir dos puntos entre los cuales aplicar el principio de
conservación de la energía.
Calcular el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas y la
energía mecánica en estos dos puntos y sustituir en la expresión
WNC = ∆E c + ∆E p
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1. Un bloque de 5 kg se mueve en línea recta sobre una superficie horizontal sin rozamiento, bajo la
influencia de una fuerza que varía con la posición según se muestra en la figura.
a) ¿Qué trabajo hace la fuerza la moverse el bloque desde el origen hasta que ha recorrido 8 m?
b) ¿Si la rapidez de la partícula al pasar por el origen era de 4 m/s ¿con qué rapidez pasa por el
punto x = 8 m?
F(N)
10
(a) Calculamos el trabajo a partir del área encerrada en
cada una de las figuras representadas por A1, A2 y A3.
5
A1
1
1
W = A1 + A2 + A3 = 10·2 + ·2·10 − ·2·5
2
2
A2
2
4
6
x(m)
W = 25 J
(b) Aplicando el Teorema de las Fuerzas vivas, que
relaciona el trabajo con la energía cinética
A3
5
Sustituyendo los valores numéricos y
despejando la velocidad final
W = ∆Ec =
1 2 1 2
mv f − mvi
2
2
v f = 5.1 m/s
10
22
2. Un paquete que pesa 25 N desciende por una rampa según indica la figura. El coeficiente de rozamiento estático
entre el paquete y la rampa vale 0.5 y el cinético 0.4. El ángulo θ vale 20º. Si el paquete lleva una velocidad en
módulo, en el punto A de la figura igual a 2.4m/s, determinar:
a) El módulo de la velocidad del paquete cuando sale de la rampa.
b) La energía disipada en el movimiento del paquete sobre la rampa.
c) La distancia d entre el pie de la rampa y el punto en el que el paquete incide sobre el suelo.
r
Fr
r
N
y
L
x
hA
hA- hB
r
P
hB
Ep = 0
23
La única fuerza no conservativa en este sistema es la fuerza de rozamiento que actúa durante el tiempo que el
bloque baja por la rampa.
(a) Teniendo en cuenta el sistema de referencia que hemos tomado, podemos saber cuánto vale la fuerza
de rozamiento (el coeficiente de rozamiento que actúa es el cinético) Fr = µc N
Del diagrama de fuerzas representado, podemos relacionar la normal con el peso N − mg cosθ = 0
Fr = µc mg cosθ
Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica entre los puntos A y B
WNC = ∆E c + ∆E p
Wnc = Em ( B) − Em ( A)
Vamos a calcular cada uno de los términos
Br
r
Wnc = ∫ Fr ·dr = − Fr ·L = − µc mg cosθ L
A
1
Em ( A) = Ec ( A) + E p ( A) = mv A2 + mghA
2
1
Em ( B ) = Ec ( B ) + E p ( B) = mvB2 + mghB
2
La fuerza de rozamiento se opone al
movimiento (producto escalar negativo)
Se sustituyen en
la ecuación
El bloque tiene velocidad no nula tanto en el
punto A como en el punto B
1
1
− µc mg cosθ L = mvB2 − mv 2A + mg (hB − hA )
2
2
24
De la figura, podemos saber cuánto
vale la diferencia de alturas
Sustituyendo en la expresión anterior
Método alternativo: aplicando la
Segunda ley de Newton
sin θ =
hA − hB
L
hB − hA = − L sin θ
1
1
− µc g cosθ L = vB2 − v 2A − gL sin θ
2
2
vB = 1.94 m/s
N − mg cosθ = 0
mg sin θ − Fr = m a
siendo Fr = µc mg cosθ
a = g (sin θ − µc cosθ ) = −0.35 m/s 2
vB = v A2 + 2aL
⇒ vB = 1.94 m/s
(b) La energía disipada coincide con el trabajo desarrollado por la única fuerza no conservativa que aparece
en el sistema, que es la fuerza de rozamiento.
Wnc = − µc mg cosθ L
Wnc = −28.2 J
(c) Como sabemos la velocidad en el punto B, aplicamos el principio de conservación de la energía entre
los puntos B y C. En este caso no hay fuerza de rozamiento, por tanto Wcn = 0 y Em(B) = Em(A)
1
Em ( B ) = Ec ( B ) + E p ( B ) = mvB2 + mghB
2
0
1 2
1
Em (C ) = Ec (C ) + E p (C ) = mvC + mghC = mvC2
2
2
vC = 4.63 m/s
25
Para calcular la distancia d a la que cae de la rampa, tenemos en cuenta que entre B y C el
movimiento es parabólico, por lo tanto
x = v0 cosθ t
Ecuaciones del
movimiento
parabólico
1
y = y0 + v0 sin θ t - gt 2
2
Particularizando para nuestro
problema
x=d
y=0
y0 = hB
v0 = vB
vx = v0 cosθ
v y = v0 sin θ - gt
Calculamos el tiempo que tarda
en llegar al suelo t = 0.5 s
Calculamos la distancia máxima
x = v0 cosθ t
x = d = 0.91 m
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3. Un bloque de masa 0.8 kg cae desde una altura h = 0.5 m por un plano inclinado 30º, como
muestra la figura. Cuando llega al plano horizontal se desliza sin fricción y comprime un muelle de
constante elástica k = 100 N/m. Los coeficientes de fricción estático y dinámico son 0.3 y 0.2
respectivamente. Calcular:
a. La velocidad con la que llega el bloque a la parte más baja del plano inclinado.
b. La longitud de compresión máxima del muelle.
c. La altura que alcanzará el bloque en el plano inclinado después de rebotar contra el muelle.
(a) Aplicamos el principio de conservación de la energía entre los
puntos 1 y 2. En este caso hay fuerza de rozamiento, por tanto
Wnc = Em (2) − Em (1)
1
2
r r
Wnc = ∫ Fr ·dr = − Fr ·L = − µc mg cosθ L
1
L
1
1
Em (2) = Ec (2) + E p (2) = mv22 + mgh2 = mv22
2
2
1
Em (1) = Ec (1) + E p (1) = mv12 + mgh1 = mgh1
2
Ep = 0
2
27
Procediendo de manera análoga al problema anterior
1
− µc mg cosθ L = mv22 − mgh
2
h
L=
sin θ
− µc g cosθ
h
1
= v22 − gh
sin θ 2
v2 = 3.1 m/s
(b) Para calcular la compresión máxima del muelle aplicamos el principio de conservación de la
energía entre los puntos 2 y 3 en el que el muelle está totalmente comprimido(ver figura), teniendo en
cuenta que en este caso no hay fuerzas disipativas, por lo tanto Em (2) = Em (3)
2
3
1
1
Em (2) = Ec (2) + E p (2) = mv22 + mgh2 = mv22
2
2
1
1
1
Em (3) = Ec (3) + E p (3) + Eelastic (3) = mv12 + mgh1 + kx 2 = kx 2
2
2
2
1 2 1 2
mv2 = k x
2
2
x = 0.23 m
28
(c) En este último caso volvemos a aplicar el principio de conservación de la energía entre los
puntos 3 y 4 (altura máxima que alcanza el bloque después de rebotar)
Wnc = Em (4) − Em (3)
2
4
r r
Wnc = ∫ Fr ·dr = − Fr ·L = − µc mg cosθ L'
L’
1
h4
1
Em (4) = Ec (4) + E p (4) = mv42 + mgh4 = mgh4
2
1
1
1
Em (3) = Ec (3) + E p (3) = mv32 + mgh3 + k x 2 = k x 2
2
2
2
θ
3
De la figura, podemos escribir
h4 = L' sin θ
1
− µc mg cosθ L' = mgh4 − k x 2
2
h4 = 0.23 m
29