1. La ecuación autónoma unidimensional.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EN DIMENSIÓN UNO.
La ecuación autónoma unidimensional
Consideraremos la ecuación diferencial ordinaria
x0 (t) = f (t, x(t)) .
(1)
Una solución de (1) es una función real x(t), derivable en un intervalo de R, que satisface la
relación (1).
Cuando la función f no depende explícitamente de t (es decir, si f (t, x) = g(x) para todo
(t, x) y cierta función g) se dice que la ecuación (1) es autónoma. En esta hoja estudiaremos el
problema de Cauchy para la ecuación autónoma unidimensional,
0
x (t) = f (x(t))
(2)
x(t0 ) = x0 ,
donde f : U ⊆ R → R es una función definida en un intervalo U , y x0 ∈ U .
Es inmediato probar que si x(t) es solución de x0 = f (x), entonces la función y(t) = x(t − a)
es también una solución, sea cual sea a. Por tanto basta estudiar el problema de valor inicial
(2) para el tiempo inicial t0 = 0.
Ejemplo 1. La propiedad anterior falla, en general, para la ecuación (1). Considérese por
ejemplo la ecuación x0 (t) = tx(t).
Definición 2. Una solución estacionaria, o punto de equilibrio, de la ecuación
x0 (t) = f (x(t))
es una solución que verifica x(t) = x0 (constante) para todo t ∈ R.
Es claro que una condición necesaria y sufuciente para que una solución x(t) sea estacionaria
es que el punto x(0) = x0 satisfaga f (x0 ) = 0.
En tal caso también se dice que x0 es un punto crítico de la ecuación.
Teorema 3. Si f : U ⊆ R → R es continua, entonces el problema de valor inicial
0
x (t) = f (x(t))
x(0) = x0 ,
(2)
tiene al menos una solución definida en un entorno I de 0. Dicha solución viene dada por:
si f (x0 ) 6= 0,
Z x
1
−1
x(t) = Fx0 (t), siendo Fx0 (x) =
dy;
x0 f (y)
Rx
además el número x0 1/f (y)dy puede interpretarse como el tiempo que tarda una solución
en llegar desde el punto x0 hasta x (o viceversa, si cambiamos el signo).
si f (x0 ) = 0,
x(t) = x0 .
Corolario 4. Sean x1 , x2 dos soluciones de la ecuación autónoma x0 (t) = f (x(t)) (donde f
es continua), definidas respectivamente en intervalos I1 , I2 , y supongamos que x1 (t0 ) = x2 (t0 )
para cierto t0 ∈ I1 ∩ I2 . Si las derivadas de x1 y x2 no se anulan en I1 ∩ I2 (es decir f (xi (t)) 6=
0, t ∈ I1 ∩ I2 , i = 1, 2), entonces necesariamente las dos soluciones coinciden en I1 ∩ I2 .
1
2
CAPÍTULO 1.
En particular esto basta para establecer la unicidad de soluciones para (2) en el caso en el que
f no se anule. Más aún, si para todo c que sea punto de equilibrio de f se sabe que la solución
estacionaria es la única que pasa por c, podremos asegurar que, para todo dato incial x0 , la
solución de (2) es única. Si c es un punto de equilibrio aislado, se presentan dos posibilidades:
Si la integral
Z c
1
dy
x f (y)
es finita para algún x suficientemente cerca de c para que f (y) no se anule entre x y c,
entonces existe una solución, distinta a la estacionaria, que pasa por el punto c.1
Si, por el contrario, la integral anterior es infinita para todo x en un entorno de c donde f
no se anula, entonces el problema de valor inicial (2) con x0 = c posee una única solución
(que es obviamente x(t) ≡ c).2
En resumen, si hay una solución que llega en tiempo finito a un punto de equilibrio c desde
otro punto, entonces no hay solución única de x0 (t) = f (x(t)), x(0) = c; mientras que, si todas
las soluciones con condición inicial x1 cercana a c tardan un tiempo infinito (o bien cuando
t → +∞ o bien cuando t → −∞) en llegar a c, entonces la solución estacionaria es la única
solución de este problema.
1En
efecto, como c es aislado existe δ > 0 tal que f (x0 ) 6= 0 si |x0 −c| < δ. Así, la función dada por x(t) = Fx−1
(t),
0
Rx
donde Fx0 (x) = x0 1/f , está bien definida para t entre 0 y t0 := Fx0 (c), que es finito por hipótesis. Se tiene
lı́m x(t) = lı́m Fx−1
(t) = c,
0
t→t0
t→t0
lı́m x0 (t) = lı́m
t→t0
t→t0
1
= f (c) = 0,
Fx0 0 (x(t))
con lo que, si por ejemplo t0 > 0, entonces
y(t) =
x(t0 + t),
c,
si t ∈ (−t0 , 0),
si t ≥ 0
es una función derivable que satisface la ecuación x0 (t) = f (x(t)) y la condición inicial x(t0 ) = c.
2Supongamos
que exista una solución y : [−a, a] → U , distinta de la estacionara, con y(0) = c. Podemos suponer
−1
f (y(t)) 6= 0 si t 6= 0. Entonces, para t ∈ [−a, 0), es y(t) = Fy(−a)
(t + a). Pero
Z c
a = lı́m Fy(−a) (y(t)) = Fy(−a) (y(0)) =
1/f,
t→0−
con lo que esta integral no podría ser infinita.
y(−a)