Tema 2: Ecuaciones no lineales

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Tema 2: Ecuaciones no lineales
1. Demostrar analíticamente que la ecuación xe−x = γ tiene exactamente dos raíces reales
cuando 0 < γ < e−1 .
2. En el método de bisección, usar la expresión
ea = |α − mn | <
b0 − a0
.
2n
para:
a) obtener el número mínimo de iteraciones para que el error absoluto ea sea menor que
una tolerancia dada, ε.
b) ¿Cuántas iteraciones se necesitan para obtener un dígito adicional de precisión en la
aproximación?
3. Las siguientes ecuaciones tienen una raíz en el intervalo (0, 1.6). ¿Se puede usar este intervalo para aproximar las raíces por el método de bisección? Si no es así, proponer un
intervalo.
(a) x cos(x) = ln(x), (b) 2x = e−x , (c) e−2x = 1 − x.
4. Encontrar un intervalo de longitud 1 que contenga la raíz real positiva de la ecuación
ex (x − 1) = e−x (x + 1)
por métodos gráficos. ¿Cuántos pasos se necesitan para aproximar la raíz con un error menor
que 10−8 usando bisección?
5. Sea la ecuación
t −t/2 1
+ =0
e
2
2
a) Demostrar que en [−1, 1] existe una única raíz.
b) ¿Se puede calcular por el método de bisección partiendo de dicho intervalo?
c) Aproximar la raíz haciendo tres iteraciones.
d) Dar una cota del error cometido al calcular esta raíz.
6. Sea la función
�
�
h(t) = t 3 − t e−t .
a) Demostrar que esta función tiene un único extremo en [3, 4].
b) ¿Se puede calcular por el método de bisección partiendo de dicho intervalo?
c) Aproximar el mínimo haciendo tres iteraciones.
d) Dar una cota del error cometido al calcular esta raíz.
7. Supongamos que la función f (x) tiene dos derivadas continuas, y sea α una raíz de f (x) tal
que f � (α) �= 0. Usar el desarrollo de Taylor de orden dos para deducir que el método de
Newton convergen cuadráticamente.
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8. Usar el método de Newton para aproximar las raíces positivas de las siguientes ecuaciones.
Realizar tres iteraciones tomando como punto inicial x0 = 1 y calcular el residual de la
aproximación.
(a) x = 1 − e−2x , (b) x ln(x) − 1 = 0.
9. La función f (x) = xe−x tiene una única raíz α = 0. Demostrar que para cualquier x0 > 1 las
iteraciones de Newton se alejan de la raíz α.
√
10. Aproximar utilizando el método de Newton r = 3 . Utilizar como punto inicial x0 = 1,
realizar tres iteraciones y calcular el residual. Usar la calculadora para estimar el error
absoluto de la aproximación.
11. Sea la función
h(t) = 2t 2 − t 3 + ln (2 + t) .
a) Demostrar que esta función tiene al menos un extremo en [1, 2].
b) Aproximar el mínimo utilizando el método de Newton. Utilizar como punto inicial
x0 = 1 y realizar 3 iteraciones.
12. Aproximar utilizando el método de Newton la raíz de la ecuación x2 = 0. Utilizar como
punto inicial x0 = 1 y obtener una fórmula que donde xk+1 solo dependa de k. En cada
iteración calcular
|xk+1 − α|
|xk+1 − α|
y
,
|xk − α|
|xk − α| p
siendo α = 0 la raíz de la ecuación y p un número mayor que 1 ¿Qué orden de convergencia
tiene el método?
13. Para resolver la ecuación x + ln(x) = 0 por el método de punto fijo se definen las ecuaciones
equivalentes
x + e−x
(i) x = − ln(x), (ii) x = e−x , (iii) x =
2
a) ¿Qué ecuaciones pueden usarse?
b) ¿Qué ecuación debería usarse?
Dar tres iteraciones de los métodos que pueden usarse y calcular su error absoluto respecto
a la solución exacta α = 0.567143 . . .
14. Asumiendo que se cumplen las condiciones del Teorema de la Aplicación Contractiva y
usando la fórmula de Taylor demostrar que:
a) El método de punto fijo converge al menos linealmente, es decir,
lim
n→∞
�
|xn+1 − α| �� �
= g (α)� ,
|xn − α|
donde α es un punto fijo de g.
b) Si además, para un entero p > 1, la función g es p + 1 veces derivable con derivada
continua, y g(n) (α) = 0 para n = 1, . . . , p − 1 y g(p) (α) �= 0, demostrar que en este
caso, el orden de convergencia es p, es decir,
� (p)
�
�g (α)�
lim |xn+1 − α|
.
n→∞
=
|xn − α| p
p!
3
�
�
15. Sea la función f (x) = x − cos(x), con x ∈ 0, π2 . Demostrar que la ecuación f (x) = 0 tiene
la misma raíz que gi (x) = x. con i = 1, 2, 3, 4, siendo
g1 (x) = cos(x)
g2 (x) = arccos(x)
g3 (x) = 2x − cos(x)
g4 (x) = x −
x − cos(x)
.
1 + sen(x)
¿Cuál es la mejor función para aproximar la solución por el método de punto fijo?¿Por qué?
√
16. Aproximar utilizando el método de la secante r = 3 . Utilizar como puntos iniciales x0 = 1
y x1 = 2. Realizar 3 iteraciones y calcular el residual. Usar la calculadora para estimar el
error absoluto de la aproximación.
17. Demostrar que si tenemos la ecuación f (x) = x2 − x − 2 y consideramos sus raíces en el
intervalo [1, 3]:
a) La ecuación f (x) = 0 tiene la misma raíz que gi (x) = x con i = 1, 2, 3, 4 siendo
g1 (x) = x2 − 2
g2 (x) =
√
x+2
g3 (x) = 1 +
2
x
g4 (x) =
x2 + 2
2x − 1
b) Escoger la mejor de las cuatro funciones para aproximar la solución realizando tres
iteraciones por el método de punto fijo comenzando en x0 = 1.
c) Hacer cuatro iteraciones utilizando el método de Newton con el mismo punto inicial.
d) Hacer cuatro iteraciones utilizando el método de la secante con x0 = 1 y x1 = 3.
e) ¿Qué método converge más rápido? ¿Por qué?
18. Encontrar las condiciones que debe cumplir el punto inicial x0 , y el parámetro λ > 0 para
que la iteración de punto fijo xn+1 = 1 − λxn2 sea convergente.