Modelos DSGE Et {f (xt+1 , xt , xt−1 , zt )} zt = 0 = ρz zt−1 + t E (t ) = 0 E (t 0t ) = Σ donde, x : vector de variables endogenas. z : vector de shocks exogenos estocasticos. : variable aleatoria. En nuestro modelo : xt = (ct , it , kt , yt , ht ) Funcion de Solucion (la Policy Function) xt = g (xt−1 , zt ) Entonces, xt+1 = g (xt , zt+1 ) = g [g (xt−1 , zt ), zt+1 ] Ahora, definimos una nueva funcion F tal que F (xt−1 , zt , zt+1 ) = f {g [g (xt−1 , zt ), zt+1 ], g (xt−1 , zt ), xt−1 , zt } Esto nos permite reescribir nuestro sistema en terminos de variables endogenas pasadas y de shocks presentes y futuros: Et {F (xt−1 , zt , zt+1 )} = 0 Steady State Un steady state deterministico, x̄, satisface f (x̄, x̄, x̄, 0) = 0 con la propiedad de que x̄ = g (x̄, 0) Aproximacion de 1er Orden Una expansion de Taylor de 1er orden alrededor del steady state: Et {F (xt−1 , zt , zt+1 )} = Et {f (x̄, x̄, x̄, 0) + fx+ [gx (gx x̂ + gz z) + gz z 0 ] +fx0 (gx x̂ + gz z) + fx− x̂ + fz z} = 0 donde, x̂ = xt−1 − x̄, z = zt , z 0 = zt+1 , fx+ = fx− = ∂f ∂xt−1 , fz = ∂f ∂zt , gx = ∂g ∂xt−1 , gz = ∂f ∂xt+1 , ∂g ∂zt fx0 = ∂f ∂xt , Aplicando Esperanzas (falta poco!) Et {F (xt−1 , zt , zt+1 )} = f (x̄, x̄, x̄, 0) + fx+ [gx (gx x̂ + gz z)] +fx0 (gx x̂ + gz z) + fx− x̂ + fz z = (fx+ gx gx + fx0 gx + fx− )x̂ +(fx+ gx gz + fx0 gz + fz )z = 0 (1) Dado que los shocks futuros solo entran con sus 1eros momentos (cuyas esperanzas son 0), estos se cancelan al aplicar esperanza. Se cumple la “certainty equivalence”. Resultado I Las unicas incognitas son gx y gz , las cuales nos ayudaran a aproximar la policy function g . I Dado que la ecuacion (1) se cumple para todo x̂ y z, entonces los 2 parentesis deben ser 0. Asi, tenemos 2 ecuaciones, 2 incognitas. I El primero da una ecuacion cuadratica en gx , que resolveremos algebraicamente (con ayuda del matlab...) Habiendo recuperado gx , luego recuperamos gz en el 2do parentesis. I Finalmente, tenemos una aproximacion de la policy function: xt = x̄ + gx x̂ + gz z Comentarios Finales I Hallando gx y gz , hemos resuelto la “regla de decision” (aproximada), y por tanto el DSGE model. I Pueden generarse impulse-response functions, iterando la policy function comenzando por un valor inicial dado por el steady state. I Ademas, se puede generar la matriz de covarianza de las variables endogenas. I La solucion de 2do orden usa los mismos metodos de perturbacion, aunque aplicando otras tecnicas algebraicas para recuperar las derivadas parciales de g . Igualmente, el approach general se mantiene. I En este caso, la varianza de los shocks futuros permanece despues de aplicar esperanzas sobre las ecuaciones linearizadas, afectando el nivel de la policy function resultante.