LECCIN 10: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE

258
LECCIÓN 10: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN LINEALES
JUSTIFICACIÓN:
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales comprenden
una clase especial de las ecuaciones diferenciales de primer orden, las cuales son
importantes, entre otras razones, porque aparecen con frecuencia en las aplicaciones,
tienen una versión importante en las ecuaciones diferenciales de orden superior, sus
soluciones tienen una estructura especial predecible y siempre pueden ser exactas.
OBJETIVOS:
El alumno podrá:
1- Identificar cuando una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal
2- Obtener la solución general de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden lineales
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
INTRODUCCIÓN:
En la Lección 9 ¿Qué estudiamos?
♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden reducibles
a exactas.
259
¿Cómo identificamos cuando una ecuación diferencial de la forma
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 no es exacta?
♦ Lo identificamos chequeando que
∂P( x, y) ∂Q( x, y)
≠
∂x
∂y
Correcto. ¿Qué se debe hacer para transformar la ecuación diferencial dada en
una ecuación diferencial exacta?
♦ Se debe conseguir una función µ(x,y), denominada factor integrante, la cual
g ( v ) dv
con
viene dada por µ(x,y) = e ∫
⎡ ∂P( x , y) ∂Q( x, y) ⎤
⎢ ∂y − ∂x ⎥
⎦
⎣
g ( v) =
⎡
⎛ ∂v( x, y) ⎞⎤
⎛ ∂v( x , y) ⎞
⎟⎟⎥
⎟ − P( x, y)⎜⎜
⎢Q( x, y)⎜
∂
x
y
∂
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎣
donde v puede ser x, y, x + y, x – y, x.y, x2 + y2
Exactamente ¿Cómo consiguen la solución general?
♦ Luego que se obtiene el factor integrante, se multiplica la ecuación diferencial
dada por este, µ(x,y) P(x,y) dx + µ(x,y) Q(x,y) dy = 0. Esta ecuación diferencial es
exacta y a partir de aquí se siguen cada uno de los pasos indicados para obtener la
solución general de una ecuación diferencial exacta
Muy bien. En esta lección estudiaremos las ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden lineales, las cuales se pueden transformar en ecuaciones
diferenciales exactas obteniendo un factor integrante el cual siempre dependerá sólo
de “x” (esto es, v = x)
260
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales
Cuando en la Lección 1 estudiamos algunas definiciones básicas acerca de las
ecuaciones diferenciales ¿Recuerdan cuáles eran las características esenciales que
debían estar presentes en la ecuación diferencial para clasificarla como una ecuación
diferencial lineal?
♦
Dijimos que para que una ecuación diferencial fuese lineal debían estar
presentes dos características o condiciones
1- La variable dependiente y sus derivadas debían tener potencia 1.
2- Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas podían ser
constantes o estar expresados sólo en función de la variable independiente.
Muy bien. En general ¿Cómo escribimos la ecuación diferencial ordinaria de
orden “n”, lineal?
♦ La escribimos
ao(x) y(n) + a1(x) y(n-1) + a2(x) y(n-2) + …+ an-1(x) y' + an(x) y = b(x)
donde ao(x) ≠ 0, ao(x), a1(x), a2(x), …,an-1(x), an(x), b(x) pueden ser constantes o
funciones que sólo dependen de "x"
Exacto. Nuestro estudio, en esta lección, se va a centrar en las ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden lineales. ¿Cómo podemos escribir, en forma
general, la ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal?
♦ Se puede escribir ao(x) y' + a1(x) y = b(x) donde ao(x) ≠ 0, ao(x), a1(x), b(x)
son constantes o dependen sólo de “x”
261
Observen que como ao(x) ≠ 0, podemos multiplicar toda la ecuación por el
factor
1
¿Qué resulta?
a o (x)
♦ Resulta y' +
a1 (x)
b( x )
y=
a 0 (x)
a 0 (x)
¿De quién dependen
a1 (x)
b( x )
y
?
a 0 (x)
a 0 (x)
♦ Dependen sólo de x
Correcto, por lo tanto, podríamos escribir
a 0 (x)
= A( x )
a1 (x)
b( x )
= B( x )
a 0 (x)
¿Cómo queda la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda y' + A(x) y = B(x)
Abran sus guías en la página 36 y leamos la definición de ecuación diferencial
de primer orden lineal que allí aparece.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
DE PRIMER ORDEN LINEAL
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal si puede
escribirse de la forma
y' + A(x) y = B(x)
donde A(x) y B(x) son
funciones que sólo dependen de "x" o pueden ser constantes
262
Si B(x) = 0 ¿Qué tipo de ecuación diferencial resulta?
♦ Resulta, y' + A(x) = 0, que es una ecuación diferencial de variable separable.
Exacto. ¿Cómo separan las variables?
⎛1 ⎞
♦ Multiplicando por el factor ⎜⎜ dx ⎟⎟
⎝y ⎠
Correcto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda
1
dy + A( x ) dx = 0
y
¿Qué deben hacer ahora que las variables están separadas?
♦ Se debe integrar
∫
∫
1
dy + A( x ) dx = C
y
⇒
∫
ln y + A ( x ) dx = C
¿Pueden despejar “y”?
♦ Si se puede despejar “y”. Basta con restar
lny = C -
∫
A ( x )dx
− A ( x ) dx
o equivalentemente y = K e ∫
¿Qué concluyen?
⇒
∫ A(x)dx para luego aplicar"e"
− A ( x ) dx
y = eC e ∫
263
− A ( x ) dx
Concluimos que y = K e ∫
es la solución general de la ecuación
♦
diferencial ordinaria de primer orden lineal y' + A(x) y = 0
Muy bien. Abran sus guías en la página 36 y leamos la definición que allí
tenemos
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER
ORDEN LINEAL HOMOGÉNEA
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal
y' + A(x) y = B(x)
se dice que es homogénea si y solo si B(x) = 0
En este caso, la ecuación diferencial toma la forma
y' + A(x) y = 0
la cual se resuelve como una ecuación diferencial de variable separable.
Vamos a estudiar como obtener la solución general de una ecuación
diferencial ordinaria de primer orden lineal, no homogénea, esto es cuando B(x) ≠ 0.
En sus guías en la página 36 tienen como se define la ecuación diferencial lineal para
este caso.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN LINEAL
NO HOMOGÉNEA O COMPLETA
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal
y' + A(x) y = B(x)
se dice que es no homogénea o completa si y solo si B(x)
≠ 0; dicha ecuación
se resuelve buscando un factor integrante que va a depender siempre de
"x".
264
Consideremos la siguiente ecuación diferencial
xy' + 2y = x5 ¿Es una
ecuación diferencial lineal?
♦ Si, ya que tanto la potencia de y como la de y' son iguales a 1 y los
coeficientes tanto de y como de y' dependen sólo de x o son constantes, al igual que el
término independiente
Correcto. ¿Pueden escribir la ecuación diferencial dada en el ejemplo como
y' + A(x) y = B(x)?
♦ Si. Basta con multiplicar por el factor
y'+
1
(x ≠ 0) para que resulte
x
2
y = x4
x
¿Pueden identificar quién es A (x) y quién es B (x)?
♦ A (x) =
2
x
y
B(x) = x4
Exacto ¿Podrá escribirse esta ecuación de la forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0?
♦ Si. Ya que y' =
dy
⎛2
⎞
la ecuación puede escribirse dy + ⎜ y − x 4 ⎟dx = 0
dx
⎝x
⎠
¿Será esta una ecuación diferencial exacta?
265
⎞
⎛2
♦ Para saber si dy + ⎜ y − x 4 ⎟dx = 0 es una ecuación diferencial exacta, si
⎠
⎝x
tomamos P(x,y) =
2y 4
∂P( x, y) ∂Q( x, y)
=
-x Q (x, y) = 1 debemos chequear que
∂y
∂x
x
¿Qué obtienen al determinar
♦ Obtenemos
∂P( x, y) 2
=
∂y
x
∂P( x , y)
∂y
y
y
∂Q( x , y)
?
∂x
∂Q( x , y)
=0
∂x
¿A qué conclusión llegan?
♦ Llegamos a la conclusión de que la ecuación diferencial
⎛2
⎞
dy + ⎜ y − x 4 ⎟dx = 0
⎝x
⎠
no es una ecuación diferencial exacta.
¿Será una ecuación diferencial reducible a exacta? ¿Qué deben hacer?
♦
Para saber si es una ecuación diferencial reducible a exacta, debemos
g ( v) dv
conseguir un factor integrante µ (x, y) = e ∫
con
⎡ ∂P( x , y) ∂Q( x, y) ⎤
⎢ ∂y − ∂x ⎥
⎣
⎦
g ( v) =
⎡
⎛ ∂v( x, y) ⎞⎤
⎛ ∂v( x , y) ⎞
⎟⎟⎥
⎟ − P( x, y)⎜⎜
⎢Q( x, y)⎜
∂
x
y
∂
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎣
Muy bien. ¿Quién es v?
266
♦ Debemos ir probando, entre las distintas alternativas para v, por ejemplo, si
tomamos v = x resulta que
∂v( x , y)
=1
∂x
∂v( x , y)
=0
∂y
¿Cómo queda f (v), si v = x?
⎡ ∂P( x , y) ∂Q( x , y) ⎤ ⎛ 2 ⎞
⎢ ∂y − ∂x ⎥ ⎜ ⎟
⎦ = ⎝x⎠ = 2
♦ g ( v) = ⎣
Q( x , y )
1
x
Observen un momento la ecuación diferencial y' +
que A (x) =
2
y = x4 donde dijimos
x
2
, B (x) = x4 ¿Con quién está coincidiendo f (v)?
x
♦ f (v) está coincidiendo con A (x)
Correcto. ¿Quién es entonces el factor integrante?
♦ El factor integrante es:
2
µ (x) = e
∫ v dv
2
= e 2 ln v = e ln v = v 2
devolviendo el cambio v = x, resulta que µ (x) = x2
¿Qué hacen, una vez conseguido el factor integrante?
⎛2
⎞
♦ Multiplicamos la ecuación diferencial dy + ⎜ y − x 4 ⎟dx = 0 por el factor
⎝x
⎠
integrante para así obtener la ecuación diferencial x2 dy + (2xy – x6) dx = 0
267
¿Qué tipo de ecuación diferencial debe ser esta?
♦ Debe ser una ecuación diferencial exacta.
x2 dy + (2xy – x6) dx = 0, es una ecuación
¿Cómo comprueban que
diferencial exacta?
♦ Verificando que si llamamos M(x,y) = x2 N(x,y) = 2xy – x6, debe cumplirse
que
∂M ( x , y) ∂N( x, y)
∂M ( x , y)
. En efecto,
=
= 2x
∂x
∂y
∂x
∂N( x, y)
= 2x . Ya que las
∂y
derivadas parciales son iguales entonces la ecuación diferencial es exacta.
¿Qué deben hacer a continuación?
♦ Debemos buscar una función F(x, y), tal que:
∂F( x , y)
= M (x, y) = x2
∂y
∂F( x , y)
= N (x, y) = 2xy – x6
∂x
¿Cómo buscan F (x, y)?
♦ Integrando parcialmente respecto de y
∫
y
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎟⎟∂y =
⎜⎜
x 2 dy
⎝ ∂y ⎠
x =ctte
¿Cómo obtienen a h (x)?
∂F( x , y)
, esto es
∂y
∫
⇒
F( x, y) = x 2 y + h ( x )
268
♦ h(x)
se obtiene derivando parcialmente respecto de
“x” la
función
F(x,y) = x2y + h (x), y comparando con N (x, y). Es decir,
∂F( x , y)
dh ( x )
= 2 xy +
= N ( x , y) = 2 xy − x 6
dx
∂x
simplificando se tiene que
dh ( x )
= −x 6
dx
integrando resulta que
∫
∫
dh ( x )
= − x 6 dx
dx
⇒
h(x) = −
x7
+C
7
¿Qué hacen con esta función h (x)?
♦ Se sustituye en F (x, y) = x2 y + h (x) ⇒ F( x , y) = x 2 −
x7
+C
7
¿Qué concluyen?
x7
♦ Concluimos que la función F( x , y) = x −
+ C es la solución general de la
7
2
ecuación diferencial xy' + 2y = x5
¿Se puede despejar y de la solución general?
♦ Despejando "y" se obtiene y =
Muy bien.
x5 C
−
7 x2
Regresemos al paso en donde multiplicamos la ecuación
diferencial lineal de primer orden por el factor integrante
269
x2 dy + (2xy – x6) dx = 0
Esta ecuación, la cual ya sabemos que es exacta, podemos escribirla como
x2 dy + 2xy dx = – x6 dx
(1)
La expresión (x2 dy + 2xy dx) representa la diferencial total de cierta función,
es decir, hay una función, llamémosla G(x,y), tal que:
∂G ( x , y)
∂G ( x , y)
= 2 xy
= x2
∂x
∂x
¿Quién es G (x, y)?
♦ Si G(x,y) = x2y tendremos que
⎛ ∂G ( x , y) ⎞
⎛ ∂G ( x , y) ⎞
⎟⎟dy = 2xydx + x 2 dy
dG ( x, y) = ⎜
⎟dx + ⎜⎜
∂
∂
x
y
⎠
⎝
⎠
⎝
Exacto. Observen que G (x, y) = x2y , pero ya habíamos determinado que
µ(x) = x2 ¿Como pueden relacionar estos dos resultados?
♦ Podríamos decir que la función G(x,y) que estamos buscando tiene la forma
G(x,y) = µ(x) y
Exactamente. Al sustituir G(x,y) = [µ(x) y] en la ecuación (1) ¿como queda?
♦ Queda d(x2y) = x6 dx
¿Cómo obtienen entonces “y”?
♦ Integrando
∫ ( ) ∫ x dx
d x2y =
6
⇒
x2y =
x7
7
270
¿Se puede despejar "y"?
♦ Despejando "y" resulta
x5
C1
y =
+
7
x2
Si comparan este resultado con el obtenido utilizando el otro procedimiento
¿qué conclusión pueden establecer?
♦ Podemos concluir que si C1 = -C, entonces los dos resultados coinciden
Muy bien. Revisemos otro ejemplo. Consideren la ecuación diferencial.
cos x
dy
+ y sen x = 1
dx
¿Es ésta una ecuación diferencial lineal? ¿Cómo la identifican?
♦ Identificamos que es una ecuación diferencial lineal si se puede escribir de la
forma y' + A(x) y = B(x). En efecto, si la ecuación diferencial dada se multiplica por
el factor
1
resulta
Cosx
dy sen x
1
+
y=
dx cos x
cos x
¿Quién es A(x) y quién es B(x)?
♦ A(x ) =
Senx
Cosx
B( x ) =
1
Cosx
Exacto ¿Podrá escribirse esta ecuación de la forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0?
271
♦ Si, basta con restar
1
y multiplicar por dx
cos x
1 ⎞
⎛ Senx
y−
dy + ⎜
⎟dx = 0
Cosx ⎠
⎝ Cosx
¿Será ésta, una ecuación diferencial exacta?
♦ Para determinar si esa ecuación diferencial es exacta o no, tomamos
P(x,y) =
sen x
1
y−
cos x
cos x
Q(x,y) = 1
y verificamos si se satisface la igualdad
∂P( x, y) ∂Q( x, y)
=
∂y
∂x
¿Qué obtienen al calcular las derivadas parciales
♦ Obtenemos
∂P( x, y) sen x
=
∂y
cos x
∂Q( x , y)
=0
∂x
¿Qué concluyen?
♦ Concluimos que la ecuación diferencial
1 ⎞
⎛ Senx
dy + ⎜
y−
⎟dx = 0
Cosx ⎠
⎝ Cosx
no es exacta.
¿Será reducible a exacta? ¿Qué deben hacer?
∂P( x , y) ∂Q( x , y)
?
∂y
∂x
272
♦ Para saber si es una ecuación diferencial reducible a exacta, debemos conseguir
g ( v ) dv
un factor integrante µ (x, y) = e ∫
con
⎡ ∂P( x , y) ∂Q( x, y) ⎤
⎢ ∂y − ∂x ⎥
⎣
⎦
g ( v) =
⎡
⎛ ∂v( x, y) ⎞⎤
⎛ ∂v( x , y) ⎞
⎟⎟⎥
⎟ − P( x, y)⎜⎜
⎢Q( x, y)⎜
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠⎦
⎣
Muy bien. ¿Quién es v?
♦ Debemos ir probando, por ejemplo, si v = x entonces
∂v( x , y)
∂v( x , y)
=0
=1
∂y
∂x
¿Cómo queda g (v), para v = x?
⎡ ∂P( x, y) ∂Q( x, y) ⎤ ⎛ sen x ⎞
⎟
⎢ ∂y − ∂x ⎥ ⎜
cos x ⎠ sen x sen v
⎣
⎦
⎝
=
=
=
♦ g (v) =
Q( x , y )
1
cos x cos v
Si comparamos con la ecuación diferencial lineal
dy Senx
1
+
y=
dx Cosx
cos x
donde dijimos que A ( x ) =
Senx
Cosx
B( x ) =
Senx
¿Con quién coincidió g(v)?
Cosx
♦ g(v) coincidió con A (x)
Correcto. ¿Quién es entonces el factor integrante?
273
♦ El factor integrante es
sen x
−1
g ( v ) dv
A ( x ) dx
∫ dx
µ (x) = e ∫
= e∫
= e cos x = e −ln(cos x ) = e ln(cos x ) =
1
cos x
Una vez conseguido el factor integrante ¿Qué deben hacer?
♦ Debemos multiplicar la ecuación diferencial lineal
1
dy Senx
y=
+
cos x
dx Cosx
por el factor µ(x) dx =
1
dx
Cosx
1
1
sen x
dx (2)
y dx =
dy +
2
Cosx
cos 2 x
cos x
La expresión
sen x
1
dy +
y dx = sec x dy + y sec x tg x dx representa la
Cosx
cos 2 x
diferencial total de cierta función ¿Pueden identificar cuál es esa función?
♦ La expresión
1
sen x
y dx = sec x dy + y sec x tg x dx representa la
dy +
Cosx
cos 2 x
diferencial total de la función (y secx), esto es, d(ysecx) =
sen x
1
dy +
y dx
Cosx
cos 2 x
Exacto. Observen que d (y Sec x) = d (µ(x) y). Al sustituir en la ecuación (2)
¿Cómo queda?
♦ Queda
1
⎛ 1
⎞
y⎟ =
dx
d⎜
2
⎝ cos x ⎠ Cos x
274
¿Cómo obtienen entonces “y”?
♦ Integrando
⎛ 1 ⎞
2
d
∫ ⎜⎝cosx y⎟⎠ = ∫sec x dx
1
y = tgx +C
cosx
⇒
¿Se puede despejar "y"?
♦ Despejando "y" se tiene que
y = Sen x + C Cos x
¿Qué concluyen?
♦ Concluimos que la función y = Sen x + C Cos x es la solución general de la
ecuación diferencial (Cosx) y' + y Sen x = 1
Muy bien. Revisemos los dos ejemplos que acabamos de realizar; escribamos
sus ecuaciones de la forma y' + A(x) y = B(x)
Ejemplo 1: y'+
2
y = x4
x
Ejemplo 2: y'+
1
sen x
y=
cos x
cos x
¿Quién resultó ser g(v) para cada uno de los ejemplos?
♦
g ( v) =
Para el Ejemplo 1 resultó que g ( v) =
sen x
cos x
2
para; el Ejemplo 2 resultó que
x
275
Si comparan con las ecuaciones diferenciales ¿Con quién coincidió g(v) en
ambos ejemplos?
♦ Para ambos ejemplos g(v) coincidió con los coeficiente de la variable “y" en
cada una de las ecuaciones diferenciales
¿Qué pueden concluir acerca de cómo va a ser el factor integrante para las
ecuaciones diferenciales lineales y' + A(x) y = B(x)?
♦ Podemos concluir que el factor integrante para las ecuaciones diferenciales
lineales va a ser
µ(x ) = e ∫
A ( x ) dx
Recordemos que al multiplicar cada una de las ecuaciones diferenciales por
los respectivos factores integrantes se obtuvo como resultado
Ejemplo 1 x2 dy + 2xy dx = x6 dx
Ejemplo 2
1
1
sen x
y dx =
dx
dy +
2
cos x
cos x
cos x
En ambos ejemplos ¿A quién resultó ser igual la parte izquierda de las ecuaciones?
♦ En el ejemplo 1
En el ejemplo 2
x2 dy + 2xy dx = d (x2 y) = d (µ(x)y)
sen x
1
⎛ 1
⎞
y ⎟ = d (µ(x )y )
y dx = d⎜
dy +
2
cos x
cos x
⎝ cos x ⎠
¿Pueden sacar alguna conclusión general?
♦ Podemos concluir que al multiplicar la ecuación diferencial lineal
y' + A (x) y = B (x)