Problema resuelto 4 Un resorte cuya longitud natural es L0, tiene

Problema resuelto 4
Un resorte cuya longitud natural es L 0 , tiene longitud L, cuando se
cuelga verticalmente, con una masa m y carga Q en su extremo. Se
coloca otra carga –Q (negativa) exactamente debajo del resorte y éste
alcanza la posición mostrada en la figura.
Demuestre que la elongación x del resorte a partir de L,
está dada por:
𝑄𝑄2
𝑥𝑥 = (𝐿𝐿 − 𝐿𝐿0 ) �1 +
�
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑2
No considere atracción gravitacional entre las masas.
SOLUCIÓN:
La situación mostrada corresponde a una posición de equilibrio:
𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 +
𝑄𝑄 2
4𝜋𝜋𝜀𝜀 0 𝑑𝑑 2
Por lo tanto:
𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 +
1
4𝜋𝜋𝜀𝜀 0 𝑑𝑑 2
𝑥𝑥 = �𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝑘𝑘
𝑄𝑄 2
𝑄𝑄 2
= 0,
,
4𝜋𝜋𝜀𝜀 0 𝑑𝑑 2
(1)
�,
Calculemos ahora cuanto vale la constante k del resorte.
𝑘𝑘(𝐿𝐿 − 𝐿𝐿0 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚 => 𝑘𝑘 =
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐿𝐿−𝐿𝐿0
,
(2)
Sabemos que en posición vertical normal:
ahora (2) en (1)
por lo tanto:
𝑘𝑘(𝐿𝐿 − 𝐿𝐿0 ) �1 +
𝑄𝑄 2
4𝜋𝜋𝜀𝜀 0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2
�,