Cálculo Infinitesimal II (730.211.108)

Cálculo Infinitesimal II (730.211.108)
Titulación: Ing. Industrial
Centro: Escuela Politécnica Superior
Área de conocimiento / Área de coñecemento: Matemática Aplicada
Carácter: Cuatrimestral (C2)
Créditos: 3.0 (T) + 4.5 (P)
Objetivos / Obxectivos: Coñecemento e dominio das técnicas propias do cálculo diferencial e integral en varias variables.
Coordinador(a): Eugenio Merino Gayoso
Profesorado (Idioma):
Eugenio Merino Gayoso (GA)
Programa:
1. Elementos de Topoloxı́a de Rn.
1.1. Espacio Métrico. Vectores en Rn. Norma. Distancia. Espacio Métrico.
1.2. Topoloxı́a Rn. Definicións: Bolas. Abertos. Pechados. Entornos. Punto interior, exterior, fronteira, de acumulación, aillado. Conxunto derivado. Adherencia. Caracterización de pechados. Conxunto acotado. Compactos. n-intervalo. n-cubo. Medida ou volume. Diámetro.
Principio de Cantor-Dedekind de encaixe de intervalos. Caracterización de compactos. Segmento. Conexión, conexión por arcos. Dominio.
2. Vectores en Rn.
2.1. Funcións vectoriais. Función vectorial, Función escalar. Curva. Camiño. Parametrización. Punto inicial, final. Curva pechada,
regular, regular a trozos. Lonxitude.
2.2. Lı́mite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade, de funcións vectoriais dunha variable escalar. Lı́mite. Propiedades. Continuidade. Caracterización de funcións continuas. Derivación. Caracterización de funcións derivables. Propiedades das funcións derivables.
Integración. Propiedades.
3. Lı́mite e continuidade de funcións de Rn en Rn.
3.1. Lı́mites. Definición. Lı́mites reiterados. Lı́mites reiterados e Lı́mite. Unicidade do lı́mite. Lı́mite e acotación. Lı́mites de operacións
con funcións. Norma e lı́mite. Lı́mites infinitos e lı́mites no infinito.
3.2. Continuidade. Definición. Continuidade e norma. Continuidade nun punto e signo entorno del. Continuidade da función composta.
Álxebra de funcións continuas. Propiedade de Lipschitz. Linealidade e continuidade. Continuidade uniforme, definición. Continuidade e
compacidade. Inversa dun aberto por unha función continua. Continuidade e extremos.
4. Diferenciación.
4.1. Derivada direccional e parcial. Definicións: incrementos, derivada parcial, derivada direccional. Interpretación xeométrica da derivada parcial. Gradiente, operador Nabla. Derivadas parciais de orde superior. Teoremas de Bonnet e Schwarz. Función de clase Ck.
4.2. Diferencial de una función. Definición. Unicidade. Diferenciabilidade e funcións compoñentes. Matriz Jacobiana. Diferenciabilidade
e derivadas direccionais e parciais. Condición suficiente de diferenciabilidade. Diferenciabilidade e continuidade. Linealidade e diferenciabilidade. Diferenciais de orde superior. Álxebra de funcións diferenciables. Regra da cadea. Diferencial total. Aplicacións ós cálculos
aproximados. Teorema do valor medio. Fórmula de Taylor. Función analı́tica.
4.3. Funciones implı́cita e inversa. Función implı́cita definida por una ecuación. Función implı́cita definida por un sistema de ecuaciones.
Función inversa.
4.4. Extremos de funcións. Extremos sen ligaduras. Definicións. Condicións necesaria e suficiente de existencia de extremo. Hessiano.
Extremos con ligaduras. Multiplicadores de Lagrange. Condicións suficientes de existencia de extremos condicionados.
5. Integración.
5.1. Integral de Darboux dunha función acotada nun intervalo. Definicións: Partición, diámetro, refinamiento dunha partición. Sumas
de Darboux. Propiedades. Integral superior e inferior de Darboux. Propiedades. Función integrable (Darboux) nun intervalo. Propiedades.
Caracterización de funcións integrables. Continuidade e integrabilidade. Operaciones con funcións integrables. Teorema del valor medio.
5.2. Integral de Riemann. Sumas de Riemann. Función de Riemann-integrable. Unicidade da integral de Riemann. Equivalencia entre
as integrais de Riemann e Darboux. Integral como lı́mite de sumas.
5.3. Integral de Lebesgue. Conxuntos de medida nula, propiedades. Contido nulo, relación coa medida nula. Oscilación dunha función.
Propiedades. Caracterización de Lebesgue de funcións integrables nun intervalo. Integración reiterada, teorema de Fubini.
5.4. Integral en conxuntos medibles. Función caracterı́stica. Medida e contido de Jordan. Caracterización de conxuntos medibles-Jordan.
Propiedades. Integrabilidade en conxuntos medibles.
5.5. Integral de liña. Definicións: Camiño, Curva rectificable, Integral de liña. Propiedades. Independencia do camiño. Curva pechada
simple. Teorema de Green no plano. Área dunha rexión.
5.6. Integral de superficie. Definicións: Superficie, Rotacional dun campo vectorial. Teorema de Stokes.
5.7. Integral de volume. Diverxencia. Teorema de diverxencia de Gauss.
Bibliografı́a básica:
J. Ayres, Jr “Calculus”. Ed. McGraw-Hill. 1964.
F. Bombal, L. Rodrı́guez y G. Vera. “Problemas de Análisis Matemático”. AC. 1975.
Departamento de Matemáticas, 2009/10
R. Couty, J. Ezra. “Analyse”. Ed. Armand Colin. 1967.
G. Chilov. “Analyse Mathématique”. Éditions de Moscou. 1975.
J. Dieudonné. “Cálculo Infinitesimal”. Ed Omega. 1971.
B. P. Demidovitch. “5000 problemas de Análisis Matemático”. Ed. Paraninfo. 1976.
S. Lipschutz. “General Topology”. Ed Schaum. 1965.
J. Marsden. A. Weinstein. “Calculus III”. Ed. Springer. 1985.
J. L. Mataix Plana. “Mil Problemas de Cálculo Integral”. Tomos I y II. Ed. Dossat. 1967.
N. Piskounov. “Calcul Différentiel et intégral”. Tomos I, II. Éditions de Moscou.
M. H. Protter, C. B. Morrey. “A First Course in Real Analysis”. Ed. Springer. 1977.
M. Spiegel. “Análisis Vectorial”. Çálculo Superior”. Ed. McGraw-Hill. 1969.
Tébar Flores. “Problemas de Cálculo Infinitesimal”. Tomos I,II. Ed. Tébar Flores. 1977.
G. B. Thomas. “Cálculo Infinitesimal y Geometrı́a Analı́tica”. Ed. Aguilar. 1964.
Wörle. Rumpf. Arnold. “Ingenieur Mathematik in Beispielen”. 1, 2, 3. Oldenbourg. 1992.
Evaluación / Avaliación: Exame final e valoración do traballo do alumno (mediante boletı́ns de problemas ou traballos) durante todo
o curso.
Departamento de Matemáticas, 2009/10