Ejemplo 2 Considere un sistema de tiempo continuo de entrada

TAREA NUM. 1
PARRA NAVA MANUEL, SANDOVAL RUÍZ ISAAC YAIR
SISTEMAS LINEAL
EJEMPLO 1
El sistema que se muestra en la figura, tiene una secuencia de valores de entrada denotados por
, , , … … y los transforma en una secuencia de valores de salida , , , … …
Unidad de
retardo
Ganancia
G
La salida en el tiempo t=k esta dada por donde G es constante. Suponga que se
tienen dos secuencias de entrada Las dos secuencias de salida correspondientes son
, donde
,
Se tiene una entrada ₊ , la salida será
) ₊ ) = ₊ ₊ ₊ De esta manera, el sistema satisface la superposición y es lineal
Ejemplo 2
Considere un sistema de tiempo continuo de entrada/salida sencillas que tienen la
siguiente relación de entrada/salida
t ≥ Donde h(t) es una función real arbitraria de t con h(t)=0 para todo t < 0. Observe que si
tomamos h(t)=(1/c) exp [(-1)/RC) t] para t ≥ 0, se obtiene el circuito RC
H(t)=
1 exp %
&, para t≥ 0,
Supóngase que la entrada es ax(t)+bv(t), donde x(t), v(t), a y b son arbitrarias. La
respuesta de salida resultante es
'
() *+,
Al utilizar la propiedad de linealidad de la integración se obtiene
) '
* '
+
Por consiguiente
Y(t)=a(Fx)(t) +b(Fv)(t),
Lo que prueba que el sistema es lineal.
Ejemplo 3
Considere a continuación el sistema en tiempo continuo descrito por la relación de
entrada-salida:
y(t) = x(t)x(t-1)
Demuestre que el sistema es no lineal.
Solución: Sea la señal de entrada x(t) expresada como la suma ponderada:
N
x(t) =
ai xi(t)
i=1
De modo correspondiente , la señal de salida del sistema esta dada por la suma doble
N
N
y(t)=
ai xi(t) 1
i=1
N
aj xj (t-1)
j= 1
N
ai aj xi(t)
=
i=1
xj (t-1)
j=1
La forma de ecuación es radicalmente diferente de la que escribe la señal de entrada x(t).
Es decir en este caso no podemos escribir y(t) =
N
ai yi(t)
i=1
de tal modo, el sistema viola el principio de superposición y, en consecuencia es no
lineal.
Ejercicio 1
Roberto Hooke estudio en forma cuantitativa los resortes mecanicos y encontró
experimentalmente que en un intervalo limitado la deflexión de un resorte es
proporcional a la fuerza F aplicada. Siendo Y la deflexión del resorte, el modelo que
describe el comportamiento del resorte en este aspecto es
Fuerza = K deflexión
Siendo k una constante característica del resorte. La ecuación conocida como ley de
Hooke, es un buen modelo para el resorte siempre que la deflexión y sea pequeña.
Considerando la fuerza F como la entrada del sistema y Y como salida, la ecuación
entrada/ salida para este sistema es
Y(t)=F/k
Aplicando la ecuación de linealidad ala ecuación anterior se ve que el sistema es lineal.
Aplicando separadamente, las salidas correspondientes son
-.
/
-0
/
. Si se suman
las entradas y se alimentan al sistema, la salida es // , lo que es igual a la suma
de las dos salidas iníciales. En esta forma el sistema satisface la superposición y por lo
tanto es lineal.
Ejercicio 2
Considere el circuito mostrado en la figura. Suponga que en este sistema, x(t) es el
voltaje de entrada y y(t) es el voltaje de salida. En tanto que en el punto A exista un
voltaje menor que 3V entonces
Y(t)=x(t)/2
R
A
x(t)
Y(t)
3v +
R
Determine si es un sistema lineal
Una entrada generara una salida sumamos genera una salida
Lo cual es 2. y una salida 2
Por lo tanto el sistema es lineal para cualquier x(t) que sea menor que 3V
20 si los
Ejercicio 3
La red simple RC que se muestra en la figura tiene una entrada i(t) y una salida e(t)
como se indica. Suponiendo que la energía inicial almacenada en el sistema es cero , es
posible usar la ecuación de Kirchhoff para escribir
45 675 8
9
5
: 75 ;5
R
e(t)
i(t)
Determinar si el sistema es lineal
Aplicando el principio de superposición. Suponiendo una entrada < = < (t)) la salida
correspondiente será = , dada por
1 = >?< < @ ' < < A :
=>< B : < >< B : < == = Dado que cumple con la superposición es sistema es lineal
Bibliografía
-
SEÑALES Y SISTEMAS LINEALES, Gabel Robert A., editorial Limusa, Mexico 1975
INT RODUCCION A SEÑALES Y SISTEMAS, Edward W. Kamen ,Cecsa, primera
edición 1996
-
Haykin, Simon. y Veen Van, “Señales y sistemas” México DF, 2003. Ed Limusa